湖北省棗陽市興隆一中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)九年級(jí)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖所示的幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．2．已知關(guān)于x的方程（m+4）x2+2x﹣3m＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）A．m＜﹣4 B．m≠0 C．m≠﹣4 D．m＞﹣43．已知圓錐的底面半徑為5，母線長(zhǎng)為13，則這個(gè)圓錐的全面積是（）A． B． C． D．4．天虹商場(chǎng)一月份鞋帽專柜的營(yíng)業(yè)額為100萬元，三月份鞋帽專柜的營(yíng)業(yè)額為150萬元．設(shè)一到三月每月平均增長(zhǎng)率為x，則下列方程正確的是（）A．100（1+2x）＝150 B．100（1+x）2＝150C．100（1+x）+100（1+x）2＝150 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝1505．已知（，），下列變形錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．6．如圖，在□ABCD中，E、F分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，AE、AF分別交BD于點(diǎn)G、H，則圖中陰影部分圖形的面積與□ABCD的面積之比為（）A．7:12 B．7:24 C．13:36 D．13:727．已知拋物線，則下列說法正確的是（）A．拋物線開口向下 B．拋物線的對(duì)稱軸是直線C．當(dāng)時(shí)，的最大值為 D．拋物線與軸的交點(diǎn)為8．如圖，AD是半圓的直徑，點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，∠BAD=70°，則∠ADC等于（）A．50° B．55° C．65° D．70°9．小華同學(xué)某體育項(xiàng)目7次測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?，7，1，8，1，9，1．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（）A．8，1 B．1，9 C．8，9 D．9，110．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE⊥EF．有下列結(jié)論：①∠BAE＝30°；②射線FE是∠AFC的角平分線；③CF＝CD；④AF＝AB＋CF．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題(每小題3分,共24分)11．一圓錐的母線長(zhǎng)為5，底面半徑為3，則該圓錐的側(cè)面積為________.12．（2016湖北省咸寧市）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)接于點(diǎn)O，點(diǎn)E是上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），點(diǎn)F是上的一點(diǎn)，連接OE、OF，分別與AB、BC交于點(diǎn)G，H，且∠EOF=90°，有以下結(jié)論：①；②△OGH是等腰三角形；③四邊形OGBH的面積隨著點(diǎn)E位置的變化而變化；④△GBH周長(zhǎng)的最小值為．其中正確的是________（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．13．小華在距離路燈6米的地方，發(fā)現(xiàn)自己在地面上的影長(zhǎng)是2米，若小華的身高為1.6米，那么路燈離地面的高度是_____米．14．一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都等于，那么這個(gè)正多邊形的中心角為______．15．二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)且a≠0）中的與的部分對(duì)應(yīng)值如下表：013353現(xiàn)給出如下四個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減??；③是方程的一個(gè)根；④當(dāng)時(shí)，，其中正確結(jié)論的序號(hào)為：____．

16．如圖，把直角三角形的斜邊放在定直線上，按順時(shí)針方向在上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，使它轉(zhuǎn)到的位置.設(shè)，，則頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置時(shí)，點(diǎn)經(jīng)過的路線長(zhǎng)為_________．17．已知二次函數(shù)的自變量與函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值列表如下：…－3－2－10……0－3－4－3…則關(guān)于的方程的解是______.18．如圖，拋物線與直線交于A(-1,P)，B(3,q)兩點(diǎn)，則不等式的解集是_____．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，直線與雙曲線在第一象限內(nèi)交于兩點(diǎn)，已知.求的值及直線的解析式；根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集.20．（6分）如圖，是□ABCD的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．求證：△∽△CDF．21．（6分）如圖，四邊形OABC是矩形，ADEF是正方形，點(diǎn)A、D在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)B，E在反比例函數(shù)y＝的圖象上，OA＝1，OC＝6，試求出正方形ADEF的邊長(zhǎng)．22．（8分）如圖，為的直徑，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，過兩點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，連接．求證：（1）平分；（2）若，求的長(zhǎng)．23．（8分）將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)．求證：FD＝CD；（2）當(dāng)α為何值時(shí)，GC＝GB？畫出圖形，并說明理由．24．（8分）如圖，在中，，，以為頂點(diǎn)在邊上方作菱形，使點(diǎn)分別在邊上，另兩邊分別交于點(diǎn)，且點(diǎn)恰好平分．（1）求證：；（2）請(qǐng)說明：．25．（10分）消費(fèi)者在某火鍋店飯后買單時(shí)可以參與一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲，規(guī)則如下：有張紙牌，它們的背面都是小豬佩奇頭像，正面為張笑臉、張哭臉．現(xiàn)將張紙牌洗勻后背面朝上擺放到桌上，然后讓消費(fèi)者去翻紙牌．（1）現(xiàn)小楊有一次翻牌機(jī)會(huì)，若正面是笑臉的就獲獎(jiǎng)，正面是哭臉的不獲獎(jiǎng)，她從中隨機(jī)翻開一張紙牌，小楊獲獎(jiǎng)的概率是________．（2）如糶小楊、小月都有翻兩張牌的機(jī)會(huì)，小楊先翻一張，放回后再翻一張；小月同時(shí)翻開兩張紙牌．他們翻開的兩張紙牌中只要出現(xiàn)一張笑臉就獲獎(jiǎng)．他們誰獲獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)更大些？通過畫樹狀圖或列表法分析說明理由．26．（10分）如圖，在長(zhǎng)為10cm，寬為8cm的矩形的四個(gè)角上截去四個(gè)全等的小正方形，使得留下的圖形（圖中陰影部分）面積是原矩形面積的80%，求所截去小正方形的邊長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】根據(jù)左視圖是從左邊看得到的圖形，可得答案．【詳解】從左邊看一個(gè)正方形被分成兩部分，正方形中間有一條橫向的虛線，如圖：故選：D．本題考查了幾何體的三視圖，從左邊看得到的是左視圖．2、C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即可求出答案．【詳解】由題意可知：m+4≠0，∴m≠﹣4，故選：C．本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解一元二次方程的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．3、B【分析】先根據(jù)圓錐側(cè)面積公式：求出圓錐的側(cè)面積，再加上底面積即得答案.【詳解】解：圓錐的側(cè)面積=，所以這個(gè)圓錐的全面積=.故選：B.本題考查了圓錐的有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面積的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵.4、B【分析】可設(shè)每月營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為x，則二月份的營(yíng)業(yè)額是100（1+x），三月份的營(yíng)業(yè)額是100（1+x）（1+x），則可以得到方程即可．【詳解】設(shè)二、三兩個(gè)月每月的平均增長(zhǎng)率是x．根據(jù)題意得：100（1+x）1＝150，故選：B．本題考查數(shù)量平均變化率問題．原來的數(shù)量為a，平均每次增長(zhǎng)或降低的百分率為x的話，經(jīng)過第一次調(diào)整，就調(diào)整到a×（1±x），再經(jīng)過第二次調(diào)整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）1．增長(zhǎng)用“+”，下降用“-”．5、B【分析】根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積對(duì)各項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】解：由，得出，3b=4a,A.由等式性質(zhì)可得：3b=4a，正確；B.由等式性質(zhì)可得：4a=3b，錯(cuò)誤；C.由等式性質(zhì)可得：3b=4a，正確；D.由等式性質(zhì)可得：4a=3b，正確.故答案為：B.本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等式的性質(zhì)，熟記等式性質(zhì)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積是解題的關(guān)鍵.6、B【分析】根據(jù)已知條件想辦法證明BG=GH=DH，即可解決問題；【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，

∵DF=CF，BE=CE，

∴，，

∴，

∴BG=GH=DH，∴S△ABG=S△AGH=S△ADH，∴S平行四邊形ABCD=6S△AGH，

∴S△AGH：=1：6，∵E、F分別是邊BC、CD的中點(diǎn),∴,∴,∴,∴=7∶24,故選B.本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、等底同高的三角形面積性質(zhì)，題目的綜合性很強(qiáng)，難度中等．7、D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)A、B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征對(duì)C進(jìn)行判斷；利用拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)D進(jìn)行判斷．【詳解】A、a=1＞0，則拋物線的開口向上，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、當(dāng)x=1時(shí)，有最小值為，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，故拋物線與軸的交點(diǎn)為，所以D選項(xiàng)正確．故選：D．本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要涉及開口方向，對(duì)稱軸，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，最值問題，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8、B【解析】連接BD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得∠ABD=90°，即可求得∠ADB=20°，再由圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可得∠C=110°，因，即可得BC=DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得∠BDC=∠DBC=35°，由此即可得∠ADC=∠ADB+∠BDC=55°．【詳解】解：連接BD，∵AD是半圓O的直徑，∴∠ABD=90°，∵∠BAD=70°，∴∠C=110°，∠ADB=20°，∵，∴BC=DC，∴∠BDC=∠DBC=35°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=55°．故選B．本題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)、等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵.9、D【解析】試題分析：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列：7，8，9，9，1，1，1，最中間的數(shù)是9，則中位數(shù)是9；1出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是1；故選D．考點(diǎn)：眾數(shù)；中位數(shù)．10、B【分析】根據(jù)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)和正方形的性質(zhì)，得出∠BAE的正切值，從而判斷①，再證明△ABE∽△ECF，利用有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似即可證得△ABE∽△AEF，可判斷②③，過點(diǎn)E作AF的垂線于點(diǎn)G，再證明△ABE≌△AGE，△ECF≌△EGF，即可證明④.【詳解】解：∵E是BC的中點(diǎn)，∴tan∠BAE=，∴∠BAE30°，故①錯(cuò)誤；∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF=∠B=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°，

∴∠BAE=∠CEF，在△BAE和△CEF中，，

∴△BAE∽△CEF，∴，∴BE=CE=2CF，∵BE=CF=BC=CD，即2CF=CD，∴CF=CD，故③錯(cuò)誤；設(shè)CF=a，則BE=CE=2a，AB=CD=AD=4a，DF=3a，∴AE=a，EF=a，AF=5a，∴，，∴，又∵∠B=∠AEF，∴△ABE∽△AEF，∴∠AEB=∠AFE，∠BAE=∠EAG，又∵∠AEB=∠EFC，∴∠AFE=∠EFC，∴射線FE是∠AFC的角平分線，故②正確；過點(diǎn)E作AF的垂線于點(diǎn)G，在△ABE和△AGE中，，∴△ABE≌△AGE（AAS），∴AG=AB，GE=BE=CE，在Rt△EFG和Rt△EFC中，，Rt△EFG≌Rt△EFC（HL），∴GF=CF，∴AB+CF=AG+GF=AF，故④正確.故選B.此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)．題目綜合性較強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．二、填空題(每小題3分,共24分)11、15π【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和扇形的面積公式計(jì)算．【詳解】圓錐的側(cè)面積=?2π?3?5=15π．

故答案是：15π．考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．12、①②．【解析】解：①如圖所示，∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，∴∠BOE=∠COF．在△BOE與△COF中，∵OB=OC，∠BOE=∠COF，OE=OF，∴△BOE≌△COF，∴BE=CF，∴，①正確；②∵OC=OB，∠COH=∠BOG，∠OCH=∠OBG=15°，∴△BOG≌△COH，∴OG=OH．∵∠GOH=90°，∴△OGH是等腰直角三角形，②正確；③如圖所示，∵△HOM≌△GON，∴四邊形OGBH的面積始終等于正方形ONBM的面積，③錯(cuò)誤；④∵△BOG≌△COH，∴BG=CH，∴BG+BH=BC=1．設(shè)BG=x，則BH=1﹣x，則GH====，∴其最小值為，∴△GBH周長(zhǎng)的最小值=GB+BH+GH=1+，D錯(cuò)誤．故答案為①②．13、6.1【解析】解：設(shè)路燈離地面的高度為x米，根據(jù)題意得：，解得：x=6.1．故答案為6.1．14、60°【分析】根據(jù)題意首先由多邊形外角和定理求出正多邊形的邊數(shù)n，再由正多邊形的中心角=，即可得出結(jié)果．【詳解】解：正多邊形的邊數(shù)為，故這個(gè)正多邊形的中心角為.故答案為：60°.本題考查正多邊形的性質(zhì)和多邊形外角和定理以及正多邊形的中心角的計(jì)算方法，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)，并根據(jù)題意求出正多邊形的邊數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．15、①②③④【分析】先利用待定系數(shù)法求得的值，＜0可判斷①；對(duì)稱軸為直線，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷②；方程即，解得，可判斷③；時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)有最大值，則當(dāng)時(shí)，，即可判斷④．【詳解】∵時(shí)，時(shí)，時(shí)，∴，解得：，∴，故①正確；

∵對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)x＞時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，故②正確；方程即，解得，∴是方程的一個(gè)根，故③正確；當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，∵，∴函數(shù)有最大值，

∴當(dāng)時(shí)，，故④正確．

故答案為：①②③④．本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16、【分析】根據(jù)題意得到直角三角形在直線上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次點(diǎn)A分別繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)120°和繞C″旋轉(zhuǎn)90°，將兩條弧長(zhǎng)求出來加在一起即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∵BC=1，，∴AB=2，∠CBA=60°，∴弧AA′=；弧A′A′′=；∴點(diǎn)A經(jīng)過的路線的長(zhǎng)是；故答案為：.本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算方法及勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的轉(zhuǎn)動(dòng)過程判斷點(diǎn)A是以那一點(diǎn)為圓心轉(zhuǎn)動(dòng)多大的角度．17、，【分析】首先根據(jù)與函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值求出二次函數(shù)解析式，然后即可得出一元二次方程的解.【詳解】將（0，-3）（-1，-4）（-3,0）代入二次函數(shù)，得解得∴二次函數(shù)解析式為∴方程為∴方程的解為，故答案為，.此題主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用，熟練掌握，即可解題.18、或．【分析】由可變形為，即比較拋物線與直線之間關(guān)系，而直線PQ：與直線AB：關(guān)于與y軸對(duì)稱，由此可知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，再觀察兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，∴，，∴拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)或時(shí)，直線在拋物線的下方，∴不等式的解集為或．故答案為或．本題考查了二次函數(shù)與不等式，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系找出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1），；（2）或.【分析】⑴將點(diǎn)A（1，m）B(2，1)代入y2得出k2，m；再將A,B坐標(biāo)代入y1中，求出即可；⑵直接根據(jù)函數(shù)圖像寫出答案即可.【詳解】解：點(diǎn)在雙曲線上，雙曲線的解析式為在雙曲線上，，直線過兩點(diǎn)，，解得，直線的解析式為.根據(jù)函數(shù)圖象可知，不等式的解集為或.此題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問題，已知一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)先求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.20、詳見解析【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)即可證明.【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠∠，∥，∴∠∠．∴△∽△本題主要考查相似三角形的判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.21、1．【分析】根據(jù)OA、OC的長(zhǎng)度結(jié)合矩形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出k值，設(shè)正方形ADEF的邊長(zhǎng)為a，由此即可表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵OA=1，OC=2，四邊形OABC是矩形，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），

∵反比例函數(shù)y=的圖象過點(diǎn)B，

∴k=1×2=2．

設(shè)正方形ADEF的邊長(zhǎng)為a（a＞0），

則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1+a，a），

∵反比例函數(shù)y=的圖象過點(diǎn)E，

∴a（1+a）=2，

解得：a=1或a=-3（舍去），

∴正方形ADEF的邊長(zhǎng)為1．本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、矩形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出關(guān)于a的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．22、（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OM，可證OM∥AC，得出∠CAM=∠AMO，由OA=OM可得∠OAM=∠AMO，從而可得出結(jié)果；（2）先求出∠MOP的度數(shù)，OB的長(zhǎng)度，則用弧長(zhǎng)公式可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）連接OM，∵PE為⊙O的切線，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM=∠AMO，∵OA=OM，∠OAM=∠AMO，∴∠CAM=∠OAM，即AM平分∠CAB；（2）∵∠APE=30°，∴∠MOP=∠OMP﹣∠APE=90°﹣30°=60°，∵AB=4，∴OB=2，∴的長(zhǎng)為．本題考查了圓的切線的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，平行線的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題．23、(1)見解析;(2)見解析.【分析】（1）先運(yùn)用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF=AE，再根據(jù)AE=AB=CD，即可得出CD=DF；（2）當(dāng)GB=GC時(shí)，點(diǎn)G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論，依據(jù)∠DAG=60°，即可得到旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．【詳解】（1）由旋轉(zhuǎn)可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝∠ABE，又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，∴∠EDA＝∠DEF，又∵DE＝ED，∴△AED≌△FDE（SAS），∴DF＝AE，又∵AE＝AB＝CD，∴CD＝DF；（2）如圖，當(dāng)GB＝GC時(shí)，點(diǎn)G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)G在AD右側(cè)時(shí)，取BC的中點(diǎn)H，連接GH交AD于M，∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四邊形ABHM是矩形，∴AM＝BH＝AD＝AG，∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA，∴△ADG是等邊三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋轉(zhuǎn)角α＝60°；②當(dāng)點(diǎn)G在AD左側(cè)時(shí)