課標(biāo)要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解任意角的三

角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.

【知識梳理】

1.角的概念的推廣

⑴定義:角可以看成一條射線繞著它的端直旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.

(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.

⑵分類1——————

按終邊位置不同分為象限角和軸線角.

(3)終邊相同的角:所有與角a終邊相同的角，連同角。在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合問例?二a%360。,依

Z}.

2.弧度制的定義利公式

⑴定義:長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad.

(2)公式

角a的弧度數(shù)公式|a|=；(弧長用/表示)

角度與弧度的換算1°=囁md;lrad=（岑）;

弧長公式弧長l=\a\r

扇形面積公式

3.任意角的三角函數(shù)

(1)定義

如圖，設(shè)。是一個任意角，它的終

前提

邊與單位圓交于點(diǎn)P(xyy)

正弦上叫做a的正弦函數(shù),記作sina,即sina=y

余弦工叫做a的余弦函數(shù),記作cosa,即cosa=x

定義

N叫做a的正切函數(shù)，記作tana,

X

正切

即tan1=加20)

三角正弦、余弦、正切都是以角為自變量、以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)

函數(shù)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù),將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)

(2)定義的推廣

設(shè)P(x,y)是角a終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn),它到原點(diǎn)的距離為那么sina=^;cosa=p

tan(犬WO).

［常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒］

1.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律:一全正，二正弦,三正切，四余弦.

2.象限角

3.軸線角

4.若角貝iJsina<a<tana.

【診斷自測】概念思考辨析+教材經(jīng)典改編

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“小'或"X")

(1)小于90。的角是銳角.()

⑵銳角是第一象限角，第一象限角也都是銳角.()

(3)角?的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān).()

(4)若。為第一象限角，則sina+cosa>\.()

答案⑴X(2)X(3)4(4)\

解析(1)銳角的取值范圍是(01).

(2)第一象限角不一定是銳角.

2.(蘇教必修一P170例2改編)已知。是第一象限角，那么？是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或二象限角D.第一或三象限角

答案D

解析易知2EvaJ+2E,k《Z,

2

故kCZ,

所以m是第一或第三象限角.

2

3.(人教A必修一P180T3改編)已知角0的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(12,5),則sin卅cos0=.

答案n

解析由=角函數(shù)的定義可得sin伊cos。=』+G*詈套

4.(北師大必修二P12B組T2)在半徑為R的圓中，120。的圓心角所對的弧長為,面積為2R?

的扇形的圓心角等于弧度.

答案爭4

解析由弧長公式可得公⑷R二手凡

由扇形面積公式得:S=|Q|R2=2R2,

.,,2R2

??l?l=T^7=4a-

考點(diǎn)一象限角及終邊相同的角

例1(1)(多選)下列命題正確的是()

A.終邊落在/軸的非負(fù)半軸的角的集合為｛a|a=2E,A￡Z｝

B.終邊落在)，軸上的角的集合為｛砒片90。+火兀,左￡2｝

C.第三象限角的集合為｛a|n+4+2/cf｝

D.在72()。~()。范圍內(nèi)所有與45。角終邊相同的角為675。和315°

答案AD

解析A項顯然正確；

B中，終邊落在)，軸上的角的集合為｛a|a=；+€Z),角度與弧度不能混用，故錯誤：

C中，第三象限角的集合為｛a|ir+2kn<a+WZ｝,故錯誤；

D中,所有與45。角終邊相同的角可表示為夕=45。+k360。,k《Z,

令720°W45°+k360°<0°(%￡Z),

解得三WA<外￡Z),

88

從而當(dāng)k=2時，H=675。;

訓(xùn)練1(1)集合+依r6z｝中的角所表示的范|制(陰影部分)是()

答案C

解析當(dāng)女取偶數(shù)時，比如A=0,此時衿故角的終邊在第一象限或)，軸正半軸；

當(dāng)A取奇數(shù)時，比如仁1,此時g

42

故角的終邊在第三象限或)，軸的負(fù)半軸.

綜上，角的終邊在第一象限或第三象限或)，軸上.

(2)終邊在直線產(chǎn)岳上,且在［2兀,2兀)內(nèi)的角a的集合為.

答案｛一'一2加

解析在坐標(biāo)系中畫出直線產(chǎn)、心,可以發(fā)現(xiàn)它與工軸的夾角為今在［0,2兀)內(nèi)，終邊在直線產(chǎn)值

上的角有m和%；

在［2兀,())內(nèi)滿足條件的角有，和|兀，

故滿足條件的角a構(gòu)成的集合為

(52n4)

考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用

例2已知一扇形的圓心角為出半徑為R,弧長為/(a>0).

(1)已知扇形的周長為10cm,面積是4cn?,求扇形的圓心角;

(2)若扇形的周長為20cm,當(dāng)扇形的圓心角a為多少弧度時，這個扇形的面積最大?

(2R+Ra=10,

解(I油題意得％,R2=4

R=4,

解得I：；’(舍去)，

a=-2.

故扇形的圓心角松

⑵由已知，得/+2R=20.

所以5=%?=/202犬次=1ORR2=(R5)2+25,

所以當(dāng)R=5cm時,5取得最大值25cm2,

此時/=10cm,a=2.

思維建模應(yīng)用弧度制解決問題時應(yīng)注意：

(I)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.

(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.

訓(xùn)練2(2025?沈陽調(diào)研)成都大運(yùn)會官方體育圖標(biāo)——“十八墨寶”以大熊貓“奇一”為原型，將

中國體育與中國書畫、中國國寶的融合做到了極致.如圖1所示,射箭的“水墨熊貓”以真實(shí)的射

箭運(yùn)動為原型，生動形象在如圖2所示的弓形中，弧中點(diǎn)到弦中點(diǎn)的距離為2cm,弦長為8cm,則

弓形的面積約為(參考數(shù)據(jù):sin74。巾.96,必314)()

A.8.2cm2B.9.1cm2

C.l1.1cm2D.4.1cm2

答案C

解析設(shè)弦A/?的中點(diǎn)為力，笛?的中點(diǎn)為C,圓弧所在圓的圓心為O,

連接AO,BO,CO,貝ijCD=2cm,AB=Scm,A￡)=4cm,

如圖,設(shè)圓的半徑為Rcm,

ZAOC=0,()°<^<90o,

在△AO。中，肥二伊2戶+42,

解得R=5,則sin族與cose三顯然sinGeos。，則45°<^<90°,90°<2^<180°,

所以sin2g2sinOcos^=—=0.96,

于是2依180。74。句.85rad,因此扇形A08的面積3^X1.85X52之23.1(cm2),

又△△08的面積S2=1X8X3=12(cnr),

所以弓形的面積為S1S2-11.1(cm2).

考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用

角度1三角函數(shù)的定義

例3⑴(2025?河南五市聯(lián)考)以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，犬軸非負(fù)半軸為始邊的角a,其終邊落在直線產(chǎn)x

上,則有()

A.sina=——B.cosBa=—

22

C.sina+cosa=±V2D.tanDa=±1

答案C

解析當(dāng)角a的終邊在第一象限時,在其終邊上任取一點(diǎn)P(〃,編,?>0,

貝I]i-y/2a,故sina=—,cosa=—,tan?=1,

22

sina+cosa=V2,

當(dāng)角a的終邊在第三象限時,在其終邊上任取一點(diǎn)P(a,a),</>0,

貝I]r=&a,故sin儀二唱cosa=^,tan?=1,

sina+cosa=y/2,故選C.

(2)已知角a的終邊過點(diǎn)P(8m,6sin30°),且cos則m的值為()

A.-B.B—

22

C.-D.—

22

答案C

解析由題意得點(diǎn)P(8m,3),r=V64m24-9,

所以cosa=.-8^=p

464m2+95

所以心0,解得/?2=1.

角度2三角函數(shù)值符號的判定

例4(2025?華東師大附中模擬)如果。是第三象限角，則()

A.sin2<9>0且tan2<9>0

B.sin->0且tan2仍>0

2

C.sin2^>0且tan-<0

2

D.sin->()且tan->()

22

答案C

解析因?yàn)?。是第三象限角?/p>

貝I]2E+兀<6k把+2攵兀，女WZ,

2

所以左兀+22<郊+E,%￡Z,

224

所以g是第二或第四象限角，

則sin'()或sin|<(),tan|<0,故排除B,D.

又4E+2兀<2/3兀+必兀,Z￡Z,

所以2〃的終邊在第一、第二象限或在)，軸的非負(fù)半軸上，

則sin2。>(),當(dāng)2。的終邊在y軸的非負(fù)半軸上時,tan2。無意義，故排除A.

思維建模1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用

⑴直接利用三角函數(shù)的定義,找到給定角的終邊上一個點(diǎn)的坐標(biāo),及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,確定這個

角的三角函數(shù)值.

(2)已知角的某一個三角函數(shù)值,可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程,求參數(shù)的值.

2.要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值

在各象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在象限，那就要進(jìn)行分類討論求解.

訓(xùn)練3(1)(多選)(2024.湖北部分學(xué)校聯(lián)考諾角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸的非負(fù)半軸且

sinasin^a+])>0,則?的終邊可能在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案AC

解析因?yàn)閟ina,sin(a+1)=sinacosa>0,

若sina>0,coscc>0,

則a的終邊在第一象限；

若sina<(),cosa<(),則a的終邊在第三象限.

(2)(2025?烏魯木齊模擬)已知角6(0<0<2兀)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,始邊為工軸的非負(fù)半粕，終邊上A

點(diǎn)坐標(biāo)為(si咤,cos已),則a=()

A.—B.-

126

C.-D.-

43

答案B

解析由題意A點(diǎn)坐標(biāo)為&q)，

因此儀是第一象限角，又0<6C<2T：,

_V3

所以0<?<p又tana=-y-=V3.

所以a=7.

3

一、單選題

1.下列與角F的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()

4

A.2履+45°(Z￡Z)B.k-360°+^ez)

4

C.k-360°315。伏￡Z)D.k兀+比(土￡Z)

4

答案C

解析與角空的終邊相同的角可以寫成2E+空(女￡Z)或。360。+45。(％￡2),

44

但是角度制與弧度制不能混用，排除A,B,易知D錯誤,C正確.

2.(2025?重慶診斷)已知點(diǎn)P(cos是角。終邊上一點(diǎn)，則sina=()

AA店

5

c.-D等

2

答案D

,?n2y[5

解析?COS-=■pf-,1Ysina=,\==■

32「七5

3.角a的終邊在直線產(chǎn)|x上,則cos?的值是()

Ag

A.—B.叵

1312

C工3mD.土也

-1313

答案D

解析當(dāng)角夕的終邊位于第一象限時,

取直線廣|文上位于第一象限的一個點(diǎn)的坐標(biāo),如(2,3),

225/13

McosFF,

同理,當(dāng)角a的終邊位于第三象限時,取直線上一個點(diǎn)的坐標(biāo)為Q,3),

貝IIcosk當(dāng)

13

4.若sin^-cos〃<0,上空>0,則角。是()

sin0

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案D

解析由嗎〉0,得心＞0,所以cosGO.

sin0cos0

又sin又os又0,所以sin又0,

所以。為第四象限角.

5.若角a的終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)，則角a的取值范圍是（）

B得高

21r7nD.12kli+與,2kn+錚Z)

答案D

解析陰影部分的兩條邊界分別是學(xué),?角的終邊，

所以a的取值范圍是［2而+詈,2面+錚止Z）.

6.《九章算術(shù)》是我國占代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，卷一《方田》中有如下兩個問題:

［三三］今有宛田，下周三十步,徑十六步.問為田幾何？

［三四］又有宛田，下周九十九步，徑五十一步.問為田幾何？

翻譯為:［三三］現(xiàn)有扇形田，弧長30步,直徑長16步.問這塊田面積是多少？

［三四］又有一扇形田，弧長99步直徑長51步.問這塊田面積是多少？

則下列說法正確的是（）

A.問題［三三］中扇形的面積為240平方步

氏問題［三四］中扇形的面積為等平方步

C.問題［三三］中扇形的面積為60平方步

D.問題［三四］中扇形的面積為詈平方步

答案B

解析依題意，問［三三］中扇形的面積為?,="30＞＜手120［平方步）,

問題［三四］中扇形的面積為gr=：X99X^-當(dāng)竺（平方步）.

2224

7.（2024.西安二模）扇面是中國書畫作品的一種重要表現(xiàn)形式（如圖1）,圖2為其結(jié)構(gòu)簡化圖.設(shè)扇面

A,B間的圓弧長為/,A,B間的弦長為d,圓弧所對的圓心角為0,則/,〃和〃所滿足的關(guān)系為（）

.e

2sin-rfsin5d

A=-^TB=B

eiT7

§e

2cos-dcos-a

C.=-一^-D=D-——

eGI

答案A

解析如圖，連接A8,取AB的中點(diǎn)為。，連接。Q,

由題意可得AO’d,ZDOA=~,OD±ABt

22

n-d

設(shè)。AM在Rd。。中,sinf『①

又/=rft②

i._.e

所以由①②可得［三，即鬻與

usin-y1

8.（2025?杭州調(diào)研汝I圖,A,8是在單位圓上運(yùn)動的兩個質(zhì)點(diǎn).初始時刻,質(zhì)點(diǎn)A在（1,0）婦質(zhì)點(diǎn)8在

第一象限,且質(zhì)點(diǎn)A以”ad/s的角速度按順時針方向運(yùn)動,質(zhì)點(diǎn)B同時以巳rad/s的角速

度按逆時針方向運(yùn)動，則（）

A.經(jīng)這1s后，扇形403的面積為瑞

.L4

氏經(jīng)過2s后，劣弧腦的長為與

C.經(jīng)過6s后，質(zhì)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（一日1）

D.經(jīng)過2s后，質(zhì)點(diǎn)在單位圓上第一次相遇

答案B

解析對于A,由題意可知，經(jīng)過1s后,

6\6/1212

所以此時扇形AOB的面積為

如與X得X12噌,A錯誤；

對于B,經(jīng)過2s后，

ZA0B=-2X(--)+2X—,

6V67123

所以此時劣弧麻的長為?r=y,B正確；

對于C,經(jīng)過6s后,質(zhì)點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的角度為6X^=1，

結(jié)合題意,此時質(zhì)點(diǎn)B為角汨號的終邊與單位圓的交點(diǎn),所以質(zhì)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(一表?),C錯誤:

對于D,設(shè)A,B第一次相遇時所用的時間是f,

仁+分什42兀,解得仁彳⑸,即經(jīng)過彳s后,質(zhì)點(diǎn)A,B在單位圓上第一次相遇,D錯誤.

\612/633

二、多選題

9.已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)(2,百)，且。與。的終邊關(guān)于x軸對稱,則()

B.a為鈍角

C.cosa=—

7

D.點(diǎn)(tan0,tana)在第四象限

答案ACD

解析因?yàn)榻窍Φ慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(2,6),

所以sin族坐二叵，故A正確：

777

因?yàn)椤ㄅc。的終邊關(guān)于X軸對稱，

所以a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(2,V3),

則a為第二象限角，但不一定為鈍角,

且cos故B錯誤,C正確；

V77

因?yàn)閠an。=號>0,tana=^<0,

所以點(diǎn)（tanB,tana）在第四象限,D正確.

10.已知點(diǎn)尸（sinxcosx,3）在第三象限，則x可能位于的區(qū)間是（）

A華書B.（一若）

狎）

答案AD

解析由點(diǎn)P（sinxcos1,3）在第三象限，

可得sinxcosx<0,即sinx<cosx,

所以任+2E<x<?+2E,%￡Z.

44

當(dāng)D時,工所在的一個區(qū)間是（-耳

當(dāng)k=l時,x所在的一個區(qū)間是管,當(dāng)）.

11.（2025?北京昌平區(qū)質(zhì)檢）已知角。是第二象限角，則下列不等式一定成立的是（