§7.6空間向量的概念與運算

【課標(biāo)要求】1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐

標(biāo)表示2掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量

積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面

位置關(guān)系的一些簡單定理.

1.空間向量的有關(guān)概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有______和—_____的量

相等向量方向—_____且模______的向量

相反向量長度_一而方向______的向量

共線向量

表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相或的向量

(或平行向量)

共面向量平行于.—的向量

2.空間向量的有關(guān)定理

(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量以力#0),?！Φ某湟獥l件是存在實數(shù)九

使.

(2)共面向量定理：如果兩個向量”，力不共線，那么向量p與向量。，力共面的充要條件是存在

的有序?qū)崝?shù)對(x,)，)，使〃=.

(3)空間向量基本定理

如果三個向量”，力，c不共面，那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(工，y,z),使得p

=b,c)叫做空間的一個基底.

3.空間向量的數(shù)量積及運算律

(1)數(shù)量積

非零向量。，力的數(shù)量積

ab=.

(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)。二(々1，。2，。3),b=(b],/?2?。3).

\向量表示坐標(biāo)表示

數(shù)

量ab

積

共a=Xb

線(bWO,2WR)

垂ab=O

直(a#0,8WO)

模M

夾角

cos(a,b)=——

\a\\b\cos〈a,b}=

余弦

(aWO,bWO)—

值

4.空間位置關(guān)系的向量表示

(1)直線的方向向量：如果表示非零向量。的有向線段所在的直線與直線/平行或重合，那么稱此向量a

為直線/的方向向量.

(2)平面的法向量：直線/J_a,取直線/的方向向量a,則稱向量。為平面。的法向量.

⑶空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

八〃/2Jl\//==i〃2(4WR)

直線/|，6的方向向量分別為〃1，〃2

Zl±/2J_〃2=〃「〃2=()

///a〃-L/7?=〃?〃？=()

直線/的方向向里:為〃，平面a的法向里:為機(jī)，IQa

/.LaIl//=Ain(A0R)

a//pn//=zm(zWR)

平面a,6的法向量分別為〃，加

a_L^〃?=0

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“Y”或“X”)

(1)空間中任意兩個非零向量。，。共面.()

(2)空間中模相等的兩個向量方向相同或相反.()

(3)若A,B,C,。是空間中任意四點，則有通+點+而+石5=0.()

(4)若直線。的方向向量和平面a的法向量平行，則?！╝.()

2.如圖，在平行六面體ABC。-ASG。1中，AC與BD的交點為點M,設(shè)近=a,AD=b,AA^=c,則下

列向量中與的相等的向量是()

A.—|a+|/>+cB.aB.|n+|/>+c

C.—^a—^b—cD.—^a—^b+c

3.若平面a外的直線/的方向向量為a=(l,0,-2),平面。的怯向量為m=(8,—1,4),則()

A./±aB.l//a

C.a//mD./與a斜交

4.已知空間向量。二(九1,2),b=Q,z+1,A),巖a"b,則實數(shù)%=.

1.牢記空間中三點共線、四點共面的充要條件

(1)在平面中A,B,。三點共線的充要條件是：而+)沅(其中x+y=l),O為平面內(nèi)任意一點.

(2)在空間中P,A,B,C四點共面的充要條件是：而=入萬?+、而+z沈(其中x+y+z=l),O為空間任意一

點.

2.解題時防范以下幾個易誤點

(1)向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即。?力="。，a,S+c)=a/+a-c成立，但不滿足結(jié)合律，即(。力)?c=

不一定成立.

⑵由于0與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，故0不能作為基向量.

(3)直線的方向向量和平面的法向量均不為零向量且不唯一.

題型一空間向量的線性運算

例1(1)設(shè)x,y是實數(shù)，已知三點A(l,5,-2),8(2,4,1),C(x,3,尹2)在同一條直線上，那么

x+y筆于()

A.2B.3C.4D.5

(2)在三棱柱48C—4SG中，￡是8c的中點，AG=2GE,則何等于()

A.Z麗一?科訊

331

1?■???2......?..........,

B.-AB+-AC+AA1

C--AB+-AC+AA^

331

對空間任一點0,0P=x0A+(\-x)0B對空間任一點0,OP=xOM+y^OA+(\~x~yyOB

跟蹤訓(xùn)練2(1)0為空間任意一點，若麗=一；瓦5+］赤+近，若A,B,C,。四點共面，則實數(shù)/等

于()

911

A.lB.-C.-D.-

884

(2)已知空間向量。=(1,2,0),b=(0,-I,I),c=(2,3,m)f若a,b,c共面，則實數(shù)〃?等于

()

A.lB.2C.3D.4

題型三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用

例3(1)(多選)已知空間中A(0,1,0),BQ,2,0),C(-l,3,1)三點，貝lj()

為直角三角形

B.與向量而方向相同的單位向量是(當(dāng)，-9，0)

C.而與前夾角的余弦值是一答

D.平面A8C的一個法向量是(1,-2,5)

(2)如四，平行六面體A8C。-48CQ的各條棱長均為1，N8A4=ND44=60。，ZBAD=90°f則

線段AG的長度為.

思維升華空間向量的數(shù)量積運算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計算；二是利

用坐標(biāo)運算.

跟蹤訓(xùn)練3(2024?滄州模擬)《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在第五卷《商

功》中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱.已知在塹堵A8C—48G

中，ABA.AC,AB=2,AC=AA1=3,屁=西，#=2兩，則荏?前=,EF

題型四向量法證明平行、垂直

例4如圖，已知A4_L平面A8C,B8i〃AAi，AB=AC=3,BC=2瓜AAi=y/7,BB\=2近,點、E

和產(chǎn)分別為8c和AC的中點.求證:

%

(1)石尸〃平面4884

(2)平面4E*_L平面BCBi.

思維升華(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫

出相關(guān)點的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及直線、平面的要素).

(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理.

跟蹤訓(xùn)練4(2025?長沙統(tǒng)考)如圖，在四楂錐。一48c。中，底面48co是正方形，側(cè)棱尸。_1_底面

ABCD,PD=DC,E是PC的中點，作EF工PB交PB于點F.

(I)求證：PA〃平面EDB；

(2)求證：平面P8C_L平面EFD.

答案精析

落實主干知識

1.大小方向相同相等相等相反平行重合同一個平面2.(1)〃=勸(2)唯一xa+yb

(3)xa+yb+zc

3.(l)|n||^|cos〈mb)

(2)〃［6］+42岳+。3b30=26］,。2=比2，43=263。力］+々262+4363=0

yjaj+a1+aj。1力+。2以+。3。3

Ja"叱+嗎、fl)"防+后

自主診斷

I.⑴、⑵X⑶Y(4)X

2.C［的=京+麗=宿4(而+醐=不混萬兆瓦5=—。―仁］

3.B［根據(jù)題意，直線/的方向向量為。=(1,0,—2),

平面a的法向量為6=(8,-1,4),易得em=lX8-2X4=0,

又直線/在平面a外,則有/〃a］

4.-2

解析由a//b,可設(shè)力=M〃WR),

則(2,2+1,2)=皿,",2"),

(2"(_1

所以h+l=〃,=『一T

IIA=—2.

U=2〃

探究核心題型

例I(l)D［由已知可得四=(l,一I,3),AC=(x-\,-2,y+4).

因為A,8,C三點共線，所以而與前共線，所以二；=三=二，

X-1-2y+4

解得i=3,y=2,所以x+y=5.］

⑵C［因為同=2萬，所以理=:荏，

B

所以南=GE+EC+CC^

1????1―??一?'一.I

=-AE+-BC+AA

321

=1X^(AB+AC)

+^-(AC-AB)+AA^

2

=1元一;而+國.]

跟蹤訓(xùn)練1A[由題意得

DE=DC+CA+AE

=AB~AC+AP+PE

=AB~AC+AP+-PC

3

=AB-AC+AP+^(AC-AP)

=AB--AC-^AP,

33

又因為屁=.隹§+)，而+Z而，

所以工=1,y=~\,2=1,

JJ

所以")葉2=1.]

例2D[對于A,若方=0,則滿足。與力共線，力與C共線，但是。與C不一定共線，故A錯誤；

對于B,a+2b=^(a+b)—\a-b),則a+2b,a+b,a-b共面，不能構(gòu)成基底，故B錯誤；

對于C,對于面=：方loB+^OC,由于:,故A,3,C,G四點不共面，故C錯誤；

對于D,p在單位正交基底｛a,b,c｝下的坐標(biāo)為(1,2,3),即p=a+2b+3c,設(shè)p在基底｛a-b,a+b,c｝

下的坐標(biāo)為(x,y,z),貝ij滿足p=%(a—ZO+〉'(a+b)+zc=(x+y)a+(y—x)~+zc=a+2b+3c,

卜+y=l,(x=

故卜-無=2,解得卜=|,

1=3,1z=3,

則p在基底｛“一力，。+力，c)下的坐標(biāo)為(—T，I，3),故D正確.]

跟蹤訓(xùn)練2(l)C[因為點=而一次(，

所以而=一2萬?+工赤+/沆可化為

48

0P-0A=--OA+^+tOC,

48

BP/9P=-0A+-0R+f0C,

48

由于A,8,C,P四點共面，

則％?二]，

4o

解得;=i]

(2)A[因為a=(l,2,0),

b=(0,-1,1)不共線,a,b,。共面，

所以存在唯一有序?qū)崝?shù)對。,y),

使c=xa+yb,

所以Q,3,〃?)=x(l,2,0)+y(0,—I,l)=(x,2x-y,y),

(x=2,(x=2,

所以卜x-y=3,解得卜=1,]

\y=m,\m=l.

例3(l)ACD[因為A(0,l,0),

5(2,2,0),C(-I,3,I),

所以超=(2,1,0),

ZC=(-1,2,1),

AB-AC=~2+2+0=0,

所以4AJ_4C,故A正確；

因為|同|=V22+12=V5,

所以與向量而方向相同的單位向量是需=(千，9，0),

故B錯誤；

又近=(-3,I,1),所以而與而夾角的余弦值是需簫=奔島=一富，故C正確；

不妨令〃=(1,一2,5),貝IJ〃?而=lX2+(-2)Xl+5X0=0,

w^C=lX(-l)+(-2)X2+5X1=0,

即荏_L〃且，

所以“=(1,-2,5)是平面A8C的一個法向量，故D正確.]

⑵百

解析?。?，AD,標(biāo)｝為一個基底，ABAD=O,AB-AAi=^,而?麗*=]

溫1=J須+而+甌/=版2+而2+謂+2(AS-AD+AD-AA^+AA^-AB)

=遮

跟蹤訓(xùn)練31|

解析以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為)軸，A4所在直線為z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，

如圖，

\'AB=2,AC=AA{=3,

BE=EA[,而=2西，

，A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,3,0),

A.(0,0,3),E(L0,I),F(0,1,2),

：,AE=(1,0,I),

而=L2,1,2),

：.AE^BF=IX(-2)+0X1+|X2=\.EF=(-1,1,,

.?.|EF|=Jl+l+j=1

例4證明因為4B=AC,

E為BC的中點，

所以4E_L8c.

因為AA_L平面ABC,AA}//BBi,

所以過E作平行于8囪的垂線為z軸，EC,E4所在直線分別為x軸、)，軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因為A8=3,BE=V5,

所以4E=2,

所以E(0,0,0),

C(V5,0.0),

4(0,2,0),B(-V5,0,0),A.(G,2,迎)，貝U/(當(dāng)，1,，).

(1舒=俘，1,,

^4F=(—V5,—2,0),

旃*=(0,0,夕).設(shè)平面/UiSB的一個法向量為n=