專題1.8二次函數(shù)

目錄

一.知識(shí)梳理與題型分類精析

知識(shí)點(diǎn)（一）二次函數(shù)定義

【題型1】二次函數(shù)定義

知識(shí)點(diǎn)（二）二次函數(shù)歹=亦“。。0）的圖象與性質(zhì)

【題型2】二次函數(shù)y=?25/0）的圖象與性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)（三）二次函數(shù)y=a（x-加2伍，0）的圖象與性質(zhì)

【題型3】二次函數(shù)y=相產(chǎn)他工0）的圖象與性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)（四）二次函數(shù)y=-加）2+%（。/0）的圖象與性質(zhì)

【題型4】二次函數(shù)尸Mx-心+0）的圖象與性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)（五）二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)卜="2+云+。（"0）的圖象與性質(zhì)

【題型5】二次函數(shù)y=ax2+bx+c（"0）的圖象與性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)（六）二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)曠=G2+隊(duì)+0（"0）與系數(shù)關(guān)系

【題型6】拋物線2Mse（"0）的圖象位置判斷式子符號(hào)

知識(shí)點(diǎn)（七）二次函數(shù)的應(yīng)用

【題型7】二次函數(shù)的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)（八）二次函數(shù)與幾何綜合問題

【題型8】二次函數(shù)的幾何綜合

二.同步練習(xí)

【基礎(chǔ)鞏固（20題）】

【能力提升（22題）】

【中考真題16題】

一.知識(shí)梳理與題型分類精析

知識(shí)點(diǎn)（一）二次函數(shù)定義

形如y="2+bx+c（其中。，b,C是常數(shù)，4*0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，稱。為二次函

數(shù)系數(shù)，匕一次函數(shù)系數(shù)，C是常數(shù)項(xiàng).自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù).

試卷第1頁，共25頁

【題型1】二次函數(shù)定義

【例題1］（2024?廣東廣M?一模）

.....（4〃？+41m+2

I.己知＜=〃?+-----卜一—.

Im）m~

（1）化簡4：

⑵若點(diǎn)（嘰0）是拋物線歹=/+2工_3上的一點(diǎn)，求A的道.

【變式1】（24-25九年級上?浙江寧波?期中）

2.下列函數(shù)屬于二次函數(shù)的是（）

7

A.y=2x+\B.y=2x3+1C.y=x2+2D.y=—2

x

【變式2］（2024九年級下?浙江舟山?學(xué)業(yè)考試）

3.如圖，正三角形力8c的邊長為1,。是/C邊上的一點(diǎn)，過。作8c邊的垂線，交BC于

G,用x表示線段8G的長度,顯然線段Rt^CGO的面積N是線段長度x的函數(shù),這個(gè)函數(shù)

的表達(dá)式是.

知識(shí)點(diǎn)（二）二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二次函數(shù)y=（。/0）的圖象是拋物線，它關(guān)于V軸對稱，頂點(diǎn)是原點(diǎn).當(dāng)。＞0時(shí)，頂

點(diǎn)的開口向上，頂點(diǎn)是拋物線上的最低點(diǎn)；當(dāng)。＜0時(shí)，拋物線的開口向下，頂點(diǎn)是拋物上

的最高點(diǎn).

【題型2】二次函數(shù)），=。/伍=0）的圖象與性質(zhì)

【例題2】（24-25九年級上?浙江紹興?階段練習(xí)）

4.根據(jù)下列條件求。的取值范圍：

（1）函數(shù)》=（4-2）/,當(dāng)i＞（）時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＜o(jì)時(shí)，y隨x的增大而增大：

（2）函數(shù)》=（3。-2卜2有最大值；

（3）函數(shù)^=4/'。的圖象是開口向上的拋物線.

【變式1］（24-25九年級上?浙江寧波?期中）

試卷第2頁，共25頁

5.下列函數(shù)中，y=2x,y=-3x+4,，y=5x2（x>0）,j^=--（x<0）,y隨x增大而增大

的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式2】（2025,上海閔行一模）

6.如圖，在等腰直角三角形48c中，4c8=90。，點(diǎn)力、4在拋物線y=/上，點(diǎn)C在歹

軸上，月、4兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和8S>1）,b的值為—.

知識(shí)點(diǎn)（三）二次函數(shù)^=。（工-加）2伍工0）的圖象與性質(zhì)

二次函數(shù)y=（a。。）的圖象可由函數(shù)y=4/（。h0）的圖象向右（當(dāng)〃?<（））或

向左（當(dāng)/〃>（））平移帆個(gè)單位得到.簡稱“左加右減”.

【題型3】二次函數(shù)y=a（x-m）2（a^0）的圖象與性質(zhì)

【例題3】（2324九年級上?陜西延安?期末）

7.已知拋物線y=-a-/?）?,當(dāng)自變量x的值滿足3Kx￡7時(shí)，與其對應(yīng)的函數(shù)的最大值是

-1?求/?的值.

【變式1】（24-25九年級上?青海西寧?階段練習(xí)）

8.已知二次函數(shù)y=3（x-〃f的圖象匕當(dāng)x>2時(shí)，歹隨x的增大而增大，則。的取值范圍

是（）

A.a<2B.a<2C.a>2D.a>-2

【變式2］（2025?廣東肇慶?二模）

9.若點(diǎn)/（-3,必），8（-26）,。（2,丹）在二次函數(shù)）,=。*+1）2伍>0）的圖象上，則乂,

必，月的大小關(guān)系是.

知識(shí)點(diǎn)（四）二次函數(shù)歹=4（工-〃7）2+〃3。0）的圖象與性質(zhì)

試卷第3頁，共25頁

二次函數(shù)y=a（x-〃】）2+k（。=0）的圖象可由函數(shù)夕=%/（。。0）的圖象先向右（當(dāng)

m>0）或向左（當(dāng)〃7<0）平移同個(gè)單位，再向上（當(dāng)。0）或向下（當(dāng)4<0）平移網(wǎng)個(gè)

單位得到.簡稱“左加右減，上加下減頂點(diǎn)是（〃?，k）,對稱軸是直線x=

【題型4】二次函數(shù)y=Hx-〃?）2+Z（aH0）的圖象與性質(zhì)

【例題4】（23-24九年級上?安徽合肥?階段練習(xí)）

10.如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線》=；x+l分別交x軸、N軸于點(diǎn)力，8,形狀相同的拋

物線?！埃憾?--+灰+《〃=1,2,3,4……）的頂點(diǎn)在直線上，其對稱軸與工軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

（1）拋物線G的頂點(diǎn)坐標(biāo)是;

2

（2）求拋物線C2:y=-x+bx+c^b,c的值.

【變式1］（2025?廣東東莞?二模）

11.如圖，點(diǎn)/是拋物線y=a（x-3『+攵與歹軸的交點(diǎn)，48〃x軸交拋物線另一點(diǎn)于4,

A.弓B.72C.；D.1

【變式2】（24-25九年級下?山東濟(jì)南?階段練習(xí)）

12.對于一個(gè)二次函數(shù)y=a（x-〃"+A（〃、〃?、&是常數(shù)）中存在一點(diǎn)%（今,盟），使得

試卷第4頁，共25頁

2

/一〃7=No—kw0,則稱2|X0-,H|為該拋物線的“開口大小”,那么拋物線y=-x-6x-7的“開

口大小”為.

知識(shí)點(diǎn)（五）二次函數(shù)（"0）的圖象與性質(zhì)

二次函數(shù)），=〃/+及+￡（。工0）的圖象是一條拋物線，它的對稱軸是直線工=-g,頂點(diǎn)

2a

坐標(biāo)是（-2,金Q）.當(dāng)。>0時(shí)，拋物線的開口向上，頂點(diǎn)是拋物線上的最低點(diǎn)；當(dāng)

2a4ac

〃<0時(shí)，拋物線的開口向下，頂點(diǎn)是拋物上的最高點(diǎn).

對于二次函數(shù)歹=爾+隊(duì)+c（。/0）,若。>0,則當(dāng)20時(shí)，y隨X的增大而增大，當(dāng)XK0

b一h~

時(shí)，y隨工的增大而減小，當(dāng)》=-「時(shí)，y及小值=-------:若〃<0,則當(dāng)xwo時(shí)，）隨X

2a4。

的增大而增大，當(dāng)壯0時(shí)，V隨X的增大而減小，當(dāng)時(shí)b，加大偵二空4w一—力-2；

2。4a

【題型5】二次函數(shù)”"（"0）的圖象與性質(zhì)

【例題5]（24-25九年級上?江蘇徐州?階段練習(xí)）

13.已知二次函數(shù)-W-i.+m+l.

（1）求證：不論加取何值，該函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）若該函數(shù)圖象的對稱軸是更線x=l,將該函數(shù)的圖象向下平移1個(gè)單位長度后新的函數(shù)

解析式是：.

【變式1】（24-25九年級上?湖南長沙?階段練習(xí)）

14.關(guān)于二次函數(shù)），=---2、+3的圖象，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.對稱軸是直線x=-l

B.當(dāng)x>-1時(shí)，V隨x的增大而減小

C.圖象與x軸沒有交點(diǎn)

D.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（7,4）

【變式2】（24-25九年級上?廣東廣州?階段練習(xí)）

15.若力（-5,必），4（1,8），C（2,為）為二次函數(shù)/=爐+2》+”的圖象上的三點(diǎn),則重，

必，月的大小關(guān)系（用“v”連接）.

知識(shí)點(diǎn)（六）二次函數(shù)戶"+6x+c（"0）與系數(shù)關(guān)系

試卷第5頁，共25頁

（1）開口方向：。>0時(shí)，開口向上，。<。時(shí)，開口向下；

（2）對稱軸位置：。、力同號(hào)，對稱軸在y軸左側(cè)，。、方異號(hào)，對稱軸在歹軸右側(cè)；

（3）拋物線與y軸相交位置：c>0時(shí)，拋物線交y軸正半軸相交，c<0時(shí)，拋物線交y軸

負(fù)半軸相交，。=0時(shí)，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；

（4）當(dāng)△=6-4雙>0時(shí)，拋物線與X有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△=6-4ac=0時(shí)，拋物線與工有一

個(gè)交點(diǎn)；△=Z）-4℃<0拋物線與x有沒有交點(diǎn).

【題型6】拋物線y=ax2+bx+c（。工0）的圖象位置判斷式子符號(hào)

【例題6】（24-25九年級上?山東東營?階段練習(xí)）

16.二次函數(shù)J=a/+6x+c（a￥0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①〃兒>0；②2a+5=O：

③當(dāng)〃7。1時(shí)，a+b>am2+bm;④”6+c<0；⑤若ax：+如=aq?+如，且工產(chǎn)七，則

A.①②③B.②③④C.②④⑤D.②③④⑤

【變式1］（24-25九年級上?湖南岳陽?階段練習(xí)）

17.二次函數(shù)y=ax?+bx+c（a#0）的圖象如圖，給出下列四個(gè)結(jié)論：（T）4ac-b2<0；②4a+c

<2b；③3b+2cV0：（4）m（am+b）+b<a（n#?1）,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【變式2］（24-25九年級上?山東棗莊?階段練習(xí)）

18.已知二次函數(shù)卜=加+版+c（"（））的圖象如圖所示，有下列6個(gè)結(jié)論：（1）^c<0：

試卷第6頁，共25頁

(2)a-b+C>0；(3)4〃+2〃+c>0；(4)a-^b<m(am+b)(加工1的實(shí)數(shù))：(5)

2a+b=0；(6)2c*<36其中正確結(jié)論的有個(gè).

知識(shí)點(diǎn)（七）二次函數(shù)的應(yīng)用

【題型7】二次函數(shù)的應(yīng)用

【例題7】（24-25九年級上?湖北武漢?階段練習(xí)）

19.某商場購入一批進(jìn)價(jià)為50元/個(gè)的肓盒進(jìn)行銷售,售價(jià)為60元/個(gè)，每個(gè)月可賣出230

個(gè)，如果每個(gè)盲盒的售價(jià)上漲1元，則每月少賣10個(gè)（每個(gè)盲盒的售價(jià)不能高于75元），

設(shè)每個(gè)盲盒的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤為p元，

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出x的取值范圍；

（2）每個(gè)盲盒的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

（3）若商場決定每銷售一個(gè)盲盒就向慈善機(jī)構(gòu)捐贈(zèng)〃元，捐贈(zèng)后，為確保盲盒每月銷售獲得

的最大利潤為2250元，請直接寫出a的值.

【變式1］（2025?河北唐山?二模）

20.“路亞”是一種釣魚方法，用這種方法釣魚時(shí)先把魚餌通過魚線收到魚竿末端，然后用力

將魚餌甩向遠(yuǎn)處.如圖，人站在離水面高度A=1.5m的位置。力，當(dāng)魚餌被拋出后，魚竿所

在的位置力C為直線y=-力，此時(shí)魚線形成的圖象近似的看成拋物線卜二以"/,若

試卷第7頁，共25頁

【變式2】（24-25九年級下?天津北辰?階段練習(xí)）

21.某水利工程公司開挖的池塘，截面呈拋物線形，蓄水之后在圖中建立平面直角坐標(biāo)系,

并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：m）,某學(xué)習(xí)小組探究之后得出如下結(jié)論，

①水面寬度為30m

②拋物線的解析式為尸_5

③最大水深為3.2m

④若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最大水深減少為原來的;

其中iF確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

知識(shí)點(diǎn)（八）二次函數(shù)與幾何綜合問題

【題型8】二次函數(shù)的幾何綜合

【例題8]（24-25九年級上?廣西欽州?階段練習(xí)

22.如圖，直線y=x-4與x軸交于點(diǎn)與V軸交于點(diǎn)6,拋物線y=a——x+c經(jīng)過8,

（I）求拋物線的解析式；

（2）E是宜線4c下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接BE,CE,當(dāng)△8EC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)E的

坐標(biāo)；

（3）。是拋物線對稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得以P,Q,B,C為頂點(diǎn)的

四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)。的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

【變式1）（2025?遼寧阜新?二模）

試卷第8頁，共25頁

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線尸=-/+?+2交V軸于點(diǎn)A,過A

作軸，交拋物線于點(diǎn)8,點(diǎn)。為48上方拋物線上一點(diǎn)，連接左，作尸。工力8于點(diǎn)

Q.若44。。=45。，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

【變式2］（24-25九年級上?安徽安慶?階段練習(xí)）

24.拋物線夕=-./+法+。交x軸于點(diǎn)力（-1,0）,8（3,0）,交V軸于點(diǎn)C,點(diǎn)￡為拋物線對

稱軸/與x軸的交點(diǎn).若點(diǎn)匕為第一象限內(nèi)對稱釉/右側(cè)拋物線上一點(diǎn),則,CE面積的最大

值為（）

2525

A.3B.5C.—D.—

48

二.同步練習(xí)

【基礎(chǔ)鞏固（20題）】

一、單選題

（2025?四川綿陽一模）

25.關(guān)于拋物線y=-（x+2）2+3,下列說法中正確的是（）.

A.開口向上B.對稱軸是直線x=2

C.與x軸無交點(diǎn)D.函數(shù)的最大值是3

（2025?上海?模擬預(yù)測）

26.拋物線少（〃壬0）一定不經(jīng)過第一、一象限.那么下列說法正確的是（）

A.。＞0且cVOB.aVO且c?0

C.。＞0且cKOD.QVO且cNO

（2025?安徽阜陽?二模）

27.已知拋物線歹=--2》-2,當(dāng)04x43時(shí)，函數(shù)的最大值為（）

A.1B.-2C.-3D.2

試卷第9頁，共25頁

（24-25八年級下?黑龍江綏化?期末）

28.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ad+b與yuQx+MRjwo）的圖象大致是（）

C.

（2025?內(nèi)蒙古赤峰?模擬預(yù)測）

29.將拋物線y=/-2x+3向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所得拋物線的解析

式為（）.

A.y=(x+l)'+3B.y=(.v+I)2+4C.y=(x-3)'+3D.歹=(x-2)"+4

（2025九年級上?全國?專題練習(xí)）

30.一次函數(shù)乂=〃猶+〃（如工0）與二次函數(shù)8=爾+加+，（"。）的圖象如圖所示，則不等

)

C.-4<x<3D.x>3或xv-4

2

31.如圖，在直線/：y=x-4上方的雙曲線》=一。＞0）上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)P作X軸的

x

垂線，交直線/于點(diǎn)。，連接OP,。。，則△POQ面積的最大值是（）

試卷第10頁，共25頁

C.3D.4

（24-25九年級上?全國?期中）

32.如圖所示的是二次函數(shù)j，=ad+bx+c圖象的一部分，其對稱軸是直線x=-l,且過點(diǎn)

（一3,0）,下列說法：①欣<0；②2〃-/?=0：③4a+26+c<0；④若（-5,凹）,（3,月）是拋

物線上的兩點(diǎn)，則乂<%.其中說法正確的是（）

A.①②B.②③C.①②④D.②③④

二、填空題

（2125九仟級上?吉林長春?階段練習(xí)）

33.已知點(diǎn)4（7,3）,8（3,3）,若拋物線y與線段池只有一個(gè)公共點(diǎn)，則。的取值范圍

是.

（24-25九年級上?河南潦河?階段練習(xí)）

34.已知二次函數(shù)y=2（x+lf-5,當(dāng)T<x<l時(shí)，>的取值范圍是.

（24-25八年級下?湖南長沙?期末）

35.飛機(jī)著陸時(shí)速度快，通常借助直道滑行一段距離來保持飛機(jī)穩(wěn)定.據(jù)統(tǒng)計(jì)某飛機(jī)著陸后

滑行的距離s（單位：m）與滑行的時(shí)間，（單位：s）的函數(shù)解析式是s=80/-2『，那么飛

機(jī)著陸后滑行s才能停下來.

（2025九年級上?全國?專題練習(xí)）

36.如圖，二次函數(shù)y=（x-l）（x-〃）（"為常數(shù)）的圖象的對稱軸為直線x=2.

試卷第II頁，共25頁

（1）。的值為.

（2）向下平移該二次函裝的圖象，使其經(jīng)過原點(diǎn)，則平移后圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)的解析

式為.

（2025?江蘇無錫?模擬預(yù)測）

37.如圖，二次函數(shù)y=區(qū)與一次函數(shù)y=的圖象交于點(diǎn)力（_2,2）和原點(diǎn)。，則關(guān)于

x的不等式ad+bx>-x的解集是.

（24-25八年級下?福建福州?期末）

38.已知關(guān)于x的一元二次方程d+尿+。=0的一個(gè)根是x=3,且二次函數(shù)y=ad+/>x+c

的對稱軸是直線x=l,則此方程ax?+bx+c=0的另一個(gè)根為.

（2025?遼寧?模擬預(yù)測）

39.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a，-2aY（a>0）,點(diǎn)力為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)6

是y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)力關(guān)于點(diǎn)4的對稱點(diǎn)。恰好落在拋物線上，過點(diǎn)。作x軸的平行

線交拋物線于另一點(diǎn)。，則8的長為.

（24-25九年級下?浙江衢州?自主招生）

試卷第12頁，共25頁

40.如圖，44是拋物線歹=/上兩點(diǎn)，點(diǎn)尸為力B的中點(diǎn)，過戶作x軸的垂線，交拋物線

于點(diǎn)。，尸。=3.設(shè)48兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為4與(4>*).則與―X的值為

(24-25九年級上?陜西西安?期中)

41.已知二次函數(shù)y=-(x-2)2-4.

(1)求它的圖象的開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)工取什么范圍時(shí)，V隨工的增大而增大？

(2025?浙江?模擬預(yù)測)

42.為了響應(yīng)環(huán)保號(hào)召，某工廠開展節(jié)能減排行動(dòng).已知工廠每月的利潤N(萬元)與每月

減少的碳排放量x(噸)之間存在一定的函數(shù)關(guān)系.當(dāng)每月減少的碳排放量為0噸時(shí)，工廠

利潤為5()萬元；之后每減少1噸碳排放量，工廠的生產(chǎn)成本會(huì)降低一部分，利潤隨之增加,

且增加的幅度逐漸變小.經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)利潤y與減少碳排放量x之間滿足二次函數(shù)關(guān)

系：y=-x2+20x+50.

(1)求該二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并說明它們在本題中的實(shí)際意義.

(2)若該工廠計(jì)劃下個(gè)月利潤達(dá)到125萬元，則下個(gè)月需要減少多少噸碳排放量？

(3)根據(jù)環(huán)保政策要求，該工廠下個(gè)月要減少12噸碳排放量，在滿足政策要求的前提下，求

該工廠下個(gè)月利潤的最大值.

(2025?福建莆田?模擬預(yù)測)

43.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xQp中，拋物線)，=4/+隊(duì)+3經(jīng)過點(diǎn)力(-1,0),8(3,0),與

?V軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為O.

試卷第13頁，共25頁

圖1圖2

（I）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖2,連接C8,DB,若在4c上方的拋物線上存在點(diǎn)E,滿足NCBD=NBDE,求點(diǎn)

￡的坐標(biāo).

（2025九年級下?云南楚雄?學(xué)業(yè)考試）

44.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線，〃：j，=gx+5與/軸交于點(diǎn)兒過點(diǎn)力的拋物線

），=口/一6、+°與工軸的右交點(diǎn)為點(diǎn)8（5,0）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）過原點(diǎn)。作機(jī)的平行線〃，〃上是否存在點(diǎn)/>.使得以/,B,P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形

是直角三角形？若存在，請求出2點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【能力提升（22題）】

一、單選題

（24-25九年級上?全國?期末）

45.若函數(shù)3=?！?3）--24+6是關(guān)于x的二次函數(shù)，則〃?的取值范圍是（）

A.m<3B.3C.m>-3D.“心

（24-25八年級下?北京?期中）

46.已知〃<一1,點(diǎn)彳（。-1,乂）、8（凡外）、都在函數(shù)y=（x-l『+6的圖象上，那

么（）

試卷第14頁，共25頁

A.必＜力＜必B.yx<y3<y2

c.為〈為＜必D.%＜凹〈出

（2025?湖北?一模）

47.拋物線），=。/+以+。（。H0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,〃），其部分圖象如圖所示.以下結(jié)論錯(cuò)

誤的是（）

（2025?安徽阜陽?三模）

48.一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)卜=-￡的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y="+6x+c?的

X

圖象可能是（）

（24-25九年級下?河北邢臺(tái)?期中）

49.如圖，拋物線y=-;F+及與-阮均過點(diǎn)44,0）,直線歹二區(qū)-2左交x軸于點(diǎn)

乙乙

P,且與兩拋物線形成的封閉圖象交于￡尸兩點(diǎn).若點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)。為y軸上任

意一點(diǎn)，則。E+。產(chǎn)的最小值為（）

試卷第15頁，共25頁

人?孚B.乎C.如D.5

(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?模擬預(yù)測)

50.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過40,6)的一次函數(shù)必的圖象與經(jīng)過8(0,2)的一次函

(2025?四川達(dá)州?一模)

51.如圖，已知拋物線J，="2+6X+C(a,b,c為常數(shù)，〃w0)經(jīng)過點(diǎn)(2,0),且對稱軸

為直線x=；,有下歹U結(jié)論：Q)abc>0；②。+力>()；③4。+2力+3c、<0；④無論。，b,c

/\

取何值，拋物線一定經(jīng)過點(diǎn)",0;⑤+4加?-620;⑥3"+c之0.其中錯(cuò)誤結(jié)論有

()

試卷第16頁，共25頁

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)

（2025?山東濟(jì)南?二模）

52.定義：對于已知的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)工之0時(shí)，它們對應(yīng)的函數(shù)值

相等：當(dāng)x<0時(shí)，它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為相關(guān)函數(shù).例

如：正比例函數(shù)N=它的相關(guān)函數(shù)為P={\黑.已知點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為

-x（x<0）

卜;,1}停1）,連結(jié)MV,若線段與二次函數(shù)…2一4x+〃（〃>0）的相關(guān)函數(shù)的圖

象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則〃的取值范圍為（）

A.1</?<5B.1</?<5

C.l<zz<5D.l<n<5

二、填空題

（24-25九年級上?上海?階段練習(xí)）

53.已知尸（左+1）/+83當(dāng)工>0時(shí)，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而減小，那么A的取

值范圍是.

（24-25八年級下?浙江寧波?期中）

54.已知二次函數(shù)y=-/-2版+3力（A是常數(shù)），當(dāng)自變量1KXW5時(shí)，函數(shù)有最大值為

10,貝1」八.

（24-25九年級上?福建廈門?階段練習(xí)）

55.對于一個(gè)二次函數(shù)），=?丫一〃?）2+〃伍*0）中存在一點(diǎn)尸（工',川，使得f-7=y一七0,

則稱2卜一〃“為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線y=+；x+3“開口大小，，為.

（24-25九年級下?江蘇南通?階段練習(xí)）

56.在平面直角坐標(biāo)系中,將拋物線.v=（x+2）（x-3）+5向下平移5個(gè)單位長度,所得拋物

線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)P、。，則~。=.

（2025?安徽滁州?三模）

57.已知拋物線歹=〃/-以+2的對稱軸為直線x=2.

（1）。的值為.

（2）若拋物線丁=0?-4》+2向下平移-火>0）個(gè)單位長度后，在-1<戈<4范圍內(nèi)與x軸

試卷第17頁，共25頁

只有一一個(gè)交點(diǎn)，則〃的取值范圍是.

（2025?江蘇無錫?模擬預(yù)測）

58.定義：平面內(nèi)任意兩點(diǎn)尸（孫必）,。（々，8），"也=|再-Xzl+I必一為稱為這兩點(diǎn)之間的

域哈頓距離.若。（1,2）,。（3,-4）,則"段=.若點(diǎn)A為拋物線》=/上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)8

為直線），=：x+b上的動(dòng)點(diǎn)，并且拋物線與直線沒有交點(diǎn)，%8的最小值為1，則方的值為一.

（24-25八年級下?河北唐山?期中）

59.已知直線/：y=-2x-\t將直線/向上平移/>0）個(gè)單位后得到心

（1）若4的解析式為y=-2x+l,則1=；

（2）若點(diǎn)（3,7）,（6,9）在4的異側(cè)，貝/取值范圍是.

（2025?黑龍江哈爾濱?二模）

60.如圖，△4AC為等邊三角形，AB=6,息D在BC上,BD=2,連接40,點(diǎn)石為

的中點(diǎn)，連接。上，點(diǎn)。為4。上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,則D絳E的最大值為.

三、解答題

（24-25九年級上?河南新鄉(xiāng)期中）

61.已知拋物線y=（x—A[—i.

（1）當(dāng)人31時(shí),（隨著”的增大而減小,求才的最小值；

（2）已知4、8兩點(diǎn)在x軸上，力點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,8點(diǎn)坐標(biāo)為（5,0）,若拋物線與線段48只有

一個(gè)公共點(diǎn)，求人的取值范圍.

（2024九年級上?全國?專題練習(xí)）

62.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)力在y軸正半軸上.

試卷第18頁，共25頁

(1)如圖1,已知菱形/BCD的頂點(diǎn)4,C,。在二次函數(shù))，=/的圖象上，且軸，求

菱形的邊長；

(2)如圖2,已知正方形力SCO的頂點(diǎn)4,。在二次函數(shù)j=F的圖象上，點(diǎn)B,。在y軸的

同側(cè)，且點(diǎn)8在點(diǎn)力的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)從。的橫坐標(biāo)分別為〃?，〃，探究〃一加是否為定值？

(24-25九年級下?黑龍江大慶?期中)

63.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)乂=勺》+力與反比例函數(shù)％=與的圖象交于41,〃?),

(1)求一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)的解析式

(2)當(dāng)乂〉/時(shí)，x的取值范圍是.

(3)點(diǎn)P是線段力4上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸。_Lx軸于點(diǎn)。，交反比例函數(shù)于點(diǎn)￡,設(shè)點(diǎn)P的橫坐

標(biāo)為/(1W/44).設(shè)當(dāng)，為何值時(shí)，△OQE的面積最大？并求出最大值..

(24-25八年級下?浙江金華?期末)

64.某超市以2()元/箱的價(jià)格采購一款暢銷食品加工后出售，銷售價(jià)格不低于30元/箱，不

高于40元/箱.銷售時(shí)發(fā)現(xiàn)，銷售價(jià)格每增加I元，每天銷售量減少2箱；當(dāng)銷售價(jià)格每箱

30元時(shí)，每天銷售量為40箱.若每天的銷售量為V(箱)，銷售價(jià)格為x(元/箱).

(1)求丁與.》之間的關(guān)系式：

(2)是否存在x,使得這天的銷售利潤達(dá)到600元？若存在請求出x的值，若不存在，請說明

理由.

(3)當(dāng)銷售價(jià)格定為多少時(shí)，該批發(fā)部銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利

試卷第19頁，共25頁

潤是多少？【俏售利潤=（銷售價(jià)格-采購價(jià)格）X銷售量】

（2025九年級下?浙江金華?學(xué)業(yè)考試）

65.已知二次函數(shù)y=X,-3x-方+3”（〃?工0的實(shí)數(shù)）

（1）二次函數(shù)圖象的對稱軸是.

（2）當(dāng)m=2時(shí),

①若將平面內(nèi)一點(diǎn)4（1,〃）向右平移3〃個(gè)單位，則與拋物線上的點(diǎn)8重合；向左平移2〃個(gè)單

位，則與拋物線上的點(diǎn)C重合，求”的值.

②如果點(diǎn)尸（x,y）在拋物線上，且到y(tǒng)軸的距離小于等于2,那么我們稱點(diǎn)P是>軸的“親密

點(diǎn)”，求所有“親密點(diǎn)”的歹的取值范闈.

（3）對于二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)。（々，刈），當(dāng)"Mx陷2/+1,々W-2時(shí)，均滿足

必<8-6,直接寫出f的取值范圍.

（2025九年級下?湖北武漢?學(xué)業(yè)考試）

66.拋物線），=/2—3與直線K交于兩點(diǎn)（A在8的左邊）.

4

（1）求48兩點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）如圖I,若P是直線下方拋物線上的點(diǎn).過點(diǎn)尸作X軸的平行線交拋物線于點(diǎn)A/,過

點(diǎn)P作V軸的平行線交線段48于點(diǎn)N,滿足PM=PN：求點(diǎn)。的橫坐標(biāo).

（3）如圖2,經(jīng)過原點(diǎn)。的直線。交拋物線于C，。兩點(diǎn)（點(diǎn)。在笫二象限），連接力。,8。分

別交工軸于E,產(chǎn)兩點(diǎn).若S△…沁COE'求直線8的解析式.

【中考真題16題】

一、單選題

（2025?山東威海?中考真題）

試卷第20頁，共25頁

67.已知點(diǎn)（-2,%）,（3,8）,（7,月）都在二次函數(shù)歹=-（》-2）2+‘的圖象上，則乂,為，%的大小

關(guān)系是（）

A.B.y}>y3>y2c.y2>yI>y5D.必>%>必

（2025?四川南充?中考真題）

68.已知某函數(shù)圖象關(guān)于曠軸對稱，當(dāng)0WxW2時(shí)，y=r-2x；當(dāng)x>2時(shí)，J，=2x—4.若

直線），=工+方與這個(gè)函數(shù)圖象有且僅有四個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是（）

191

A.——<b<0B.——<b<——

444

C.--<6<0D,b<--^b>0

44

（2025?四川瀘州?中考真題）

69.已知拋物線卜=仆2+云+。的對稱軸為直線x=l,與N軸的交點(diǎn)位于x軸下方，且x=-l

時(shí)，y>o,下列結(jié)論正確的是（）

A.2a=bB.b2-4ac<0C.a-2b+4c<0D.8。+。>0

（2025?陜西?中考真題）

70.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù).，="2-2次+〃-3（。00）的圖象與％軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

且這兩個(gè)交點(diǎn)分別位于）'軸兩側(cè)，則下列關(guān)于該函數(shù)的結(jié)論正確的是（）

A.圖象的開口向下B.當(dāng)x>0時(shí)，y的值隨X值的增大而增大

C.函數(shù)的最小值小于-3D.當(dāng)x=2時(shí)，y<o

（2025?山東青島?中考真題）

71.將二次函數(shù)y=Y—2x-3的圖象在x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻折到x軸上方，得

到如圖所示的新函數(shù)圖象，下列對新函數(shù)的描述正確的是（）

A.圖象與N軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（。,-3）B.當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取得最大值

試卷第21頁，共25頁

C.圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4D.當(dāng)X>1時(shí)，歹的值隨X值的增大而增大

（2025?四川廣安?中考真題）

72.如圖，二次函數(shù)y=“/+隊(duì)+。（小b,c?為常數(shù)，。工0）的圖象交x軸于48兩點(diǎn)

點(diǎn)力的坐標(biāo)是（7,0）,點(diǎn)3的坐標(biāo)是（〃,（））,有下列結(jié)論：①。慶<0；②4〃+c〉26；③

關(guān)于x的方程ad+bx+c=0的解是*=-1,工2=〃；④-丁二r?其中正確的有（

la2

C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題

（2025?上海?中考真題）

73.將函數(shù)y=3Y的圖像向下平移2個(gè)單位后，得到的新函數(shù)的解析式為

（2024?寧夏?中考真題）

74.若二次函數(shù)y=2/_x+〃?的圖象與x軸有交點(diǎn)，則用的取值范圍是.

（2025?廣東廣州?中考真題）

75.若拋物線歹=/-6加x+6〃/+5〃?+3的頂點(diǎn)在直線y=x+2上，則7n的值為

（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）

76.將拋物線y=/-6x+12向下平移％個(gè)單位長度.若平移后得到的拋物線與x軸有公共

點(diǎn)，則k的取值范圍是.

（2024?四川自貢?中考真題）

77.九（1）班勞動(dòng)實(shí)踐基地內(nèi)有一塊面枳足夠大的平整空地.地上兩段圍墻481CQ于點(diǎn)

。（如圖），其中力〃上的EO段圍墻空缺.同學(xué)們測得/E=6.6m,OE=\Am,05=6m,

OC=5m,OD=3m.班長買來可切斷的圍欄16m,準(zhǔn)備利用己有圍墻，圍出一塊封閉的矩

形菜地，則該菜地最大面積是m2.

試卷第22頁，共25頁

（2024?新疆?中考真題）

78.如圖，拋物線yf-以+6與y軸交于點(diǎn)兒與工軸交于點(diǎn)8,線段。在拋物線的

對稱軸上移動(dòng)（點(diǎn)C在點(diǎn)。下方），且CO=3.當(dāng)力。+8。的值最小時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)

為?

三、解答題

（2025?江蘇連云港?中考真題）

79.已知二次函數(shù)y=—+2（a+l）x+3/-2a+3,。為常數(shù).

（I）若該二次函數(shù)的圖像與直線y=2/有兩個(gè)交點(diǎn)，求。的取值范圍；

（2）若該二次函數(shù)的圖像與x軸有交點(diǎn)，求〃的值：

（3）求證：該二次函數(shù)的圖像不經(jīng)過原點(diǎn).

（2025?遼寧?中考真題）

80.如圖，在平面宜角坐標(biāo)系xQy中，直線y=-x+4與y軸相交于點(diǎn)A,與工軸相交于點(diǎn)

B,點(diǎn)C在線段04上（不與點(diǎn)。，A重合），過點(diǎn)。作。力的垂線，與直線48相交于點(diǎn)。,

點(diǎn)A關(guān)于直線CQ的對稱點(diǎn)為E,連接OE.

試卷第23頁，共25頁

IV

（1）求證：NOAB=45。；

（2）設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,小），當(dāng)0<〃?<2時(shí)?，線段QE與線段03相交于點(diǎn)尸，求四邊形CO底。

面枳的最大值.

（2025?山東青島?中考真題）

81.小磊和小明練習(xí)打網(wǎng)球.在一次擊球過程中.小磊從點(diǎn)。正上方1.8米的A點(diǎn)將球擊出.

信息一：在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，在y軸上，球的運(yùn)動(dòng)路線可以看

作是二次函數(shù)》=如2+云+1月（“，人為常數(shù)）圖象的一部分，其中N（米）是球的高度,

x（米）是球和原點(diǎn)的水平距離，圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,3.2）,14,4.2）.

信息二：球和原點(diǎn)的水平距離1（米）與時(shí)間，（秒）（（匹/1.6）之間近似滿足一次謔數(shù)關(guān)

系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下:

（2）網(wǎng)球被擊出后經(jīng)過多長時(shí)間達(dá)到最大高度？最大高度是多少？

（3）當(dāng)/為L6秒時(shí)，小明將球擊回、球在第一象限的運(yùn)動(dòng)珞線可以看作是二次函數(shù)

y=-0.021++/〃（夕，，〃為常數(shù)）圖象的一部分，其中V（米）是球的高度，x（X）

試卷第24頁，共25頁

是球和原點(diǎn)的水平距離.當(dāng)網(wǎng)球所在點(diǎn)的橫坐標(biāo)X為2,縱坐標(biāo)歹大于等于1.8時(shí)，夕的取值

范圍為（直接寫出結(jié)果）.

（2025?四川資陽?中考真題）

82.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于44兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)4的左邊），與V

軸相交于點(diǎn)。（0,-3）,且拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-4）.

備用圖

（1）求拋物線的表達(dá)式;

（2）P是拋物線上位于第四象限的一點(diǎn)，點(diǎn)。（0,-1）,連接8C,。。相交于點(diǎn)E,連接P8.若

△CQE與△尸8E的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）M,N是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)作直線BC的垂線段，垂足分別為G,”.是

否存在點(diǎn)使得以為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，求該正方形的邊長;

若不存在，說明理由.

試卷第25頁，共25頁

1.（l）m*2+2m

⑵3

【分析】此題考查了分式的化簡求值、拋物線上的點(diǎn)的特征，準(zhǔn)確掌握分式的混合運(yùn)算順序

和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的加法，再計(jì)算除法即可化簡出

（2）再把點(diǎn)⑼代入得到〃/+2〃.3-0,貝整休代入化簡的/中計(jì)算即可.

..遼，、.?,（4〃？+41m+2

【詳解】（1）解：4=〃?+-----卜——

Im）nr

4/〃+41m+2

=一+----+——

ImrnJm

_m2+4m+4m+2

mm'

_（w+2）2nr

mm+2

=〃?（，〃+2）

=nr+2m;

（2）解：???點(diǎn)（九0）是拋物線y=f+2X_3上的一點(diǎn),

???m2+2m-3=0

-,■m2+2m=3

???A=ni2+2ni=3?

2.C

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次函數(shù)的定義“形如卜=。/+隊(duì)+c（。=0）的函數(shù)”，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、），=2X十1是一次函數(shù)，故不符合題意；

B、y=2/+i不是二次函數(shù)，故不符合題意；

C、y=/+2是二次函數(shù)，故符合題意；

D、^=--2不是二次函數(shù)，故不符合題意.

x

故選C.

答案第1頁，共67頁

2

3.y=^-(\-X)

【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握等

邊三角形的性質(zhì)，理解在直角三角形中，30。的角所對的直角邊等于斜邊的一半是解決問題

的關(guān)鍵.先求出NCQG=30。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得OC=2GC,再由勾股定理可得

DG=M，然后等邊△力8c的邊長為1,BG=x^GC=\-xfDG=y/3(\-x),據(jù)此可得

出函數(shù)的表達(dá)式.

【詳解】解：如圖，連接80,

???△48C為等邊三角形,

BGC

/.ZC=60°,

DG工BC,

ZC￡)G=30°,

在RtAQCG中，/COG=30。，

/.DC=2GC,

由勾股定理得：DG=JDC?-GC?=8GC，

,等邊△/AC的邊長為1,BG=x,

GC=BC-BG=\-x,

DG=V3(l-x),

.-.y=lcG-D6;=1xV3(l-x)2=^(l-x)2,

故答案為：y=^-(\-x)2.

4.(l)a<2

2

(2)a<-

(3)a=l

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解一元一次不等式，因式分解法解一元二

次方程等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)二次項(xiàng)的系數(shù)小于U,對稱軸左邊y隨x的增大而增大，對稱軸右邊y隨x的增大

答案第2頁，共67頁

而減小，可列出一元一次不等式，解之即可得出答案：

（2）根據(jù)二次函數(shù)有最大值，可得二次項(xiàng)的系數(shù)小于0,據(jù)此列出一元一次不等式，解之

即可得出答案:

（3）根據(jù)函數(shù)圖象開口向上，可得二次項(xiàng)系數(shù)大于0,同時(shí)二次項(xiàng)的次數(shù)須滿足a?+a=2,

解之即可得出答案.

【詳解】（1）解：由題意可得：

。一2<0,

解得：a<2；

（2）解：由題意可得：

3ci—2<0,

2

解得：?<-：

（3）解：由題意可得：

<7>0

'a2+a=2"

解得：a=l.

5.C

【分析】本題考查函數(shù)圖象的增減性，根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)逐

一判斷即可解題.

【詳解】解：y=2x中，2>0,y隨X的增大而增大：

y=-3x+4中，-3<0,y隨x的增大而減??；

J^=5X2（X>0）,開口向上，當(dāng)x20時(shí)，y隨x的增大而增大：

2、

y=一一（》<（））,當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而增大；

A

故選：C.

6.2

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形,

全等三角形的判定與性質(zhì)，利用Z型全等“求得8點(diǎn)的坐標(biāo)，代入y=/即可求解，構(gòu)造全

等三角形解題是關(guān)鍵.

【詳解】解：過4作軸于￡過4作力。1歹軸于。，

答案第3頁，共67頁

在等腰直角三角形力3C中，/ACB=90°,則月C=6C,

?；A、8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和6s>1),

AD=1,BE=b,

?.,點(diǎn)4、B在拋物線y=/上，

.?.4(1,1),

vZJC5=90°.

.?"ACD+NBCE=9M,

:"BCE=NOD,

:.ABEC且A