3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲?/p>

【知識(shí)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一增函數(shù)與減函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)7U）的定義域?yàn)?,區(qū)間OG/：

（1）如果Vxi，X2^D,當(dāng)時(shí)，都有/I）磯X2），那么就稱函數(shù)火式）在區(qū)間。上單調(diào)遞增，特別地,當(dāng)函

數(shù)J（x）在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們稱它是增函數(shù).

（2）如果VX］,X2WD,當(dāng)X|VX2時(shí)，都有/3巨兒⑵，那么就稱函數(shù)段）在區(qū)間。上單調(diào)遞減,特別地,當(dāng)函

數(shù)JU）在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們稱它是減函數(shù).

知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=/（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)j，=/（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，

區(qū)間。叫做y=Ax）的單調(diào)區(qū)間.

特別提醒：（1）函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單獨(dú)一點(diǎn)不存在單調(diào)性問(wèn)題，所以單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)

若屬于定義域，則該點(diǎn)處區(qū)間可開(kāi)可閉，若區(qū)間端點(diǎn)不屬于定義域則只能開(kāi).

（2）單調(diào)區(qū)間QG定義域/.

（3）遵循最簡(jiǎn)原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大.

知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x

最值條件幾何意義

①對(duì)于VxWj,都有危）WM,②三刈日，

最大值函數(shù)y=/（x）圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)

使得J（xo）=M

①對(duì)于都有②三丫（）￡/,

最小值函數(shù)y=/U）圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)

使得兒?（））=〃

知識(shí)點(diǎn)四求函數(shù)最值的常用方法

1.圖象法：作出y=/（x）的圖象，觀察最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，最高（低）點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大（?。┲?

2.運(yùn)用已學(xué)函數(shù)的值域.

3.運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性：

（1）若y=/U）在區(qū)間口，句上是增函數(shù)，則jWx=/S），ymin=fia）.

（2）若J=y（X）在區(qū)間［a,b］上是減函數(shù),則ymax='/（a），1ymin=/（b）.

4.分段函數(shù)的最大（?。┲凳侵父鞫紊系淖畲螅ㄐ。┲抵凶畲螅ㄐ。┑哪莻€(gè).

【基礎(chǔ)自測(cè)】

1.函數(shù)y=x-l在［1,2］上的最大值為()

x

3

A.0B.C.2D.3

2

2.定義在R上的函數(shù)/(》)，對(duì)任意不，X2￡R(MWX2),有"⑼一危D<o,則()

X2~X\

A./(3)<A2)<ADB./(1)<A2)<A3)

C./(2)勺⑴勺(3)D./(3)勺⑴勺(2)

3.已知道x)是定義在區(qū)間［—1,1］上的增函數(shù)，且人工一2)勺(1一刈，則x的取值范圍是

4.已知函數(shù)/(x)='"'則/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是________.

5-x,x<I,

5.函數(shù)/(x)=aF+(a—3)x+l在(-1,+8)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【例題詳解】

一、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性

9

例I(1)根據(jù)定義證明函數(shù)/(x)=x+—在區(qū)間［3,+8)上單調(diào)遞姆.

X

⑵已知函數(shù)/(%)=登(。為常數(shù)且。學(xué)0),試判斷函數(shù)/(X)在(-1,1)上的單調(diào)性.

x—1

跟蹤訓(xùn)練1⑴已知函數(shù)/(力=仃」，且〃_2)=-；.

X/

(i)求函數(shù)“X)的解析式;

(ii)判斷函數(shù)在區(qū)間(0,+R)上的單調(diào)性并用定義法加以證明.

(2)判斷并證明/(x)=Wy在(。,+8)的單調(diào)性.

二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例2(1)函數(shù)/(x)=，的單調(diào)遞減區(qū)間是()

x

A.(-00,0),(0,+8)B.(0,4-00)c.(-8,0)U((),+8)D.(-00,0)

(2)函數(shù)/(x)=-|x-2|的單調(diào)遞演區(qū)間為()

A.(-8,2]B.[2,+8)C.[0,2]D.[0,+8)

跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)y=|x2—3|的圖象如圖所示，試寫出它的單調(diào)區(qū)間，并指出單調(diào)性.

(2)函數(shù)/(同=--6國(guó)+8的單調(diào)減區(qū)間是

三、單調(diào)性的應(yīng)用

命題點(diǎn)1已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

例3(1)函數(shù)/(*)="在區(qū)間(-2,+動(dòng)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

人"?4

X2,x>\,

跟蹤訓(xùn)練4(1)已知函數(shù)/a)=L_q若/w是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

I2jx—1,xWl.

,.ax-\,x<\八

(2)已知函數(shù)/X=《2JJ滿足/W，X2GRE..%H-,有八2’>。，則文數(shù)〃的I［又值范圍是

X"-2ax,x>1X)-x2

.(用集合或區(qū)間表示)

命題點(diǎn)3根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

例5(1)已知函數(shù)/(x)=J'若人4一°)次〃)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

4x—x2,x<0,

A.(一8,2)B.(2,+oo)

C.(一8,-2)D.(-2,+8)

⑵已知y=/(x)在定義域(Ti)上是減函數(shù)，且，則。的取值范圍為()

A.(0,1)B.(-2,1)C.(0,V2)D.(0,2)

(3)已知/(x)=/+3+i,若/(2吁l)v/(3),則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是()

A.(1,2)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-2,2)

跟蹤訓(xùn)練5⑴已知“X)是定義在［0,+司單調(diào)遞減函數(shù)，若則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

(2)已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的增函數(shù)，且/(3+2?)</(2),那么實(shí)數(shù)。的取值范圍為

(3)已知定義在［1川上的函數(shù)/")是減函數(shù)，則滿足不等式/0-2u)-/(3-a)>0的實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

四、圖像法求函數(shù)的最值

X2,一04，

例6⑴已知函數(shù).危）=1..求/⑴的最大值、最小值.

91?

/、2x+\,x<()

(2)求函數(shù)/(x)={2_4in<［在一l<x?4的最值.

X9X+1，U&X￡J

⑶已知函數(shù)/（x）=M（x+i）.完成下面兩個(gè)問(wèn)題;

（i）畫出函數(shù)/（X）的圖象，并寫出其單調(diào)增區(qū)間:

（ii）求函數(shù)〃力在區(qū)間-1,1上的最大值.

（4）已知函數(shù)〃x）=x+￡，（。＞0）的圖象如圖所示，請(qǐng)回答:

y

(i)當(dāng)。=1,xt(O,E)時(shí)，求此函數(shù)/(x)的值域;

(ii)當(dāng)。=2,xe[L3]時(shí)，求此函數(shù)/(x)的值域.

跟蹤訓(xùn)練6畫出下列函數(shù)的圖象，指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求出函數(shù)的最大值或最小值:

(1)/(X)--A-2-1；

2

(2)f(x)=x-2x-\t

(3)/(x)=x|x|；

(4)/(x)=-2?；

-v-2,

(5)fM=

x<()

+2x—1,xe[0,+oo)

(6)/U)=

—x*+2x—1,xc(_g,0)

五、利用函數(shù)的單調(diào)性求最值

例7(1)函數(shù)y=V^7-j2x+4的值域?yàn)?/p>

⑵已知/(力=一1,xe[2,6],求函數(shù)/(x)的最大值和最小值.

X—1

⑶求/(x)=x+序T的最小值.

（4）已知函數(shù)J［x}=,x￡[3,5].

x+2

（i）判斷函數(shù)大外的單調(diào)性并證明:

（ii）求函數(shù)道式）的最大值和最小值.

跟蹤訓(xùn)練7已知函數(shù)f（x）='±，且/⑴=2

X

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

⑵判斷函數(shù)/（外在［1,+8）上的單調(diào)性，并用定義證明;

⑶求函數(shù)/（X）在［1,3）上的值域.

【課堂鞏固】

1.函數(shù)—2x+2在區(qū)間［-2.3］上的最大值、最小值分別是（）

A.10,5B.10,1

C.5,1D.以上都不對(duì)

2.若函數(shù)），="+1在［1,2］上的最大值與最小值的差為2,則實(shí)數(shù)。的值是（）

A.2B,-2C.2或一2D.（）

3.已知函數(shù)/（x）對(duì)E卬x2e（^o,+oo）,都有"西卜/⑴<Q,且/（2-2〃。>/（1+，〃），則實(shí)數(shù)”的取

X1~X2

值范圍是（）

A?（同B.C.D.1用

（a-3）x+5,x<,1

4.已知函數(shù)/（x）=42a,，若對(duì)火上的任意實(shí)數(shù)與々（x產(chǎn)/），恒有（》2-玉）[/（內(nèi)）-/*2）]>。

--,X>I

X

成立，那么。的取值范圍是（）

A.（0,3）B.（0,3]C.（0,2）D.（0,2]

5.設(shè)函數(shù)/（幻=々在區(qū)間[3,4]上的最大值和最小值分別為“，機(jī)則〃+小=（）

x-2

A.4B.6C.10D.24

6.函數(shù)），=1的單調(diào)遞減區(qū)間是_______.

X—1

7."a=l"是"函數(shù)/（x）=k-a|在區(qū)間口,+8）上為嚴(yán)格增函數(shù)〃的條件.（填“充分非必要〃、“必要非充

分"、"充分必要"、"既不充分也不必要”）

4

8.已知xw[-3,-1],則函數(shù)y=x+-+2的最大值為,最小值為.

X

9.當(dāng)0WxW2時(shí)，。〈一f+2x恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

10.（1）若函數(shù)/（X）=/+2（CL1）X+2的單調(diào)遞減區(qū)間是（-8,4],則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

（2）若函數(shù)/（工）=/+2包-1）"2在區(qū)間（YO,4]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

11.檢驗(yàn)下列函數(shù)的增減性，并說(shuō)明是否有最大（小）值.如果有，指出最大（小）值和對(duì)應(yīng)的最大（?。?/p>

值點(diǎn).

2

（l）/（x）=--（.rG（-co,0））；

⑵?。?3-和4-6,1］）；

（3）/（x）=丁-6x+7卜￡［-2,4］）；

⑷小卜?陞卜同），

12.已知函數(shù)/（》）二中-4|

⑴把/（??）寫成分段函數(shù)：并在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)/（x）大致圖像；

⑵寫出函數(shù)/（x）的遞減區(qū)間.

13.已知函數(shù)/（工）=:/+三，求函數(shù)〃x）在區(qū)間13,7］上的最值.

2x—1

4

14.已知/（x）=x+-.

X

（1）證明：/（X）在（2,+8）單調(diào)遞增:

⑵解不等式：/，-2x+4）K/（7）.

【課時(shí)作業(yè)】

1.“函數(shù)/（工）=/-3蛆+18在區(qū)間。3）上不單調(diào)〃是“0<〃?<2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知y=/+2(a-2)x+4在[4,+oo)上為增函數(shù)，則()

A.a>-2B.a=-2C.a>-6D.a=-()

3.若對(duì)于任意的x>0,不等式立口巴2〃恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為()

x

A.[5,+司B.(5,+-X)C.(f,5]D.(-8,5)

4.已知函數(shù)/。)=3-2卜|名&)=/_2工/(幻=匕：,則()

[f(x)g(x)>f(x)

A.尸(x)的最大值為3,最小值為1

B.尸5)的最大值為2-2近，無(wú)最小值

C.Rx)的最大值為7-2/，無(wú)最小值

D."(x)的最大值為3,最小值為-1

--------￥W-1

5.已知g(x)=x-r"是(-吟”)上的增函數(shù)，那么。的取值范圍是()

(3-3?)x+l,x>-1

A.—,11B.(0,1)C.G,-D.(1,+oc)

x2-2av+2,x<1

6.己知函數(shù)/")二?9、.的最小值為/(l),則。的取值范圍是(

xd-----3a,x>I

x

A.[1,3]B.[3,-HX))C.(0,3]D.(-co,l]u[3,+oo)

7.函數(shù)f(x)=|x-l|+|x-2|的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.[I,4-oo)B.(-co,I]C.[L2]D.[2,+co)

X~r<0

8已知函數(shù)/⑴=*40,若對(duì)任意的—,尸)，不等式小+，)<”⑴恒成立，則實(shí)數(shù)'的取值

范圍是（）

A.（0,1）B.[0,1]

n「生皿

9.（多選）若二次函數(shù)/"）=/+（2-4口+1在區(qū)間［-1,2］上是增函數(shù)，則〃可以是（）

A.-1B.0C.1D.2

10.（多選）下列函數(shù)中,在（-8,0）上為增函數(shù)的是（）

1「x2x

A.y=|x|+lB.D.

Xuf尸"面

ax-\,x<a

11（多選）設(shè)函數(shù)?。?--2辦+2,當(dāng)〃x）為增函數(shù)時(shí),實(shí)數(shù)〃的值可能是（）

A.2B.-1c?ID.1

/、［x+2,x<1

12.（多選）已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)/（》）=<2:1，凡丫）的結(jié)論正確的是（）

I—x+3^x>1

A.的最大值為3B.I/（0）=2

C.若/仁）=一1,則x=2D.危）在定義域上是減函數(shù)

】3.已知/（、）=m二戶上的減函數(shù)，則實(shí)