第1章三角形的證明章末重難點題型總結(jié)

【考點1等腰三角形的性質(zhì)（分類討論思想）】

【方法點撥】解決此類問題的關(guān)鍵要注意分類討論思想.

【例I】（2019秋?謝家集區(qū)期末）等腰三角形的周長為14?！?，其中?邊長為45?，則該等腰三角形的腰長

為（）

A.B.5cmC.或D.4cm6cm

【分析】已知的邊可能是腰，也可能是底邊，應(yīng)分兩種情況進行討論.

【解答】解：當(dāng)腰是4c時，則另兩邊是4（7??>6cm；

當(dāng)?shù)走吺?cm時，另兩邊長是5，5cm.

???該等腰三角形的腰長為4cm或5cm.

故選：C.

【點評】本題考杳的是等腰三帶形的性質(zhì)，在解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解.

【變式11】（2019春?鄭州期末）等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為50°,則這個

等腰三角形頂角的度數(shù)為（）

A.40°B.70°C.40°或70°D.40°或140°

【分析】由題意可知其為銳角等腰三角形或鈍角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以應(yīng)分開來

討論.

【解答】解：當(dāng)為銳角三角形時，如圖

VZADE=50°,ZAED=90°,

???NA=40°

當(dāng)為鈍角三角形時，如圖

D

，頂角NBAC=180°-40°=140°，

故選：D.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵.

【變式12】(2020春?東城區(qū)校級期末)等腰三角形底邊長為5cm,一腰上的中線把其周長分為兩部分的差

為3s?.則等腰三角形的腰長為()

A.2cmB.Scm

C.2c〃，或8c7〃D.以上答案都不對

【分析】設(shè)腰長為此得出方程(Zi+幻-(5+x)=3或(5+x)-(2x+x)=3,求出x后根據(jù)三角形

三邊關(guān)系進行驗證即可.

【解答】解：設(shè)腰長為2%，一腰的中線為＞,

則(2r+x)-(5+x)=3或(5+x)-(2x+x)=3,

解得：x=4,x=l,

，2M=8或2,

①三角形A3C三邊長為8、8、5,符合三角形三邊關(guān)系定理；

②三角形A8C三邊是2、2、5,2+2V5,不符合三角形三邊關(guān)系定理；

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難度不大，關(guān)鍵是求出x的值后根據(jù)三角形三邊關(guān)系進行驗證.

【變式13】(2019秋?殷都區(qū)期中)等腰三角形一-腰上的高等于該三角形另一邊長的一半.則其頂角等于

()

A.30°B.30°或150,

C.120°或150°D.120°、30°或150°

【分析】題中沒有指明等腰三角形一腰上的高是哪邊長的一半，故應(yīng)該分三種情況進行分析，從而不難

求解.

【解答】解：①如圖，???乙47)8=90°,AO=%B,

???NB=30°,

?：AC=BC,

：.ZCA^=30°,

???NACB=180°-30°-30°=120°.

②如圖，VZADB=90°,AD=1AC,

AZACD=30°,

■:AC=BC,

???NCAB=/8=15°,ZACB=\S0°-30°=150°.

③如圖，VZADB=90°,AD=

???NB=30°,

\*AB=BC,

：,ZCAB=ZC=15°,

???/B=3()°.

故選：D.

【點評】此題主要考查等腰三用形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角性質(zhì)的綜合運用.

【考點2等腰三角形的性質(zhì)（求角度綜合）】

【方法點撥】解決此類問題的關(guān)鍵要掌握等腰三角形兩底角相等（簡稱等邊對等角），常與三角形外角的

性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理結(jié)合運用.

【例2】（2019秋?高州市期末）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB,則NA的

A.30°B.36°C.45°D.50°

【分析】根據(jù)A3=AC,BC=BD,AQ=QE=E3可得到幾組相等的角，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得到

ZC,ZA,NE8。之間的關(guān)系，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【解答】解：設(shè),

,?BE=DE,

:?/EDB=NEBD=x0,

:./AED=NEBD+NEDB=2x°,

*：AD=DE,

ZA=ZAED=2x°,

AZBDC=ZA+ZABD=3x°,

?:BD=BC,

/.ZC=ZBDC=3x°,

'：AB=AC,

.??/ABC=/C=3x°,

VZA+ZA^C+ZC=180°,

2x+3x+3x=180,

解得：x=22.5,

AZA=2x0=45°.

故選：C.

【點評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運用.

【變式21］（2020春?歷下區(qū)期末）如圖，已知NAO3=10°,且OC=CD=DE=EF=FG=GH,則NBGH

=（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：???OC=CD,

???/CQO=NO=10°

AZDCE=ZO+ZCDO=20°,

<CD=DE,

：,ZDCE=ZCED=20°,

AZEDF=ZO+ZCED=30°,

?；DE=EF,

:?NEDF=NEFD=30°,

同理NG￡/=NEG/=40°,NGFH=NGHF=50°,NBGH=60°,

故選：li.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì).此類題考生應(yīng)該注意的

是三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)的運用.

【變式22】（2020春?廣饒縣期末）如圖，中，AB=A\B,ZB=20°,人2,人3,/U,小，…小都

在A4的延長線上，B1,曲,加，34…分別在45,人2小，A3B2,483,…上,且滿足4向=4認(rèn)2,A2B2

=AM3,A3S=A3A4,A484=/UA5,…，依此類推，Z/^2019X202042019=.

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分

別求出/BIAMI,NBM3A2及N83AM3的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出NA2019A2020B2019的度數(shù).

【解答】解：,?,在△A84中，ZB=20°,AB=A\B,

：,ZBA\A=180^-ZK=80°,

?：AiA2=A\B\tZBAiA是△A1A2B1的外角,

,Z-BAA。

??NBIAMI=—21X—=40；

同理可得N8M3A2=20°,NB3A4A3=10"，

QH-1

,.80°

NA20I942020B2019的度數(shù)為，20高?

【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出NBICMI,N82A3A2及N

B3A4A3的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.

【變式23](2020春?敘州區(qū)期末)如圖，在△4“。中，ZABC=ZACB,^為4。邊上一點，以E為頂點

作NAERNAE/的一邊交AC于點F,使NAE尸=/￡

(1)如果NA8C=40°,則N84C=；

(2)判斷NBAE與NCE/的大小關(guān)系，并說明理由；

(3)當(dāng)AAE/為直角三角形時，求NAE尸與N84E的數(shù)量關(guān)系.

備用圖1備用圖2

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得N3+N3AE=NAEC=N4EF+NFEC,再由條件NA￡b=N3可

得/BAE=/FEC；

（3）分別根據(jù)當(dāng)N4產(chǎn)石=90"時，以及當(dāng)NE4r=90°時利用外角的性質(zhì)得出即可.

【解答】解：（1）???在△A4C中，NABC=NACB,ZA8C=4（）°,

AZACB=40°,

???NBAC=180°-40°-40°=100°,

故答案為：100°.

(2)NBAE=NFEC；

理由如下：

???NB+NBAE=ZAEC,ZAEF=NB,

ZBAE=NFEC；

(3)如圖1,當(dāng)NAFE=90°時，

,//B+/BAE=ZAEF+ZCEF,

/3=ZAQ=ZC,

：.4BAE=/CEF,

VZC+ZCEF=90o,

/.ZfiAE+Z4EF=90°,

卻NA即與NBAE的數(shù)量關(guān)系是互余；

如圖2,當(dāng)NE4-=900時，

,//B+/BAE=NAEF+N1,

/B=/AEF=/C,

???N8AE=N1,

VZC+Zl+ZAEF=90°,

.\2ZAEF+Z1=9O°,

即2N4E/與N84E的數(shù)量關(guān)系是互余.

B圖2

【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及外角的性質(zhì)，此題難度適中，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用.

【考點3等腰三角形的性質(zhì)（三線合一）】

【方法點撥】解決此類問題的關(guān)鍵要掌握等腰三角形兩底角相等（簡稱等邊對等角），常與三角形外角的

性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理結(jié)合運用.

【例3】（2019秋?江油市期末）如圖：D為△ABC內(nèi)一點，C。平分NAC8,BDLCD,ZA=ZABD,若

【分析】延長B。交AC于E,如圖，利用CD平分N4CB,BD1CD先判斷△BCE為等腰三角形得到

DE=BD=\,CE=CB=3,再證明E4=EB=2,然后計算AE+CE即可.

【解答】解：延長8。交AC于E,如圖，

平分NACA.BD±CD,

???△BCE為等腰三角形，

：.DE=BD=\,CE=CB=3,

ZA=ZABD,

:?EA=EB=2,

：.AC=AE+CE=2+3=5.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三

角形是等腰三角形是證明線段用等、角相等的重要手段.

【變式31】（2019秋?豐城市期末）如圖：已知等邊AABC中，D是AC的中點，E是延長線上的一點,

且CE=CQ,DMLBC,垂足為M.

（1）求/￡的度數(shù).

（2）求證：M是8E的中點.

【分析】（1）由等邊△/WC的性質(zhì)可得：/ACB=NABC=60°,然后根據(jù)等邊對等角可得：ZE=Z

CDE,最后根據(jù)外角的性質(zhì)可求NE的度數(shù)；

（2）連接B。，由等邊三角形的三線合一的性質(zhì)可得：ZDBC=\AABC=x60°=30°,結(jié)合（1）的

結(jié)論可得：NDBC=NE,然后根據(jù)等角對等邊，可得：DB=DE,最后根據(jù)等腰三角形的三線合一的性

質(zhì)可得：M是BE的中點.

【解答】（1）解：???三角形48c是等邊△ABC,

???NACB=NABC=60°,

乂???CE=S

AZE=ZCDE,

又???NACB=ZE+ZCDE,

???NE=，AC8=30°；

（2）證明：連接8。，

??,等邊△/1&?中，。是AC的中點,

AZDBC=^ZABC=1x60!>=30°

由（1）知N￡=30"

/.ZDBC=ZE=30°

：.DB=DE

又???QMJ_4C

?,.M是BE的中點.

【點評】此題考查了等邊三角形的有關(guān)性質(zhì)，重點考查了等邊三角形的三線合一的性質(zhì).

【變式32］（2019秋?寧都縣期天）如圖所示，△ABC中，AB=BC,于點E,?？贚8C于點

交AC于凡

（1）若N4FO=155°,求NED尸的度數(shù)；

【分析1（1）求得/A的度數(shù)后利用四邊形的內(nèi)角和定理求得結(jié)論即可；

（2）連接廠8,根據(jù)AB=BC,且點尸是AC的中點，得到BFJ_AC,ZABF=ZCBF=證得/

CFD=NCB產(chǎn)后即可證得NCFQ=^ZABC.

【解答】解：（1）VZAFD=155°,

:./DFC=25°,

'：DF±BC,DEA.AB,

：.ZFDC=ZAED=^a,

在Rt△尸0c中，

/.ZC=90°-25°=65°,

,：AB=BC,

???NC=NA=65°,

AZEDF=360°-65°-155°-90°=50°.

(2)連接BF

,：AB=BC,且點尸是4c的中點,

：.BFVAC,ZABF=4CBF=^ZABC,

：?NCFD+/BFD=90°,

/CBF+NBFD=90°,

:?/CFD=/CBF,

:.NCFD=^ZABC.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是從復(fù)雜的圖形中找到相等的線段，這是利用等腰

三角形性質(zhì)的基礎(chǔ).

【變式33］如圖所示，A43c是等腰直角三角形，NZMC=90°,AB=AC.

(1)若D為BC的中點,過Z)作OA/_LON分別交A8、AC于M、N,求證：DM=DN；

(2)若。為8C的中點，OM_L￡W分別和84、AC延長線交于M、N,問。M和。N有何數(shù)量關(guān)系，并

證明.

【分析】(1)連接40,可得/AOM=NCQN,可證可得0M=ON：

(2)連接4。，可得/ADM=NCDN,可證△AMOg/XCN。，可得。M=Z)N.

【解答】解：(1)連接AD,

???。為BC中點，AB=AC,NB4c=90°

1.AD=BD,/BAD=NC,

:,AD=BD=DC,

???/AQM+NAQN=9()°，NADN+NCDN=9()°，

/.AADM=ZCDN,

在△AMO和△CNO中，

NADM=Z.CDN

AD=CD，

/.BAD=乙C

:AAMD安ACND(ASA),

???DM=DN.

(2)連接A。，,:D為BC中點,：,AD=BD,NBAD=NC,

圖2

VZADM+ZA/DC=90°,NMDC+NCDN=9D°,

ZADM=NCDN,

VZMAD=MAC+DAC=\35<>,ZA<D=1800-ZACD=\35°

在△AA/。和△CN。中，

NADM=乙CDN

AD=CD,

Z.MAD=乙NCD

:?△AMDmACND（ASA）,

:?DM=DN.

【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△AMOga

CNO是解題的關(guān)鍵.

【考點4等腰三角形的性質(zhì)（作等腰三角形）】

[例4]（2020秋?隨縣期末）已知：如圖，下列三角形中，4B=AC,則經(jīng)過三角形的一個頂點的一條直

線能夠?qū)⑦@個三角形分成兩個小等腰三角形的是（）

451

36,

D.①③

【分析】頂角為：36°,90°,108°的四種等腰三角形都可以用一條直線把這四個等腰三角形每個都分

割成兩個小的等腰三角形，再用一條直線分其中?個等腰三角形變成兩個更小的等腰三角形.

【解答】解：由題意知，要求“被一條直線分成兩個小等腰三角形”，

①中分成的兩個等腰三角形的角的度數(shù)分別為：36°,36°,108°和36°,72°,72°,能；

②不能；

③顯然原等腰直角三角形的斜邊上的高把它還分為了兩個小等腰直角三角形，能；

④中的為36°,72,72°和36°,36°,108°,能.

故選:A.

【點評】本題考杳了等腰三角形的判定；在等腰三角形中，從一個頂點向?qū)呉粭l線段，分原三角形

為兩個新的等腰三角形，必須存在新出現(xiàn)的一個小等腰三角形與原等腰三角形相似才有可能.

【變式41】（2020?海門市一模）線段A8在如圖所示的8義8網(wǎng)格中（點A、B均在格點上），在格點上找

一點C,使△ABC是以N8為頂角的等腰三角形，則所有符合條件的點。的個數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】根據(jù)題意可得，以點8為圓心，長為半徑畫圓，圓與格點的交點即為符合條件的點C.

【解答】解：如圖所示：

使△ABC是以N8為頂角的等腰三角形，

所以所有符合條件的點C的個數(shù)是6個.

故選：C.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定.

【變式42］（2019秋?安陸市期末）如圖，已知△ABC中，A3=3,AC=5,BC=7,在△43C所在平面內(nèi)

一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中有一個邊長為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別利用人8為底以及/W為腰得出符合題意的圖形即可.

【解答】解：如圖所示，當(dāng)A，=4~=3,BA=BD=3,AB=AE=3,BG=AG時，都能得到符合題意的

【點評】此題主要考查了等腰三角形的判定等知識，正確利用圖形分類討論得出等腰三角形是解題關(guān)鍵.

【變式43】（2019秋?鼓樓區(qū)月考）如圖，宜線QQ上有一點。，點A為直線外一點，連接04在直線PQ

上找一點從使得△404是等腰三角形，這樣的點8最多有個.

【分析】分別以A、O為圓心AO長為半徑畫弧，作AO的垂直平分線，即可在直線PQ上我一點已使

得△A0/3是等腰三角形.

【解答】解：如圖所示，分別以A、。為圓心，40長為半徑畫弧，與直線PQ的交點④，氏，&符合

題意；作A0的垂直平分線，與直線PQ的交點&符合題意，若B2,B3,以不重合，則最多有4個.

故答案為：4.

【點評】本題主要考杳等腰三常形的判定，利用圓上的點到圓心的距離相等確定點P的位置是解題的關(guān)

腱，也是這類問題的常用方法.

【考點5等邊三角形的性質(zhì)（含30°直角三角形）】

【方法點撥】掌握直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【例5】（2019秋?大洼區(qū)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，BC=2,。是A8的中點，過點。作O/LL

4c于點F,過點/作￡凡1_8。于點E,則8F的長為（?

【分析】根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，求得AF,CF,CE,即可得出8E

的長.

【解答】解：???△ABC為等邊三角形,

???N4=NC=60°,AB=AC=BC=2,

VDF±AC,FELBC,

：.ZAFD=ZCEF=9()°,

AZADF=ZCFE=3()0,

：.AF=^AD,CE=icF,

???點。是A8的中點，

133

：.AF=I，CF咦CE=*,

35

:?BE=BC?CE=2—輸=橙,

44

故選：C.

【點評】本題考查了含30°角直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握含30°角直角三

角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式51】(2019秋?濟南期末)如圖，點P、M、N分別在等邊△ABC的各邊上，且MPL4B于點P,

MN上BC于點M,PNLAC于?點、N,若AB=l2cm,求CM的長為.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出NA=NB=NC,進而得出/加28=/\"。=/尸麗=90°,再根

據(jù)平角的意義即可得出NNPM=NPMN=NMNP,即可證得是等邊三角形；根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)得到%=8M=CMPB=MC=AN,從而求得8M+P8=/18=12c”，根據(jù)直角三角形30°角所對的

直角邊等于斜邊的一半得出2戶即可求得P/3的長，進而得出MC的長.

【解答】解：???△ABC是正三角形，

；?ZA=ZB=ZC,

YMPLAB,MNLBC,PMLAC,

AZMPB=ZNMC=ZPNA=90°,

???4PMB=4MNC=NAPN,

???ZNPM=NPMN=NMNP,

???△PMN是等邊三角形，

:,PN=PM=MN,

：APBM@4MCN@4NAP(AAS),

:.M=BM=CN,PB=MC=AN,

：.BM+PB=AB=\2cin,

:△ABC是正三角形,

AZA=Z^=ZC=60°,

：.2PB=BM,

：.2PB+PB=\2cm,

/.PB=4cm,

：?MC=4c〃i

故答案為：4cm.

【點評】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平角的意義，一:角形全等的性質(zhì)等，得出

=/MNP是本題的關(guān)鍵.

【變式52】（2019秋?五常市期末）如圖，△4BC是等邊三角形，。是8c延長線上一點，。區(qū)LA4于點￡

EFLBC于點F.若CO=3AE,CF=6,則AC的長為.

【分析】AC與OE相交于G,如圖,利用等邊三角形的性質(zhì)得到AB=8C=AC,/A=/B=NACB=60°,

再證明CG=C。，設(shè)AE=.K,則CO=3X,CG=3X,利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AG=2AE

=2r,所以44=AC=AC=5x,貝UAE=4.r,HF=5x-6,然后在RtZkAE廠中利用AE=2AF得至U4x=2

（5x-6）,解方程求出x后計算5x即可.

【解答】解：AC與。E相交于G,如圖，

???△A8C為等邊三角形，

：.AB=BC=AC,ZA=ZB=ZACB=60°,

'/DELAE,

.??/AGE=3O0,

AZCGD=30°,

■:ZACB=ZCGD+ZD,

AZD=30°,

:.CG=CD,

設(shè)AE=x,則CO=3x,CG=3x,

在RtZXAEG中，AG=2AE=2J,

：,AB=BC=AC=5x,

BE=4x,BF=5x-6,

BE=2BF,

即4x=2(5x-6),解得x=2,

?MC=5x=IO.

故答案為10.

【點評】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的

一半.也考查了等邊三角形的性質(zhì).

【變式53](2019秋?南崗區(qū)校級月考)如圖，/XABC是等邊三角形，。石〃分別交BC、4c于點。、E,

過點E做EFlDE,交線段BC的延長線于點F.

(1)求證：CE=CF；

(2)若BD=*：E,A8=8,求線段。尸的長.

【分析】(1)由題意可證△OEC是等邊三角形，可求NECD=NDEC=60°,根據(jù)三角形外角等于不

相鄰的兩個內(nèi)角的和，可求NCEF=NCFE=30°,即可得CE=C〃；

(2)由題意可得BO=2,CD=6,即可求。尸的長.

【解答】解：(1)???△43C是等邊三角形

:.AB=AC=BC,ZBAC=ZABC=ZACB=60'i

■:AE=BD

：.AC-AE=BC-BD

：.CE=CD,且N4C5=60°

???△CQK是等邊三角形

:?NECD=NDEC=60°

?：EFLDE

???NOE產(chǎn)=90°

/.ZCEF=30°

,?NDCE=ZCEF+ZCFE=60°

：.ZCEF=ZCFE=30°

：，CE=CF

(2)*：BD=1CE,CE=CD

：.BD=\CD

?J

VAB=8

；?BC=8

:.BD=2,CD=6

?：CE=CF=CD

???CF=6

：.DF=DC+CF=\2

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟練運用等邊三角形的性質(zhì)和判定解決問題是本題的關(guān)鍵.

【考點6等邊三角形的判定與性質(zhì)綜合】

[ft6]（2019秋?雨花區(qū)校級月考）已知如圖等腰△ABC,AB=AC,NBAC=120°,A/）_LBC于點/）,

點P是延長線上一點，點。是線段上一點，OP=OC,下面的結(jié)論：①N4PO+NDCO=30°；

（2）ZAPO=ZDCO：③△OPC是等邊三角形；@A13=AO+AP.其中正確的是（）

A.①③④B.①②③C.①③D.①②③④

【分析】①利用等邊對等角，即可證得：ZAPO=ZABO,ZDCO=ZDBO,則NAPO+NOCO=NABO+

以人據(jù)此即可求解；

②因為點。是線段A。上一點，所以B。不一定是NA8。的角平分線，可作判斷；

③證明NPOC=60°且OP=OC,即可證得AOPC是等邊三角形；

④首先證明△。小咨△CPE,則AO=CE,AC=AE+CE=A()+AP.

【解答】解：①如圖1,連接。從

*：AB=AC,AD±BC,

:,BD=CD,ZBAD=^ZBAC=1x120°=60°，

：.OB=OC,NA8C=90°-ZBAD=30°

,:OP=OC,

:.OB=OC=OP,

:.ZAPO=NABO,ZDCO=NDBO,

：.ZAPO+ZDCO=ZAliO+ZDBO=ZAHD=3()°；

故①正確；

②由①知：ZAPO=ZABO,ZDCO=ZDBO,

???點。是線段AD上一點，

???NABO與/DBO不一定相等，則NAPO與NOC。不一定相等，

故②不正確；

?VZ/4PC+ZDCP+ZP?C=I8O0,

AZAPC+ZDCP=150°,

VZAPO+ZDCO=30°,

???NOPC+NOCP=120°,

AZPOC=180°-(ZOPC+ZOCP)=60°,

?：OP=OC,

???△OPC是等邊三角形；

故③正確；

④如圖2,在AC上截取AE=出，連接。從

VZMf=1800-ZBAC=60,

???△APE是等邊三角形，

???NPE4=NAPE=60°,PE=PA,

???NAPO+NOPE=60°,

,?NOPE+NCPE=NCPO=6U0,

：.4APO=/CPE,

?：OP=CP,

在△。附和△(?「￡；中，

<PA=PE

1/.APO=乙CPE,

【OP=CP

:.△OPA/XCPE(SAS),

：.AO=CE,

：,AC=AE+CE=AO+AP；

故④正確；

本題正確的結(jié)論有：①③④

故選：A.

P

BDC

圖2

【點評】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與

性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵.

【變式61】（2020春?龍泉驛區(qū)期末）如圖，C為線段4E上一動點，（不與點A、E重合），在AE同側(cè)

分別作正△ABC和正△COE,A。與BE交于點。，AD與BC交于點P,BE與CD交于點、Q,連接PQ.

求證：(1)AD=BE

(2)AAPC^ABQC

(3)△PCQ是等邊三角形.

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定證明即可：

(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定證明即可.

【解答】證明：(1)???△ABC和△COZ?是正二角形，

：,AC=BC,CD=CE,/ACB=NDCE=60°,

4ACD=NACB+NBCD,NBCE=NDCE+NBCD,

???NACD=NBCE,

:.XNDC9叢BEC(SAS),

:?AD=BE：

(2)?:ADCgABEC,

AZACP=ZBCQ,AC=BC,ZCAP=ZCBQ,

A^APC^/XBQC(ASA)；

(3),：CD=CE,NDCP=NECQ=60°,NADC=NBEC,

r.ACDP^ACEC(ASA).

???CP=CQ,

.??NCPQ=NCQP=60°,

???△CPQ是等邊三角形.

【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定等知識點；得到三角形全等是正確解答本題的

關(guān)鍵.

【變式62】(2020?煙臺)如圖，在等邊三角形ABC中，點E是邊AC上一定點，點。是直線BC上一動

點，以O(shè)E為一邊作等邊三角形OER連接CF.

【問題解決】

如圖1，若點。在邊3c上，求證：CE+CF=CD；

【類比探窕】

如圖2,若點。在邊8c的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE,C尸與CO之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理

由.

【分析】【問題解決】在C。上截取CH=CE,易證是等邊三角形，得出EH=EC=CH,證明△

DEHqAFEC(SAS),得出O”=CR即可得出結(jié)論：

【類比探究】過。作。G〃A8,交AC的延長線于點G,由平行線的性質(zhì)易證NGQC=NZ)GC=60°,

得出△GCD為等邊三角形，則OG=CD=CG,證明/△尸CD(S4S),得出EG=W,即可得出

FC=CD+CE.

【解答】【問題解決】證明：在CO上截取CH=CE,如圖1所示：

「△A8c是等邊三角形，

NECH=60°,

???△CEH是等邊三角形，

：.EH=EC=CH,ZCEH=60°,

???△OE/是等邊三角形，

:?DE=FE,ZDEF=60°,

NDEH+ZHEF=ZFEC+ZHEF=60°,

/.Z1DEH=/戶EC,

在和△bEC中，

<DE=FE

乙DEH="EC,

EH=EC

:.△DEHW/XFEC(SAS),

:,DH=CF,

:.CD=CH+DH=CE+CF,

：.CE+CF=CD；

【類比探究】解：線段C￡,C”與CO之間的等量關(guān)系是尸C=CQ+C￡：理由如下:

???△ABC是等邊三角形，

???NA=N8=60°,

過。作。G〃48,交4c的延長線于點G,如圖2所示：

t：GD//AB,

???NGOC=NB=60°,ZDGC=ZA=60°,

/.ZGDC=ZDGC=60°,

???△GCO為等邊三角形，

:.DG=CD=CG,ZGDC=6Q°,

???△KD”為等邊二角形，

:?ED=DF,NEQ”=NGQC=60°,

:,NEDG=/FDC,

在△EGO和△/C。中，

ED=DF

乙EDG=Z.FDC,

DG=CD

:.△EGDW/XFCD(SAS),

：.EG=FC,

:.FC=EG=CG+CE=CD+CE.

B

圖1

【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識；作輔

助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)健.

【變式631（2019秋?東臺市期末）在等邊△A4C的兩邊A3、AC所在直線上分別有兩點M、MD為二

48。外一點，且NM￡W=60°,ZBDC=\20°,BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線46、AC」二移動

時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關(guān)系.

（1）如圖1,當(dāng)點M、N邊AB、AC上，且DM=ON時，，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此

,.Q

時7=；

La

（2）如圖2,點M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)QMNON時，猜想（/）問的兩個結(jié)論還成立嗎？若成立

請直接寫出你的結(jié)論；若不成立請說明理由.

（3）如圖3,當(dāng)M、N分別在邊48、C4的延長線上時，探索8M、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并

給出證明.

【分析】（1）由DM=DN,ZMDN=60°,可證得△MQN是等邊三角形，又由△ABC是等邊三角形，

CD=BD,易證得RtaBOM絲RtACOM然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得8M、NC、MN之間的數(shù)

02

量關(guān)系BM+NC=MN,此時一二一；

L3

（2）在CN的延長線上截取連接。Mi.可證0/XOCMi,即可得。易證得

ZCDN=ZMDN=60°,則可證得△MDNg/kMiQN,然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論仍然成立;

（3）首先在CN上截取連接DMi,可證△Q8M名△OCMi,即可得0M=OMi,然后證得/

CDN=/MDN=60°,易證得AMDN@AMiDN,則可得NC-8M=MN.

【解答】解：（1）如圖1,BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC=MN.

。2

此時一=—.（2分）.

L3

理由：,:DM=DN,/MDN=6G,

是等邊三角形，

???△A3c是等邊三角形，

AZA=60°,

?:BD=CD,ZBDC=120°,

.\ZDBC=ZDCB=3QQ,

:./MBD=NNCD=90°,

?；DM=DN,BD=CD,

,RSDMgRlACDN,

:?/BDM=NCDN=30°,BM=CN,

:.DM=2BM,DN=2CN,

，MN=2BM=2CN=BM+CN；

：.AM=AN,

??.△AMN是等邊三角形，

,：AB=AM+BM,

：.AM：AB=2：3,

?Q2.

*'L-3'

（2）猜想：結(jié)論仍然成立.（3分）.

證明：在NC的延長線上截取=連接。Mi.（4分）

?；NMBD=NMiCD=90°,RD=CD,

:?ADBMqADCMi,

：.DM=DM\,ZMBD=ZM\CD,

?：NMDN=60°,N8OC=120°,

/.ZM\DN=ZMDN=60°,

工/\MDN絲LMTDN,

???MN=MiN=MiC+NC=BM+NC,

:?XAMN的周長為：AM+MN-^AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC,

?Q2

??一=一;

L3

（3）證明：在CN上截取連接。Mi.（4分）

可證△DBMgZSDCMi,

：.DM=DM\,（5分）

可證NMiDN=NMDN=6（『，

:,AMDNgAMiDN,

:,MN=M1N,（7分）.

:.NC-BM=MN.（8分）.

【點評】此題考查「等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識.此

題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法.

【考點7共點等腰（手拉手模型）】

【例7】（2019秋?墾利區(qū)期中）已知：如圖，在△ABC,七中，NB4c=NZME=90°,AB=AC,

AD=AE,點C,D,E三點在同一條直線上，連接80,BE.以下四個結(jié)論：

①BD=CE；@BD±CEi?ZACE+ZDBC=45°；④NACE=NDBC.

其中結(jié)論正確的個數(shù)有（）

Z4D

B

A.1B.2C.3D.4

【分析】①由48=AC,AD=AE,利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用S4S得出△48Z注△AEC,由全

等三角形的對應(yīng)邊相等得到BD=CE；

②由△44。0Z\AEC得到一對角相等，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)及等量代換得到BD垂直于CE；

③由等腰直角三角形的性質(zhì)得到NA4Q+N。4c=45°,等量代換得到NAC￡+N。4c=45°；

④由8。垂直于CE,在直角三角形3OE中，利用勾股定理列出關(guān)系式，等量代換即可作出判斷.

【解答］解：ZBAC=ZDAE=90°,

ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,即NZMD=NCA￡,

在△B4。和△C4E中，

AB=AC

乙BAD=4CAE,

lAD=AE

???△R4￡)且△C4E(SAS),

：?BD=CE,本選項正確；

②???△84。g/XCAE,

JZABD=ZACE,

VZABZHZDBC=45°,

???N4CE+NOBC=45°,

：?NDBC+NDCB=NDBC+NACE+NACB=90°,

則BOJ_CE,本選項正確；

③???△ABC為等腰直角三角形，

AZABC=ZACB=45<>,

AZABD+ZDBC=45°,

???ZABD=ZACE

AZACE+ZDBC=45°，本選項正確;

?VNABD=NACE,

，只有當(dāng)NA8Q=NO8C時，NACE=/DBC才成立.

綜上所述，正確的結(jié)論有3個.

【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三比形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與

性質(zhì)足解本題的關(guān)鍵.

【變式71］（2019?濱州）如圖，在△Q48和△OC。中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,/AOB=NCOD

=40°,連接AC,BD交于點M,連接OM.下列結(jié)論：?AC=RD；②NAM8=40°；③OM平分/

BOC；④M。平分N8MC.其中正確的個數(shù)為（）

【分析】由SAS證明△AOC絲AB。。得出NOCA=NOO8,AC=BD,①正確；

由全等三角形的性質(zhì)得出NO4C=NOBQ,由三角形的外角性質(zhì)得：ZAMB+ZOAC=ZAOB+ZOBD,

得出NAMB=NAOB=40°,②正確；

作OG_LMC于G,OHLMB于H,如圖所示：則NOGC=N0"。=90°,由A4S證明△OCG四△OQH

（AAS）,得出06=0”,由角平分線的判定方法得出MO平分N8MC,④正確；

由N4O4=NCOO,得出當(dāng)NDOM=N4OM時，OM才平分N80C,假設(shè)NQ0M=N40M,由△AOC

且△40。得出N=N40M,由MO平分N8MC得出NCMO=N8WO,推出△0△3OM,得O4=OC,

而04=08,所以O(shè)A=OC,而。4>0C,故③錯誤；即可得出結(jié)論.

【解答】解：???NA08=/C00=40°,

???ZAOBiZAOD=ZCOD\/AOD,

即NAOC=NBOD,

OA=OB

在△40C和△BO。中，z_AOC=Z.BOD，

OC=OD

:.△AOC/XBOD(SAS),

???NOCA=NOOB,AC=BD,①正確；

；?NOAC=NOBD,

由三角形的外角性質(zhì)得：ZAMB+ZOAC=NAOB+ZOBD,

AZAMB=ZAOB=4(r,②正確；

作OG_LMC于G,0〃_LM3于H,如圖2所示：

則/。6。=/0〃。=90°,

Z.OCA=乙ODB

在△OCG和中，乙OGC=乙OHD，

OC=OD

:.AOCG安AODH(A4S),

：?OG=OH,

???MO平分/BMC,④正確；

,?NAOB=NCOD,

???當(dāng)NQOM=NAOM時，OM才平分NBOC,

假設(shè)NOOM=N4OM

*.*△AOgLBOD,

：,4=/BOM,

???MO平分NBMC,

：,4CM0=4BM0,

(乙COM=LBOM

在△和△80例中，\0M=OM,

\LCMO=LBMO

(ASA),

：,OB=OC.

,：OA=OB

：.OA=OC

與Q4>0C矛盾,

，③錯誤；

正確的個數(shù)有3個;

故選:B.

0

【點評】本題考杳了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識；證明三角

形全等是解題的關(guān)鍵.

【變式72】（2019秋?常德期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,ZVICB和△￡＞（7￡均為等邊三角形，點A,D,E在同一直線上，連接8E,求NAEB的度數(shù).

（2）拓展探究

如圖2,ZViCB和△OCE均為等腰直角三角形，N4CB=NDCE=90°,點4、D、E在同一直線上，

CM為△QCE中。石邊上的高，連接BE.請求/AE8的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并

【分析】(1)先證出NACO=N8CE,那么△ACO四△BCE,根據(jù)全等三角形證出/AQC=N8EC,求

11]ZADC=120°,得出/8EC=120°,從而證出/AEB=60°；

(2)證明△ACOgABCE,得出NAZ)C=NBEC最后證出。M=ME=CM即可.

【解答】解：(1)???△4C8和△QCE均為等邊三角形，

:?CA=CB,CD=CE,NACB=NDCE=60°,

ZACD=600-NCDB=NBCE.

在△ACO和△8C￡中，

AC=BC

Z.ACD=Z.BCE>

CD=CE

:.△ACD/?BCE(SAS).

NADC=NBEC.

???△OCE為等邊三角形，

：.ZCDE=ZCED=60<,.

???點A,。，E在同一直線上，

AZADC=120°,

；?NBEC=120°.

???NAEB=NBEC-NCED=6D°.

(2)NAEB=90°,AE=BE+2cM.

理由：???△4C4和△&?七均為等腰直角三角形,

:.CA=CB,CD=CE,NACB=NDCE=90°.

???ZACD=ZBCE.

在△ACO和中，

CA=CB

乙ACD=乙BCE,

CD=CE

:.△ACDQXBCE(SAS').

；?AD=BE,NADC=NBEC.

???△OCE為等腰直角三角形，

：?NCDE=NCED=45°.

???點A,D,E在同一直線上，

AZADC=135°,

??.NBEC=135°.

；?/AEB=NBEC-NCED=9D°.

,:CD=CE,CMIDE,

:?DM=ME.

VZDCE=90°,

:.DM=ME=CM.

AE=AD+DE=BE+2CM.

【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)；證明

三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

【變式73】（2020秋?上蔡縣校級期中）已知RtZVWC中，AB=AC,NABC=NACB=45°,點Q為直線

BC上的一動點（點。不