甘肅省張掖市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題

1.己知tan，=2,則tan2。=()

443

A.4B.-C.—D.

334

2.從稻田中隨機(jī)抽取7株水稻苗，測得苗高（單位：cm）分別是23,24,23,26,25,23,25.則這組

數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.26,25B.26,24C.23,24D.23,23

3.復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)號在復(fù)平酈對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，則”（）

4.甲乙兩人玩跳棋游戲，約定由觸兩次硬幣的結(jié)果確定誰先走，若兩次都止面向上，則甲先走，否則乙先

走，已知甲先走的情況下，甲勝的概率為P,乙先走的情況下，甲勝的概率為:〃，則甲獲勝的概率是（）

35I2

A.1——pB.-pC.1——pD.—p

8833

5.已知名尸,7是不重合的三個平面，加是直線，則下列說法錯誤的是（）

A.若。與夕不垂直，"?_1_夕，則6

B.若a_L￡,acR=m,點Pea,PTA.ni,則RFJ?6

C.若a_Ly,all/h則6_Ly

D.若a_L7,/?1/,a04=〃?，則，〃，/

6.已知平面向量。=（2,4）,/:=（2,1）,則向量不在向量他+海）上的投影向量的坐標(biāo)為（）

A.（手與）B.（2技2⑸C.（2技石）D.（3,3）

7.已知VABC中，角的對邊分別為〃，b,c,a<b<c,V"C的外接圓圓心為。，則（）

A.OAOB<OAOC<OBOCB.OAOB<OBOC<OAOC

C.OBOC<OAOC<OAOBD.OAOC<OBOC<OAOB

8.如圖，直三棱柱ABC—A,4G的底面為直角三角形，ZACB=90,AC=6拉，8C=CC；=4,/,是8G上

一動點，則CP+PA的最小值為1）

AC

B,

By

A.4石B.2734C.85/5D.2V22

9.已知隨機(jī)事件小B,5表示事件8的對立事件，0（4）=040（團(tuán)=0.6,則下面結(jié)論正確的是（）

A.事件A與8一定是對立事件

B.P（Au8）=l

C.P（AB）=0.24

D.若事件A、B相互獨立，則P（A》）=0.16

二、多選題

10.已知z=2+i為關(guān)于*的方程/+公+5=0,￡1＜）在復(fù)數(shù)范闈內(nèi)的一個根，則（）

A.|Z2|=5B.〃=4

C.?+2為純虛數(shù)D.2—i為關(guān)于工的方程/+ar+5=0的另一個相

Z

11.已知圓臺的上底面圓心為。下底面圓心為。2,過直線。02的平面截圓臺得截面為梯形AAC7）,其中

。2在線段A〃上，01在線段。。上，AB=2BC=2CD=2,E為弧AB上的動點（不與點A,B重合），則下

列說法中正確的有（）

A.當(dāng)E為弧48的中點時，異面直線AD和CK所成的角的大小為1

4

B.幾何體ABCDE的體積最大值為正

4

C.圓臺外接球的表面積為16不

D.直線CE與下底面所成的角的最小值為夕

0

三、填空題

12.已知復(fù)數(shù)z=/〃2一/1+（〃―2）i為純虛數(shù)，則實數(shù)"7的值為.

13.在VA8C中'NBAC為直角'/8AC的平分線也交BC于且有而=；/+，福若鉆=4’則

AD=.

14.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-44GA中，尸為。2的中點，。為正方形械〃。內(nèi)一動點，且4Q//

平面8CJ,則點。的軌跡的長度為

四、解答題

15.將一枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子（四個面的點數(shù)分別為1,2,3,4）先后拋擲兩次，分別觀察底面上

的點數(shù)，第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)用數(shù)對（乂田表示.

⑴寫出這個試驗的樣本空間;

⑵向量。=（卜1），方=（內(nèi)），記事件萬＞0,求事件A發(fā)生的概率.

16.已知「為銳角，sin(a+/?)=；,sinacos/?=1.

⑴求證：tailor=2tan/7；

⑵求cos(a-〃)的值.

17.在銳角三角形ABC中，a,1）,。分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊，且siiMlsinA-sinOusinYA+O-sin2。.

⑴求角B；

（2）若a=2,求VA6C周長的取值范圍.

18.某MOBA游戲統(tǒng)計了100名玩家的團(tuán)戰(zhàn)支援評分（百分制，分?jǐn)?shù)越高支援效率越高），并按分?jǐn)?shù)作出

如圖所示的頻率分布直方圖.

題號12345678910

答案CCDBBDABDAD

題號11

答案AB

1.c

利用二倍角的正切公式即可求解.

2tan6>2x24

【詳解】tan2^=

l-tan26>-1-223

故選:C.

2.C

把給定的數(shù)據(jù)組由小到大排列，再求出眾數(shù)及中位數(shù).

【詳解】原數(shù)據(jù)組由小到大排列為：23,23,23,24,25,25,26,

所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是23,24.

故選:C.

3.D

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的幾何意義即可得到答案.

1+i(l+i)(l-2i)3-i31.<31)

【詳解】八一丁不,其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為不-三

1+21=(K1+21)(1-21)55515

則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為所以z=

故選：D.

4.B

由互斥事件的概率公式即可求解；

【詳解】由題意可知：甲先走的概率為:，則乙先走的概率為

44

甲獲勝內(nèi)兩種情形：甲先走且獲勝；乙先走且甲獲勝，

則甲獲勝的概率廣I〃+乎3彳1〃5=。，

4428

故選：B.

5.B

根據(jù)線面、面面位置關(guān)系的相關(guān)判定定理與性質(zhì)定理逐一判斷即可.

【詳解】對于A,若〃?ua,則aJL/，與題目條件與“不垂直”矛盾，故mBa,A正確;

對于B,若Psm,則PFua不一定成立，從而尸丁不一定成立，B錯誤；

對于C,因々///,alyt即平面。與7成直角，故平面夕與7也成直角，即夕C正確;

對于D,如圖，因a_Ly,0上y,設(shè)=，過平面7內(nèi)一點0在平面/內(nèi)作,

由機(jī)可知〃?ua,〃?u//,則c_L〃z,d_L/〃，因故m即D正確.

故選:B.

6.D

利用投影向量的計算公式結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式計算即可.

【詳解】由M=(2,4),b=(2,\),可得壽=26，

75=2x2+4x1=8,且2+25=(2,4)+2(2,1)=(6,6),

則。?(值+2石)=(2.4)?(6,6)=2x6+4x6=36,|J+2^|=\/62+62=6^2,

則問量a在向量(〃十2可上的投影向量為：

a+2b36/___1/_

■?------zr=,.,-(tz+2br)=—(a+2b),

\a+2b\(6V2)22

故向量a在向量W+2/；)上的投影向量的坐標(biāo)為;(6,6)=(3,3).

故選:D.

7.A

結(jié)合圖形，利用向量數(shù)量積的定義和平面幾何知識依次得到04?加=l-2sin24c8，

OBOC=\-2sin2ZBAC，OX-OC=l-2sin2ZAZ?C，利用a<〃<c和正弦定理即可比較大小.

【詳解】如圖，設(shè)V4AC的外接圓半徑為1,則o4<M=cosN406=cos2N4CB=l-2sin2NAC4,

同理9?元=cos2ZBAC=1-2sin2ZB/lC，OAOC=cos2NA3C=I-2sin2ZABC.

又由a<〃<c和正弦定理，可知sinC>sinB>siiiA>0.

故得l—2sin2A>l—2sin?>l—2sin2C,BPOROC>OAOC>OAOR.

故選:A.

結(jié)合圖形，沿8cl將△C8G翻折至與VA/G在同一個平面內(nèi)，則AC的長度即CP+PA的最小值，求出相

關(guān)邊長和角，利用余弦定理求出的長即可.

【詳解】

連接A8,沿SG將△C8G翻折至與VABG在同一個平面內(nèi)，如圖，連接4。，

則的長度即CP+M的最小值.

由題設(shè)可知AG_1_毋C],又A]G_LCC],CC[=G，CG，4GU面與CC

.?.AG_L平面與GC8,因AC|U平面B|GC8,故ACJBG.

在平面圖形中，因8C=CG=4,NBCC\=90,則N8CC=45\Z^C.C=135\AG=AC=6夜，

由余弦定理，可得AC=J-c：+qc：-2\G?c,?cosi35。=2后.

故選：B.

9.D

舉例判斷AB,由于不確定事件A、8的關(guān)系，故不能求解?（Au8）,P（AB）,即可判斷C,結(jié)合對立事件

概率公式和相互獨立事件乘法公式求解。（人為判斷D.

【詳解】對于AB,一個密封的盒子中有標(biāo)號為1,2,3,4,5的5個小球從中任取1球,

記事件A：從中取出球的標(biāo)號為12,事件B：從中取出球的標(biāo)號為1,2,3,

則P（A）=0.4/（A）=0.6,滿足P（A）+P（4）=1,但A3不是對立事件，故A錯誤：

由上例可知P（Au3）=P（8）=0.6,故B錯誤;

對干C,P（AB）=P（A）P（3）僅在事件4、B相互獨立時才成立，而不知道事件A、B的關(guān)系，故不確定P（AB）

的值，錯誤.

對于D,若事件A、B相互獨立，則事件A、豆也相互獨立，

所以P（A與）=P（A）,（豆）=P（A）（1—P（笈））=0.4x（l—0.6）=0.16,正確.

故選：D

10.AD

根據(jù)實系數(shù)的一元二次方程的根的特征，及共扼復(fù)數(shù)、純虛數(shù)的概念，利用復(fù)數(shù)的四則運算和模長公式即

可逐一判斷各選項.

【詳解】對A,YzuZ+i，?.?,|=|（2+i）［=|3+4i|=5,故A正確；

對C,-+2=-^-+2=4-i,故C錯誤；

z2+1

對D,又z=2+i為關(guān)于尤的方程f+or+5=0（aeR）的一個根，故5=2-i也是方程的根，即D正確；

對B,z+z=4=-tz,：.a=-4,故B錯誤.

故選：AD.

11.AB

對于A,利用平移得到異面直線所成的角，解三角形即得：對于B,結(jié)合A項結(jié)論，當(dāng)E為弧A8的中點時,

QE_L平面A8C。，，得到體積最大值；對于C,借助于圓臺的軸截面，利用勾股定理解方程即可求得外接

球半徑從而得解；對于D,證明CN_L平面AAE,即得宜線C￡與下底面所成的角即為NCEN,利用正切值

結(jié)合點E的位置即可判斷.

【詳解】如圖，作CN_LA8于N,DMJ.AB于M,連接CO2,。遂，EN,

當(dāng)E為弧A8的中點時，可得A。//。。，AO.=DC,

所以四邊形4QC。是平行四邊形，AD//O2c且A。=02C,

則異面直線AO和CE所成的角為。夕與CE所成的角，即為N&CE,

因E為弧AA的中點，則又OG_L底面

而02EU底面ABE,則。|。2102E,nAB=。2,00”ABu平面ABCD,

平面ABC。，則EO2ICQ，又EO?=CO2=1,

則為等腰直角三角形，則故A正確；

幾何體ABCDE的體積即為四棱錐E-ABCD的體積，

顯然當(dāng)￡為弧A8的中點時，四棱錐E-ABCO的體積最大，

最大值為gxlxgx(l+2)x卜(?)一邛,B正確；

如圖，設(shè)圓臺的外接球的球心。在線段02a上，O0=x，則。0=￥-.1，

由勾股定理得f+1=苧7+；,解得x=0,

即。與0?重合，圓臺外接球的半徑為I,所以圓臺外接球的表面積為4兀，故C錯誤.

因為CN_LA4,CN//OP，,所以CN_L平面A8E,

所以直線CE與下底面所成的角即為ZCE/V,

在RtZXCNE,,要使NCEN最小，則需EN最大,

tanNCEN=—

ENEN2EN

E為弧A8上的動點(不與點A,B重合)時，故EN沒有最大值，所以NCEN沒有最小值，故D錯誤.

故選：AB.

12.-2

根據(jù)純虛數(shù)的定義列式計算即可.

【詳解】由題可得[…nr-4工=。0n〃』2.

故答案為：-2.

13.3夜

過點。作OE//A8交AC于點E,DF//AC交AB于點、F,由向量加法的法則結(jié)合條件可求得AC=12,將

已知向最等式取平方，利用向量數(shù)量積的運算律計算即可.

【詳解】如圖，過點D作OE//A8交AC于點E,DFI/AC交AB于苴F,

則Afj=』AC+/A月=4左+4T7,所以AE=」AC,BPAE--EC,AF-tAB-

443

sp1/")HPAR

又因4。平分NBAC,且/W=4,則等=：=能=蕓=嚷，解得AC=12,

EC3CDFAAC

33

則尸4==因此t=又福.正=0，

44

則卜=ji/\C1弓八#|2=(；八6;十\八方2

=4阿+當(dāng)時+/?"=?22+—42=]8.解得33萬

Io11Io11oIolo

故答案為：3五.

兩次應(yīng)用線面平行判定定理得出見汨〃平面gP,進(jìn)而得出點Q的軌跡為線段G”,計算即可求解.

【詳解】如圖，分別取AA，A。的中點“，G,連接與G,GH,HBitA],HP,

因為「為。A的中點，得HP//AA//BG，〃P=AR=BG，則四邊形"PC歸是平行四邊形，故用"http://PC;,

因為與“u平面片G〃，pqz平面&GH,故尸G//平面場GK,

又因為AB//AM//DG，AB=AS=?！?則四邊形"GA是平行四邊形，故g/"A，

因為G”〃A。，故BC\HGH,又8cs平面"G”,G"i平面4G”,可得8G〃平面4G〃，

且「。加8。|=￡,PC，8Gu平面8GP,故平面BQ"http://平面BCf.

又因為4Q//平面8CJ,故HQu平面片G”，故點。的軌跡為線段GH,其長為力.

故答案為：V2.

15.（1）答案見解析

（2）1

（1）根據(jù)試驗的結(jié)果可得答案;

（2）列出滿足4一），>0的樣本點，由古典概型概率計算公式可得答案.

【詳解】（1）因為每次骰子落地時，底面上的點數(shù)有1,2,3,4共4個可能的基本結(jié)果,

所以試驗的樣本空間為^={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2J),(幺2),(23),(24),(3,1),(3,2),(3,3),

（3.4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4））.

（2）為向量2=（1,-1）,〃=（x,y）,ab>0,所以工一》〉。，

則事件A包含的樣本點有（2,1）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,共6個,

由（I）知試驗的樣本空間包含16個樣本點，

所以事件A發(fā)生的概率為△=

IOO

16.（1）證明見解析

⑵叵

6

（1）由sinacos/?+cosasin/?=Lsin<zcos/?=-,得cosasin/?=1，從而由sinacos尸=2cosasi叨即可得證;

236

（2）先求得sin（a-〃），再根據(jù)平方關(guān)系、角的范圍即可求解.

【詳解】（1）因為sin（a+〃）=（

所以sinacos/?+cosasin/7=—,又sinacos夕=-,

23

所以cosasin'：一：=：,

236

sinasin/?

所以sinacos/7=2cosezsin/7,即---=2x---,

cosacos^

所以tana=2tan?；

111

(2)sin(or-/?)=sinacos^-coscysin/7=

366

i35

所以cos?(a_/7)=]-sin?(a_0=1一)

3636

因為以△為銳角，所以0<a<],0<^<p所以一]〈一萬〈0,

所以尸＜],所以cos(a_/?)=C=^

17.⑴NJ

（2）13+V3,6+2x/3）

（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和正弦定義邊角互化，求出三角形三邊之間的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理解三角形即可.

（2）由三角形形狀和角/?的大小，求出另外兩個角的范圍，根據(jù)正弦定理，用正弦值表示三角形各邊長,

再根據(jù)角的范圍，求出三角函數(shù)值的范圍，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷三角形周長的范圍.

【詳解】（1）在V4BC中，A+B-C=TI,

所以sinA(sin4-sinC)=sin2(A+C)-sin2C=sin28-sinP,

即sin24-siiv\sinC=sin2B-sin2C.

由正弦定理可得/—ac=從一,即CJ+c2_h2=*.

由余弦定理，得cosB="+c一）二

2ac2

因為《為銳角三角形ABC的內(nèi)角，所以8=1.

（2）由（1）知，B=因為VA8C是銳角三角形,

n271

所以Ac[。,]}C=y-A€|^0,|j,解得Ac

23HL

2b

ahc-----=-------=—

由正弦定理號=號=白，得/Ajgsin如-A

sinAsmBsine51,13sin

3

「up2sin—伉2sin

所以〃=—1=巫，”GcosA+sinAV3cosA,,

-------------------------Fl

sinAsirtAsinAsiiiAsinA

所以VABC的周長〃+〃+c=2+巫+叵吆+1=G("C°SA)+3.

sinAsinAsinA

24

20cos—

1+cosA1A47171

因為2'且六值力

sinA_.AA-"A2

2sin—costan

222

,1+cosA11

所以f€

7T71

tan-tan-

412；

.兀

sin

E、f兀.九6”2-向所以端d或2+@,

因為tan—=1,tan—=

412

1+COS

6

所以西匕c。833c

(3+瓜6+2@，

sirt4

即V48C的周長的取值范圍是（3+6,6+26）.

18.（1）4=0.025,第75百分位數(shù)為84

⑵74

（3）x=6O,s2=36

（1）根據(jù)每組小矩形的面積之和為1列式即可求解；

（2）由頻率分布直方圖平均數(shù)的計算公式求解即可I

（3）利用分層抽樣的平均數(shù)和方差的計算公式即可求解.

【詳解】（1）由題意知，0.05+0.1+0.2+0.3+104+0.1=1,解得a=0.025.

由題意知，團(tuán)戰(zhàn)支援評分在［40,80）的頻率為0.05+0.1+0.2+0.3=0.65,

團(tuán)戰(zhàn)支援評分在［40,90）的頻率為1-0.1=0.9,

故第75百分位數(shù)4在［80,90）,則0.65+M—80）x0.025=