考點21.與圓有關的計算（精講）

【命題趨勢】

從近年各地中考來，與圓相關的計算考查頻率還是比較高，主要結合圓周角和圓心角相關知識圍繞計

算正多邊形相關知識、弧長、扇形面積、不規(guī)則圖形的面積及圓錐相關知識命題，題型主要以選填題為主，

難度不大。預測2024年各地中考還會延續(xù)這種命題趨勢，并也有可能出現(xiàn)創(chuàng)新型題目。

【知識清單】

1：正多邊形的相關概念與計算（☆☆）

1）正多邊形的相關概念

正多邊形概念：各條邊相等,并且各個內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形。

正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的空心。

正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。

正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的空心魚。

正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的?邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

2）正多邊形的常用公式（R?為正多邊形外接圓的半徑）

1QAO1OAO1

邊長：an=2R)t-sin----；周長：Pn=nati；邊心距：rn=Rr-cos-----；面積：S”=—；

nn2

內(nèi)角度數(shù)：（〃-2）180。；外角/中心角度數(shù)：幽；邊長、半徑、邊心距的關系：=R：。

〃〃I4J

注意：正多邊形的內(nèi)切圓與外接圓為同心圓.

2：弧長、扇形面積、圓錐的相關計算（☆☆☆）

1）設回0的半徑為R,n°圓心角所對弧長為人n為弧所對的圓心角的度數(shù)，則

（1）弧長公式：5；（2）扇形面積公式：鼻用春或鳥』

（3）圓錐側面積公式：S圓錐側=坦（其中/是圓錐的母線長，,?是圓錐的底面半徑）

（4）圓錐全面積公式：S圓錐全二方廠/+兀/2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）

注：圓錐的相關公式難以記憶，建議牢記圓錐與側面展開圖的圖形形式，并理解側面展開圖與扇形之

間的關系。相關公式在解題過程中進行推導。

3：不規(guī)則圖形的面積的計算（☆☆☆）

求與圓有關的不規(guī)則圖形的面積時，最基本的思想就是拄傕思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉化為

規(guī)則圖形的面積。常用的方法有：割補法、等積變換法、圖形變換法等。

【核心考點】

核心考點1.正多邊形的相關概念與計算

例1：（2025年無錫市中考數(shù)學真題）卜列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對

稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長相等；④正〃邊形共有〃條對稱軸.其中真命題的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

變式1.（2025?廣東揭陽?統(tǒng)考一模）一個正多邊形的中心角為36。，則這個正多邊形的內(nèi)角和為度.

變式2.（2025湖南省衡陽市中考數(shù)學真題）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其

中3個正五邊形的位置.要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是個.

例2：（2025?四川成都?中考真題）如圖，正六邊形45C。所內(nèi)接于130,若（30的周長等于6乃，則正六邊形

的邊長為（）

A.6B.V6C.3D.26

變式1.（2025?湖南衡陽?校考模抵預測）已知圓的半徑為R,那么它的內(nèi)接正三角形的邊長是.

變式2.（2025?廣東?統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形ABCD跖內(nèi)接于00,正六邊形的周長是12,則正六邊形

A.6B,2C.2x/2D.26

例3：（2025年四川省德陽市中考數(shù)學真題）已知一個正多切形的i力心距與i力長才比為也.則這個正多功

2

形的邊數(shù)是（）

A.4B.6C.7D.8

變式1.（2025?四川雅安?中考真感）如圖，已知團。的周長等于6n,則該圓內(nèi)接正六邊形ABCOE/邙勺邊心距

r3+

D.3

2

變式2.（2025年浙江省杭州市中考數(shù)學真題）如圖，六邊形4?。。/是，。的內(nèi)接正六邊形，設正六邊形

ABCQEF的面積為，，AACE的面積為J，則率二

例4：（2025年安徽省舒城縣中考琪擬數(shù)學試題）如圖，正六邊形A8CD律內(nèi)接于：O,點。在月”上，。是

QE的中點，則NCP。的度數(shù)為（）

C.45°D.60°

變式1.（2025年安徽中考數(shù)學真題）如圖，正五邊形內(nèi)接于（。，連接OC。。，則/如E-NC8=

54°C.48°D.36°

變式2.（2025?吉林長春?校聯(lián)考二模）如圖，正六邊形ABCOEV內(nèi)接于〔O,點M在A尸上，則NCMO的

45"C.30,D.15,

核心考點2.弧長、扇形面積、圓錐的相關計算

例5：（2025年四川省達州市中考數(shù)學真題）如圖，四邊形A3CZ）是邊長為g的正方形，曲線OA4G24..

是由多段90。的圓心角的圓心為C,半徑為cq；GA的圓心為。，半徑為g…,。4、44、8￡、0?！?的圓

心依次為4、B、C、。循環(huán)，則人如與的長是（）

2023萬

D.20224

變式1.（2025.重慶中考模擬預測）如圖，扇形OAB的半徑為1,分別以點4、B為圓心，大于的長為

P,ZBOP=35°,則AB的長/=（結果保留兀）.

變式2.（2025年遼寧省大連市中考數(shù)學真題）圓心角為90。，半徑為3的扇形弧長為（）

D.L

A.2乃B.3nC.

2

變式3.（2025年湖北省荊州市中考數(shù)學真題）如圖，一條公路的轉彎處是一段圓?。ˋC）,點。是這段弧

所在圓的圓心，B為AC上一點，。于O.若AC=3008m,BO=15（）m,則AC的長為（）

A.300.rmB.200^mC.150/rmD.lOoVLrm

例6：（2025年山東省濟南市中考數(shù)學真題）如圖，正五邊形A3CQ￡的邊長為2,以A為圓心，以A4為半

徑作弧跖，則陰影部分的面積為（結果保留"）.

變式1.（2025?四川達州?中考真題）如圖所示的曲邊三角形可按下述方法作出：作等邊ABC,分別以點4

8,C為圓心，以A8長為半徑作8C，AC，48,三弧所圍成的圖形就是一個曲邊三角形.如果一個曲邊

三角形的周長為2兀，則此曲邊三角形的面積為（）

A.2元-26B.2凡-也C.2nD.兀-6

變式2.（2025年遼寧省錦州市中考數(shù)學真題）如圖，點A,B,C在。。上，ZAZJC=40°,連接Q4,OC.若

。的半徑為3,則扇形AOC（陰影部分）的面積為（）

4

A,B.冗C.—TCD.2乃

33

例7：（2025年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學真題）用一個圓心角為90。，半徑為8的扇形作一個圓錐的側面，

則這個圓錐的底面直徑是（）

A.6B.5C.4D.3

變式1.（2025年西藏自治區(qū)中考數(shù)學真題）圓錐的底面半徑是30〃，母線長l（k7〃，則它的側面展開圖的圓

心角的度數(shù)為.

變式2.（2025年浙江省寧波市中考數(shù)學真題）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm,母線長為50cm,

則煙囪帽的側面積為cmt（結果保留兀）

變式3.（2025年云南省中考數(shù)學真題）數(shù)學活動課上，某同學制作了一頂圓錐形紙帽.若圓錐的底面圓的

半徑為1分米，母線長為4分米，則該圓錐的高為分米.

例8：（2025年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學真題）某班學生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽.如圖，這

個圓錐的底面圓周長為20兀cm,母線A8長為30cm,為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進行裝飾，其中需要

粘貼一條從點A處開始，繞側面一周又回到點A的彩帶（彩帶寬度忽略不計），這條彩帶的最短長度是（）

A.30cmB.30GcmC.60cmD.20兀cm

變式1.（2025?廣東洪江?統(tǒng)考一模）如圖，已知圓錐底面圓的半徑為2cm,母線長為6cm,一只螞蟻從點4

出發(fā)沿圓錐側面一周（回到原來的位置A）所爬行的最短路徑為cm.

變式2.（2025?江蘇揚州?統(tǒng)考二模）如圖，已知圓錐的底面半徑是2百，母線長是6G.如果A是底面圓周

上一點，從點A拉一根繩子繞圓錐側面一圈再回到A點，則這根繩子的最短長度是.

核心考點3.不規(guī)則圖形的面積的計算

例9：（2025年四川省成都市數(shù)學中考真題）為傳承非遺文化，講好中國故事，某地準備在一個場館進行川

劇演出.該場館底面為一個圓形，如圖所示，其半徑是10米，從A到8有一筆直的欄桿，圓心O到欄桿A8

的距離是5米，觀眾在陰影區(qū)域里觀看演出，如果每平方米可以坐3名觀眾，那么最多可容納名

觀眾同時觀看演出.（幾取3.14,73?1.73）

變式1.（2025年重慶市中考數(shù)學真題（B卷））如圖，在矩形A3C。中，44=2,BC=4,E為的中

點，連接AE,。月，以E為圓心，所長為半徑畫弧，分別與AE,。月交于點M,N,則圖中陰影部分的面

變式2.（2025年青海省中考數(shù)學真題）如圖，正方形ABCQ的邊長是4,分別以點A,B,C,D為圓心，2

為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是（結果保留汗）.

例10：（2025年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學真題）如圖，正方形48CD的邊長為2,對角線ACB力相交于點。,

以點8為圓心，對角線8。的長為半徑畫弧，交8c的延長線于點E,則圖中陰影部分的面積為.

變式1.（2025年山東省濱州市中考數(shù)學真題）如圖，某玩具品牌的標志由半徑為1cm的三個等圓構成，且

三個等圓。?曾。2，。。相互經(jīng)過彼此的圓心，則圖中三個陰影部分的面積之和為（）

1

A.一/remB.一九cmC.一/remD./rem

432

變式2.（2025年湖北省恩施州中考數(shù)學真題）如圖，等圓01和Q相交于A,8兩點，&經(jīng)過C的

圓心。2,若（）。2=2,則圖中陰影部分的面積為（）

A.2TT

變式3.（2025年湖南省婁底市中考數(shù)學真題）如圖，正六邊形A8CQM的外接圓。的半徑為2,過圓心

O的兩條直線4、6的夾角為60。，則圖中的陰影部分的面積為（）

E

h

D

CI2

A.三兀7345C.-|^-x/3D.23

B.—71------

3032

例11:（2025年四川省廣安市中考數(shù)學真題）如圖，在等腰直角“8C中，ZACB=90°,AC=BC=2>/2f

以點A為圓心，4c為半徑畫弧，交于點E,以點8為圓心，8c為半徑畫弧，交AB于點尸，則圖中陰

影部分的面積是（）

A.n-2B.2兀-2C.2n-4D.4兀-4

變式1.（2025年湖北省鄂州市中考數(shù)學真題）如圖，在_A8c中，ZABC=90°,Z4CB=30°,A8=4,

點。為BC的中點，以。為圓心，08長為半徑作半圓，交AC于點。，則圖中陰影部分的面積是（）

A.56一岸萬B.56一4乃C.56-2冗D.106-2乃

變式2.（2025?湖北十堰?中考真題）如圖，扇形A08中，ZAOB=90°,04=2,點C為08上一點，將扇

形AOB沿AC折疊，使點8的對應點9落在射線A。上，則圖中陰影部分的面積為

A

變式3.（2025?河南周口?統(tǒng)考二模）如圖1所示的是以A4為直徑的半圓形紙片，AB=6,沿著垂直于A4的

半徑OC剪開，將扇形Q4C沿A8向右平移至扇形0次;，如圖2,其中點A與點。重合，點。與點用重合,

則圖中陰影部分的面積為.

例12：（2025年江蘇省蘇州市中考數(shù)學真題）如圖，在YA8co中，A3=6+l,0C=2,A〃_LC"垂足為

H,AH=6.以點A為圓心，A”長為半徑畫弧，與A8,AC,AD分別交于點￡,￡G.若用扇形人改圍成

一個圓錐的側面，記這個圓錐底面圓的半徑為上用扇形4”G圍成另一個圓錐的側面，記這個圓錐底面圓

變式1.（2025?吉林白山?統(tǒng)考一模）如圖，在半徑為5,圓心角為90。的扇形中，陰影部分的面積在半

徑為2的圓中，陰影部分的面積為邑，則，-$2=—（結果保留TI）.

變式2.（2025?湖南婁底?中考真題）如圖，等邊/8C內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊二.角形內(nèi)切

圓中的黑色部分和白色部分關于等邊.A8C的內(nèi)心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與.乂8c的面積之

比是（）

粵Y。華7

考點21.與圓有關的計算（精講）

【命題趨勢】

從近年各地中考來，與圓相關的計算考查頻率還是比較高，主要結合圓周角和圓心角相關知識圍繞計

算正多邊形相關知識、弧長、扇形面積、不規(guī)則圖形的面積及圓錐相關知識命題，題型主要以選填題為主，

難度不大。預測2024年各地中考還會延續(xù)這種命題趨勢，并也有可能出現(xiàn)創(chuàng)新型題目。

【知識清單】

1：正多邊形的相關概念與計算（☆☆）

1）正多邊形的相關概念

正多邊形概念：各條邊相等,并且各個內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形。

正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的空心。

正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。

正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的空心魚。

正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的?邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

2）正多邊形的常用公式（R?為正多邊形外接圓的半徑）

1QAO1OAO1

邊長：an=2R)t-sin----；周長：Pn=nati；邊心距：rn=Rr-cos-----；面積：S”=—；

nn2

內(nèi)角度數(shù)：（〃-2）180。；外角/中心角度數(shù)：幽；邊長、半徑、邊心距的關系：=R：。

〃〃I4J

注意：正多邊形的內(nèi)切圓與外接圓為同心圓.

2：弧長、扇形面積、圓錐的相關計算（☆☆☆）

1）設回0的半徑為R,n°圓心角所對弧長為人n為弧所對的圓心角的度數(shù)，則

（1）弧長公式：5；（2）扇形面積公式：鼻用春或鳥』

（3）圓錐側面積公式：S圓錐側=坦（其中/是圓錐的母線長，,?是圓錐的底面半徑）

（4）圓錐全面積公式：S圓錐全二方廠/+兀/2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）

注：圓錐的相關公式難以記憶，建議牢記圓錐與側面展開圖的圖形形式，并理解側面展開圖與扇形之

間的關系。相關公式在解題過程中進行推導。

3：不規(guī)則圖形的面積的計算（☆☆☆）

求與圓有關的不規(guī)則圖形的面積時，最基本的思想就是拄傕思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉化為

規(guī)則圖形的面積。常用的方法有：割補法、等積變換法、圖形變換法等。

【核心考點】

核心考點1.正多邊形的相關概念與計算

例1：（2025年江蘇省無錫市中考數(shù)學真題）卜.列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是

中心對稱圖形：③正六邊形的外接圓半徑與邊長相等：④正〃邊形共有〃條對稱軸.其中真命題的個數(shù)是

（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)正多邊形的性質以及正多邊形與圓的關系逐一進行判斷即可.

【詳解】解：各邊相等各角相等的多邊形是正多邊形，只有各邊相等的多邊形不一定是正多邊形，如菱形，

故①是假命題；

正三角形和正五邊形就不是中心對稱圖形，故②為假命題；

正六邊形中由外接圓半徑與邊長可構成等邊三角形，所以外接圓半徑與邊長相等，故③為真命題：

根據(jù)軸對稱圖形的定義和正多邊形的特點，可知正〃邊形共有〃條對稱軸，故④為真命題.故選：C.

【點睛】本題考查的是正多邊形的概念以及正多邊形與圓的關系，屬于基礎題型.

變式1.（2025?廣東揭陽?統(tǒng)考一模）一個正多邊形的中心角為36°,則這個正多邊形的內(nèi)角和為度.

【答案】1440

【分析】依據(jù)正多邊形的中心角和為360。求得邊數(shù)，再依據(jù)多邊形內(nèi)角和公式代入求解即可.

【詳解】解：因為正多邊形的中心角為36。，且中心角和為360。，所以這個多邊形邊數(shù)：360。+36。=10,

則這個多邊形的內(nèi)角和為：（10-2）x1800=1440。.故答案為：1440.

【點睛】本題考查了正多邊形內(nèi)角和公式、中心角性質，通過中心角求得邊數(shù)是解題的關鍵.

變式2.（2025湖南省衡陽市中考數(shù)學真題）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其

中3個正五邊形的位置.要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是個.

【答案】10

【分析】先求出正五邊形的外角為72。，則N1=N2=72。，進而得出NAQ8=36。，即可求解.

360°

【詳解】解：根據(jù)題意可得：13正五邊形的一個外角=丁=72。，0Z1=Z2=72°,

0Z4OB=18Oo-72ox2=360,團共需要正五邊形的個數(shù)=昔=1。（個），故答案為：10.

【點睛】本題主要考查了圓的基本性質，正多邊形的外角，解題的關鍵是掌握正多邊形的外角的求法.

例2：（2025?四川成都?中考真題）如圖，正六邊形ABC7龍尸內(nèi)接于團。，若（30的周長等于6乃，則正六邊形

的邊長為（）

D

O

BC

A.6B.V6C.3D.2G

【答案】C

【分析】連接08,0C,由（30的局長等于6TI,得同。的半徑，又由圓的內(nèi)接多邊形的性質，即可求得答案.

【詳解】解：連接08,0C,

能］。的周長等于6U，團團。的半徑為：3,甌80c='x360°=60°,WB=0C,

6

釀08c是等邊二角形，^BC=OB=3,回匕的內(nèi)接正六邊形48CDCF的邊長為3,故選：C.

【點睛】此題考查了正多邊形與圓的性質.此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用.

變式1.（2025?湖南衡陽??？寄５诸A測）已知圓的半徑為R,那么它的內(nèi)接正三角形的邊長是.

【答案】加

【分析】根據(jù)正三角形外心的性質得AO18C,OC=R,NBCE=30°,BC=2CD,再根據(jù)含30度直角

三角形的性質及勾股定理求出邊長即可.

【詳解】解：如圖所示，。為正三角形一/8C外接圓的圓心，

/.ADA.BC,OC=R,^BCE=-^BCA=30°,BC=2CD,

2

在RiZXODC中，?BCE30?，0C=R,：.OD=；OC=gR,CD=Sc?-OD?=*R，

.?.5C=6R故答案為：上R

【點睛】本題考查圓與正多邊形的相關計算，解題關鍵掌握正三角形外心的性質.

變式2.（2025?廣東?統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形A8CD所內(nèi)接于00,正六邊形的周長是12,則正六邊形

內(nèi)切圓的半徑是（）

A.6B.2C.2x/2D.273

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件先求出正六邊形的邊長以及對應角度，構建直角三角形，利用勾股定理即可求出答

案.

【詳解】解：連接OA、0B,過。作。于點G,如圖所示，

團多邊形A8CDE廠是正六邊形，正六邊形的周長是12,0ZAOB=6O°,AB=2,

^OA=OB,回.。48是等邊三角形，回。4=48=2,

0OG1AB,團AG=gA8=l,在曲..3G中，QA=2,AG=\,

由勾股定理得OG=盾一AG?二疹下=百，即正六邊形內(nèi)切圓的半徑是逐；故選：A.

【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正六邊形的性質是解答此題的關犍.

例3：（2025年四川省德陽市中考數(shù)學真題）已知一個正多邊形的邊心距與邊長之比為立，貝］這個正多邊

2

形的邊數(shù)是（）

A.4B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】如圖，A為正多邊形的中心，8c為正多邊形的邊，AB,AC為正多邊形的半徑，AD為正多邊形

的邊心距，由絲=且可得絲=石，可得/4=60°,而=可得ABC為等邊三角形,從而可得答

fiC2BD

案.

【詳解】解：如圖，人為正多邊形的中心，BC為正多邊形的邊，AB,4c為正多邊形的半徑，AO為正多

邊形的邊心距，

團4B=AC,AD1BC,3=蟲，^BD=CD=^-BC,團21￡=也，即笆=6,

BC222BD2BD

An廠

0tanZ?=—=V3,0^5=60°,而A8=AC,團A3C為等邊三角形，

BD

團44C=60°,團多邊形的邊數(shù)為：等=6,故選B

60

【點睛】本題考查的是正多邊形與圓，銳角三角函數(shù)的應用，熟練的利用數(shù)形結合的方法解題是關鍵.

變式1.（2025?四川雅安?中考真題）如圖，已知團。的周長等于63則該圓內(nèi)接正六邊形48CDEF的邊心距

3x/3

D.3

2

【答案】C

【分析】利用圓的周長先求出圓的半徑，正六邊形的邊長等于圓的半徑，正六邊形一條邊與圓心構成等邊

三角形，根據(jù)邊心距即為等邊三角形的高用勾股定理求出OG.

【詳解】團圓。的周長為6不，設園的半徑為R02"R=6〃（3R=3

連接。。和O。，則OC=OO=3團六邊形ABCOE/7是正六邊形，

B

\\??zz

C^-JD

360°

^COD=--=60°,曲10co是等邊三角形，OG垂直平分。D,

6

0OC=OZ）=CD,=》-0）=竽故選C

【點睛】本題考查了正多邊形，熟練掌握圓內(nèi)接正多邊形的相關概念是解題的關鍵.

變式2.（2025年浙江省杭州市中考數(shù)學真題）如圖，六邊形ABCZ）四是，。的內(nèi)接正六邊形，設正六邊形

S.

40死尸的面積為5，AyACE的面積為邑，則甘=.

【答案】2

【分析】連接0AoeOE，首先證明出AACE是。。的內(nèi)接正三角形，然后證明出.84。公。4c（ASA）,

得到S.HAC=S”E=SCQE,S.OAC=S.OAE=S.0cE,進而求解即可.

【詳解】如圖所示，連接OAOCOE,

回六邊形ABCOM是：O的內(nèi)接正六邊形，^AC=AE=CE,回、。后是。的內(nèi)接正三角形，

團4=120°,AB=BC,0ZBAC=Z?C4=i(l8O°-ZB)=3O°,

0ZC4E=6O°,0ZaAC=Za4E=3O°,0ZfiAC=Z6Z4C=30°,同理可得，ZBC4=ZOC4=30°,

又RAC=AC,團曲8AO4C（ASA）,^\SBAC=SOACf

由圓和正六邊形的性質可得，Sac=S_AFE=S.CDE，由圓和正三角形的性質可得，S.OAC=SQAE=S0cE,

回￥=S困c+S"E+Sc虎+SOAC+SQE+S0c￡=2（S.C+SQE+S8，=2$2,回，=2.答案：2.

【點睛】此題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質，正六邊形和正三角形的性質，全等三角形的性質和判定等知

識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點.

例4：（2025年安徽省舒城縣中考噗擬數(shù)學試題）如圖，正六邊形A/3C。a內(nèi)接FC。，點尸在人尸上，。是

的中點，則NCP。的度數(shù)為（）

A.30°B.36°C.45°D,60°

【答案】C

【分析】先計算正六邊形的中心角，再利用同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等，圓周角定理計算即可.

【詳解】如圖，連接0coROQ,OE,回正六邊形A3CDE尸，。是的中點，

0乙con=Z.DOE=3600=60c,乙DOQ=/EOQ=-1乙DOE=30、,

62

0Z.COQ=Z.COD+ZDOQ=90°,團NCPQ=』NCOQ=45。，故選C.

2

【點睛】本題考查正多邊形與圓，圓周角定理，熟練掌握止多邊形中心角計算，圓周角定理是解題的關鍵.

變式1.（2025年安徽中考數(shù)學真遮）如圖，正五邊形力改力￡內(nèi)接于（加，連接OCO。，則N84￡-NCOD=

)

C.48°D.36°

【答案】D

【分析】先計算正五邊形的內(nèi)角，再計算正五邊形的中心角，作差即可.

460°160°760°

【詳解】①NB4E=I8O。--—,ZCOD=—,0Zfi4E-ZCOD=180°-----丁=36。，故選D.

【點睛】本題考查了正五邊形的外角，內(nèi)角,中心角的計算，熟練掌握計算公式是解題的關鍵.

變式2.（2025?吉林長春?校聯(lián)考二模）如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于（O,點M在人尸上，則NCMO的

C.30°D.15°

【答案】C

【分析】由正六邊形的性質得出NC8=60。，由圓周角定理求出NCWO.

【詳解】解：連接OC，OD,

回多邊形A4C。斯是正六邊形，KZCOO=60°,團NCMO=L/COO=30。，故選：C.

2

【點睛】本題考查了正六邊形的性質，圓周角定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

核心考點2.弧長、扇形面積、圓錐的相關計算

例5：（2025年四川省達州市中考數(shù)學真題）如圖，四邊形A3CD是邊長為g的正方形，曲線。4

是由多段90。的圓心角的圓心為c,半徑為CM；GA的圓心為o,半徑為力q…,。4、4張86、0。「的圓

心依次為A、B、（:、。循環(huán)，則4"》煙的長是（）

。

乙A\A

人40454B.2023乃C.包D.2022乃

A.---------

2

【答案】A

【分析】曲線?！怯梢欢味?0度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑+；,得到

A。,”=4A,=4xg（〃—l）+g,附=3"=4x；（〃—l）+1,得出半徑，再計算弧長即川二

【詳解】解：由圖可知，曲線。A&GAA2…是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑+；,

AD=AA[=^,BA=BB1=1,CB,=CC,=|,0G=?！?2,

13

AD=A4,=2+-,8&=叫=2+1,CB=CJ=2+二,DG=DD=2+2,.......,

2222

AD^=AA,,=4x；（〃-l）+；,8人=叫=4x：（〃-l）+l,

故人屹向g的半徑為％m==4xgx（2023—1）+1=4045,

on4045

???43/23的弧長=e/4045萬=亍八故選A

021OUz

【點睛】此題考查弧長的計算，弧長的計算公式：1=嗤,找到每段弧的半徑變化規(guī)律是解題關鍵.

IOV

變式1.（2025.重慶中考模擬預測）如圖，扇形。鉆的半徑為1,分別以點A、B為圓心，大于;A8的長為

半徑畫弧，兩弧相交于點P,N8OP=35。，則A8的長/=（結果保留兀）.

A

P

O-----------------、B

■AA-,■777r

【答案】前優(yōu)

【分析】先求解乙伙加=2N以力=2x35。=70。，再利用弧長公式計算即可.

【詳解】解：由作圖知：OP垂直平分A8,回04=03,0ZAOB=2ZBOP=2x35°=70°.

向扇形的半徑是1，mAB的長=當照=1兀.故答案為：1兀.

1B01818

【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，等腰三角形的性質，弧長的計算，熟記弧長公式是解本

題的關鍵.

變式2.（2025年遼寧省大連市中考數(shù)學真題）圓心角為90。，半徑為3的扇形弧長為（）

cc31

A.2TTB.2）7rC.-TCD.-

22

【答案】C

【分析】根據(jù)弧長公式/=黑（弧長為/，圓心角度數(shù)為〃，圓的半徑為r）,由此計算即可.

180

nnr90^x334衛(wèi)但

【詳解】解：該扇形的弧長/=S故選：c.

180180

【點睛】本題考查了扇形的弧長i算公式/二株（弧長為/，圓心角度數(shù)為〃，圓的半徑為Q,正確記憶弧

1o（）

長公式是解答此題的關鍵.

變式3.（2025年湖北省荊州市中考數(shù)學真題）如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧（AC），點。是這段弧

所在圓的圓心，4為AC上一點，Q3_LAC于。.若AC=300Gm,￡?D=150m,則AC的長為（）

A.300^-mB.200;rmC.150^rnD.100>/Lrm

【答案】B

【分析】據(jù)垂徑定理求出人。氏度，再根據(jù)勾股定理求出半徑長度，最后利用弧長公式即可求出答案.

【詳解】解：O81.AC,點。是這段弧所在圓的圓心，了.4八二。，，

?.OD=OD,OA=OC,:.^A.DO^CDO，:.ZAOD=^COD.

AC=300Gm,AD=CD,/.AZ)=CO=150Gm上&3=OC=O8=x,貝LOO=x-150,

在RtZ^AOO中，X2=(X-150)2+|150V3)\.-.x=300m,.-,^n/AOD=—=^^-=—.

''、)AO3002

z.AOD—60°，ZAOC=120°,；.AC=上述=120x'x300=2()()/rm.故選.B.

180180

【點睛】本題考查了圓的垂徑定理，弧長公式，解題的關鍵在于通過勾股定理求出半徑長度，從而求出所

求弧長所對應的圓心角度數(shù).

例6：（2025年山東省濟南市中考數(shù)學真題）如圖，正五邊形A3CQE的邊長為2,以A為圓心，以AB為半

徑作弧的，則陰影部分的面積為（結果保留不）.

A

CD

【答案】y

【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出正五邊形的內(nèi)角和,再求出N4的度數(shù)，利用扇形面積公式計算即可.

【詳解】解：正五邊形的內(nèi)角和二（5-2*180。=540°.

?3寫=1。8。，.￡2=嚅哼,故答案為：V

【點睛】本題考查了扇形面積和正多邊形內(nèi)角和的計算，熟練掌握扇形面積公式和正多邊形內(nèi)角和公式是

解答本題的關鍵.

變式1.（2025?四川達州?中考真題）如圖所示的曲邊三角形可按下述方法作出：作等邊ABC,分別以點4

8,C為圓心，以48長為半徑作BC，AC，46,三弧所圍成的圖形就是一個曲邊三角形.如果一個曲邊

三角形的周長為2瓦，則此曲邊三角形的面積為（）

C.271D.7T-V3

【答案】A

【分析】根據(jù)此三角形是由三段弧組成，所以根據(jù)弧長公式可得半徑，即正三角形的邊長，根據(jù)曲邊三角

形的面積等于三角形的面積與三個弓形的面積和，邊長為。的等邊三角形的面積為叵，即兀求解.

4

【詳解】解：設等邊三角形48c的邊長為r,

6097T9r1

=于24,解得r=2,即正三角形的邊長為2,

1803

???此曲邊三角形的面不只為fx22+3、（里等:一g、22]=2.-2j5故選A

4I3604

【點睛】本題考查了扇形面積的計算.此題的關鍵是明確曲邊三角形的面積等于三角形的面積與三個弓形

的面積和，然后再根據(jù)所給的曲線三角形的周長求出三角形的邊長.

變式2.（2025年遼寧省錦州市中考數(shù)學真題）如圖，點A,B,。在《。上，ZABC=40°,連接04,OC.若

。的半徑為3,則扇形HOC（陰影部分）的面積為（）

24

A.—7TB.兀C.一冗D.27r

33

【答案】D

【分析】先利用圓周角定理求出/AOC的度數(shù)，然后利用扇形面積公式求解即可.

【詳解】解：0ZABC=4O°,0ZAOC=2ZABC=8O°,

又00的半徑為3,13扇形AOC（陰影部分）的面積為甄空=2乃.故選：D.

360

【點睛】本題考查的是圓周角定理，扇形面積公式等，掌握“同孤所對的圓周角是它所對的圓心角的一半〃

是解題的關鍵.

例7：（2025年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學真題）用一個圓心角為90。，半徑為8的扇形作一個圓錐的側面,

則這個圓錐的底面直徑是（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析1先利川弧長公式求出扇形的弧長即圓錐的底面周長，再根據(jù)圓的周長公式求出直徑即可.

【詳解】解：扇形的弧長：段,：-二4乃,則圓錐的底面直徑：4乃+笈=4.故選：C.

180

【點睛】本題考查圓錐側面積公式，熟記公式的員活應用是解題的關鍵.

變式1.（2025年西藏自治區(qū)中考數(shù)學真題）圓錐的底面半徑是3c切，母線長1017%則它的側面展開圖的圓

心角的度數(shù)為.

【答案】108°

【分析】設圓錐的側面展開圖的圓心角為〃°,根據(jù)圓錐的側面展開圖為一項形，這個原形的孤長等于圓錐

底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2%鄉(xiāng)二嚕普，然后解關于〃的方程即可.

1OU

【詳解】解：設圓錐的側面展開圖的圓心角為〃。，

根據(jù)題意得2萬3二需普解得〃=108,即圓錐的側面展開圖的圓心角為108。.故答案為：108。.

180

【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇

形的半徑等于圓錐的母線長.

變式2.（2025年浙江省寧波市中考數(shù)學真題）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm,母線長為50cm,

則煙囪帽的側面積為cm2.（結果保留兀）

【答案】I5OO7T

【分析】根據(jù)圓錐側面展開圖是一個扇形，由扇形面積公式代值求解即可得到答案.

【詳解】解：?,?圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm,母線長為50cm,

???煙囪帽的側面積S=1/r=1x27^30x50=1500兀（cm2）,故答案為：1500兀.

22

【點睛】本題考查圓錐側面展開圖及扇形面積公式S=g",熟記扇形面積公式是解決問題的關鍵.

變式3.（2025年云南省中考數(shù)學真題）數(shù)學活動課上，某同學制作了一頂圓錐形紙帽.若圓錐的底面圓的

半徑為1分米，母線長為4分米，則該圓錐的高為分米.

【答案】V15

【分析】根據(jù)勾股定理得，圓錐的高2=母線長2-底面圓的半徑2得到結果.

【詳解】解：由圓錐的軸截面可知：圓錐的高2=母線長2一底面圓的半徑2

圓錐的高=序下=布，故答案為Ji?.

【點睛】本題考查了圓錐，勾股定理，其中對圓錐的高，母線長，底面圓的半徑之間的關系的理解是解決

本題的關鍵.

例8：（2025年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學真題）某班學生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽.如圖，這

個圓錐的底面圓周長為2slem,母線A4長為30cm,為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進行裝飾，其中需要

粘貼一條從點A處開始，繞側面一周又回到點4的彩帶（彩帶寬度忽略不計），這條彩帶的最短長度是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)圓錐的底面圓周長求得半徑為10,根據(jù)母線長求得展開后的扇形的圓心角為120。，進而即可

求解.

【詳解】解：團這個I制錐的底面圓周長為20ncm,目271r=20JT解得：r=10

團嘿*=20冗解得：,?=120回側面展開圖的圓心角為120。

180

如圖所示，4C即為所求，過點8作BO_LAC,0ZA^C=120°,BA=BC,貝ijNB4C=30°

0A￡?=3O,則8O=15（3A￡）=15JJ,AC=2AD=30>/3,故選：B.

【點睛】本題考查了圓錐側面展開圖的圓心角的度數(shù)，勾股定理解直角三角形，求得側面展開圖的圓心角

為120。解題的關鍵.

變式1.（2025?廣東湛江?統(tǒng)考一模）如圖，已知圓錐底面圓的半徑為2cm,母線長為6cm,一只螞蟻從點A

出發(fā)沿圓錐側面一周（回到原來的位置A）所爬行的最短路徑