考點20.與圓有關(guān)的位置關(guān)系及計算（精講）

【命題趨勢】

與圓相關(guān)的位置關(guān)系也是各地中考數(shù)學(xué)中的必考考點之一，主要內(nèi)容包括點、直線與圓的位置關(guān)系、

切線的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)切圓和外接圓三塊，在解答題中想必還會考查切線的性質(zhì)和判定，和直角

三角形結(jié)合的求線段長的問題和三角函數(shù)結(jié)合的求角度的問題等知識點綜合，考皆形式多樣，多以動點、

動圖的形式給出，難度較大。關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識、基本方法，力爭拿到全分。

【知識清單】

1：點、直線與圓的位置關(guān)系類（☆☆）

1）點和圓的位置關(guān)系：己知。。的半徑為，，點。到圓心。的距離為止則:

（l）dvr0點在。。內(nèi),如圖1；⑵點在。0上,如圖2；⑶辦點在。。處，如圖3.

解題技巧：掌握已知點的位置，可以確定該點到圓心的距離與注徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心的距離與

半徑的關(guān)系，可以確定該點與圓的位置關(guān)系。

2）直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)。。的半徑為人圓心。到直線/的距離為d,則直線和圓的位置關(guān)系如下：

①①國

圖1圖27——圖3

⑴漆廠=相離,如圖I；（2）4=r=相切,如圖2；（3）次廠=相交,如圖3。

2：切線的性質(zhì)與判定（☆☆☆）

1）切線的性質(zhì)：（1）切線與圓只有一個公共點;（2）切線到圓心的距離等于圓的生?。唬?）切線垂直于

經(jīng)過切點的半徑。

解題技巧：利用切線的性質(zhì)解決問題時，通常連過切點的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題。

2）切線的判定

（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）;

（2）到圓心的距離等于生徑的直線是圓的切線（數(shù)量關(guān)系法）；

（3）經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線（判定定理法）。

切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點時.，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共

點時，作垂直，證垂線段等于半徑。

3）切線長定理

定義：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線氐。

定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等,圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

解題技巧：切線長定理經(jīng)常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點構(gòu)造直角三角形來求解。

3：三角形的外接圓與內(nèi)切圓（☆☆☆）

1）三角形外接圓：經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分

線的交點，叫做三角形的外心,這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。

2）三角形內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個

三角形叫做圓的外切三角形。

3）三角形的外心：三角形三邊中垂線的交點,叫該三角形的外心。

4）三角形的內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點,叫該三角形的內(nèi)心。

5）常見結(jié)論

（1）三角形內(nèi)切圓半徑：「=至，其中S為三角形的面積；C為三角形的周長：

C

（2）直角三角形內(nèi)切圓半徑：「=”三，其中小力為直角三角形的直角邊長，c為斜邊長。

2

【易錯點歸納】

1.由于圓是軸對稱和中心對稱圖形，當(dāng)題目中未給出具體圖形時，要結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，并進

行分類討論，否則比較容易漏解。

2.一個三角形有且只有一個內(nèi)切圓和一個外接圓，而一個圓有無數(shù)個外切三角形和內(nèi)接三角形。

【核心考點】

核心考點1.點、直線與圓的位置關(guān)系類

?典例1:（2025?上海閔行?校聯(lián)考模擬預(yù)測）矩形A8CO中，AB=8,=3逐，點尸在邊A4上，且8P=3AP,

如果圓P是以點/>為圓心，為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）

彳1~專---------

A.點、B,C均在圓。外B.點8在圓產(chǎn)外，點C在圓?內(nèi)

C.點3在圓/）內(nèi)，點。在圓月外D.點3,C均在圓。內(nèi)

變式1.（2025?浙江?模擬預(yù)測）已知&O的半徑為3,點尸到圓心O的距離為2,則點尸與（O的位置關(guān)系

是（）

A.點。在。。外B.點P在（。上C.點尸在。。內(nèi)D.無法確定

變式2.（2025年江蘇省宿遷市中考數(shù)學(xué)真題）在同一平面內(nèi)，三知。的半徑為2,圓心。到直線/的距

離為3,點P為圓上的一個動點，則點P到直線/的最大距離是（）

A.2B.5C.6D.8

變式3.（2024?山東?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在RtZ\A8C中，ZC=90°,BC=3,AC=4,。為4B的中點.以A

為圓心，「為半徑作財，若4、C、。三點中只有一點在DA內(nèi)，則QA的半徑r的取值范圍是（）

A.2.5<r<4B.2.5<r<4C.2.5<r<4D.2.5<r<4

例2：（2025,廣東廣州?統(tǒng)考二模）。的半徑，?和圓心。到直線/的距離d分別為關(guān)于x的一元二次方程

Y-3x+2=0的兩根和與兩根積，則直線/與。O的位置關(guān)系是.

變式1.（2025?浙江杭州?統(tǒng)考二模）已知。的直徑為4,圓心O到直線/的距離為2,則直線/與0（）

A.相交B,相切C.相離D.無法確定

變式2.（2025年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)真題）已知一次函數(shù)丁=丘+2的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，以坐

標原點。為圓心、r為半徑作。O.若對于符合條件的任意實數(shù)一次函數(shù)y=丘+2的圖像與?O總有兩

個公共點，則，?的最小值為.

變式3.（2025?陜西西安??？家荒＃┰谥校琙C=90°,ZA=60°,BC=4.若0c與4B相離，則半

A.25°B.35°C.40°D.45°

變式1.（2025年黑龍江省哈爾濱市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AB是。的切線，A為切點，連接Q4，點C在。O

上，OCA.OA,連接8c并延長，交60于點D,連接。。.若/3=65。，則NOOC的度數(shù)為（）

A.45°B.50°C.65°D.75°

變式2.（2025年重慶市中考數(shù)學(xué)真題（B卷））如圖，AB為。的直徑，直線。。與（。相切于點C,連接

AC,若NACO=50。，則N8AC的度數(shù)為（）

A.30。B.40°C.50°D.60°

例5：（2025年四川省瀘州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在RtZSABC中，NC=90°,點。在斜邊AB上，以A。

為直徑的半圓。與BC相切于點E,與AC相交于點尸，連接OE.若AC=8,BC=6,則。￡的長是（）

變式1.（2025年湖南省湘西初中學(xué)業(yè)水平數(shù)學(xué)試題）如圖，AR為O的直徑，點?在4K的延長線上，PC,

PO與相切，切點分別為C,D.若46=10,PC=12,則sinNCAO等于（）

變式2.（2025年北京市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，04是C。的半徑，是。O的弦，O4_L3c于點。，AE是

。的切線，AE交OC的延長線于點￡若ZAOC=45。，BC=2,則線段AE的長為.

例6：（2025年湖北省潛江、天門、仙桃、江漢油田中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在./8C中，ZACB=70。,AABC

的內(nèi)切圓。與48BC分別相切于點。，E,連接OE,AO的延長線交OE于點尸，則NA口=.

變式1.（2025?山東荷澤?校聯(lián)考一模）如圖，PA,依切（30于點A、以E4=10,。。切&。于點E,交叢、

PB于C、。兩點，則APCQ的周長是（）

A.10B.18C.20D.22

變式2.（2025?湖北咸寧??？寄M預(yù)測）如圖，中，Z4CB=90°MC=12.BC=5,。與相

切于D,與AC,8C的延長線分別相切于樂F,貝以。的半徑為

D，O

_______J

AC、_E.

例7：（2025年江蘇省揚州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在58C中，4cA=90。，點。是A3上一點，且

NBCD=；NA,點。在8C上，以點。為圓心的圓經(jīng)過C、。兩點.

3

⑴試判斷直線人呂與。的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若sinB=*（O的半徑為3,求AC的長.

變式1.（2025年遼寧省盤錦市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，一A8c內(nèi)接于AB為。的直徑，延長AC到點

G,使得CG=C3,連接GB,過點C作CD〃G8,交AB于點F,交點。O于點Q,過點。作。交

GB的延長線于點E.⑴求證：DE與OO相切.（2）若AC=4,BC=2,求優(yōu)的長.

變式2.（2025年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在A8C中，。是AC上（異于點A,C）的一點，O

恰好經(jīng)過點A,B,AZ）_LC8于點。，且AK平分NC4O.

⑴判斷8C與：O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若4c=10,OC=8,求。的半徑長.

D

B

9C

變式3.（2025年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）如圖,A8為。的直徑，D4和。相交于點“，AC平分

點。在"。上，且CD_LD4,AC交所于點P.⑴求證：8是（）0的切線；⑵求證：ACPC

⑶」知BC2=3FPOC,求一的值.

AB

D

金

考點三三角形的外接圓與內(nèi)切圓

例8：（2025年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，O是銳角三角形ABC的外接圓，

OD±AB.OE1BC,OF±AC,垂足分別為DE,尸,連接DE,EF,FD.若OE+。尸=6.5,△ABC的周長為

21,則石廠的長為（）

A.8B.4C.3.55D.3

變式1.（2025?浙江杭州??？级＃┤鐖D，0為等腰三角形ABC的外心，AB=AC,連接。8,記NC=a,

/CBO=Q,則a,尸滿足的關(guān)系式為（）

o

---------------------3

A.20-a=90。B.2/?-a=180°C.-/7+a=9O°D,加一"=90。

2

變式2.（2025?陜西渭南?統(tǒng)考二模）如圖，在J8C中，AC=BC,O是的外接圓，A8是OO的

直徑，點。在。上，連接交A8于點E,連接0力，若N3OD=120。，則N8E。的度數(shù)為（）

C.100°D.105°

變式3.（2025?湖北襄陽??？级＃┮阎猂tZUBC兩邊長分別是6cm和8cm,則它的外接圓的半徑

是_________

例9：（2025?湖北武漢??？寄M預(yù)測）如圖，。是“8c的內(nèi)切圓，ZA=50°,則N8OC的大小為（）

115°C.125°D.100°

變式1.（2025?湖南永州?統(tǒng)考二模）如圖，在91BC中，乙4=70。，點/是內(nèi)心，則NWC的大小為（）

140°C.105°D.125°

變式2.（2025?湖南常德?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，。是邊長為12的正三角形A8C的內(nèi)切圓，。與邊48、

AC均相切，且與外切，則的半徑為.

例10：（2025年山東省聊城市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點。是ABC外接圓的圓心，點/是A8C的內(nèi)心，連

接OB,IA.若NCA/=35。，則NOBC的度數(shù)為（）

變式1.（2025?湖北武漢??？寄M預(yù)測）圖，。是西4C的外接圓，點/是a43c內(nèi)心，連接A/并延長交田。

AJ

于點。，若八8=9,8c=14,C4=13,則——的值是（）

AD

變式2.（2025?河北邢臺?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在團。中，舛8=泠？，BC=6,4。=3加./是酎BC的內(nèi)心,

則線段0/的值為（)

A

B.5-x/lOc.Vio-3

例11：（2025年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）己知"C的周長為/,其內(nèi)切圓的面積為；T，，則工8c的

面積為（）

A.-rlB.-JtrlD.7trl

22

變式1.（2025年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步.問勾中容

圓，徑幾何？〃譯文：現(xiàn)在有一個直角三角形，短直角邊的長為8步，長直角邊的長為15步.問這個直角

三角形內(nèi)切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長和長直角邊的長，求得

斜邊的長.用直角三角形三條邊的長相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計算所得

的商就是這個直角三角形內(nèi)切圓的直徑.根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步.（注：“步〃為長度單位）

勾8

變式2.（2025?四川瀘州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在RlABC中，ZC=9O°,AC=4,BC=3,。為RiABC

的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留兀）（）

考點20.與圓有關(guān)的位置關(guān)系及計算（精講）

【命題趨勢】

與圓相關(guān)的位置關(guān)系也是各地中考數(shù)學(xué)中的必考考點之一，主要內(nèi)容包括點、直線與圓的位置關(guān)系、

切線的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)切圓和外接圓三塊，在解答題中想必還會考查切線的性質(zhì)和判定，和直角

三角形結(jié)合的求線段長的問題和三角函數(shù)結(jié)合的求角度的問題等知識點綜合，考皆形式多樣，多以動點、

動圖的形式給出，難度較大。關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識、基本方法，力爭拿到全分。

【知識清單】

1：點、直線與圓的位置關(guān)系類（☆☆）

1）點和圓的位置關(guān)系：己知。。的半徑為，，點。到圓心。的距離為止則:

解題技巧：掌握已知點的位置，可以確定該點到圓心的距離與注徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心的距離與

半徑的關(guān)系，可以確定該點與圓的位置關(guān)系。

2）直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)。。的半徑為人圓心。到直線/的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下：

2：切線的性質(zhì)與判定（☆☆☆）

1）切線的性質(zhì)：（1）切線與圓只有一個公共點;（2）切線到圓心的距離等于圓的生?。唬?）切線垂直于

經(jīng)過切點的半徑。

解題技巧：利用切線的性質(zhì)解決問題時，通常連過切點的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題。

2）切線的判定

（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）；

（2）到圓心的距離等于拄的直線是圓的切線（數(shù)量關(guān)系法）；

（3）經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線（判定定理法）。

切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點時.，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共

點時，作垂直，證垂線段等于半徑。

3）切線長定理

定義：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。

定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等,圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

解題技巧：切線長定理經(jīng)常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點構(gòu)造直角三角形來求解。

3：三角形的外接圓與內(nèi)切圓（☆☆☆）

1）三角形外接圓：經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的處接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分

線的交點，叫做三角形的外心,這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。

2）三角形內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個

三角形叫做圓的外切三角形。

3）三角形的外心：三角形三邊中垂線的交點,叫該三角形的外心。

4）三角形的內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點,叫該三角形的內(nèi)心。

5）常見結(jié)論

（1）三角形內(nèi)切圓半徑：「=竺，其中S為三角形的面積；C為三角形的周長:

C

（2）直角三角形內(nèi)切圓半徑：”三，其中“，。為直角三角形的直角邊長，c為斜邊長。

2

【易錯點歸納】

1.由于圓是軸對稱和中心對稱圖形，當(dāng)題目中未給出具體圖形時，要結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，并進

行分類討論，否則比較容易漏解。

2.一個三角形有且只有一個內(nèi)切圓和一個外接圓，而一個圓有無數(shù)個外切三角形和內(nèi)接三角形。

【核心考點】

核心考點1.點、直線與圓的位置關(guān)系類

?典例1:（2025?上海閔行?校聯(lián)考模擬預(yù)測）矩形A3CD中，AB=8,=3逐，點P在邊A4上，且8P=3AP,

如果圓P是以點P為圓心，P。為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）

A.點、B,C均在圓。外B.點8在圓/，外，點。在圓尸內(nèi)

C.點3在圓/>內(nèi)，點C在圓?外D.點、B,。均在圓/）內(nèi)

【答案】C

【分析】由AB=8,8Q=3A尸得到AP=2,BP=6,再根據(jù)勾股定理，在mAOP中計算出?。=7,在

Rt尸8c中計算出PC=9,貝|JPC>">P4,然后根據(jù)點與圓的位置關(guān)系進行判斷.

【詳解】解：如圖，

,?四邊形A8CD為矩形，:.AD=BC=3屈,AB=8,BP=3AP,..AP=2,BP=6,

在R/..AOP中，AP=2,AD=3亞，PD=>IAP2+AD2=7?

在RtaPHC中，PB=6,BC=3、&.?.PCZPB'BC?=9,

.?.PC>PQ>PA,?,?點。在圓尸內(nèi)，點C在圓戶外.故選：C.

【點睛】本題考杳了點與圓的位置:設(shè)的半徑為，點。到圓心的距離OP=d,則有：點P在圓外od>「;

點P在圓上od=r；點P在圓內(nèi)<=>d<r.

變式1.（2025?浙江?模擬預(yù)測）已知。的半徑為3,點P到圓心。的距離為2,則點尸與（。的位置關(guān)系

是（）

A.點P在CO外B.點P在（O上C.點尸在〔。內(nèi)D.無法確定

【答案】C

【分析】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點到圓心距離為d,半徑為r,當(dāng)7?時，點在圓外；

當(dāng)（/=，?時，點在圓上；當(dāng)時，點在圓內(nèi)，即可解答.

【詳解】解：0。的半徑為3,點P到圓心。的距離為2,3>2,胤點P在：，O內(nèi)，故選：C.

變式2.（2025年江蘇省宿遷市中考數(shù)學(xué)真題）在同一平面內(nèi)，已知。的半徑為2,圓心。到直線/的距

離為3,點P為圓上的一個動點，則點P到直線/的最大距離是（）

A.2B.5C.6D.8

【答案】B

【分析】過點。作O4_L/F點A,連接OP,判斷出當(dāng)點，為A。的延長線與O的交點時，點。到直線/的

距離最大，由此即可得.

【詳解】解：如圖，過點。作。4_L/于點A,連接OP,「.04=3,。?=2,???當(dāng)點2為AO的延長線與（O

的交點時，點2到直線/的距離最大，最大距離為期=3+2=5,故選：B.

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，正確判斷出點。到直線/的距離最大時，點。的位置是解題關(guān)鍵.

變式3.（2024?山東?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在RtZ\A8C中，ZC=90°,BC=3,AC=4,。為AB的中點.以A

為圓心，「為半徑作財，若4、C、。三點中只有一點在：/內(nèi)，則/的半徑「的取值范圍是（）

A.2.5<r<4B.2.5<r<4C.2.5<r<4D.2.5<r<4

【答案】A

【分析】本題主要考查勾股定理，點與圓的位置關(guān)系.

由勾股定理可求得A4的長，進而得到AD的長.再根據(jù)題意畫出簡單示意圖，由圖形可知當(dāng)，?的長度為A。

和AC長度之間時，B、C、。三點中只有點。在04內(nèi)，據(jù)此即可解答.

【詳解】團在RlZ\A8C中，BC=3,AC=4,EAB=VAC2+BC2=742+32=5?

（30為A4的中點，0人力=:44=:.

22

由上圖可知，當(dāng)0A的半徑，?=AO時，點。在0A上,

當(dāng)乂的半徑r=4C=4時，點C在0A上，點。在圓內(nèi),

當(dāng)（M的半徑r=A8=5時，點8在A上，點C、。在圓內(nèi)，

當(dāng)0A的半徑滿足時，點Q在<）A內(nèi)，

當(dāng)（）A的半徑滿足4W5時，點C、。在A內(nèi)，

當(dāng)OA的半徑滿足r>5時，點8、C、。在IA內(nèi),

團若以C、。三點中只有一點在0A內(nèi)，則3A的半徑7?的取值范圍是|<-K4.故選：A

例2：（2025?廣東廣州?統(tǒng)考二模）O的半徑/?和圓心O到直線/的距離d分別為關(guān)于x的一元二次方程

f-3x+2=0的兩根和與兩根積，則直線/與《）。的位置關(guān)系是.

【答案】相交

【分析】由%2-3X+2=0以及題意知，r-xl+x2-3,d由可判斷直線/與。的位置

關(guān)系.

【詳解】解：X2-3X+2=0,由題意知/*=X+Z=3,d=%斗=2,

0r>J,回直線/與GO相交，故答案為：相交.

【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系.解題關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握.

變式1.（2025?浙江杭州?統(tǒng)考二模）已知。的直徑為4,圓心。到直線/的距離為2,則直線/與0（）

A.相交B.相切C.相離D.無法確定

【答案】B

【分析】根據(jù)00的半徑和圓心。到直線/的距離的大小，相交：dvr；相切：d=r；相離：d>r；即

可選出答案.

【詳解】解：團C。的直徑為4,區(qū)0。的半徑為2,削員I心。到直線/的距離為2,團”=廠，

國直線/與《。的位置關(guān)系是相切，故B正確.故選：B.

【點睛】本題主要考查對直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)的理解和掌握，能熟練地運用性質(zhì)進行判斷是解此題

的關(guān)鍵.

變式2.（2025年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)真題）己知一次函數(shù)），=丘+2的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，以坐

標原點O為圓心、「為半徑作：0.若對于符合條件的任意實數(shù)鼠一次函數(shù)），=履+2的圖像與：?？傆袃?/p>

個公共點，則/?的最小值為.

【答案】2

【分析】由），=h+2的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，可知左<0,由丁=匕+2過定點（0,2）,可知當(dāng)圓經(jīng)過（0,2）

時，由于直線呈下降趨勢，因此必然與圓有另一個交點，進而瓦得r的最小值是2.

【詳解】解：回曠="+2的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，團4<0,》隨x的增大而減小，

團y=H+2過定點（0,2）,同當(dāng)圓經(jīng)過（0,2）時，由于直線呈下降趨勢，因此必然與圓有另一個交點，

酎的臨界點是2,防的最小值是2,故答案為：2.

【點睛】本題考查一次函數(shù)圖像，直線與圓的位置關(guān)系.解題關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

變式3.（2025?陜西西安??？家荒＃┰?"C中，ZC=90°,Z4=60°,BC=4.若「6與AB相離,則半

【答案】C

【分析】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理和含30度直角三角形的性質(zhì)，

根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得到AC和A4的長度，再根據(jù)CC與A3相離可知半徑小于點C

到A8的距離，即可進行求解.

【詳解】解：團NC=90。，ZA=6O°,3c=4,0ZB=3O°[?）Afi=24C,

0AC2+BC2=AB-0AC2+42=4AC2，解得：AC=g石，[3A8=|x/5

設(shè)點到/的距離為兒則團〃

CW=01X1V3.77=1X4X^75,=2,

13若DC與AB相離,回0<r<2故選：C.

例3:（2025?上海??？家荒＃┮阎與1。2兩圓外切，aQ=5,G。的半徑為3,那么。2的半徑「為

【答案】2

【分析】由兩圓外切，圓心距等于兩圓半徑的和，即可求得結(jié)果.

【詳解】Q與O?兩圓外切，.QnB+r.FZ,故答案為：2.

【點睛】本題考查了兩圓的位置關(guān)系：兩圓外切時兩圓的圓心距與兩圓半徑的關(guān)系，掌握這一關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

變式1.（2025?上海徐匯?統(tǒng)考二模）如圖，在梯形A8CD中，已知4力〃8C,>40=3,BC=9,AB=6,

CD=4,分別以A4、為直徑作圓，這兩圓的位置關(guān)系是（）

C.相交D.外離

【答案】D

【分析】先求出兩圓的圓心距，A8和8的一半為兩圓的半徑，利用半徑之和和兩圓的圓心距的大小關(guān)系

求解.

【詳解】解：團分別以A3、8為直徑作圓，

團兩圓的圓心分別是A3、C。的中點，囹兩圓心的連線是梯形的中位線.

3+9

（3AD=3>BC=9,團兩圓的圓心距為----=6,

2

回A8=6,CZ）=4,團兩圓的半徑分別為3和2,03+2<6,囹兩圓外離，故選：D.

【點睛】本題考查了梯形的中位線，以及圓與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是分別求得兩圓的圓心距和兩圓

的半徑.

變式2.（2025?山東?統(tǒng)考一模）已知在RtZiAB。中，NC—90。，cotA=1,那么以邊4。長的白倍為半徑

的圓人與以8c為直徑的圓的位置關(guān)系是（）

A.外切B.相交C.內(nèi)切D.內(nèi)含

【答案】C

【分析】取BC邊的中點。，連接AD,根據(jù)題意可設(shè)AC=6a,BC=5a,可得三34。一。。=113明

22

AD=JAC、CD2=冢再根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，即可求解.

【詳解】解：如圖，取8c邊的中點D,連接4￡>,

￡A「X

Rt△八BC中，ZC=90°,cotA=—,0-■--=—,“J設(shè)AC-6a,4c—5〃，

5BC5

22

^-AC=9a,CD=-BC=-a,m-AC-CD=—a,AD=^AC^CD=—af

222222

3

13即以邊AC長的j倍為半徑的圓A與以BC為直徑的圓的兩圓心的距離等于兩圓的半徑之和，

團以邊AC長的1倍為半徑的圓人與以為直徑的圓的位置關(guān)系是內(nèi)切.故選：C

【點睛】本題主要考查解直角三角形，圓與圓的位置關(guān)系，掌握圓與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)系.

變式3.（2025?上海崇明?統(tǒng)考二模）已知在一A8C中，AB=AC=5,BC=6,如果以A為圓心,?為半徑的A

和以3c為直徑的。。相交，那么r的取值范圍（）

A.1</?<4B.4<r<IOC.1<r<7D.7<r<10

【答案】C

【分析】首先利用勾股定理求得兩圓的圓心距，然后利用兩圓相交時兩圓的圓心距和兩圓的半徑之間的關(guān)

系求解.

【詳解】解：如圖，由題意得：BD=DC=3,AB=AC=5,

由勾股定理得：AD=4,設(shè)0A的半徑為「，

根據(jù)兩圓相交得：r-3<4<r+3.解答：1<r<7,故選：C.

【點睛】本題考查兩圓之間的位置關(guān)系.熟練掌握兩圓之間的位置關(guān)系的判定方法，是解題的關(guān)鍵.

核心考點2.切線的性質(zhì)與判定

例4：（2025年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AB切。于點B,連接。4交。于點C,交

。于點。，連接C。，若498=25。，則N4的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】如圖，連接08,證明ZABO=90°,4CDB=25°，可得ZBOC=2ZBDC=50°，從而可得NA=40。.

【詳解】解：如佟I,連接。8,回A8切于點8,回2480=90。，

^BD//OA,ZOCD=25°,⑦NCDB=250,0ZI3OC=2ZBDC=50°,0ZA=4O°；故選C

【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握基本圖形的性

質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

變式1.（2025年黑龍江省哈爾濱市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AB是。的切線，A為切點，連接04，點。在:O

上，OC1OA,連接5c并延長，交0O于點Q,連接00.若/6=65。，則NQOC的度數(shù)為（）

A.45°B.50°C.65°D.75°

【答案】B

【分析】利用垂線的性質(zhì)及切線的性質(zhì)得到NOAB=90。和/AOC=90°,再利用四邊形的內(nèi)角和為360。進

而可求得NOCD=65。，再利用等邊對等角及三角形的內(nèi)角和即可求解.

【詳解】解：QOC1OA,:.ZAOC=90°,又?/$是。的切線，,.??/。48=90。，

又?N8=65。，/.AOCB=360°-ZOAB-ZAOC-=115°,/OCO=180。-NOC3=65。，

又,；OC=OD,;ZODC=￡OCD=65"ZDOC=180°-2ZODC=50°,故選B.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和是360。，等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和，熟練

掌握其基本知識是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2025年重慶市中考數(shù)學(xué)真題（B卷））如圖，AB為。的直徑，直線CD與，：。相切于點C,連接

AC,若NACD=50。，則N84C的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】連接。C，先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得NOCD=90°,從而可得NOG4=40。，再根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)即可得.

【詳解】解：如圖，連接OC,直線C。與相切，.?.OC_LCO..?.NOCO=90。，

Z4CD=50°,.?.NOG4=40。，OA=OC,/.ZBAC=ZOd=40°,故選：B.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓的切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

例5：（2025年四川省瀘州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，NC=90。，點。在斜邊A8上，以AD

為直徑的半圓。與8C相切于點以與AC相交于點八連接OE.若AC=8,BC=6,則OE的長是（）

【答案】B

【分析】連接OE，AE,首先根據(jù)勾股定理求出A8=JAC2+8C2=10,然后證明出，8C4s8石。，利用

相似三角形的性質(zhì)得到。石=*跖=&證明出SBES/BA,利用相似三角形的性質(zhì)求出跖=跡.

12]NC=90°，AC—8?BC—6,0AB=VAC2+BC~=10,

國以AO為直徑的半圓。與3c相切「點E，回OE_L8C,

0ZC=9O°,0ZC=ZOE5=9O°,^AC//0E,回ZA=NEO8,回一8cAs,8EO,

OEOBBEOE\0-OEBE，、匚40

a——=—=—,即,(1I——=------=—,>OE=—,BE=—

ACAB6810693

^CE=CB-BE=6--=-^AE=>jAC2+CE2=-VU),

33t3

0ZOEB=9OO,⑦NOED+NDEB=9()。，

@ZODE4-ZE4D=90°,4ODE=ZOED,?ZEAD=ZDEB,

10

DEBE團解得?！辏?殳叵.故選：B.

又??.DBEs二EBA，0——=,印片與

AEAB109

3

【點睛】此題考查了圓H三角形綜合題，切線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，

解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點.

變式1.（2025年湖南省湘西初中學(xué)業(yè)水平數(shù)學(xué)試題）如圖，AR為O的直徑，點尸在的延長線上，PC,

7Y＞與相切，切點分別為C,D.若A3=10,PC=12,則sinNCA。等于（）

【答案】D

（分析］連接OC、。。、CD,C。交科卜E,如圖，利用切線的性質(zhì)和切線長定理得到OC_LCP,PC=叨,

O尸平分NCPD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到。尸_LCD,則NCQ?=NDO8,根據(jù)圓周角定理得到

ZCAD=-ZCOD,所以NCOB=NCAD,然后求出sinNCOP即可.

2

【詳解】解：連接OC、OD、CD,CD交PA于E,如圖，

;.0C上CP,PC=PD,OP平分NCPD,.-.OP1CD,；CB=DB，:"COB=/DOB,

ZCAD=-ZCOD,;.NCOB=/CAD,^AB=\O^AO=OC=OB=5,

2

（3OC=5,PC=12（3在RtOC9中，OP=^OC2+PC2=752+122=13?

PC1212

/.sinZCOP=^=1j,.-.sinZCAD=Y|.故選：D.

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查圓周角定理和解直角三角形.

變式2.（2025年北京市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是CC的半徑，6c是?O的弦，O4_L6C于點O,AE是

。的切線，AE交OC的延長線于點E.若ZAOC=45。，BC=2,則線段AE的長為.

【答案】V2

【分析】根據(jù)。4_L8C,得出NODC=90。，DC=^BC=\,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出

0C=6DC=6,WOA=OC=應(yīng),根據(jù)NQ4E=90。，ZAOC=45°,得出/WOE為等腰直角三角形，即

"J得;I'AE=OA=>/2-

【詳解】解：^OAIBC,0ZODC=9O°,DC=^-BC=1.0ZAOC=45°,回AODC為等腰直隹三角形，

團OC=&OC=0，團OA=OC=Ji.回A￡是：。的切線，0ZOAE=9O°,

回N40c=45。，用ZMOE為等腰直角三角形，^AE=OA=y/2.故答案為：夜.

【點睛】本題主要考杳了垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

垂徑定理，得出OC=!BC=I.

例6；（2025年湖北省潛江、天門、仙桃、江漢油山中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在㈤?。中，ZACZJ-70°,AA0C

的內(nèi)切圓。與A88c分別相切于點。，E,連接OEAO的延長線交OE于點尸，則NA4J=.

【答案】35。/35度

【分析】如圖所示，連接OEOD,OB,設(shè)08、。石交于從由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出

乙408=125。，再由切線長定理得到4。=隨，進而推出0B是OE的垂直平分線，UPZOHF=90°,則

ZAFD=ZAOH-NOHF=35°.

【詳解】解：如圖所示，連接O￡OD,OB,設(shè)08、DE交于H,

田（O是的內(nèi)切圓，團。4、0A分別是NC44、NCK4的角平分線，

S1ZOAB=-ZCAB,ZOBA=-ZCBA,0ZAC^=7O°.0ZCAB+^CBA=\SO°-ZACB=110°,

22

0ZOA5+ZOBA=-ZC5A+-ZCA5=55°,?NAQA=180。-NOAA-NORA=125。，

22

團（O與A8,8C分別相切于點O,E,gBD=BE,

yjLOD=OE,團08是DE的垂直平分線，?OB上DE,BPZOHF=90°,

（3ZAFD=ZAOH-ZOHF=35°,故答案為：35°.

c

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓，切線長定理，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定，三角

形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2025?山東前澤?校聯(lián)考一模）如圖，PA>相切國。丁點A、421=10,CD切，。于點E,交期、

PB于C、。兩點，則二PC。的周長是（）

C.20D.22

【答案】C

【分析】根據(jù)切線長定理得出Q4=P3=10,CA=CE,DE=DB，求出一PC。的周長是

PC+CD+PD=PA+PB,代入求出即可.

【詳解】解：回上4、心切回。于點A、B,CQ切Q于點E,0M=Pfi=lO,CA=CE,DE=DB,

氏PCD的周長是PC+CO+PD=尸C+AC+O8+PD=/<4+PB=10+10=20.故選：C.

【點睛】本題考查了切線長定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求IIL/C。的周氏=94+總.

變式2.（2025?湖北咸寧??？寄５诸A(yù)測）如圖，RtZ\A4C中，ZACT=90°MC=12,BC=5,O與8c相

切于。，與ACBC的延長線分別相切于樂F,則的半徑為

【答案】3

【分析】連接。。、OE、OE,設(shè)。的半徑為人根據(jù)切線長定理可得皿）=8產(chǎn)，AF=AE,CE=CD,

根據(jù)勾股定理求解A4，即可求解.

【詳解】解：連接8、OE、OF.如圖,

設(shè)（，。的半徑為八0Z^CT=9O°：團四邊形。。CE是矩形，^OD=CE=CD=OE=r,

回3c=5,mBD=BC—CD=5—r,

回（O與3c相切與ACBC的延長線分別相切r￡",Z4CB=90°MC=12,BC=5

團BD=BF=5-r,AF=AE=AC+CE=\2+r,AB=\JAC?+BC'=13,

^BF=AF-AB=r-\,0r-l=5-r,解得：r=3,故答案為：3.

【點睛】本題考查了，直角三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例7：（2025年江蘇省揚州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在JBC中，NAC8=90。，點。是A4上一點，且

NBCQ=gNA,點。在8C上，以點。為圓心的圓經(jīng)過C、。兩點.

2

⑴試判斷直線與。的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若sin8=31（O的半徑為3,求AC的K.

【答案】（1）直線45與【。相切,理由見解析（2）6

【分析】（1）連接。。，根據(jù)圓周角定理，得到NBOD=2NBCD=,進而得到N4+N4=N8+Z.BOD=90°,

即可得出A6與；O相切；（2）解直角三角形OD3,求出08的長，進而求出6c的長，由解直角三角形ACB,

求出AC的長即可.

【詳解】（1）解：直線A8與。相切，理由