考點03.分式（精講）

【命題趨勢】

分式在各地中考中，每年考查2道題左右，分值為8分左右，其中分式的有意義（無意義）和分式值

為零（負(fù)數(shù)、正數(shù)、整數(shù)等）、最簡分式等概念，常以選擇題、填空題為主；分式的基本性質(zhì)和分式的運(yùn)算

（化簡求低）考查常以選擇題、填空題、計算題的形式命題。

【知識清單】

1：分式的相關(guān)概念（☆☆）

（1）分式的概念：

A

如果48表示兩個整式，并且8中含有字母，那么式子/叫做分式，其中4為分子，8為分母。

AAAA

（2）對于分式一來說：①若國0，則一有意義；②若8=0,則一無意義：③若A=0且8和，則一二0：

BBBB

AA

④當(dāng)4:8和時,分式的值為1：⑤若:>0,貝IJA、B同號，若77Vo,貝IJA、B異號。

2：分式的性質(zhì)（☆☆）

（1）分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。

A4.CAA—C

用式子表示為二二丁三（。H0）或二=^（。工0）,其中A,B,C均為整式。

（2）約分及約分法則

1）約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分。

2）約分法則：把一個分式約分，如果分子和分母都是幾個因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式的

最低次轅；分子與分母的系數(shù)，約去它們的最大公約數(shù).如果分式的分子、分母是多項式，先分解因式，

然后約分。

（3）最簡分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做退值組匚，

（4）通分及通分法則

1）通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這一過

程稱為分式的通分.

2）通分法則把兩個或者幾個分式通分：①先求各個分式的最簡公分母（即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相

同因式的最高次塞和所有不同因式的積）;②再用分式的基本性質(zhì)，用最簡公分母除以原來各分母所得的

商分別去乘原來分式的分子、分與，使每個分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡公分母為分母的分式；

③若分母是多項式，則先分解因式，再通分。

（5）最簡公分母：幾個分式通分時，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次外的積作

為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母.

3：分式的運(yùn)算（☆☆☆）

（1）分式的加減

①同分母法則：分母不變，分子相加減。用式子表示：^±7=—o

bbb

ciccidbead+be

②異分母法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆?式，然后再加減。用式子表示為：-±-=—+—=—

bababdba

（2）分式的乘法

乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。用式子表示：:二二翌。

bdbd

（3.分式的除法

除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘。用式子表示：:與U。

而dbe

（4）分式的乘方

乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方.用式子表示：（@）〃=工為正整數(shù)，力工0）。

（5）分式的混合運(yùn)算

含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算。

混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減.有括號的，先算括號里的。

【易錯點歸納】

1.判斷是否為分式，需看它是否符合分式的條件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化簡后再判斷。

2.分式的值為0,必須保證分母加，否則分式無意義。

3.冽分是對分子、分母同時進(jìn)行的，即分子的整體和分母的整體都除以同一個因式，約分要徹底，使分子、

分母沒有公因式（即化為最簡分式），而且約分前后分式的值相等。

4.運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時，要注意：①限制條件：同乘（或除以）一個不等于（）的整式；②典含條件：分

式的分母不等于0。

5.當(dāng)分式與整式相乘時，要把整式與分子相乘作為積的分子，分母不變。

6.乘方時，一定要把分式加上括號，并且一定要把分子、分母分別乘方。

【核心考點】

核心考點1.分式的相關(guān)概念

例1：（2025?江蘇??？寄M預(yù)測）若一個分式含有字母/〃，且當(dāng)〃?=5時，它的值為12,則這個分式可以

是.（寫出一個即可）

21291r+1

變式1.（2025?湖南懷化?中考真題）代數(shù)式:x,三，X2-；,中，屬于分式的有（）

571X2I43xXI2

A.2個B.3個C.4個D.5個

變式2.（2。25?浙江湖州?中考真斷當(dāng)時，分式丁的值是

X，『X。

變式3.（2024?湖北??？寄M預(yù)測）給定一列分式：一-二，I,…，（其中"（）），根據(jù)你發(fā)

現(xiàn)的規(guī)律，試寫出第2024個分式.

例2：（2025?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列說法錯誤的是（）

4r+5r4-1

A.當(dāng)XW3時，分式一一有意義B.當(dāng)X=1時，分式2----無意義

x—3x-1

r—1

C.不論。取何值，分式都有意義D.當(dāng)％=1時，分式一的值為0

X+1

變式L（2。25?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）使分式占有意義的）的取值范圍是

變式2.（2025?四川涼山?統(tǒng)考中考真題）分式上二的值為0,則x的值是（）

x-1

A.0B.-1C.1D.0或1

變式3.（2025?貴州安順?統(tǒng)考中考真題）當(dāng)x=l時，下列分式?jīng)]有意義的是（）

XI1x-\x

A.——C.-------D.x+7

xX

例3：（2025?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若分式一:一的值為負(fù)數(shù)，則％的取值范圍是_____.

x+3

變式1.（2025?四川南充?統(tǒng)考一模）若分式號的值是負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是（）

r+1

A.x">—B.C.X<^—D.

2323

變式2.（2。25?北京東城?統(tǒng)考二模）若分式了石的值為正，則實數(shù)x的取值范圍是一

例4：（2025?福建福州?統(tǒng)考二模）若分式生?的值是正整數(shù)，則整數(shù)。的值是.

變式1.（2025?湖北?統(tǒng)考一模）下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（）

r+13

A.當(dāng)x=2時，土=的值為零B.當(dāng)文為任意實數(shù)時，「打的值總為正數(shù)

x-2x"+1

C.無論x為何值，：3不可能得整數(shù)值D.當(dāng)文工3時，qr-3有意義

x+\X

變式2.（2025?廣東廣州??？级＃┘褐悍质?空當(dāng)?shù)闹禐檎麛?shù)，則整數(shù)”有_____.

a--9

核心考點2.分式的性質(zhì)

例5：（2025?河北唐山?統(tǒng)考二模）根據(jù)分式的基本性質(zhì)對分式變形，下列正確的是（）

aa+2--。+2d+2ca8a_a+2a

AA.-=------B.---------=----------C.-=—D.

bb+2bbh!r~b~b+2b

變式1.（2025?廣東茂名?統(tǒng)考一模）下列等式中正確的是（）

aa+aa。+1aa-\aa2

A—=-------R—=------r—=------D.

?bh+b'bZ?+l*bb-\

變式2.（2025?河北石家莊?校考模擬預(yù)測）實數(shù)〃則下列各式中比，的值大的是（）

b

a2。c/〃ca+1

A.—B.——C.-------D.

2bb~b-\b+1

例6：（2025?河北?一模）如果要使分式―的值保持不變，那么分式應(yīng)（）

a-3b

A.。擴(kuò)大2倍，〃擴(kuò)大3倍B.a,〃同時擴(kuò)大3倍

C.〃擴(kuò)大2倍，匕縮小3倍D.?？s小2倍，力縮小3倍

2

變式1.（2025?江蘇鹽城?模擬預(yù)測）如果把分式/一中工、》的值都變?yōu)樵瓉淼?倍，則分式的值（）

x+y

A.變?yōu)樵瓉淼?倍B.變?yōu)樵瓉淼?倍C.不變D.變?yōu)樵瓉淼?

例7：（2025?山東?統(tǒng)考二模）下列分式中，最簡分式是（）

x2+xy2x+8W+iX2-9

A.----------B.-C.———D.—-------------

x-+2xy+y-x*-16x--1x2+6x+9

變式1.（2025?河北?校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列分式屬于最簡分式的是（）

x-+v-

A.B.Qc.-----D,

,7x+yx+3y

例&（2025?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題）計算:)

A.u—5B.6/4-5C.5D.a

變式】.（2。25?上海奉賢?統(tǒng)考二模）化簡分式導(dǎo)的結(jié)果為一

4/-4〃

變式2.（2025?云南昆明?統(tǒng)考二模）化簡

a1-ab

例9：（2025?河北唐山?統(tǒng)考一模）要把分式上■與等通分，分式的最簡公分母是（）

2a~bab'c

A.2a2b2cB.lairC.2abycD.6。%，

變式1.（2025?內(nèi)蒙占?統(tǒng)考一模）分式一J-；,一二的最簡公分母是—,—J—+-r!—=

變式2.（2025?廣西梧州?二模）關(guān)于分式的約分或通分，下列哪個說法正確（）

A.二二約分的結(jié)果是,B.分式」7與一、的最簡公分母是..I

x'Xx-1x-\

2

c.片2r■約分的結(jié)果是1D.化簡上r一-七1的結(jié)果是1

rx2-lx--\

核心考點3.分式的運(yùn)算

例10：（2025?河北?統(tǒng)考二模）嘉琪在分式化簡運(yùn)算中每一步運(yùn)算都在后面列出了依據(jù)，所列依據(jù)錯誤的是

()

a2a-3b

化簡:

a-bb-a

a2a-3b

解：原式=力+F

_a+23〃

。-①通分

a-b

3a-3b

=...........②合并同類項

a-b

=乂=9..........③提公因式

a-b

=3.................④約分

A.①B.②C.③D.④

12

變式L（2。25?天津?統(tǒng)考中考真題）計算m-E的結(jié)果等于（）

變式2.（2025?山西大同?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若分式乜苴+二-的值為正整數(shù)，則1的取值可以是（）

2A--84T

A.4B.3C.2D.1

例11：（2025?河北滄州?模擬預(yù)測）觀察分式變形過程：絲=2+==1+2,其中“?！?□〃便

a-\a-\fl-1a-\a-l

分別蓋住了?個整數(shù).

⑴“。勺慟表示的整數(shù)一1填“相同”或〃不相同個⑵當(dāng)心。時，煞的最小值為一.

變式L（2。25下?浙江嘉興?九年級?？茧A段練習(xí)）比較皇與魯?shù)拇笮。ㄆ渲小?gt;0'且〃?，，）.

⑴嘗試（用或">"填空）：

①當(dāng)〃=1,〃=2時,a+b2ab②當(dāng)a=4,力=3時,a+b2ab

~2~~~a7b~2~~~a+b

⑵歸納：學(xué)與怒有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由.

變式2.（2025?福建泉州??？寄５诸A(yù)測）由淺入深是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法.已知權(quán)方和不等式為

4+匯2□匚，當(dāng)且僅當(dāng)@=2時，等號成立.那么：若正整數(shù)數(shù)X,兒z滿足x+3y+2z=l,求

xyx+yxy

的最小值.

2y+4zx+2y

變式3.（2025?江蘇漣水?中考模抵）閱讀下列材料：

分式和分?jǐn)?shù)有著很多的相似點，例如類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)；類比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算

法則，我們得到了分式的運(yùn)算法則.我們知道，分子比分母小的叫做"真分?jǐn)?shù)"：分子比分母大，或者分子、

分母同樣大的分?jǐn)?shù)，叫做“假分?jǐn)?shù)”.

類似地，我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我

們稱之為“假分式J當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式〃.例如：—.」這樣的分

x+1x+\

式就是假分式，例如二7,孚7這樣的分式就是真分式.假分?jǐn)?shù)?？梢曰?+：（即1?）帶分?jǐn)?shù)的形式.類

似地，假分式也可以化為帶分式（即整式與真分式的和的形式），例如山二心」~上=1-二一.

x+\x+1X+1

4r4-7

解決下列問題：（1）分式；是_____（填“真分式”或"假分式〃）；（2）假分式三可化為帶分式____形式;

x-x-\

r—13V*4-5

（3）如果分式—的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)x的值；（4）若分式與2的值為〃?，貝!，〃的取值范

x-3r+1

圍是（直接寫出答案）.

例12：（2。25?河北保定?統(tǒng)考一模）在計算（岳+）平時'嘉嘉和琪琪使用方法不同,但計算結(jié)果相同,

則（）

Cr-I?\X+Ifx-i+r)X+1XX+1

I_____X____-------------1

痂笳：--------P1(-V+1]一1

XX+1X

Cr-I八1X+Ix-lX+1X+1x-1x+12x

IX-4--1

.fH4-H.--------1-1---------------——I

川+1）X+1XXxx2x

A.嘉嘉正確B.琪琪正確C.都正確D.都不正確

't+2x—1x—4

變式1.（2025?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）化簡：-7+1廣=______.

1x-21x-4x+4Jx-2x

變式2.（2025?浙江?九年級專題練習(xí)）關(guān)于式子［;2x+l+上,下列說法正確的是（）

X--1X-1

A.當(dāng)x=l時，其值為2B.當(dāng)尸-1時，其值為0

C.當(dāng)TV.v<0時，其值為正數(shù)D.當(dāng)―時，其值為正數(shù)

例13：（2025?河北?統(tǒng)考中考真題）化簡的結(jié)果是（）

A.Ay''B.xy5C.x2yyD.x2y6

變式L（2025?四川攀枝花?統(tǒng)考中考真題）計算—I。，以下結(jié)果正確的是（）

A.-10=-1B.-l°=0C.-10=1D.一1。無意義

變式2.（2025?江蘇?統(tǒng)考中考真題）計算：（6-1）。+2-=.

例14：（2025?廣東深圳??？寄M預(yù)測）流感病毒的半徑大約為0.00000045米，它的半徑用科學(xué)記數(shù)法表示

為（）

A.45x10-6B.4.5x10〃C.45xl0-8D.4.5xl0-8

變式1.（2025?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）納米是表示微小距離的單位，1納米=0.000001亳米，而1亳米相

當(dāng)于我們通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1納米是多么的小.中科院物理所研究員解思深領(lǐng)導(dǎo)的

研究組研制出世界上最細(xì)的碳納米管一一直徑0.5納米.0.5納米相當(dāng)于0.0000005亳米，數(shù)據(jù)0.D000005川科

學(xué)記數(shù)法可以表示為（）

A.0.5x10/B.0.5x10"C.5x10^D.5xl0-7

變式2.（2025?江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題）溶度積是化學(xué)中沉淀的溶解平衡常數(shù).常溫下CaCO；的溶度積約為

O.（XXX）OOO（）28,將數(shù)據(jù)0.（XX）0（XX）028用科學(xué)記數(shù)法表示為.

/G人人2、1

例15：（2025?四川成都?統(tǒng)考中考真題）若3"-36-2=0,則代數(shù)式小普，的值為_______.

a'a'b

II

變式L（2。25年青海省西寧市中考數(shù)學(xué)真題）先化簡,再求值：』一小卜f其中〃是

方程d+%-6=0的兩個根.

變式2.（2025年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）先化簡，再求值：U+2〃；2然后從1,2,3,

\-3"廣一6，〃+9

4中選擇一個合適的數(shù)代入求值.

<2、2[

變式3.（2。25?四川廣安?統(tǒng)考中考真題）先化簡島一"小缶下再從不等式-2<"3中選擇一

個適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，代入求值.

考點03.分式（精講）

【命題趨勢】

分式在各地中考中，每年考查2道題左右，分值為8分左右，其中分式的有意義（無意義）和分式值

為零（負(fù)數(shù)、正數(shù)、整數(shù)等）、最簡分式等概念，常以選擇題、填空題為主；分式的基本性質(zhì)和分式的運(yùn)算

（化簡求低）考查常以選擇題、填空題、計算題的形式命題。

【知識清單】

1：分式的相關(guān)概念（☆☆）

（1）分式的概念：

A

如果48表示兩個整式，并且8中含有字母，那么式子/叫做分式，其中4為分子，8為分母。

AAAA

（2）對于分式一來說：①若國0，則一有意義；②若8=0,則一無意義：③若A=0且8和，則一二0：

BBBB

AA

④當(dāng)4:8和時,分式的值為1：⑤若:>0,貝IJA、B同號，若77Vo,貝IJA、B異號。

2：分式的性質(zhì)（☆☆）

（1）分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。

A4.CAA—C

用式子表示為二二丁三（。H0）或二=^（。工0）,其中A,B,C均為整式。

（2）約分及約分法則

1）約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分。

2）約分法則：把一個分式約分，如果分子和分母都是幾個因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式的

最低次轅；分子與分母的系數(shù)，約去它們的最大公約數(shù).如果分式的分子、分母是多項式，先分解因式，

然后約分。

（3）最簡分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做退值組匚，

（4）通分及通分法則

1）通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這一過

程稱為分式的通分.

2）通分法則把兩個或者幾個分式通分：①先求各個分式的最簡公分母（即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相

同因式的最高次塞和所有不同因式的積）;②再用分式的基本性質(zhì)，用最簡公分母除以原來各分母所得的

商分別去乘原來分式的分子、分與，使每個分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡公分母為分母的分式；

③若分母是多項式，則先分解因式，再通分。

（5）最簡公分母：幾個分式通分時，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次外的積作

為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母.

3：分式的運(yùn)算（☆☆☆）

（1）分式的加減

①同分母法則：分母不變，分子相加減。用式子表示：^±7=—o

bbb

ciccidbead+be

②異分母法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆?式，然后再加減。用式子表示為：-±-=—+—=—

bababdba

（2）分式的乘法

乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。用式子表示：:二二翌。

bdbd

（3.分式的除法

除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘。用式子表示：:與U。

而dbe

（4）分式的乘方

乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方.用式子表示：（@）〃=工為正整數(shù)，力工0）。

（5）分式的混合運(yùn)算

含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算。

混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減.有括號的，先算括號里的。

【易錯點歸納】

1.判斷是否為分式，需看它是否符合分式的條件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化簡后再判斷。

2.分式的值為0,必須保證分母加，否則分式無意義。

3.冽分是對分子、分母同時進(jìn)行的，即分子的整體和分母的整體都除以同一個因式，約分要徹底，使分子、

分母沒有公因式（即化為最簡分式），而且約分前后分式的值相等。

4.運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時，要注意：①限制條件：同乘（或除以）一個不等于（）的整式；②典含條件：分

式的分母不等于0。

5.當(dāng)分式與整式相乘時，要把整式與分子相乘作為積的分子，分母不變。

6.乘方時，一定要把分式加上括號，并且一定要把分子、分母分別乘方。

【核心考點】

核心考點1.分式的相關(guān)概念

例1：（2025?江蘇?校考模擬預(yù)測）若一個分式含有字母/〃，且當(dāng)〃?=5時，它的值為12,則這個分式可以

是_.（寫出一個即可）

【答案】答案不唯.，如的等.

tn

【詳解】設(shè)這個分式為幺，將m=5代入得到m=12,a=60,故這個分式是”.

m5m

21291r+l

變式1.（2025?湖南懷化?中考真題）代數(shù)式:x,-A-,x2-；,土二中，屬于分式的有（）

5冗x+43xx+2

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含字母則不是，據(jù)此依據(jù)逐個判斷即可.

【詳解】分母中含有字母的是目，上，N，回分式有3個，故選：B.

x+4xx+2

【點睛】本題考查分式的定義，能夠準(zhǔn)確判斷代數(shù)式是否為分式是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2025?浙江湖州?中考真題）當(dāng)a=l時，分式四的值是.

a

【答案】2

【分析】直接把。的值代入計算即可.

【詳解】解：當(dāng)。=1時，-=-^=2.故答案為：2.

aI

【點睛】本題主要考查了分式求值問題，在解題時要根據(jù)題意代入計算即可.

變式3.（2024?湖北??？寄M預(yù)測）給定一列分式：—,-［，斗，…，（其中戶0）,根據(jù)你發(fā)

現(xiàn)的規(guī)律，試寫出第2024個分式.

【答案】-立

.r2n+l

【分析】先由前面幾個代數(shù)式歸納可得第〃個代數(shù)式為：（—1）"?：丁，從而可得答案.

【詳解】解：0-，-3,J，-1,???回第〃個代數(shù)式為：（-1）'

4049

當(dāng)n=2025時，第2025個代數(shù)式為：-臺，故選B

【點睛】本題考查的是分式的規(guī)程題，掌握探究的方法并利用歸納得到的規(guī)律解題是關(guān)鍵.

例2：（2025?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列說法錯誤的是（）

4r+5r+1

A.當(dāng)xw3時，分式------有意義B.當(dāng)x=l時，分式^----無意義

x—3A--1

C.不論。取何值，分式土￥都有意義D.當(dāng)x=l時，分式3的值為0

a~x+\

【答案】C

【分析】分母不為。時，分式有意義，分母為。時，分式無意義，分子等于0,分母不為。時分式值為0,

由此判斷即可.

4r4-5

【解析】解：A選項當(dāng)x—3/0,即XW3時，分式------有意義，故A正確；

x-3

X+\

B選項當(dāng)/一1=0,即R=1時，分式——無意義，故B正確；

X-1

C選項當(dāng)即。工。時，分式二L有意義，故C錯誤；

CT

r—1

D選項當(dāng)工一1=0,且X+1H0艮lx=l時，分式——的值為0,故D正確.故選C.

X+1

【點睛】本題主要考查了分式有意義、無意義、值為0的條件，熟練掌握分式的分母不為。是確定分式有意

義的關(guān)鍵.

變式1.（2025?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）使分式一二有意義的的取值范圍是_____.

x-5

【答案】xw5

【分析】如果要使分式有意義，則分母不能為零，即可求得答案.

【詳解】解：本題考查了分式有意義的條件，即工-5工0,解得工工5,故答案為：x=5.

【點睛】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義分母不為零是關(guān)鍵.

變式2.（2025?四川涼山?統(tǒng)考中考直題）分式上口的侑為0,口口的值是（）

x-1

A.0B.-1C.1D.0或1

【答案】A

【分析】根據(jù)分式值為0的條件進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：回分式匚￡的值為o,回，八，解得x=0,故選A.

x-\（x-1^0

【點睛】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0,分母不為0是解題的關(guān)健.

變式3.（2025?貴州安順?統(tǒng)考中考真題）當(dāng)x=l時，下列分式?jīng)]有意義的是（）

【答案】B

【分析】由分式有意義的條件分母不能為零判斷即可.

【詳解】一〉,當(dāng)x=l時,分母為軍分式無意義.故選B.

x-1

【點睛】本題考杳分式有意義的條件，關(guān)鍵在于牢記有意義條件.

例3：（2025?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若分式上的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是____.

x+3

【答案】x<-3

【分析】據(jù)題意可得fNO,要使分式上的值為負(fù)數(shù)，即分母工+3<0且工工0,然后解不等式即可.

A+3

【詳解】解：0X2>O,回分式」一的值為負(fù)數(shù)，即分母x+3<0且xw（）,解得：x<-3.

x+3

故答案為：x<—3.

【點睛】本題主要考查了分式的值，熱練掌握分式值的計算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

變式1.（2025?四川南充?統(tǒng)考一模）若分式W三的值是負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是（）

x2+1

A.x>-B.x>7C.x<—D.

2323

【答案】B

【分析】根據(jù)題意列出不等式即可求出x的取值范圍.

【詳解】解：由題意可知：2-3.r<0,且9+1>0恒成立，取》,，故選：B.

【點睛】本題考查分式的值，當(dāng)分子和分母同號時，分式值為正數(shù)，當(dāng)分子和分母異號時，分式值為負(fù)數(shù).

變式2.（2025?北京東城?統(tǒng)考二模）若分式下三的值為正，則實數(shù)工的取值范圍是______________.

X'+2

【答案】x>0

【詳解】【分析】分式值為正，則分子與分母同號，據(jù)此進(jìn)行討侖即可得.

【詳解】田分式號的值為正，取與X2+2的符號同號,

0X24-2>O,0X>O,故答案為X>0.

【點睛】本題考查了分式值為正的情況，熟知分式值為正時，分子分母同號是解題的關(guān)鍵.

例4：（2025?福建福州?統(tǒng)考二模）若分式二丁的值是正整數(shù)，則整數(shù)。的值是.

【答案】0.-2

【分析】根據(jù)題意，分式生?的值是正整數(shù)，可知，分式的分母為1或-1,據(jù)此解得。的值，最后驗根即

可.

【詳解】解：?.?分式"W的值是正整數(shù)，2￡+1=2￡+2-1=21

a+1fl4-1a+\4+1

團(tuán)一^―為小于2的整數(shù)，.?.〃+1=1或4+1=—1/.4=0或4=一2

4+1

經(jīng)檢驗，當(dāng)。=0或。=一2,分母。+1/0,.?.。=0或4=一2故答案為：。=0或a=—2.

【點睛】本題考查分式的值，是基礎(chǔ)考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

變式1.（2025?湖北?統(tǒng)考一模）下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（）

A.當(dāng)x=2時，土=的值為零B.當(dāng)x為任意實數(shù)時，「工的值總為正數(shù)

x-2A-+1

3r-3

C.無論x為何值，不可能得整數(shù)值D.當(dāng)文工3時，3有意義

X+1X

【答案】B

【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于0;分式的值為正數(shù)的條件是分式的分子、分母同號：分式值

是。的條件是分子等于0,分母不為。即可得到結(jié)論.

【詳解】解：A、當(dāng)x=2時，二無意義,故本選項不合題意；

x-2

3

B、當(dāng)x為任意實數(shù)時，告的值總為正數(shù)，故本選項符合題意；

x+1

3

C、當(dāng)無=0或2時，，■能得整數(shù)值，故本選項不合題意；

x+1

D、當(dāng)xwO時，二r—3有意義，故本選項不合題意；故選：B.

X

【點睛】本題考查了分式有意義的條件和分式的值為零的條件.分式有意義的條件是分母不等于0.分式值

是。的條件是分子是0,分母不是0.

變式2.（2025?廣東廣州??？级＃┮阎悍质?生H的值為整數(shù)，則整數(shù)〃有_____.

a--9

【答案】T,1,2,4,5,7

【分析】根據(jù)因式分解.，可得最簡分式，根據(jù)分式的值是整數(shù)，可得分母能被分子整除，可得答案.

4a+12_4(a+3)=__4_

【詳解】解:=

a2-9(a+3)(a-3)a-3

回分式-然的值為整數(shù)，隗-3-±1或包或士4,

解得：a=4,。=2,。=5,a=\,a=—\?a=7,故答案為-1,1,2,4,5?7.

【點睛】本題主要考查了分式的化簡，根據(jù)分式的值的情況求解參數(shù)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握

相關(guān)知識進(jìn)行求解.

核心考點2.分式的性質(zhì)

例5：（2025?河北唐山?統(tǒng)考二模）根據(jù)分式的基本性質(zhì)對分式變形，下列正確的是（）

aa+2--〃+2a+2aa2aa+2a

AA.-=------B.--------=---------C.—=—D.—=---------

bb+2bhbb2bb+2b

【答案】D

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)分別計算后判斷即可.

【詳解】A.分子分母同時加上同一個數(shù)，分式不一定成立，故原選項錯誤，不符合題意；

B.工^二-二，故原選項錯誤，不符合題意；C.甘吟,故原選項錯誤，不符合題意；

bbbB

D.三胃二￥=：，故原選項正確，符合題意?故選：D.

b+2b3bb

【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

變式1.（2025?廣東茂名?統(tǒng)考一模）下列等式中正確的是（)

aa+aa。+1aa-\caa

A—=------R—=------C—=------D.-=—

?bb+h'bZ>+1?bb-\bb2

【答案】A

【分析】根據(jù)分式的基木性質(zhì)，分式的分子與分母同乘或除以一個不為零的數(shù)，分式的值不變，逐個判斷

即可解答.

【詳解】解：宵=當(dāng)=￡，故A正確；經(jīng)與/不一定相等，故B錯誤；

M與￡不一定相等，故C錯誤；當(dāng)時，g>0,故D錯誤，故選：A.

b-[bhb

【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟知該性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2。25?河北石家莊??？寄M預(yù)測）實數(shù)八。>1.則下列各式中吃的值大的是（）

【答案】D

【分析】直接根據(jù)分式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可得到答案.

【詳解】解：因為—“所以，0<|<1,

A.=故此選項不符合題意；B.4<-?故此選項不符合題意；

2bbb2b

C.故此選項不符合題意；D.器>：,符合題意；故選D

b-\bb+lb

【點睛】本題主要考查了分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

例6：（2。25?河北?一模）如果要使分式言的值保持不變，那么分式應(yīng)（）

A.a擴(kuò)大2倍,匕擴(kuò)大3倍B.a,同時擴(kuò)大3倍

C.。擴(kuò)大2倍，?？s小3倍D.“縮小2倍，力縮小3倍

【答案】B

【分析】先根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡，最后得出答案即可.

【詳解】A.a擴(kuò)大2倍，b擴(kuò)大3倍，票T紫獷目,故該選項不正確,不符合題意;

2x3〃_6a_2a

B