專題1.1集合

U背知識(shí)

1.集合與元素

⑴集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無(wú)序性.

⑵元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號(hào)E或空表示.

⑶集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.

⑷常見(jiàn)數(shù)集的記法

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN*(或N+)ZQR

⑸集合的分類：有限集、無(wú)限集和空集.

2.集合間的基本關(guān)系

關(guān)系自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言Venn圖

集合人中所有元素都在集合8中

子集AQ仇或8?A)(^)

（即若XE4則%￡8）

或

集合A是集合B的子集，且集合B

真子集A^B(或庫(kù)A)

中至少有一個(gè)元素不在集合4中(^)

集合A,8中的元素相同或集合

集合相等A=B

A,B互為子集

重要結(jié)論：

⑴若有限集力中有“個(gè)元素，則力的子集有2n個(gè)，真子集有2"-1個(gè)，非空子集有2n-1個(gè)，非空真子集有

2n-2個(gè).

⑵空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.

3.集合的基本運(yùn)算

運(yùn)算自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言Venn圖

由屬于集合4日.屬于集合8的

交集ACiB={x\xG4且xGB]

所有元素組成的集合

AC\B

由所有屬于集合力或?qū)儆诩?

并集A\JB=(x\x€A或％6B}

合B的元素組成的集合

A\JB

由全集U中不屬于集合力的所

補(bǔ)集CyA={x|x6U且x任A}

有元素組成的集合

重要結(jié)論:

(DAqB=AnB=AoAuB=BoCyA3CyB.

⑵Q(AnB)=(CyA)U(CuB),Cu(AUB)=(CyA)n(QB).

⑶card(4UB)=card(A)+card(B')-card(AnB).

(4)AnA=A,An0=0,AAB=BAA.

(5)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

(6)An(CyA)=0,AU(QA)=U,Q(QA)=A.

喳教材變編

1.1人教A必修一P35復(fù)習(xí)參考題1T8]若集合M={(羽y)|y=l},集合N={(X,y)|x=0},則MnN=

()

A.{0,1}B.{(0,1)}C.[(1,0)}D.{(0,1),(1,0)}

2.【人教B版必修一P14練習(xí)BT2】(多選)已知M={x\x=3比-1,6€Z},N={x\x=3n-2,nEZ},

P={x\x=6p-l,pEZ}t則下列結(jié)論正確的是

A.M=PB.M=NC.NQPD.PGM

考點(diǎn)歸納

考點(diǎn)一集合的基本概念

【典例精講】

例1.（2025?江蘇省蘇州市?期中考試）（多選）下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.由4+呼（a,beR）所確定的實(shí)數(shù)集合為｛—2,0,2｝

B.同時(shí)滿足的整數(shù)解的集合為｛—101,2｝

I■￡十X三/XJL

C.集合｛（%丫）|3*+2丫=16不￡此丫￡1^卜可以化簡(jiǎn)為｛（0,8）,（2,5）,（4,2）｝

D.A=｛a|^6N,aeZ｝中含有三個(gè)元素

例2.（2025?江蘇省無(wú)錫市?模擬題［已知集合A=｛0,m,-3m+2｝,且2€A,則實(shí)數(shù)m的值為（）

A.3B.2C.0或3D.?；?或3

【方法儲(chǔ)備】

I.講究集合問(wèn)題時(shí)，首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他集合；然

后再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么，從而準(zhǔn)確把握集合的含義.

2.利用集合元素的條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性.

【拓展提升】

練1-1（2025?浙江省麗水市?月考試卷）已知集合人={1,2,3,4,5},B={（x,y）|xeA,yEA,x-yEA},則B

中圻含元素的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.6C.8D.10

練1-2（2024?浙江省瑞安市?月考試卷）已知集合A={x\x2+2x-8>0},B={x\x2-2ax4-4<0},

若a>0,且ACIB中恰有2個(gè)整數(shù)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系

【典例精講】

例3.（2025?江蘇省無(wú)錫市?月考試卷）（多選）下列說(shuō)法正確的是（）

A.E是由|x|V-3的所有實(shí)數(shù)組成的集合，尸是由立德中學(xué)某班會(huì)運(yùn)動(dòng)的所有學(xué)生組成的集合，E、F均不

存在

B.E={x\x2-4x+4=0）,F是由5個(gè)2組成的集合，則E=F={2}

C.E={XGZ|-^€Z},[1,-1]QFQE,則"可能有4個(gè)

D.E={（x,y）|y=2x,|x|<1,xGZ]f用列舉法表示集合E為{（1,2）,（-1,-2）}

例4.（2025?河北省石家莊市?聯(lián)考）（多選）已知集合4={%￡町/一3》一18<0},

B=[xER\x2+ax+a2-27<0},則下列命題中正確的是（）

A.若八=B,則。=-3B.若/旦氏則Q=-3

C.若B=0,則a<一6或a>6D.若B￡A時(shí)，貝『6<a<-3或a>6

【方法儲(chǔ)備】

1.集合間基本關(guān)系的判斷

⑴化簡(jiǎn)集合，從表達(dá)式中尋找兩集合的關(guān)系；

⑵用列舉法、圖示法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系.

2.根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法

已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要明確集合中的元素:首先，對(duì)子集是否為空集進(jìn)行分類討論；其次,

是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常借助數(shù)軸、Venn圖等來(lái)直觀

解決這類問(wèn)題.

注意：在列不等式（組）時(shí)，注意端點(diǎn)值能否取到.

【拓展提升】

練2-1(2024?山東省聊城市?月考試卷)已知集合M={x|x=m+1m€Z},N={x|x=nGZ),

P={x|x=1+j,p€Z},則M,N,P的關(guān)系為()

A.若MUN={1,3,4},則MCN=0B.若MUN={1,3,4},則MCN#0

C.若MnN=0,則MUN有4個(gè)元素D.若MCN手。,則MUN={1,3,4）

練3-3（2025?廣東省?期中考試）方程x?-（p-l）x+q=0的解集為A,方程x?+（q-l）x+p=0的解集為

B,已知ACB={-2},則AUB=.

新題放送

1.(2025?廣東省?單元測(cè)試)定義：[A]表示集合A中元素的個(gè)數(shù)，AG)B=￡1]黑，行黑已知集合

QBJ-[AJ,[A]<[BJ

M={1,2},集合A={x|x￡M},集合B={x|x(x2-1)(x2-ax+4)=0},若A?B=1,則a的取值范圍

是()

A.{a|-4<a<5}B.{a|a*±4}

C.{a|-5<a<4}D.{a|a*±4且a工±5}

2.(2025?湖北省?單元測(cè)試)(多選)已知集合A={x|x2-6x+5=0},B={x|ax2-2ax-1=0),且Bc

A,則實(shí)數(shù)a可能的取值是()

A.—gB.0C.-1D.—

3.[2025?重慶市?聯(lián)考題)已知集合A={x|(x-3)(x2-ax+l)=0,aeR},若集合A只有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a

可取的一個(gè)值為:若集合B={1,4),集合C=AUB,當(dāng)集合C有8個(gè)子集時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案解析】

1.【人教A必修一P35復(fù)習(xí)參考題1T8]

解：集合M表示縱坐標(biāo)為1的點(diǎn)集，集合N表示橫坐標(biāo)為。的點(diǎn)集，所以MnN=((0,1)},故選B.

2.【人教B版必修一P14練習(xí)BT2](多選)

解：由題意，M={x|x=3m—l,meZ],N={x|x=3(n+1)-l,n€Z}f由于m,nEZ,所以M=N.P=

[x\x=3-2p-l,pEZ),由于p￡Z,所以2P為偶數(shù)，因此PGM,故P￡M=N,所以B,O正確，A,

C錯(cuò)誤.故選80.

例L

解：分別取a,匕同正、同負(fù)和一正一負(fù)時(shí)，

可以得到粵+培3bER)的值分別為2,-2,0,故A正確;

小：2x+4>0,組o/0

叫1+xN2x-1,得一2Vx_2,

所以符合條件的整數(shù)解的集合為{-1,0,1,2},故8正確;

由3x+2y=16,xEN,yEN,

可以得到符合條件的數(shù)對(duì)有(0,8)，(2,5),(4,2),故C正確;

當(dāng)32時(shí),盤(pán)=提=66N；當(dāng)a=l時(shí),9=搭=3口,

當(dāng)口=。時(shí)，白=言=2€N；當(dāng)”-時(shí)白二搭"

當(dāng)口=-2時(shí)，￡="必當(dāng)。=-3時(shí)，￡二合16N,

所以集合A含有四個(gè)元素2,1,0,-3,故D錯(cuò)誤，故選ABC.

例2.

解：因?yàn)?={0,m,—3m+2},且2WA,

所以7n=2或m2—3m+2=2,解得7九=2或m=0或m=3.

當(dāng)m=2時(shí)，m2-3m+2=0,即集合4不滿足集合元素的互異性，故mW2;

當(dāng)m=0時(shí)，集合4不滿足集合元素的互異性，故mWO;

當(dāng)m=3時(shí)，4={0,3,2}滿足條件.故選A.

練1T.

解：由題意，(%y)可表示(2,-31),(2,-24),(2,4),(3,-31),(3,-24),(3,4),共6個(gè)點(diǎn).

故選C.

練1-2.

解：由4中不等式變形得：(%-2)(%+4)N0,解得：工工一4或%22,即4=(一8,-4]U[2,+8).

山B=(x|x2-2ax4-4<0},a>0,且4nB中恰有2個(gè)整數(shù)元素，知方程M2axI4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

設(shè)/■(%)=/-2ax+4,則/'(%)的軸對(duì)稱x=a>0,且對(duì)應(yīng)方程/-2ax+4=0的根修，x2?滿足

箸上；0'°"之工工21取血工切，

???人八8中恰有的兩個(gè)整數(shù)元素為2,3,

(f(3)=9-6a+4<0解得及<a<1,

(f(4)=16-8a+4>O'OL

'Q的取值范圍為年卷).故答案為：片卷).

例3.

解：對(duì)4由閉<-3的所有實(shí)數(shù)組成的集合E是空集，

由立德中學(xué)某班會(huì)運(yùn)動(dòng)的所有學(xué)生組成的集合是F,故E、尸都存在，故4錯(cuò)誤;

對(duì)B,F={x|x2-4x+4=0}={2},F由5個(gè)2組成的集合，

根據(jù)集合中元素的互異性，故尸={2}=/,故8正確；

□

對(duì)C,E={xez\^ez]={-1,1,3,5},

因?yàn)閧1,-1}GFGE,故F含有1、-1且是{-1,1,3,5}的子集,

F可能為{-1,1},{-1,1,3},{-1,1,5},{-1,1,3,5),共有4個(gè),故C正確;

對(duì)D,E={(x,y)|y=2xt\x\<l,xEZ]={(-1,-2),(0,0),(1,2)},故。錯(cuò)誤.

故選BC.

例4.

解：由題意得8={%6/?|-3VXV6},

若4=氏則Q=-3且Q?-27=-18,解得Q=-3,故人正確；

故當(dāng)Q=-3時(shí)，A=B,故。不正確；

若A￡B,則(一3)2+“?(-3)+。2-27工0且62+6(1+。2—27工0,解得。=一3,故B正面;

當(dāng)8=0時(shí)，得小一4("-27)W0,解得Q三一6或a26,故C正確.

故選：ABC.

練2-1.

解：因?yàn)镸={%|%=TH+[=竺會(huì)里,7HWZ},

N==357)+1,3￡z},P={x[x=￡Z},

所以M些N=P.故選B.

練2-2.

解：因?yàn)榧螹={x|(m+l)x2-mx+m-1=0}的所有子集個(gè)數(shù)是2,

則集合M有且只有一個(gè)元素，

①當(dāng)m+1=0時(shí)，即當(dāng)ni=—l時(shí)，

則乂=b懊-2=0}={2},符合題意；

②當(dāng)m+1工0時(shí)，即當(dāng)m工—1時(shí),

則關(guān)于x的方程(m+l)x2-mx+m-l=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，

則A=m2—4(m+l)(m-1)=4—3m2=0,解得m=

綜上所述，m=—l或土胃.故選：D.

例5.

解：由/-3%>0可得“<。或%>3,即N={x\x<0或%>3],

對(duì)于4項(xiàng)，MC\N=[x\x<O]^0,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于8項(xiàng)，MUN=R,故8項(xiàng)正確；

對(duì)干。項(xiàng),因23}Cfx|x40或工23),故CAMCM故C項(xiàng)不確：

對(duì)于。項(xiàng)，結(jié)合4可知a(MnN)={x|x>0},故。項(xiàng)正確.故選：BCD.

例6.

解：因?yàn)锽={x|l<x<2},所以QB={x\x<1或%>2}.又因?yàn)榱(&B)=R,A={x\x<a],觀察CRB

與,4在數(shù)軸上表示的區(qū)間，如圖所示，

CggCRg

-1AIZL一

12ax

可得當(dāng)aN2時(shí)，AU(G?8)=R.

例7.

由黑>0等價(jià)于{"■?(；+1)工0,解得％>3或％<-1,

所以4=口比<一1或％23},又4U8=4所以BGA,

①當(dāng)8=。時(shí)，即QX+1<0無(wú)解，此時(shí)Q=0,滿足題意.

②當(dāng)BW。時(shí)，即ax+1<0有解,

當(dāng)Q>0時(shí)，可得不式一匕即8=卜卜工一斗要使4則需要「解得0VQV1.

aa)

II---a<—1

a<0

當(dāng)Q〈o時(shí)，可得％2二，即8二卜屋一工],要使B5,則需要,解得一上”0.

aIIa)1、-3

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是卜a1).故選A-

練3-1.

解：由題意可得A={1,2},又An(CRB)=。，

AGB,又B={x|x(x+a)(x2+2x+b)=0},

①當(dāng)a=-l時(shí)，則2是*2+2*+6=0的根，,5二—8,

:.B={x|x(x—l)(x2+2x-8)=0)={0,1,2,—4}；

②當(dāng)a=-2時(shí)，則l是x2+2x+b=0的根，?^.b=-3,

???B={x|x(x-2)(x2+2X-3)=0}={0,2,1,-3),

綜合①②可得集合B的元素有4個(gè)，

集合B的子集的個(gè)數(shù)為2。=16,故選：C.

練3-2.

解：當(dāng)a03時(shí)，M={x|(x-a)(x-3)=0}={a,3},

當(dāng)Q=3時(shí)，M={3},N={x|(x-4)(x-1)=0}={1,4},

若MUN={134},則Q=3或a=1或Q=4,MnN可能為空集，也可能小為空集，48錯(cuò)誤；

若MfiN=0,則QH1,aw4,但可能a=3,MUN可能有4個(gè)元素，也可能有3個(gè)元素，C錯(cuò)誤;

若MCN手0,則Q=1或Q=4,MUN={1,3,4},。正確.故選：D.

練3-3.

解：由題意”1—2€A,—2EB,

則4+2(p-l)+q=0且4-2(q-l)+p=0,解得p=-2,q=2,

則A={x|x2+3x+2=0]={-1,-2),同理求得B={-2,1},

則AUB={-故答案為

1.解：vM={1,2},

??A={x\xCM)={。,{1},{2},{1,2}},???[川=4,

又；A⑥B=1,[8]=3或=5,

???方程工(/-1)=0的解為一L0,1：

方程/—QX+4=0可能有0個(gè)解，2個(gè)相同的解，2個(gè)不同的解，

A[B]=3或[8]=4或[網(wǎng)=5,故只需要排除[8]=4,

若⑻=4,

①當(dāng)△=a2-16=0?即a=±4時(shí)，

8={-1,0,1,2}或8={-1,0,1,-2},成立；

②若一1是方程％2-ax+4=0的根，則a=-5,

B={-1,0,1,-4),成立；

③若1是方程“2—ax+4=0的根，則a=5,

B={-1,0,1,4),成立，0不可能是方程/一。％+4=0的根.

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)。=±4或。=±5時(shí)，[8]=4,

故a的取值范圍是{a|a=#