第02講垂徑定理

目錄

考點一：垂徑定理

考點二：垂徑定理的應(yīng)用

?【基礎(chǔ)知識】

一.垂徑定理

（D垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并旦平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

二.垂徑定理的應(yīng)用

垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：

（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決訂算弦長、半徑、弦心距等問題.

這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握.

.【考點剖析】

一.垂徑定理（共16小題）

1.（2021春?徐匯區(qū)月考）過。。內(nèi)一點M的最長的弦長為6cm,最短的弦長為4cm,則OM的長為cm.

2.（2022?浦東新區(qū)校級模擬）在半徑為的圓內(nèi)有兩條互相平行的弦，一條弦長為24cm，另一條弦

長為\0crn,則這兩條弦之間的距離為cm.

3.（2022?楊浦區(qū)三模）已知是。0的弦，如果。。的半徑長為5,45長為4,那么圓心。到弦AB的

走離是.

4.（2022春?徐匯區(qū)期中）已知正三角形A8C的弦心距為小那么aABC的周長是.（用含"的式

子表示）.

5.（2021春?徐匯區(qū)校級月考）在00中，弦AB的長為8,它所對應(yīng)的弦心距為4,那么半徑OA=

6.（2022春?長寧區(qū)校級期中）如圖，已知在。0中，半徑OC垂直于弦A8,垂足為點。.如果。。=4,

AB=16,那么OC=.

D

C

7.（2022?浦東新區(qū)校級模擬）如圖，△ABC中，NA=50°,截△ABC的三條邊所截得弦長相等，則

ZBOC=（）

A.110°B.115°C.120°D.125°

8.（2022春?徐匯區(qū)校級期中）如圖，A8是。。的弦，。為半徑04的中點，過。作CQ_LOA交弦A8于

點E,且CE=CB,若BE=2AE,CD=5,那么。。的半徑為.

9.（2022?徐匯區(qū)校級模擬）如圖，點。是），軸正半軸上一點，以。為圓心的圓與x軸、y軸分別交于點4、

B、C、D.己知點A的坐標(biāo)為（3,0）,點C的坐標(biāo)為（0,I）,則點。的坐標(biāo)為.

10.（2022?松江區(qū)校級模擬）如圖，已知A8是。。的直徑，咳CD交AB于點、E,ZCEA=30a,OFV

CD,垂足為點凡DE=5,OF=\,那么

11.（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，點A、B、C在圓。上，弦AC與半徑08互相平分，那么N4OC

12.（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，圓。經(jīng)過平行四邊形A8CD的三個頂點A、B、。，且圓心。在

平行四邊形ABC。的外部，tanNOAB=』，。為弧AB的中點，。0的半徑為5,求平行四邊形的面積.

2

CE=2,￡0=6,求OO的半徑長.

16.（2022?嘉定區(qū)校級模擬）如圖，點C、。分別在扇形AO8的半徑OA、04的延長線上，且0A=3,

4c=2,CO平行于/W,并與弧48相交于點M、N.

（I）求線段0。的長；

（2）若lanNC=_l,求弦的長.

2

二.垂徑定理的應(yīng)用（共5小題）

17.（2019秋?肯浦區(qū)校級月考）一個弓形橋洞截面示意圖如圖所示，弦A4是水底，弦CD表示水面，EF

過圓心。且EF_LA8,E/=/W=24米，CD//AB.

（1）當(dāng)水深G尸為19米時，求此時水面CQ的寬;

（2）若水面下降，當(dāng)水面。。的寬為12巡米時，求此時水深.

E

18.（2022春?松江區(qū)校級期中）鏟車輪胎在建筑工地的泥地上留下圓弧形凹坑如圖所示，量得凹坑跨度

AB為80（7〃，凹坑最大深度CD為20cm,由此可算得鏟車輪胎半徑為.

19.（2022?上海）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個圓形花壇。，點。在弦48上，4c=11,4c=21,OC=13,則

這個花壇的面積為.（結(jié)果保留TI）

20.（2019?浦東新區(qū)校級自主招生）有一塊正方形田地，中間有一圓池，池與田間間隙有13.75畝，方田

四邊到圓的最近距離都是20步，求邊長，直徑，（240步2=1畝，n=3）

21.（2022?徐匯區(qū)模擬）如圖所示，該小組發(fā)現(xiàn)8米高旗桿。E的影子E尸落在了包含一圓孤型小橋在內(nèi)

的路上，于是他們開展了測算小橋所在圓的半徑的活動.小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，同時測

得EG的長為3米，HF的長為1米，測得拱高（弧G”的中點到弦G”的距離，即的長）為2米,

求小橋所在圓的半徑.

9【過關(guān)檢測】

1.下列命題中不正確的是（）

A.平分弦的半徑垂直于弦；B.垂直平分弦的直線必經(jīng)過圓心；

C.垂直與弦的直徑垂直平分這條弦對應(yīng)的?。籇.平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦.

2.如圖，在5義5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A、B、C三點，那么這條圓弧所在的圓的圓心為圖中的（）

A.MB.PC.QD.R

4.（2020?上海市民辦文綺中學(xué)九年級期中）下列關(guān)「圓的說法中，錯誤是（）

A.等圓中，相等的弦所對的弧也相等

B.過圓心且平分弦的直線一定垂直于這條弦

C.經(jīng)過半徑的端點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

D.相交兩圓的圓心距一定垂直平分兩圓的公共弦

二、填空題

5.如圖，已知AB是。0的直徑，弦CD交AB于點E,ZCEA=30°,0F1CI）,垂足為點F,DE=5,0F=l,

那么CD=_

7.（2021?上海青浦?二模）如圖，在半徑為2的。。中，弦的與弦切相交于點機如果4?=切=26,

ZXjr=120°,那么〃V的長為

8.（2018?上海?九年級期末）如圖，在5X5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A,B,C三點，已知點A的

坐標(biāo)是（2,3）,點C的坐標(biāo)是U,2）,那么這條圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是.

9.（2017?上海浦東新?九年級期木）若。O的一條弦長為24,弦心距為5,則。O的直徑長為—

13.(2021?上海徐匯?二模)如圖，在梯形加⑦中，CD//AB,AB=\0,以腦為直徑的經(jīng)過點GD,

且點a〃三等分弧AB.

(1)求少的長；

(2)已知點￡是劣弧優(yōu)’的中點，聯(lián)結(jié)能交邊切于點E求用的長.

14.(2021?上海松江?二模)如圖，已知比中，/月〃=90°,cot/BAC=2,BC=3以邊力。上

一點。為圓心，窗為半徑的。。經(jīng)過點反

(1)求。。的半徑；

(2)點〃是劣弧A8的中點，求tanN砌4的值.

15.（2021?上海金山?二模）如圖，是一個地下排水管的橫截面圖，已知。0的半徑創(chuàng)等于50M，水的

深度等于25cm（水的深度指A8的中點到弦/出的距離）.

求：（1）水面的寬度月8.

（2）橫截面浸沒在水中的A8的長（結(jié)果保留八）.

16.（2021?上海楊浦?三模）如圖，已知在。。中，ODLAB,垂足為點〃，〃。的延長線與。。相交于點C,

點9在弦A9的延長線上，應(yīng)與CO相交于點凡AB=O）=8,tan6?=l

（1）求。。的半徑長；

（2）求三CF的值.

17.（2021?上海浦東新?模擬預(yù)測）已知：如圖，圓。是等腰△，仍「的外接圓，/5=AB=iO,CD=^BC,

2、

tanZ?=—.求:

3

（1）線段犯的長;

（2）圓。的半徑.

18.（2021?上海奉賢?三模）如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過網(wǎng)格的交點兒從

（1）請完成如下操作：

①以點