高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)_一三角函數(shù)的概念及誘導(dǎo)公式專題

知識(shí)點(diǎn)?梳理

1、任意角與弧度制

①角的概念：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.

按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角

②角的分類:

按終邊位置不同分為象限角和軸線角

③終邊相同的角：所有與角。終邊相同的角，連同角。在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合

5={6|/=a+h360/￡Z},即任一與角。終邊相同的角，都可以表示成角。與

整數(shù)個(gè)周角的和.

④象限角與軸線角：

/第一象限角]卜|2kHVaV2ATT+贄，AEZ

軸

終邊落在與軸上的角{a\a=knfk^Z}

第二象限角]同2"+號(hào)VaV2A7T+7r/￡Z線

角

的終邊落在軸上的角][°|°=贄+"/￡

第二象限角]]a|2A7T+7rVaV2Arr+粵,y2）

集

合

Y第四象限角){?|2^n+^<a<2An+2n,AGZ終邊落在坐標(biāo)軸上的角|{叩二/兀"￡2}

⑤弧度制與扇形的弧長和面積公式:

定義長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號(hào)rad表示.

角Q的弧度數(shù)公囤=：（/表示弧長）

式

角度與弧度的換①1=-^-rad；②lrad=(^

算180{7T)

弧長公式1=ar

扇形面積公式S=-lr=—Icrlr2

2211

2、三角函數(shù)的概念

①定義：設(shè)。是任意角,P（x,y）為。終邊上一點(diǎn)，則

sina=[)cos<7=/人tancr=々x.0).

②三角函數(shù)值的正負(fù)

（1）sina在一、二象限為正；

（2）cosa在一、四象限為正；

（3）tano在一、三象限為正；

③同角三角函數(shù)之間的關(guān)系

sina

（1）平方關(guān)系：sin~a+cos2a=1;（2）商數(shù)關(guān)系:tana=(cosa工0）；

cosa

第1頁共23頁

④特殊角的三角函數(shù)值

角度030456090,120135150180270360

K71兀7T2%3笈5萬3%

弧度0712乃

~67T2~6T

百旦旦

sine?0100

22~T222

BV2_1一也

cosa10-101

V222乙

且_V3

tana01百不存在-6-10不存在0

3~T

3、誘導(dǎo)公式

①誘導(dǎo)公式

公式一sin(2Z;r+a)=sinacos(2ATT+a)=cosatan(2k7r+a)=tana

公式二sin(;r+a)=-sinacos(〃+a)=-cosalan(〃+a)=tana

公式三sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(-a)=Tana

公式四sin("一a)=sinacos("一a)=-cosatan(4一a)=—tana

/\

714bsina

公式五sin----a=cosercos

<2；

公式六sin—+Q=cosacos=-sina

<2；、2J

②口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限.

1）奇變偶不變，符號(hào)看象限.“奇”“偶”指的是中的上是奇數(shù)還是偶數(shù).

2

2）“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化.

3）“符號(hào)看象限”指的是在“人5+。（丘2）”中，將?？闯射J角時(shí)，+a（逅Z）”的終邊

所在的象限.

第2頁共23頁

重點(diǎn)題型?歸類精講

---------------------題型一角的概念

【例1-1](2005年真題)"cos6=>是"。=囚”的

23

A、充分必要條件B、充分不必要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件

【變式1】已知向量a=(l,sinO),0=(-1,cos。)，則“。=丁'是％〃6”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必耍條件

【變式2】“tanO=成立的充要條件是()

A.，=[B.0=-+2k7rfkeZ

33

C.e=Lk兀,keZD.6>=-+—,keZ

332

題型二三角函數(shù)的定義

【例2-1】若角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)(T4),則cosa=()

4433

A.-B.--C.-D.--

JJJD

【例2-2】角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-2,3),則sin0=()

A.-■B.—V13C.D.~—y/13

13131313

【變式1】已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)°(sin*￡|,貝ljcosa=()

A.巫B.巫C.；D.

2222

【變式2】已知P(lM)是角夕的終邊上一點(diǎn)，tan〃=-2,則sin，=()

A.--B.--C.—D.—

5555

題型三三角函數(shù)的定義一三角函數(shù)值的正負(fù)

【例3?1】(2006年真題)設(shè)角。使得sin26>0與cosOvO同時(shí)成立，則角。是

A、第一象限角B、第二象限角C、第三象限角D、第四象限角

第3頁共23頁

4433

A.B.C.D.

3344

（兀3n、

【變式3】已知不,才，且tana=V^，那么sina=（）

I22y

A.B.一如C?旦D.近

3333

題型五同角三角函數(shù)關(guān)系一弦的齊次

【例5-1］（2020年真題）已知tanx=-L則sin2x

3

sina4-cosa

【例5-2J已知tana=2t貝llsina—cosa的值為

【變式1】已知tan〃=2,則sin?0+sin0cos0：=()

2e26

A.--B.—C.

555

則以cos。

【變式2】已知tana=--,的值為（)

3sina+cosa

343

A.-3B.——C.——D.

434

【變式3】tana=—?jiǎng)tsin2ct=(.)

2f

4343

A.—B.--c.D.

5555

題型六同角三角函數(shù)關(guān)系一sine±cos6與sinOcos。

【例6J】(2021年真題)^sin-+cos—=—,Plijsinx=()

222

【例e2】(2018年真題)sin15+cos15=

第5頁共23頁

273763"

A、B、c、GD、

—24

【例&3】（2017年真題）設(shè)sin3+cos4=@,則sina=

222

￡1

A、B、C、D、

224

【例6-4]（2013年真題）sirtA+cosA=-,則sin2A=

24112

A、B、C、D、

25252525

【變式1]右sina-cosa="1—，則sin2a=（）

3

A.晅B.-逑C.[D.}

9

【變式2】已知山0+850=40<0<：it｝

則sin〃一cos。=（）

4

2_1

A-￥Bc.D.

-433

題型七三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

【例7-1］（2019年真題）已知a=2攵乃+］（k￡Z）,則tan］=

旦

A、-1B、C、D、1

92

@則cosa=

【例7-2】（2016年真題）已知。為第四象限角，且sinQ-［）=

2

A、巫

B、°、一5D、

222

【例7-3】（2015年真題）tan6>-F-=72,則tan夕一工

44J

第6頁共23頁

【例7-4］(2008年真題)已知函數(shù)〃x)=sin(2x+e)J圖=乎，則/(4)=

A.OB.lC.—D.--

22

【例7-5】（2007年真題）已知。是第四象限的角，且sin（乃-a）=-#，則cos（;r+a）=

【例7-6］（2003年真題）tan300的值是

A、陋B、C、￡

2

sin(7i-a)cos(2n-a)cos-a+—

［變式1］已知/(。)=------------------———.

cos—asin(-n-a)

(1)化簡，(a);

⑵若a為第三象限角，且cos(a-g)4,求的值.

【變式2】平面直角坐標(biāo)系中，角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)叩電則sin（；-a卜（）

A"B.乎C?李?

/\

/\兀

_?.一，,cos(x+a)+cos——a

【變式3】已知tana=2,則；)(2人().

sinl-?)4-cos(a-n)

A.一；B.-IC.1D.3

第7頁共23頁

1、已知〃：角a的終邊過點(diǎn)尸（l,2）,q:sina=竽，則〃是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2、已知sina=-|,且兀<a<,,則cosa=（）

J4

4R334

A.■?B-c.wD-5

3、設(shè)xeR,則“sinx=O”是"8SX=1”的（）

A.充分不必要條件B.必要小充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

CSa

4、若sinatana<0,且°<0,則角。是第（）象限角.

tana

A.B.二C.三D.四

471

5、已知sinO+cose=”）<"R,則sinO—cos0=（）

V2\_

A.B一五D.

333

2sinx+cosx/

6、已知lanx=2,則2sinx-cos.=（）

3B.|C.ID.1

A.

7、已知sina+cosa=；,且ae（0,7t）,則sina-cosa的值為（）

A.

4B?-半c-半D-半或￥

8,己知P（-21）是。終邊上的一點(diǎn)，貝I」sin28=

9、己知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)。4,-4，則sina=,cosa=

\4J/

10、若cosa-sina=g,則sin2a的值為.

11、己知tanv=2,則2sin%-sirucosur+3cos2x=.

12、若sina+cosa=—?，<76（弓,冗），貝ljtana=.

sin—+a-sin（n+?）

13、已知tan（3兀-a）=g,則——:--------?等于（）

cos--orj+cos（7i-a）

A.1B.-yC.1D.

第8頁共23頁

.(STI](3nA2/

sin-a---cos—+atan-(7r-a

14、已知——2JI；_)------

cos—asin(7t+a)

⑴化簡/(a);

⑵若j(ct)=2f求sin%-3sinacosa的值.

第9頁共23頁

三角函數(shù)的概念及誘導(dǎo)公式

知識(shí)點(diǎn)?梳理］

1、任意角與弧度制

①角的概念：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.

按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角

②角的分類：?

按終邊位置不同分為象限角和軸線角

③終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角。在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合

S={⑸￡=a+Z.360M￡Z},即任一與角。終邊相同的角，都可以表示成角a與

整數(shù)個(gè)周角的和.

④象限角與軸線角：

「第一象限角］竹以七TVaV2A7i+號(hào)」EZ

軸終邊落在4軸上的角{a\a=kntk^Z}

第二象限角｛a|2^7T+-^-<cr<2^7T+7rk^Z,線

t角

的終邊落在y軸上的角)回。=贄+而"￡Z)

第二象限角］］a|2A7T+7rVaV2Arr+粵,A￡Z

集

合

Y第四象限角［2A兀+粵VaV2Air+2n,AGZ終邊落在坐標(biāo)軸上的角］同。=/兀，AWZ)

⑤弧度制與扇形的弧長和面積公式:

定義長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號(hào)rad表示.

角a的弧度數(shù)公圖=:(/表示弧長)

式

角度與弧度的換

@1=-^-rad；(2)1rad=

算180\^)

弧長公式1=ar

扇形面積公式S=-lr=-Icrlr2

2211

2、三角函數(shù)的概念

①定義：設(shè)。是任意角,P(x,y)為。終邊上一點(diǎn)，則

.y

sin?=7.^7cosa=

②三角函數(shù)值的正負(fù)

(1)sina在一、二象限為正;

(2)cosa在一、四象限為正;

(3)tana在一、三象限為正;

③同角三角函數(shù)之間的關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin%+cos2a=1;(2)商數(shù)關(guān)系：tana=‘也。(cosa工0);

cosa

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④特殊角的三角函數(shù)值

角度030456090120135150180270360

717171712%3笈5乃3萬

弧度0712萬

777~2~6T

旦也

sina0苴10-i0

22~2~T22

西叵也_V3

cosa10-101

V22~22~T

_V3

tana0也1不存在-73-10不存在0

33

3、誘導(dǎo)公式

①誘導(dǎo)公式

公式一sin(2^+cr)=sinacos(2Z4+a)=cosatan(2A:^+a)=tan(z

公式二sin(7T4-?)=-sin?cos("+o)=-cosatan(〃+a)=tana

公式三sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(—a)=-tana

公式四sin(%一a)=sinacos(九一a)=-cosatan(^-cz)=Tana

/\

乃4j=sina

公式五sin——a=COS6Zcos

<2；

2+a]

公式六sin—+a=cosacos二一sina

<2；、2)

②口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限.

1)奇變偶不變，符號(hào)看象限.“奇”“偶”指的是以巳+a丘Z呻的％是奇數(shù)還是偶數(shù).

2

2)“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化.

3)“符號(hào)看象限”指的是在“嗎+。伏"廣中，將?？闯射J角時(shí)，“W+a(k￡Z)"的終邊

所在的象限.

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重點(diǎn)題型?歸類精講

---------------------題型一角的概念

【例1-1］（2005年真題）"cos6=>是"。=囚”的

23

A、充分必要條件B、充分不必要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】由"cos*、'推不出"。=巴"，夕=工+2所或。=-2+2H；由"。=工”可以推出"85。=_1"

233332

所以“cos。->是”0=%”的必要不充分條件

23

【變式1】已知向量。=（1,sin。），b=（-l,cos。）,則“6=》是“￡〃齊的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由己知，可根據(jù)。=亍，求解出cos。，sin。，然后帶入4=（1,sine）,Z?=（Tcos6j中，判定a〃b

從而確定充分性：然后再根據(jù)〃〃〃，列式求解出。的值，與條件對比，不滿足必要性，故可以完成解

答.

【詳解】由己知，學(xué),所以cos6=cos^=-g,sin6=sin^=g,

44242

此時(shí)。=（1,乎），6=,所以〃〃6;

若a〃b,由a=（l,sin。），〃=（T,cos。）可得：

cos<9=-sin所以"包+2E伙eZ）或。==+2e（&cZ）,

44

所以“0=手，，是%〃廠的充分不必要條件.

4

故選：A.

【變式2】“tan0=G”成立的充要條件是（）

A.￡B.O=-+2k7rtkwZ

33

C.0=-+k7rkeZD.6>=-+—,keZ

3t32

【答案】C

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：若tan6=6,貝1」。=。+左乃，kcZ,

即“tan。=G”成立的充要條件是8吟+k冗,&wZ；

故選：C

第12頁共23頁

題型二三角函數(shù)的定義

【例2-1】若角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-3,4),貝ljcosa=()

4433

A，?B--?C.w-5

【答案】D

【解析】設(shè)P(T4),則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為J(-3)2+42=5，則cosa=g=-|.故選：D

【例2-2】角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-2,3),則sinO=()

A.B.4小C.修D(zhuǎn).夢

【答案】D

【解析】因?yàn)榻?。的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-2,3)，則如0=3二兄叵.故選：D

【變式1】已知角〃的終邊經(jīng)過點(diǎn)小嗚［J,則

cosa()

A?冷

D.-----D.

2

【答案】B

3廠

【解析】a同即，則cosa==~=也故選：B

KT2

V44

【變式2】已知P(l,，〃)是角0的終邊上一點(diǎn)，tan〃=-2,則sin8=()

D.華

A..坦Bc

5-4-T

【答案】A

W=_型.故選：A.

【解析】由三角函數(shù)的定義知:皿。=〃?=-2,所以sin”

755

題型三三角函數(shù)的定義一三角函數(shù)值的正負(fù)

【例3-1］(2006年真題)設(shè)角。使得sin20>0與coS<0同時(shí)成立，則角另是

A、第一象限角B、第二象限角C、第三象限角D、第四象限角

【答案】C

【解析】cos6<0,角。位于第二象限或第三象限;sin26>0,若6位于第二象限［，則2。(名2萬),

sin20<0,故。位于第三象限

【例3-2］已知”為第二象限角，則()

第13頁共23頁

A.costz-sina>0B.sincr+coscr>0

C.sin2?<0D.sinatana>0

【答案】C

【解析】因?yàn)?。為第二象限角，所以sina>0,cosavO,tana<0y

則sin2fz=2sinacosavO,cosa-sina<0,sinatanavO,而sina+cosa的取值不確定.故選：C

【變式1】已知角。終邊上有一點(diǎn)P（sig,cos等），則兀是（）

OO

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

【解析】因?yàn)檗{是第二象限角，所以sin2>0,cos2<0,所以點(diǎn)P在第四象限，即角。為第四象限角,

666

所以為第一象限角，所以冗-a為第三象限角.故選：C

【變式2】"aw卜英廠是“CQsa>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若ae一二四，則cosa>0成立，故充分性成立；若cosa>0,則2E-5va<2E+/（2€Z），

I22）

不一定為a4,故必要性不成立，所以二:”是“cosa>0”的充分不必要條件.故選：A

22）I22）

題型四同角三角函數(shù)關(guān)系一知一求二

【例4~1]（2010年真題）已知?！辏?,7）/&112=-2,貝I]sina+cosa=

3石R3石V5

A、D、---C、D、

~T~55

【答案】D

【解析】如圖，當(dāng)tana=-2時(shí)，a角位于第二象限,

正切=2即慧”

設(shè)對邊為2,則鄰邊-1,斜邊石，正弦sina=g?二3=拽余弦

斜邊V55

5二梨—=_氏.+3”撞_@=立

斜邊石5555

【例4~2］（2004年真題）已知sina=----,270<a<360,那么sin2a的值是

3

第14頁共23頁

A、--V2B、-A/2C、D、

338T

【答案】A

對邊6-1

【解析】270vav360,a在第四象限，sina=余弦

—斜邊1飛

鄰邊6R,一0f-Q5/62&

斜邊G3Lx/3J33

【例43】己知cosa=(,則sina的值為()

A.巫B.-逅C.土述D.土逅

3333

【答案】C

【解析】因?yàn)閏osa=g,所以sina=±Jl-cos?a=±Jl-g=±胃4故選：C

2

【變式1】已知tana=—，且兀<&<2兀，則cosa二()

3

、3V13口3>/13「2>/13「2a

\?------t5.-----L?------L).-----

13131313

【答案】A

_23%

【解析】tana=—>0且兀<。<2兀，:.^<a<—,/.cosor<0,

32

sina2r—

tana=-----=-z3,13痂、比

由,cosa3得s：c.os./7=--?故選：4.

22113

sin,a+cosa=1

3

【變式2】已知cos0=g,且sin6<0,則tan。的值為()

443

A.--B.-C.-

【答案】A

"由題意得—“柴="若，故選：A

5

(3'

【變式3】已知不彳，且tana=J^，那么sina=()

Iz乙)

6RV6V6

333

【答案】B

第15頁共23頁

【解析】因?yàn)閍嗎與，叱=驍=氏。，故-吟，s2&8sa,

又sin?a+cos'a=1,解得：sina=------故選：B

3

題型五同角三角函數(shù)關(guān)系一弦的齊次

【例5-1］（2020年真題）已知taiv:=-L則sin2x

3

3

D、

5

【答案】D

【解析】若x為第二象限角，tanx=」，則對邊=1、鄰邊=一3,斜邊=JHLsirLrn-^,cosxn

3Vio

_3I_73i

—j=,sin2x=2sinvcos^=2x—=x-==一一；當(dāng)不為第四象限角，tanx=一一，則對邊=一1、鄰邊=3,

V10VioV1053

MiiL=5/io,sirLv=—j=,cosx=—^=,sin2x=2sirucosx=2x—=x—^==——°

x/10V10VWx/105

■一■r..sina+cosa.,...

【例5-2】已知tan『2,則;的值為o一

【答案】3

.,hctana+12+1-

【rA解n析lI】原式=嬴￡=7==7=3

【變式1】已知tan6=2,則siMe+siness"()

2c

A.B?I-4

5

【答案】D

。2故選.

【解析】由題意知tan?=2,則sin8+sin9cose=sin?O+sinOcostantan4+26D

sin26^+cos2tan2^+14+15

e—2cos。3/

【變式2】已知tana=則^---------的值為（)

SII1(Z+UUSW

?43

A.-3B-1C.D.

34

【答案】A

【解析】由tana二一,，得-2cosa=/=-3.故選：A.

3sina+cosa1+tana

3

【變式3】tana=J,則sin"=()

乙

第16頁共23頁

【答案】C

2xl

【解析】tana」，,如2。=邛空警=用瞥=—」.故選：C

2sin~a+cos~a1+tan~a../K25

1+(5)

題型六同角三角函數(shù)關(guān)系一sin。土cos6與sinScos?

【例e1】(2021年真題)若sin二+cos二=,，貝Usinx=)

222

I1R1r2

433*

【答案】D

.，Xc.XX2X1r一人B

【解析】sin—+cos-=—sirr—+2sin—cos—+cos——=一[兀全牛

22222224

2

方公式+=cr+26fZ?+Z?]l+2sin-^cos-^=^(sin2a+cos2a=1)

1,3

l+siiu=1(二倍角公式sin2。=2sinacosa)siru=-1=——

44

[1506-2](2018年真題)sin15+cosl5=

273B、gC、63瓜

、---

4

【答案】B

【解析】(sin\5+cosl5-=s加15+2si〃l5cos15+cos2\5=1+--------sin1a+cos1a=1)=1+sin30

,)(70515

[3_>/6

sin\5+cos15=

2-V

【例6~3](2017年真題)設(shè)sinq+cos4=巫，Msina=

222

1

A、正B、C、D、

224

【答案】D

【解析】左右兩邊同時(shí)平方,苗州+854]=—,sin2—+2sin—cos—+cos2—=—,14-sin?

[22)[2)22224

5.1

=—,