中點(diǎn)四邊形

1.(2025春?懷仁市期中)已知：如圖，四邊形A48四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F>G、H,順次

連接歷、FG、GH、HE,得到四邊形EFGH(即四邊形力87/7的中點(diǎn)四邊形).

(1)四邊形￡FG〃的形狀是,證明你的結(jié)論.

(2)當(dāng)四邊形ABCZ)的對(duì)角線滿足條件時(shí)，四邊形EFG”是矩形.

(3)你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形？

2.(2024春?速湖縣期中)閱讀理解我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫中點(diǎn)四

邊形.如圖1,在四邊形A4c。中，E,F,G,〃分別是邊A3,BC,CD,D4的中點(diǎn)，依次連接

各邊中點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形EFGH.

問題解決

(1)判斷圖1中的中點(diǎn)四邊形"G”的形狀，并說明理由;

(2)當(dāng)圖1中的四邊形A8C。的對(duì)角線添加條件時(shí)，這個(gè)中點(diǎn)四邊形EFG”是正方形.

拓展延伸

(3)如圖2,在四邊形鉆8中，點(diǎn)M在A3上且AAA/D和AMC3為等邊三角形，E、F>G、〃分

別為4?、BC、CD、A。的中點(diǎn)，試判斷四邊形￡7七〃的形狀，并證明你的結(jié)論.

3.(2025春?鹽城期中)閱讀理解，我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫中點(diǎn)四

邊形，如圖1,在四邊形中，h,卜,G,”分別是邊AC,CD,的中點(diǎn)，依次連接

各邊中點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形EFGH.

(1)這個(gè)中點(diǎn)四邊形EFG”的形狀是

(2)如圖2,在四邊形A3CD中，點(diǎn)”在上且AAW和&0C3為等邊三角形，E、F、G、”分

別為A3、BC、CD、4)的中點(diǎn)，試判斷四邊形瓦6”的形狀并證明.

4.(2024春?廣東期中)已知：如圖，四邊形A3CD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H,順次連

接砂、FG、GH>HE,得到四邊形EAG"(即四邊形A3CD的中點(diǎn)四邊膨).

(1)四邊形〃的形狀是,證明你的結(jié)論；

(2)當(dāng)四邊形AHC7)的對(duì)角線滿足條件時(shí)，四邊形HP4是矩形；你學(xué)過的哪種特殊四邊形的

中點(diǎn)四邊形是矩形？

(3)當(dāng)四邊形A8CD的對(duì)角線滿足條件時(shí)，四邊形E9G”是菱形；你學(xué)過的哪和特殊四邊形的

中點(diǎn)四邊形是菱形？

5.(2024春?饒平縣期末)我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形，

如圖，石、卜、G、”分別是四邊形MC。各邊的中點(diǎn)，可證中點(diǎn)四邊形“G”是平行四邊形，如果

我們對(duì)四邊形A8CD的對(duì)角線AC與8Z)添加一定的條件，則可使中點(diǎn)四邊形EFG”成為特殊的平行四

邊形，請(qǐng)你經(jīng)過探究后回答下面問題？

(1)①當(dāng)AC8。時(shí)，四邊形為菱形；

②當(dāng)AC時(shí)，四邊形￡FG"為矩形.

(2)當(dāng)AC和由)滿足什么條件脫，四邊形EFG”為正方形？請(qǐng)回答并證明你的結(jié)論.

6.(2024?龍巖)如圖，我們把依次連接任意四邊形A8CZ)各邊中點(diǎn)所得四邊形EFG"叫中點(diǎn)四邊形.

(1)若四邊形A8CZ)是菱形，則它的中點(diǎn)四邊形加G”一定是：

A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形

(2)若四邊形人AC7)的面積為4,中點(diǎn)四邊形比6”的面積記為邑，則S與邑的數(shù)量關(guān)系是S=

邑：

(3)在四邊形A3C。中，沿中點(diǎn)四邊形瓦6〃的其中三邊剪開，可得三個(gè)小三角形，將這三個(gè)小三角

形與原圖中未剪開的小三角形拼接成一個(gè)平行四邊形，請(qǐng)畫出一種拼接示意圖，并寫出對(duì)應(yīng)全等的三

角形.

D

比

A.

9.（2025春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形/WC7）中，點(diǎn)七、F、G、〃分別為4B、BC、CD、

DA的中點(diǎn),

（1）求證：中點(diǎn)四邊形￡FG”是平行四邊形;

（2）如圖2,點(diǎn)尸是四邊形A8CQ內(nèi)一點(diǎn)，且滿足=PC=PD,乙針B=/CPD,裊E、F、G、

”分別為AB、BC、CD、D4的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EFG”的形狀，并證明你的猜想.

1（）.（2024秋?金水區(qū)校級(jí)月考）我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊

形叫中點(diǎn)四邊形.

（1）如圖，點(diǎn)尸是四邊形A38內(nèi)一點(diǎn)，且滿足以=尸8,PC=PD,ZAPB=NCPD,點(diǎn)E,F,G,

，分別為邊AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形瓦G”的形狀，并證明你的猜想：

（2）若改變（1）中的條件，使ZAP4=NC，￡>=90°,其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EAG”的形

狀（不必證明）.

2

H

1.（2025春?懷仁市期中）已知：如圖，四邊形八友刀四條邊上的中點(diǎn)分別為七、F、G、H,順次

連接卜G、GH、HE,得到四邊形（即四邊形的中點(diǎn)四邊形）.

（1）四邊形&GH的形狀是平行四邊形，證明你的結(jié)論.

（2）當(dāng)四邊形A3CO的對(duì)角線滿足—條件時(shí)，四邊形￡R汨是矩形.

（3）彌學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形？

【解答】解：（1）四邊形“6”的形狀是平行四邊形.理由如下：

如圖1,連接80.

???￡：、〃分別是AB、AD中點(diǎn)，

：.EH//BD>EH=-BD

2f

同理AG//8。，F(xiàn)G=-BD,

2

：.EHUFG,EH=FG,

.?.四邊形加是平行四邊形；

故答案為：平行四邊形；

（2）當(dāng)四邊形/WC。的對(duì)角線滿足互相垂直的條件時(shí)，四邊形EFG〃是矩形.理由如下:

如圖2,連接AC、BD.

E、F、G、H分別為四邊形ABC。四條邊上的中點(diǎn)，

:.EHUBD,HG//AC,

ACJ.8D,

:.EH上HG,

又?四邊形EFGH是平行四邊形，

.??平行四邊形瓦G"是矩形；

故答案為：ACLBDx

（3）矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形.理由如下：

如圖3,連接AC、BD.

：E、F、G、”分別為四邊形ABC。四條邊上的中點(diǎn)，

:.EH=-BDFG=-BD,EF=-AC,GH=-AC,

21222

四邊形ABC。是矩形，

AC=BD,/.EF=FG=GH=EH，

.??四邊形是菱形.

H

圖2

2.（2024春?建湖縣期中）閱讀理解我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫中點(diǎn)四

邊形.如圖1,在四邊形A8CD中，E,F,G,”分別是邊AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，依次連接

各邊中點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形EFGH.

問題解決

（1）判斷圖1中的中點(diǎn)四邊形印G”的形狀，并說明理由;

（2）當(dāng)圖1中的四邊形AAC/）的對(duì)角線添加條件_人。=陰）且47_1_8力_時(shí)?，這個(gè)中點(diǎn)四邊形“GH

是正方形.

拓展延伸

（3）如圖2,在四邊形A8CD中，點(diǎn)M在上且A4W和為等邊三角形，E、F、G、H分

別為舫、BC、CD、AD的中點(diǎn)，試判斷四邊形以七〃的形狀，并證明你的結(jié)論.

【解答】解：（1）四邊形￡打加是平行四邊形.

證明：連接AC、BD,

'〃分別是Ay、打C的中點(diǎn)，

:.EFNAC,EF=LAC,同理“G//AC,GH=-AC,

22

:.EF/!HG,EF=HG,

.?.四邊形瓦G”是平行四邊形；

（2）當(dāng)AC=8D且ACJL8D時(shí)，四邊形￡R汨是正方形，

-EF=-AC,EH=-BD,AC=BD,

22

:.EH=EF,

.??四邊形加6〃為菱形，

???AC上BD,

.?.4印=90°,

二四邊形ER7H是正方形，

故答案為：同。_加）且/4。_1.加）;

（3）四邊形￡7燈//為菱形.

證明：連接AC與3D,

A4MD和AMCB為等邊三角形，

：.AM=DMtZAMD=/CMB=6（T,CM=BM,

;.ZAMC=/DMB,

在AA^fC和垃:中，

AM=DM

ZAMC=NDMB,

CM=BM

:.MMC三Z）MB、

AC=DB?

E,F,G,H分別是邊AB,BC.CD.A4的中點(diǎn)，

二.E尸是AA3C的中位線，G”是A4C￡＞的中位線，//E是AABO的中位線，

:.EFNAC,EF=-AC,GH//AC,GH=-AC,HE=、DB,：.EF//GH,EF=GH,

222

.??四邊形EFGa是平行四邊形，

-：AC=DB,

:.EF=HE,

.?.四邊形耳G”為菱形.

D

3.（2025春?鹽城期中）閱讀理解，我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的I四邊形叫中點(diǎn)

四邊形，如圖1,在四邊形ABCD中，E,F,G,〃分別是邊A3,BC,CD,D4的中點(diǎn)，依次

連接各邊中點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形EFGH.

（1）這個(gè)中點(diǎn)四邊形E/P”的形狀是平行四邊形；

（2）如圖2,在四邊形/WCZ）中，點(diǎn)用在47上且AA/WD和為等邊三角形，E、F、G、〃分

【解答】解：（1）中點(diǎn)四邊形4G”是平行四邊形；

理由如下：連接AC,如圖1所示：

E,F,G,〃分別是邊AA,3C,CD,D4的中點(diǎn),

.?.EF是AA8C的中位線，G"是A4C。的中位線，

:.EF//AC,EF=-AC,GH//AC,GH=-AC,

22

c.EFHGH,EF=GH,

.?.四邊形）是平行四邊形；

故答案為：平行四邊形；

（2）四邊形EFGH為菱形.理由如下：

連接4C與8。，如圖2所示：

A4MO和為等邊三角形，

/.AM=DM.ZAMD=ZCMI3=^,CM=BM,

:.ZAMC=NDMB,

在A4MC和ADMA中,

AM=DM

<4MC=Z.DMB,

CM=BM

：.MMC二M)MB(SAS),

：.AC=DB,

E,F,G,〃分別是邊A4,BC,CD,DA的中點(diǎn)，

.?.星是AAHC的中位線，G4是AACO的中位線，是A/1B。的中位線,

;.EF//AC,EF=-AC,GHhAC,GH=-AC,HE=-DB,

222

:.EFUGH,EF=GH,

四邊形"GH是平行四邊形；

AC=DB,

:.EF=HE,

4.（2024春?廣東期中）已知：如圖，四邊形AHO?四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H,順次連

接即、FG、GH、HE,得到四邊形所G"（即四邊形ABC力的中點(diǎn)四邊形）.

（1）四邊形"UH的形狀是平行四邊形,證明你的結(jié)論：

（2）當(dāng)四邊形A8CO的對(duì)角線滿足條件時(shí)，四邊形MG”是矩形；你學(xué)過的哪和特殊四邊形的

中點(diǎn)四邊形是矩形？

（3）當(dāng)四邊形ABC。的對(duì)角線滿足條件時(shí)，四邊形EPGH是菱形；你學(xué)過的哪和特殊四邊形的

中點(diǎn)四邊形是菱形？

H

D

BFC

【解答】（1）證明：連接AC,

?.?在AABC中，點(diǎn)石，尸分別是他，BC的中點(diǎn)，

即為AABC的中位線，

：.EF//AC^EF=-AC

2

同理可證：

HG//ACHHG=-AC

2

；.EF/!HG且EF=HG

二.四邊形石尸G”是平行四邊形.

故答案為：平行四邊形；

（2）當(dāng)43_LCO時(shí)，四邊形EFGH是矩形，

要使四邊形E/P”是矩形，則需爐工FG,由（1）得，只需AC_LAO:

學(xué)過的菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形；

故答案為：AB1CD,菱形；

（3）要使四邊形環(huán)G”是菱形，則需￡〃=AG,由（1）得，只需AC=&）;

學(xué)過的矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形.

故答案為：AC=BD,矩形.

5.（2024春?饒平縣期末）我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形,

如圖，E、F、G、〃分別是四邊形/WCO各邊的中點(diǎn)，可證中點(diǎn)四邊形比G”是平行四邊形，如果

我們對(duì)四邊形A4CO的對(duì)角線AC與用）添加一定的條件，則可使中點(diǎn)四邊形日P”成為特殊的平行四

邊形，請(qǐng)你經(jīng)過探究后回答下面問題？

（1）①當(dāng)4c_=_友）時(shí)，四邊形瓦'G"為菱形;

②當(dāng)八C9時(shí)，四邊形EFGH為矩形.

（2）當(dāng)AC和位，滿足什么條件時(shí)，四邊形“G"為正方形？請(qǐng)回答并證明你的結(jié)論.

【解答】（1）解：①當(dāng)AC=8必時(shí)，四邊形￡FGH為菱形：理由如下：

G、”分別是四邊形CD、AD的中點(diǎn)，

:.GH是MCD的中位線，

:.GHMAC,GH=-AC,

2

同理：EF//AC,EF=-ACfGF//BD,GF,BD,

22

：.GHHEF,GH=EF,

.??四邊形EAG"是平行四邊形，

又AC=BD,

;.EF=GF,

.??四邊形ER；"是菱形；

故答案為：AC=BD;

②當(dāng)ACJL8D時(shí)，四邊形￡FG”為矩形；理由如下：

同①得：四邊形反6〃是平行四邊形，

vAC1BD,GH//AC.

:.GHlBDf

?.GFUBD,

:.GH上GF,

:.ZHGF=90°,

.??四邊形EFG”為矩形；

故答案為：ACVBDx

（2）解：當(dāng)AC=E）,AC_L3￡＞時(shí)，四邊形EAGH為正方形；理由如下：

當(dāng)AC=4￡＞時(shí)，由①得：四邊形￡R汨為菱形；

當(dāng)ACJ.A/）時(shí)，由②得：四邊形為矩形；

.??四邊形ER7”為正方形.

6.（2024?龍巖）如圖，我們把依次連接任意四邊形48CD各邊中點(diǎn)所得四邊形EFG”叫中點(diǎn)四邊形.

（1）若四邊形/WC。是菱形，則它的中點(diǎn)四邊形一定是B

A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形

（2）若四邊形A88的面積為中點(diǎn)四邊形EFG”的面積記為$2,則5與反的數(shù)量關(guān)系是5=

（3）在四邊形A4CO中，沿中點(diǎn)四邊形口P4的其中三邊剪開，可得三個(gè)小三角形，將這三個(gè)小三角

形與原圖中未剪開的小三角形拼接成一個(gè)平行四邊形，請(qǐng)畫出一?種拼接示意圖，并寫出對(duì)應(yīng)全等的三

角形.

【解答】解：（1）如圖1,連接入C、BD.

?「E、F、G、〃分別是菱形人成力各邊的中點(diǎn)，

:.EHUBDMFG,EF//AC//HG,EH=FG=-BD.EF=HG=-AC.

22

.??四邊形瓦G”為平行四邊形，

.?四邊形是菱形，

..AC1BD,

:.EhFG,

.是矩形；

故選：13.

（2）如圖2,設(shè)AC與EH、尸G分別交于點(diǎn)N、P,BD與EF、"G分別交于點(diǎn)K、。,

E是AA的中點(diǎn)，EF//AC.EH//I3D.

:ZBKsMBM,AAEN^AEBK,

.Syq邊形EKMN-1,同理可得Syq邊形KFPMS四邊形QGPM_S四邊形HQMN_1

S.MHM2SgcMs~9S'DAM2

S網(wǎng)邊形EFGH_J.

S四邊衿ABCD2

.?.四邊形八AC力的面積為加，中點(diǎn)四邊形比的面積記為則5；與邑的數(shù)量關(guān)系是S=2S2；

（3）如圖3,四邊形例是平行四邊形;

△MAH三AGDH,ANAE三AFBE,MJFGwMNM.

圖2

圖1

7.（2025?樂清市模擬）如圖，O是，ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，E,F,G分別是Q4,OB,CZ）的中點(diǎn).

（1）求證：四邊形。門G是平行四邊形.

（2）當(dāng)ZD￡〃=90。，A8=6,8C=4時(shí)，求四邊形OE尸G的周長(zhǎng).

【解答】（1）證明：

E,F,G分別是OB,CD的中點(diǎn)，

.?.△。45中，EF//AB旦EF=、AB（三角形中位線定理）；DG=-DC.

22

四邊形ABCD是平行四邊形，

:.DCUAB,DC=AB（平行四邊形的對(duì)邊平行相等），

:.DG=-DC=-AB=EF,DG//AB//EF,

22

二?四邊形是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

（2）

解：如圖所示，ZD￡F=90°時(shí)，延長(zhǎng)DK交于點(diǎn)H.

AC.8。分別是平行四邊形488的對(duì)角線，BC=4,

，DO=OB=LDB（平行四邊形對(duì)角線相互平分），4）=4（平行四邊形對(duì)邊相等）.

2

??,點(diǎn)E、/分別是。4、M的中點(diǎn)，48=6,

.?.△38中，￡〃/MB且）,A8=3（三角形中位線定理）；

2

?.?點(diǎn)尸是。8的中點(diǎn),

:.OF=-OB=-DB,

24

113

:.DF=DO+OF=-DB+-DB=-DB,

244

?,?_D_F一3?

DB4

VZ2）EF=90°B|JDE工EF,EF//AB,

：.DH1AB^VZDHB=ZDHA=90PfZEFD=ZHBD,

：2EFs皿B（兩個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形相似）,

EFDE?！?日口3DE3

/.---=-----=----=—?即----=-----=—，

HBDHDB4HBDH4

3

...HB=4,DE=-DH,

4

:.AH=AB-HB=6-4=2f

直角拉比4中，DH7AD2-A）="2-22=26,

：.DE=-DH=-x2y/3=—f

442

???四邊形DE尸G的周長(zhǎng)=2X（E『+O￡）=2X（3+竽）=6+36.

答：四邊形"￡FG的周長(zhǎng)是6+36.

DC

8.（2025春?姜堰區(qū)期中）如圖，在四邊形ABC力中，點(diǎn)E、尸、G、〃分別是四、BC、CD、4）的

中點(diǎn)，連接AC、BD.

（1）求證：四邊形￡FG"是平行四邊形：

（2）當(dāng)對(duì)角線AC與8。滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形EFG”是菱形，并說明理由.

【解答】（1）證明：???點(diǎn)E、F、G，分別是45、BC、CD、4）的中點(diǎn)，

:.EF//ACfEF=-AC>HG//AC，HG=-AC>

22

:.EFNHG,EF=HG,

.??四邊形以7G〃為平行四邊形；

（2）當(dāng)AC=A力時(shí)，四邊形是菱形，理由如下：

由（1）知：四邊形是平行四邊形.

:E、”分別是AB、AD的中點(diǎn)，

：.EH=-BD.

2

T71

又"=-AC,

2

.?.當(dāng)AC=8Z>時(shí)，EF=EH,

.??平行四邊形反GH是菱形.

9.（2025春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形A8CZ）中，點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、

D4的中點(diǎn)，

（1）求證：中點(diǎn)四邊形仃G”是平行四邊形；

（2）如圖2,點(diǎn)Q是四邊形A8C。內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PC=PD,ZAPB=NCPD,點(diǎn)、E、F、G、

H分別為AB、BC、CD.的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形ER7H的形狀，并證明你的猜想.

A

(圖1)

:.EHUBD,EH=-BD.

2

?.,點(diǎn)F,G分別為邊8C,8的中點(diǎn),

:.FGHBD,FG=-BD,

2

:.EHHFG,EH=GF,

：.中點(diǎn)四邊形K尸G”是平行四邊形;

(2)解：四邊形瓦GH是菱形，理由如下:

如圖2,連