§7.8向量法求空間角(二)

【課標(biāo)要求】1.能用向量法解決平面與平面的夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量法在研究空

間角問題中的作用2弄清折疊問題中的變量與不變量，掌握折疊仙題中線面位置關(guān)系的判斷和空間角的計算問

題.

---------------------------落實主干知識----------------------------

平面與平面的夾角

如圖，平面。與平面面交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90。的二面角稱為平面

a與平面夕的夾角.

若平面a,的法向量分別是“1和"2,則平面a與平面〃的夾角即向量和"2的夾角或其補角.設(shè)平

面a與平面”的夾角為。則cosgeos(m,|=；；；湍.

3自主診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“Y”或“x”)

(1)二面角的平面角為火則兩個平面的法向量的夾角也是〃.(x)

(2)兩個平面的夾角的余弦值大于0.(X)

⑶二面角的范圍是(0,兀).(X)

(4)若二面角a-//的兩個半平面見/，的法向量〃I,肛的夾角為仇則二面角的大小是兀創(chuàng)X)

2.已知二面角a-//的大小為〃，平面a,成的法向量分別為〃尸(0,1,0),n=(0,1,l)f則媯()

A.JB手

44

C刃德D宇胖

4424

答案c

解析Vm=(0,1,0),〃=(0,1,1),

.*./??=1,制|=1,|w|=V2,

貝(l|cosO|=|cos(m,n)「:靠

又〃可o,何，???吟或今

3.(2024?酒泉模擬)設(shè)〃=(1,1,0),b=(t,0,1)分別為兩平面的法向量，若兩平面的夾角為6。。，則，等于

)

A.1B.-1C.-1或1D.2

答案C

解析因為法向量明力的夾角與兩平面的夾角相等或互補，所以(I,1,O)(c,0上=弓，得片士1.

V2-Vl+t2

4.(2024?安康模擬)如圖，四邊形/18C。是邊長為1的正方形，力平面力8cO,若力E=1,貝J平面與

平面BCE的夾角為

答案45°

解析因為花_L平面48co且四邊形力武力為正方形,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則以L0,0),C(l,1,0),￡(0,0,1),所以配＞0,1,0),屁=(-1,0,1),

設(shè)平面4CE的法向量為〃=(x,y,z),

啤=y=。，取〃=(i,0,力

則

.n-BE=—x+z=0,

又平面ZOE的一個法向量為〃尸(1,0,0),

設(shè)平面力?！昱c平面8CE的夾角為仇則cosW靠「丫,又(rWeW90。，所以敘45。.

口微點提醒

1.二面角的范圍是［0,兀］,兩個平面夾角的范圍是［。，*

2.若平面a與平面”的夾角為4，平面a內(nèi)的直線/與平面我所成角為仇，則仇2仇，當(dāng)/與研邛的交線垂直時,

取等號.

■探究核心題型?

題型一平面與平面的夾角

例1(2024?新課標(biāo)全國1)如圖，四棱錐244co中，尸/_L底面44cO,PA=AC=2,BC={,

AB=?

(1)若力。證明：4?！ㄆ矫媸?C；

(2)若力。J_。0且二面角兒CAQ的正弦值為半，求4D

⑴證明因為4_1_平面ABCD,

而/Du平面/"CO,所以

又AD1.PB,PBnPA=P,PB,"u平面尸力區(qū)所以4DJL平面P",

而45u平面P",所以力。_1_48.

因為BG+zlBJ/C2,所以

根據(jù)平面知識可知AD//BC,

又402平面尸8C,ACu平面尸8C,

所以,4?！ㄆ矫鍼AC

⑵解以。為原點，DA,反的方向分別為x軸、y軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

設(shè)4)=p,DC=q,

滿足p2十］2=%G=4.

則如0,0),P(p,0,2),C(0,q,0),D(0,0,0).

設(shè)平面力尸C的法向量為/〃=Qi,yi,zi),

因為乃=(0,0,2),AC=(-p,q,0),

由法向量的方向為同出,

得二面角D.EC-D的余弦值為

思維升華利用空間向量計算平面與平面夾角大小的常用方法

⑴找法向量：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到平面與平面夾角的大小.

⑵找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，然后

通過這兩個向量的夾角可得到平面與平面夾角的大小.

跟蹤訓(xùn)練1(2025?南通檢測)如圖，在三棱柱4C-45G中，側(cè)面力454,4。。出均為正方形，

AB=BC=2,ABA.BC,。是43的中點.

(1)求證：8G〃平面小。C；

(2)求平面4QC與平面44。夾角的余弦值.

(1)證明如圖，連接4G,交4c于已連接DE.

在三棱柱力AC-4由Ci中，側(cè)面/CGm是平行四邊形，故石是4G的中點，

又因為。是48的中點，貝!8G.

因為QEu平面4QC,4。隆平面4。。，故4G〃平面4Z)C.

⑵解因為側(cè)面48丐小，8CG81均為正方形，貝?。軧BiLBC.

又因為48,8Cu平面48C,ABCBC=B,故88i_L平面/AC.

如圖，以4為坐標(biāo)原點，以｛正，瓦西｝為一個正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.

因為"=8C=2,側(cè)面力8歷小，BCGS均為正方形，故為4=2.

由C(2,0,0),0(0,1,0),4(0,2,2)r可得而=(-2,I,0),碩=(0,-1,-2).

設(shè)平面的法向量為〃=&,y,z),

貝隋『?吃=-2x+y=0,故可取〃=(],2,⑴；

又40,2,0),所以配=(2,-2,0),麗k=(0,0,2),設(shè)平面的法向量為〃又z%

mu'j'm?冠=2%'—2y'=0,鉆一足一,八、

則有<—,)故可取/〃=(1,1,0).

(m?44i=2z'=0,

設(shè)平面小。C與平面小力。的夾角為仇

貝h°s卅|c°s[m,n)片揣=嬴喙

所以平面小。(「與平面小力C夾角的余弦值為，.

題型二折疊問題與空間角

例2(2024?新課標(biāo)全國II)如圖，平面四邊形N8CQ中，48=8,CD=3,AD=5y/3,ZADC=9()°,

/BAD=30。,點E,b分別滿足荏=!而，AF^AB,將△力即沿Eb翻折至△尸瓦；使得。。=48.

P

(1)證明：EFLPD]

(2)求平面PCD與平面列?”所成的二面角的正弦值.

⑴證明由48=8,

AE=^AD,AF=^AB,

彳導(dǎo)*E=2百，AF=4,

又28力/>30。，在△4E/7中，

由余弦定理得

EF=dAE2+AF2-2AE-AFcos^BAD

=J12+16-2x2V3x4xy=2,

所以,4g+E產(chǎn)=4產(chǎn)，

則即所_LAO,

所以EE_LPE,EFtDE,

XPEQDE=E,PE,QEu平面

所以EFI平面PDE,

又POu平面PDE,

故EF工PD.

⑵解連接CE,由N/1DC=9O。，

ED=36,CD=3,

則EO=ED2+CD2=36,

在△PEC中，PC=4百，

PE=2@EC=6,

得EC+PAPC2,

所以P￡1EG由⑴知

又ESEF=E,

EC,Mu平面/8C。，

所以PE_L平面NBC。

又EDu平面4BCD,

所以PE_LE。

則EF,石。兩兩垂直，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則仇0,0,0),尸(0,0,2V3),

D(0,3V3,0),C(3,3V3,0),

FQ,0,0),月。?2伺0),

由尸是48的中點，得8(4,2V3,0),

所以正=(3,3V3,-2V3),

麗=(0,3>/3,-2V3),

麗=(4,2V3,-2V3),

方=(2,0,?2回

設(shè)平面尸CO和平面以少的法向量分別為

n=(x\,y\,z\),m=(x2,yi,zi),

貝Un-PC=3%i+3\[3y1-2V3Zi=0,

InPD=375yl—2場z1—0,

m-PB=4x2+275y2-2V3z2=0,

jnPF=2x2—2A/3Z2=0,

令6=2,X2=V3,

彳導(dǎo)Xl=0,Zl=3,”=-l,Z2=l,

所以”=(0,2,3),/w=(V3,-I,1),

設(shè)平面PC。和平面戶8廠所成的二面角為仇

所以cos"=|cos[m,n)I喘|：\篇一'4，則sin柒“1-cos?。萼,

即平面PC。和平面戶股'所成的二面角的正弦值為察.

03

思維升華三步解決平面圖形的折疊問題

1」確定折疊前后各量之間的關(guān)系，搞病斤疊;

.第；步口前后的變量和不變量

'--■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■-0■■■■■■■-JI

I.!..在折疊后的圖形中確定線和面的位置關(guān)系，;

〔弟\_明__確__需_要__用__到_的__線__、_面_______________:

第?步H利用判定定理或性質(zhì)定理進(jìn)行證明

跟蹤訓(xùn)練2(2024?濟寧模擬)圖1是由正方形/18CO和兩個正三角形△力△CQ/組成的一個

平面圖形，其中48=2,現(xiàn)將石沿折起使得平面4)石_1_平面力8CQ,將△C。b沿6折起

使得平面CW<L平面力4CD,連接EF,BE,BF,如圖2.

圖1圖2

(1)求證：￡/〃平面43CO；

(2)求平面力。上與平面夾角的大小.

⑴證明分別取棱C。力。的中點。，P,連接。尸，PE,0P,

由△(7力/是邊長為2的正三角形，得。凡LCQ,0F=y/3,

又平面CO/7,平面力BCO,平面CO/TI平面48cz>DC,OM=平面CQ￡則OR1平面48CD,

同理PE_L平面48C。，PE=yj3,

于是?！啊ㄒ?，OF=PE,即四邊形為平行四邊形，OP//EF,

而0尸u平面力8CQ,平面力8CO,

所以跖〃平面"CD

⑵解取棱相的中點0,連接0。，由四邊形48CQ為正方形，得OQ_L。。

以0為坐標(biāo)原點，OQ.0C,赤的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則5(2,1,0),C(0,1,0),尸(0,0,V3),50,-1,0),而=[2,0,0),而=(0,-1,同

設(shè)平面8CE的法向量為〃=(x,y,z),

則,更=2%=0，

[n-CF=-y+V3z=0,

令z=l,得E0,y/3,1),

由CD_L/。，平面平面48CQ,平面平面48co=4Q,CQu平面力6C。,

得Q)_L平面力。&則沅=(0,2,0)為平面力?！甑腡法向量，設(shè)平面力。后與平面品尸的夾角為仇

|D?n|_25/3_V3

貝?。輈os歸cos{DC,it)|=

|DC||n|2x22

而〃w[0,外，解得〃V，

所以平面與平面/的夾角為

/OF8C￡o

課時精練

(分值：60分)

知識過關(guān)

1.（13分）（2024?茂名模擬）如圖，幾何體是圓柱的一半，四邊形/8CQ是圓柱的軸截面，。為CO的中點，E

為半圓弧CD上異于G。的一點.

B

⑴證明：4E_LCE；（4分）

⑵若4B=2AD=4,/EDC=l，求平面EOB與平面DOB夾角的余弦值.（9分）

（1）證明是圓的直徑，，C￡_LOE,

又平面COE,CEc^pECDE,：.CEVAD,

又?:DECAD=D,DE,力Ou平面力。E,，CE_L平面/DE,

又4Eu平面力OE,C.AELCE.

⑵解記點后為點E在底面上的投影，以后為坐標(biāo)原點，EiA,ExB,七芯所在直線分別為處乂z軸，建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

???止4,NEDC?：.DE=2,EC=2痘,

故E(0,0,2),0(1,V3,2)f8(0,273,0),Q(2,0,2),

：.E0=(\,V3,0),麗=(0,2V3,-2),0B=(-\,V3,?2),0D=(\,-V3,0),

記平面EOB,平面。OB的法向量分別為〃=(xi,y\,z\),tn=(xi,yi,zi),

則nEO=0,(m-OB=0,

In?麗=0,\mOD=0,

即[*1+6yl=0，

(2V5yi-2z1=0,

一米+何2-2zz=°，

x2-V5y2=0，

故可取>1=九=1,則X[=-百，Z1=V3,X2=V3,Z2=0,

gpn=(-V3,1,V3),//!=(V3,1,0),

?/\ntm-3+1\[7

??COS〈〃，W-|n||mrV7x2-T>

???平面EOB與平面DOB夾角的余弦值為日

2.（15分）（2025?常州模擬）如圖1所示，△4"。為等腰直角三角形，AB=AC=2,E,E分別為4C,3c的中點,

將△CE“沿直線""翻折，使得/力以寫，如圖2所示.

（1）求證：平面，4EC_L平面48尸E；（5分）

（2）求平面Bb與平面CE/夾角的余弦值（10分）

⑴證明由題可知48_L/瓦因為￡,少分別為力C,8C的中點，所以EF//4B,

所以EF_LEC,EFLAE,

又因為EC,ZEu平面/EC,

所以E凡L平面4EC,

因為EFu平面ABFE,

所以平面力EC_L平面ABFE.

（2）解由（1）可知E凡LEC,EFX.AE,因為乙花與，

所以,4EJ_EC,所以力已EF,EC兩兩垂直，以口所在直線為x軸，E/所在直線為），軸，EC所在直線為

z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Exyz,

則瓜0,0,0),僅1,2,0),C(0,0,I),"(0,1,0),CR=(\,2,-1),而=(1,1,0),

易得平面CE/的f法向量為〃1=(1,0,0),

設(shè)平面8b的法向量為〃=(x,乃z),

所以留*=d

FB-n=0,

加/+2丫-z=o,

即卜+y=0,

取〃=(1,-1,-1),

|m-n|_1_y/3

所以|cos[m,n)1=

|m||n|lx>/53

所以平面8b與平面C■夾角的余弦值為?

3.（15分）（2024?漳州模擬）如圖，在直三棱柱力8C-48c中，AB=BC=2,AB1BC,CCi=2V3,

輻=2兩(0V2vl).

（1）當(dāng)片|時，求證：CEJ_平面48G；（7分）

（2）設(shè)二面角B-AE-C的大小為仇求cos格］取值范圍.（8分）

⑴證明以8為坐標(biāo)原點，BC,BA,88所在的直線分別為x,j，，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

8(0,0,0),C(2,0,0),A[0,2,0),Ci(2,0,26),E(0,0,2何),

當(dāng)日時，￡(0z0,苧)，

所以屈=(0,-2,0),麗=(2,0,2V3),CE=(-2,0,—

可得而?而=0,跖?而=0,

所以CE14B,CELBCx,

又因為AB,4Ciu平面48Ci,

所以CE_L平面力4G.

(2)解由(1)可得裙(2,-2,0),荏=(0,?2,2何),

設(shè)平面小C的法向量為〃=(x,乃z),

則1n至=2%-2y=0,

(n-i4F=-2y+275M=0,

令z=l,可得產(chǎn)百鼠尸百九

所以〃=(僚，V32,1),

因為BC_L平面力8E,所以平面力BE的一個法向量為〃尸（2,0,0）,

\mn\2V3AV3AV3

所以|cos6>|=-

22

\m\\n\2XV6A+1V6A+1J6,

又因為0<A<1,可得6g>7,

所以|cos那與，

因為二面角B-4E-C為銳二面角,

所以0<cos興然，

所以cos夕的取值范圍為（0,亨）.

能力拓展

4.（17分）（2024?泰安模擬）如圖1,在直角梯形"CQ中，AD//BC,NB4D己,AB=BC=^AD,E是力D的中

點，。是力。與跖的交點將△力即沿即折起到△小環(huán)的位置，如圖2.

圖1

（1）證明：平面8C￡>￡J>平面4OC；（7分）