§1.2常用邏輯用語

【課標要求】1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質定理與必要條件、

數(shù)學定義與充要條件的關系2理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對兩種命題進行否定.

、?落實主干知識.

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若則一是〃的充分條件,。是〃的必要條件

P是，7的充分不必要條件pnq且戶2

〃是,/的必要不充分條件p*q旦qnp

〃是q的充要條件

〃是g的既不充分也不必要條件pAq且夕吟？

2.全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“乜”表示.

⑵存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“3”表

3.全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結構對M中任意一個x,p(x)成立存在切中的元素x,p(x)成立

簡記V.rEM,p(x)p(x)

否定MEM,p(x)p(x)

3自主診斷

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“J”或“X”)

⑴當P是9的充分條件時，夕是〃的必要條件.(V)

(2)“三角形的內角和為1X0?！笔侨Q量詞命題.(J)

⑶“Al”是“x>0”的充分不必要條件.（V）

（4）命題u3xGR,sin2^+cos2^=1,t是真命題.（X）

2.（2025?南通模擬）命題“VxWR,2%2-3x+4>0”的否定為（）

A.VxGR,2X2-3X+4<0

B.SxGR,2^-3^4-4>0

C.Bx^R,2?-3^+4^0

D.SxER,2/-3x+4<0

答案D

解析命題“Vx￡R,2r2-3X+4>0”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，

所以所求否定是2F3X+4W0”.

3.設x>0,y>0,則“后>產(chǎn)是“x>y”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

4.設〃：14&4,夕：x。，〃是夕的充分條件，則實數(shù)〃?的取值范圍是.

答案（4,+8）

解析由p是q的充分條件，且p：KW4,q：x<m,

可得｛x|1WxW4｝是｛x[x</n｝的子集,

所以心4.

口微點提醒

1.謹記兩個常用結論

⑴〃是夕的充分不必要條件，等價于飛是的充分不必要條件.

（2）命題〃和「p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可先判斷此命題的否定的真假.

2.理清一個關系

“力的充分不必要條件是8”是指8能推出4,且力不能推出8；而“力是8的充分不必要條件”則是指4

能推出伉而8不能推出人要注意區(qū)別上述兩種說法的不同.

---------------------------探究核心題型---------------------------

題型一充分、必要條件的判定

例1(1)(2025?福州模擬)設直線/i：(q+IJr+a2y.3=0,/?：2x+ay-2a-\=0,則“a=0"是"l\〃h"的

()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析因為則〃5+1尸2/,解得4=0或4=1.

若則/1：x-3=0,&：2r-l=o,兩直線平行，符合題意；

若。=1,則/i：2x+y-3=0,h：2x+y-3=Q,兩直線重合，不符合題意.

綜上所述，八〃/2等價于。=0.

所以％=0”是“八〃/2”的充要條件.

(2)(2024?北京)設風力是向量，則”(Mg尸0”是或。=力”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由m+方)?(。/)=0,

得〃〃力，

即同2.|砰=0,所以。|=網(wǎng),

當Q=(1,1),b=(-\,1)時,

\a\=\b\,但a關，且。瓦

若{SJ是遞增數(shù)列，如S尸凡則知=1,{端為常數(shù)列也為等差數(shù)列，且人0；

所以甲是乙的既不充分也不必要條件.

題型二充分、必要條件的應用

例2(1)已知p：xWl,q：xWa,若P是q的必要不充分條件，則實數(shù)。的取值范圍

是；若P是<7的必要條件，則實數(shù)。的取值范圍是.

答案(4,1)g1]

解析因為p：xWl,夕：xWa,

若p是q的必要不充分條件，則(-%〃]至(-8,1],因此"1,

即實數(shù)。的取值范圍是(-8,1).

若〃是q的必要條件，則(-8,旬。(-8,]];

因此即實數(shù)。的取值范圍是(-8,I],

(2)已知p：x>l或XV-3,4：x>4(4為實數(shù))若fq的一個充分不必要條件是rp,則實數(shù)。的取值范圍

是.

答案口，+8)

解析由已知得「p：-3WxWl,p：xWa.

設彳="卜31},8={x|?Wa},

若「p是，/的充分不必要條件，貝!bp=F，「夕3?,

所以集合力={43WxW1}是集合的真子集.

所以4L

思維升華求參數(shù)問題的解題策略

⑴把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不

等式(或不等式組)求解.

⑵要注意區(qū)間端點值的檢驗.

跟蹤訓練2(1)已知p：^>1,q：若〃是夕的充分條件，則實數(shù)〃7的取值范圍是()

A.[0,+8)B.[l,+8)

C.(-8,0]D.(-8,1]

答案c

解析由卜1可得x(/l)<o,解得

記J={x|O<x<1},8={4r>〃7},

若p是q的充分條件，

則力是6的子集,所以，后0,

所以實數(shù)，〃的取值范圍是（-8,0],

⑵設p：0?2,q：吁1?〃+2若〃是9的充分不必要條件，則實數(shù)〃，的取值范圍

是.

答案[0,1]

—（m—1三0,

解析p：0?2,q：機-1?什2若〃是4的充分不必要條件，則（

[m+2>2,

且兩等號不能同時取到，解得0W加W1.

題型三全稱量詞與存在量詞

命題點1含量詞的命題的否定

例3（多選）下列說法正確的是（）

A.“菱形是正方形”是全稱量詞命題

B."Vx,yGR,/+產(chǎn)20”的否定是“三丫，

C.命題”有一個奇數(shù)不能被3整除”的否定是“有一個奇數(shù)能被3整除”

D.“A=B”是“sin4sin4”的必要不充分條件

答案AB

解析對于A,“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全稱量詞命題，故A正確；

對于B,由全稱量詞命題的否定知其否定是“土右y￡R,9+產(chǎn)<（）"，故B正確；

對于C,命題“有一個奇數(shù)不能被3整除”的否定是“所有的奇數(shù)都能被3整除"，故C錯誤；

對于D,因為4=8時，sin/=sin8成立，而sin）=sin3時,力=8不一定成立，如5等,故“4=8”

JO

是“sin/=sin/r的充分不必要條件，故D錯誤.

命題點2含量詞的命題的真假判斷

例4（多選）下列命題中，為真命題的是（）

A.VxeR,2x-'>0

B.3xER,x2+1<2x

C.Vxy>0,x+y^2y［xy

D.Bx..y￡R,sin(x+j，)=sinx+si”

答案AD

解析對于A項，VxeR,2%一吆0,A項正確；

對于B項，?.?f+l-2x=(x-1)220,.*+1223B項錯誤；

對于C項，當x〈0,產(chǎn)0時，x+y<Q<2yfxy,C項錯誤；

對于D項，取貝IJsin(x+y)-sinO-0-sinO+sinO-sinx+siny,D項正確.

命題點3含量詞的命題的應用

例5(2025?臺州模擬)若命題“VxWR,/-X-〃m0”是假命題，則實數(shù)〃?的取值范圍是.

答案［一［+8)

解析方法一原命題的否定“3x￡R,x2-x-m=0f，為真命題，

.*.J=l+4/zz20,解得m2［,

???實數(shù)〃?的取值范圍是［-1+8).

方法二若命題“Vx￡R,x^-x-m豐0”是真命題，

則/=1+4/?<0,解得，〃<二，

4

故當原命題為假命題時，

???實數(shù)機的取值范圍是卜1+8).

思維升華含量詞命題的解題策略

(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可.

當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假.

(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價命題求參數(shù)的范圍.

跟蹤訓練3(1)(2024?新課標全國II)已知命題P：跟WR,|x+l|>l；命題9：3x>0,3=x,則()

A.p和q都是真命題

B「p和q都是真命題

C./?和F都是真命題

D.「p和「g都是真命題

答案B

解析對于命題P，取X=-1,

則有|:+1|=OV1,

故〃是假命題，〉是真命題，

對于命題9，取x=l,

則有3=13=1=x,

故夕是真命題，F(xiàn)是假命題，

綜上，~1〃和q都是真命題.

（2）已知命題“土丫引?1,2],x2-3x+a>Off是假命題，則實數(shù)。的取值范圍是.

答案（-8,-4]

解析由題意得，“必丫￡[-1,2],x2-3x+aW0”是真命題，則對[-1,2]恒成立，在區(qū)間[-1,

2]上，-f+3x的最小值為_（」）2+3X（-l）=-4,所以。這（-x2+3x）min=4即Q的取值范圍是（-8,-4].

課時精練

（分值:73分）

知識過關

一、單項選擇題（每小題5分，共30分）

1.“Y<0”是=7”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析值=?x=xWO,因為x〈O=xWO,但后0/<0,所以~<0”是“舊=?”的充分不必要條件

2.（2024?天津模擬）命題“力〃￡N,府，TEN”的否定是（）

A.V/nEN,y/m24-1EN

B.V/zziN,/加+\/N

C.S/nEN,Vm2+1€N

D.V/weN,，*+1生N

答案D

解析由命題否定的定義得存在量詞命題“力〃￡N,42+1￡解的否定是“V〃?￡N,屈U"

故D正確.

3.“棱柱的相鄰兩個側面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析若樓住的相鄰兩個側面是矩形，則兩側面的交線必定垂亙于底面，所以該樓住為直樓住，滿足充分

性；若棱柱為直棱柱，則棱柱的相鄰兩個側面是矩形，滿足必要性.故”棱柱的相鄰兩個側面是矩形”是

“該棱柱為直棱柱”的充要條件.

4.下列敘述錯誤的是（）

A.命題0￡R,xMW-1”的否定是“VxWR,

B.若喜函數(shù)尸（加-2〃?-2）R4，”在?十8）上單調遞增，則實數(shù)〃1的值為-1

C.VxE（0,+8）,2v>log2X

D.設YR,則02>3”是，％>百”的充分不必要條件

答案D

解析對于A,命題u3x￡R,f/wi”的否定是“VxWR,x2-l>-lM,A正確；

TH2—2m—2=1,

解得加=-l,B正確；

（2-4m>0,

對于C,當x>0時，函數(shù)尸2'的圖象在直線尸x上方，函數(shù)產(chǎn)logM的圖象在直線產(chǎn)x下方，貝!）2x>k）g2X,

C正確；

對于D,由冷3,得質-逐或心次，因此％2>3”是“心遮”的必要不充分條件，D錯誤.

5.（2024?玉林統(tǒng)考）已知命題p：VxG[l72],<+0￥-2>0,則命題p的一個必要不充分條件是（）

A.6f<-1

C.a>lD.6r>2

答案B

解析因為Vx￡［l,2］,f+ox-2>0,所以在2,恒成立，

只需尸在［1,2］上的最大值小于a,

因為尸-田維［1,2］上單調遞減，故當產(chǎn)1時，尸紙［1,2］上取最大值1,所以心1?則結合選項可得命

題p的一個必要不充分條件是心-2.

6.(2023?新高考全國I)記￡為數(shù)列3｝的前〃項和，設甲：｛〃”｝為等差數(shù)列；乙：用為等差數(shù)列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案C

解析方法一甲：｛劣｝為等差數(shù)列，設其首項為公差為d,

則工=電受％,日招嚀欄〃+瑞，鬻汨，

因此E｝為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；

反之，乙：｛,｝為等差數(shù)列，

即5魯5「嗎+：,7用_砌為常數(shù),設為即y

n+lnn(n+l)n(n+l)n(n+l)

則S“=〃a“+T?〃(〃+1),

有Sn.\=(n-\)an-tn(n-\),〃22,

兩式相減得an=nan+\-(n-\)a,r2tn,

即a,^\-an=2t,對〃=1也成立，

因此｛，“｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

方法二甲：｛為｝為等差數(shù)列，設數(shù)列｛〃〃｝的首項為m,公差為力

即￡=〃m筲％,

貝!］^=。111［,

nllL

因此｛"為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；

反之，乙：｛+｝為等差數(shù)列，

設數(shù)列｛+｝的公差為。，

則翟將=Q，曰=5+(〃-1)。，

即Sn=nS]+n(n-\)D,

當〃22時,S"=(〃?1)S+(〃?1)(〃-2)D,

上邊兩式相減得S"$」=$+2(〃-l)僅

所以an=ai+2(n-l)D,

當〃=1時，上式成立，

又研”刊+2〃。-仙+2(〃-1)0=2。為常數(shù)，因此｛〃“｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

二、多項選擇題(每小題6分，共18分)

7.下列既是存在量詞命題又是真命題的是()

A.BxGR,\x\<0

B.BxGZ,cos^x=-l

C.至少有一個x￡Z,使x能同時被3和5整除

D.每個平行四邊形都是中心對稱圖形

答案BC

解析選項A為存在量詞命題，因為所有實數(shù)的絕對值非負，即|可20,所以A是假命題；

選項B為存在量詞命題，當尸2時，滿足COSC-2)=COSTT=-1,所以B既是存在量詞命題又是真命題;

選項C為存在量詞命題，15能同時被3和5整除，所以C既是存在量詞命題又是真命題；

選項D是全稱量詞命題，所以D不符合題意.

8.下列說法正確的是()

A.命題r>1”的否定是AW1”

B."a>0且J=〃-4acW0”是“一元二次不等式af+Ax+cNO的解集為R”的充要條件

C.“力0”是的必要不充分條件

D.已知a,WR,則“|。+〃=同+|切”的充要條件是“ab>0”

答案BC

解析對于A,命題的否定是fWl"，故A錯誤；

對于B,若。>0且仁〃RocWO,則不等式的解集為R,充分性成立，若不等式的解集為R,則心。且

/=〃-4w<0,即必要性成立，故B正確；

對于C,若心0,不可以推出心1,例如招，即充分性不成立，若心1,可以推出心0,即必要性成立，

故C正確；

對于D,例如a=b=O,可以推出|。切=同+|例，即|a+b|=|a|+|b|不可以推出心。故D錯誤.

9.下列說法正確的為()

A."Vx>0,lnx>0”為真命題

B.若0￡R,sinxq”為真命題,則實數(shù)。的取值范圍為(-1,+8)

C.已知4=3-1?},B={x\2x-a<0}t若。是8”的充分不必要條件，則實數(shù)〃的取值范圍是

。>4

D.已知p：0<xW1,q：4'+2"7WO,若p是q的充分條件，貝!J實數(shù)m的取值范圍為〃?26

答案BCD

解析對于A,當0<丫<1時，lnx<0,A不正確；

對于B,“玉?￡R,sinx<a”為真命題，則(sinx)min<<i,所以a>-1,故B正確；

對于C,由是的充分不必要條件，得集合力真包含于集合&所以》2,即A4,C正確;

對于D,由〃是夕的充分條件得p=g,即Vx￡(O,1],4)+2、〃忘0恒成立，令/=2\?(1,2],則冽*+￡

對于2(1,2]恒成立，又尸2+片。十號]w(2,6],貝」1〃自6,D正確.

三、填空題(每小題5分，共15分)

10.為了證明“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”是假命題，只要證明：.

答案存在一個素數(shù)不是奇數(shù)

解析因為命題“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”是假命題，則命題“存在一個素數(shù)不是奇數(shù)”為真命題，所以為

了證明“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”是假命題，只要證明存在一個素數(shù)不是奇數(shù).

11.(2025?連云港模擬)已知集合公訓JWxWl},B={x\x>b-a},若％=2”是“4CB=4”的充分條件，則實

數(shù)b的取值范圍為.

答案(-8,1]

解析若AC\B=4,則4GB,貝！|加aW?l,即bWa-1,

要使“斫2”是“力”=力”的充分條件，只需6W2-1=1,所以實數(shù)〃的取值范圍為(-8,1].

12.已知命題“mxWR,af-ar+lWO”為假命題，則實數(shù)。的取值范圍是.

答案［0,4)

解析由題意得原命題的否定“D?R,奴為真命題，

即不等式辦2-0什1>0對X￡R恒成立.

①當<7=0時，不等式1>0在R上恒成立,符合題意；

(a>Of

②當a^O時，若不等式ar2-av+l>0對x￡R恒成立，則(解得0<a<4.

(1=a'—4aV0,

綜上，實數(shù)。的取值范圍是［0,4).

ID能力拓展

每小題5分，共10分

13.(2025?秦皇島模擬)下列說法正確的是()

A.是“/>夕”的必要不充分條件

B.命題“Vx￡(O,+8),xg>l”的否定是“Vx￡(O,+8),

C.%)=?！笔恰昂瘮?shù)/(x尸2sin(①x+g))的最小正周期為2”的充分不必要條件

D."cos2a+sin2^=r,的充要條件是“W

答案C

解析對于A,“若c〉b,則4戶，是假命題，

例如1>-2,而12<(-2)2,

“若。2>畫則心6”是假命題,例如(-2)2?2,而一2V1,即是“沖2”的既不充分也不必要條件，

A錯誤;

對于B,命題“Vx￡(O,+8),x+)l”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，因此它的否定是“太￡

(0,+8),舊Wl”，B錯誤；

對于D,當“吟4號時，cos2a+sin2￡=l成立，因此cos2a+sin2夕=1成立，不一定有°=夕，D錯誤；

對于C,當①=兀時，函數(shù)/(x)=2sin("+9)的最小正周期為2,

當函數(shù).危尸2sin(切x+9)的最小正周期為2時，①=?；蛘?兀

所以“所冗”是“函數(shù)小尸2sin3+s)的最小正周期為2”的充分不必要條件，C正確.

14.(2024?河南省學校聯(lián)盟聯(lián)考)已知p：止聲1,q：^>1,r：2a.若/?是〃的必要不充分條件，且,?是夕

的充分不必要條件，則實數(shù)。的取值范圍為.

答案［5,6)

解析由自力幅2°，

解得6Wx〈10,即p：6&<10.

記P，q,，,中x的取值構成的集合分別為4B,C,則力={x|6Wx<10},8={小>1},C={x\a<x<2a},

由于「是〃的必要不充分條件，，?是q的充分不必要條件，則力是C的真子集，C是的真子集，貝！J

2a>a,

a>l,

4解得5W〃<6,

a<6,

2a>10,

即實數(shù)。的取值范圍是［5,6).

【課標要求】1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質定理與必要條件、

數(shù)學定義與充要條件的關系2理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對兩種命題進行否定.

??落實主干知識.

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p=q,則P是9的充分條件，。是。的必要條件

P是，7的充分不必要條件夕且“支

P是,7的必要不充分條件p》q且q0P

〃是夕的充要條件

P是q的既不充分也不必要條件夕40且

2.全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“V”表示.

⑵存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號表

示.

3.全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結構對A/中任意一個x,p(x)成立存在必中的元素X,p(x)成立

簡記p(x)3xEMtp(x)

否定VxEM,F(x)

B自主診斷

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“J”或“X”)

⑴當p是夕的充分條件時，夕是〃的必要條件.(J)

(2)“三角形的內角和為180?！笔侨Q量詞命題.(J)

⑶“41”是“入＞0”的充分不必要條件.(V)

(4)命題&￡R,sin?/cos?號”是真命題.(X)

2.(2025?南通模擬)命題“VxWR,2丫2?3田4>0”的否定為()

A.VxGR,2^-3^+4^0

B.BxGR,2r2-3x+4>0

C.3x$R,2必?3x+4W0

D3xeR,2F-3X+4W0

答案D

解析命題“Vx￡R,2x2-3x+4>0是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，

所以所求否定是“三t￡R,2x2-3x+4W0”.

3.設Q0,y>0,則“4嚴是“x>y”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

4.設p：1WXW4,q\x<m,〃是4的充分條件，則實數(shù)〃?的取值范圍是.

答案(4,+8)

解析由p是1的充分條件，目p：1WXW4,q\x<m,

可得任|1WxW4｝是｛x[x<m｝的子集,

所以m>4.

口微點提醒

1.謹記兩個常用結論

(1)〃是夕的充分不必要條件，等價于2是W的充分不必要條件.

(2)命題〃和小的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可先判斷此命題的否定的真假.

2.理清一個關系

“力的充分不必要條件是8”是指〃能推出4且4不能推出夕而?是8的充分不必要條件”則是指4

能推出8,而8不能推出力，要注意區(qū)別上述兩種說法的不同.

■探究核心題型?

題型一充分、必要條件的判定

2

例1⑴(2025福州模擬)設直線/1：(a+Dx+a產(chǎn)3=0,/2：2"@-2a-1=0,則“。=0”是的

()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析因為則。伍+1)=2/，解得〃=0或0=1.

若a=0,貝！J/i：x-3=0,，2：2x-1=0,兩直線平行，符合題意；

若4=1,則/|：2x+y-3=0,/2：2%+廣3=0,兩直線重合，不符合題意.

綜上所述，6〃/2等價于。=0.

所以％=0”是“"/2”的充要條件.

(2)(2024?北京)設%b是向量,則“他+好伍-勿=0”是“I或f的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由3+b)m/)=o,

得a2-lr-0,

即|叫肝=0,所以1aH0，

當。=[1,1),b=(-l,1)時，

同=|臼，但aW力且

故充分性不成立；

當a=-b或a=b時，

(a+b)(a-b)=O,

故必要性成立.

所以u(a+b)(a-b)=On是"a=-b或a=/>”的必要不充分條件.

思維升華充分、必要條件的三種判定方法

⑴定義法：根據(jù)夕十是否成立進行判斷.

⑵集合法：根據(jù)〃，夕成立對應的集合之間的包含關系進行判斷.

⑶等價轉化法：對所給題目的條件進行一系列的等價轉化，直到轉化成容易判斷充分、必要條件是否成立

為止.

跟蹤訓練1(1)(2024??？谑泻Ｄ现袑W模擬)“件2E(k￡Z)”是“cos哈的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若丐6Z),則cos伊cos(:+2klr)=cos^=y,k^Z,充分性成立；

若cos琉，則件2E或人,2skGZ,必要性不成立，所以“仇?2E(k￡Z)”是“cos公苧’的充分

不必要條件.

(2)Q024?山東聯(lián)考)已知等差數(shù)列｛〃“｝的公差為"，前〃項和為S,.設甲：力0；乙：⑸｝是遞增數(shù)列,

則甲是乙的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D,既不充分也不必要條件

答案D

解析若公差冷0,如數(shù)列-10,-9,-8,-7,…,0,1,2,…，則數(shù)列的前〃項和S冼減后增；

若｛a｝是遞增數(shù)列，如S尸〃，則。,尸1,｛〃”｝為常數(shù)列也為等差數(shù)列，且占0；

所以甲是乙的既不充分也不必要條件.

題型二充分、必要條件的應用

例2⑴已知p：xWl,q：x^a,若p是4的必要不充分條件，則實數(shù)。的取值范圍

是；若”是夕的必要條件，則實數(shù)。的取值范圍是.

答案（-8,1）（-8,1]

解析因為p：xWl,q\x^a,

若p是q的必要不充分條件，則（Q,E（-8,]],因此qvl,

即實數(shù)。的取值范圍是（-8,1）.

若p是q的必要條件，則（-8,旬口-8,1],

因此qW1,即實數(shù)。的取值范圍是（-8,1].

（2）已知P：x>l或xv-3,a為實數(shù)）若飛的一個充分不必要條件是A,則實數(shù)。的取值范圍

是.

答案“，+8）

解析由已知得“：-3WxWl,「q：

設4={R-3WxW1},8={x|xW。},

若？是F的充分不必要條件，貝卜p=F，

所以集合4={.丫卜3WxW1}是集合8={x|xW”的真子集.

所以G1.

思維升華求參數(shù)問題的解題策略

⑴把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不

等式（或不等式組）求解.

⑵要注意區(qū)間端點值的檢驗.

跟蹤訓練2（1）已知p：q：x>m,若p是夕的充分條件，則實數(shù)〃?的取值范圍是（）

A.[0,十3）B.[l,十^）

C.（-8,0]D.（.8,1]

答案C

解析由41可得入61）<0,解得（Krvl,

記J={x|O<￥<1},B=,

若〃是g的充分條件，

則4是8的子集，所以〃W0,

所以實數(shù)〃?的取值范圍是（?8,0].

⑵設p：0WxW2,q："?_1??+2.若夕是夕的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍

是.

答案[0,1]

一-1<0,

解析p：04W2,如.若〃是q的充分不必要條件，則（

[m+2>2,

且兩等號不能同時取到，解得0W加W1.

題型三全稱量詞與存在量詞

命題點1含量詞的命題的否定

例3（多選）下列說法正確的是（）

A.“菱形是正方形”是全稱命題

B."Vx,yGR,爐+產(chǎn)2（）”的否定是“緘，y^R,9+產(chǎn)^）”

C.命題“有一個奇數(shù)不能被3整除”的否定是“有一個奇數(shù)能被3整除”

D.，=夕是“sinZ=sinB”的必要不充分條件

答案AB

解析對于A,“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全稱命題，故A正確；

對于B,由全稱命題的否定知其否定是，羽），￡R,/+產(chǎn)0'故B正確；

對于C命題“有一個奇數(shù)不能被3整除”的否定是“所有的奇數(shù)都能被3整除"，故C錯誤；

對于D,因為4=8時，sin/=sinB成立，而sin4=sin8時，4=8不一定成立，如力三，8號，故“力=8”

是“sin/=sin8”的充分不必要條件，故D錯誤.

命題點2含量詞的命題的真假判斷

例4（多選）下列命題中，為真命題的是（）

A.VxeR,2x-'>0

B.3xER,x2+1<2x

C.V孫>（）,x+y^2y/xy

D.3X/y￡R,sin(x+y)=sinx+siny

答案AD

解析對于A項，VxER,2XT>0,A項正確；

對于B項，?.,x2+l-2x=(x-l)220,，X2+］22X,B項錯誤；

對于C項，當x〈0,產(chǎn)0時，x+y<O<2Vxy,C項錯誤；

對于D項，取x=y=O,則sin(x+y)=sinO=O=sinO+sinO=sinx+siny,D項正確.

命題點3含量詞的命題的應用

例5(2025?臺州模擬)若命題“WrWR,必*〃?40，，是假命題，則實數(shù)〃?的取值范圍是.

答案［—?/+8)

解析方法一原命題的否定“AWR,f*〃?=o，，為真命題，

/.A=1+4m20,解得2

4

???實數(shù)〃?的取值范圍是［-］+00).

方法二若命題“VxGR,^-x-m豐0”是真命題，

則/=1+4加<0,解得加〈看

故當原命題為假命題時，

4

???實數(shù)〃?的取值范圍是［-1+8).

思維升華含量詞命題的解題策略

(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可.

當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假.

⑵由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價命題求參數(shù)的范圍.

跟蹤訓練3(1)(2024?新課標全國H)已知命題p：跟￡R,|x+11>1；命題g：3x>0,xy=x,則()

A.p和q都是真命題

B「p和q都是真命題

C.p和「夕都是真命題

D「p和"都是真命題

答案B

解析對于命題p,取x=-1,

則有附

故〃是假命題，rp是真命題，

對于命題夕，取尸1,

則有7=13=1=、，

故9是真命題，F(xiàn)是假命題，

綜上，「p和，/都是真命題.

(2)已知命題“八引-1,2],/_3,葉。>0"是假命題，則實數(shù)。的取值范圍是.

答案(q,_4]

解析由題意得，2],也出后。”是真命題，則aW-f+3x對Vx￡[-1,2]恒成立，在區(qū)間[-1,

2]上，-/+3x的最小值為?(?1)2+3X(-1)=4所以，W(-x2+3x)min=-4,即4的取值范圍是(-8,-4].

課時精練

(分值：73分)

知識過關

一、單項選擇題(每小題5分，共30分)

L"x<0”是“瘍=?x”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析值=-x=xW0,因為《0=啟0,但x<0?xv0,所以:<0"是“小=-x”的充分不必要條件

2.(2024?天津模擬)命題“力"￡N,J*十i￡N”的否定是()

A.VweN,y/m24-1EN

B.V/n$N,Jm2+I/N

C.BwGN,Vm2+1$N

D.VweN,Vm2+1$N

答案D

解析由命題否定的定義得存在量詞命題“力+i￡N”的否定是“V〃?￡N,dm?+1企N”，

故D正確.

3.“棱柱的相鄰兩個側面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析若棱柱的相鄰兩個側面是矩形，則兩側面的交線必定垂亙于底面，所以該棱柱為直棱柱，滿足充分

性；若棱柱為直棱柱，則棱柱的相鄰兩個側面是矩形，滿足必要性.故”棱柱的相鄰兩個側面是矩形”是

“該棱柱為直棱柱”的充要條件.

4.下列敘述錯誤的是（）

A.命題A-1WJ”的否定是“Vx￡R,A41”

B若尋函數(shù)產(chǎn)（〃產(chǎn)-2〃?-2*2如在（0,+8）上單調遞增，則實數(shù)〃?的值為-1

C.Vxe（0,+8）,2v>log2.v

D.設?！闞,則％2>3”是的充分不必要條件

答案D

解析對于A,命題“五￡R,F1W-1”的否定是“VxWR,娛1>-1”，A正確；

（mz—2m-2=1,

對于B,由<解得機=-1,B正確；

2-4m>0,

對于C,當x>0時，函數(shù)尸2、的圖象在直線產(chǎn)r上方，函數(shù)尸log2X的圖象在直線尸x下方，則2>log”

C正確；

對于D,由。2>3,得或心心因此“*>3”是“心V5”的必要不充分條件，D錯誤.

5.（2024?玉林統(tǒng)考）已知命題p：VxG[lz2],/+4.2>0,則命題p的一個必要不充分條件是（）

A.av-1B.a>-2

C.6f>lD.a>2

答案B

解析因為Vx￡［l,2］,Ar+ar-2>0,所以。>-.什|在,2］上取過，

只需尸7■弓在［1,2］上的最大值小于明

因為尸在［1,2］上單調遞減，故當尸1時，尸-X爭［1,2］上取最大值1,所以心1則結合選項可得命

題p的一個必要不充分條件是。>-2.

6.(2023?新高考全國I)記￡為數(shù)列5〃｝的前〃項和，設甲：｛?。秊榈炔顢?shù)列；乙：｛m｝為等差數(shù)列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案C

解析方法一甲：｛?。秊榈炔顢?shù)列，設其首項為公差為d,

貝!JS產(chǎn)￡，

因此｛"為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；

反之，乙：｛胃為等差數(shù)列，

.%―咻+1-5+1).%_啊+1—?++巖的+日口啊+1-5?1_,

----而用----而而為吊數(shù)，僅為乙即的+1)3

則S"=〃4"+l-/”(〃+l),

有Sn.\=｛n-1)a,rtn(n-1),//>2,

兩式相減得an=nan^(n-1)a,,-2tn,

即a,^\-an=2t,對〃=1也成立，

因此｛?。秊榈炔顢?shù)列，則甲是乙的必要條件,

所以甲是乙的充要條件.

方法二甲：｛〃“｝為等差數(shù)列，設數(shù)列｛飆｝的首項為m,公差為a

即S廣〃m+"，)”,

貝！］紋。?+n~ld=^n+a1-^,

n222

因此｛引為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；

反之，乙：圖為等差數(shù)列，

設數(shù)列｛+｝的公差為D.

則翟巖=o,Hs+(〃-1)。，

即Sn=nS\+n(n-\)D,

當〃22時,)&+(〃?1)(〃-2)D,

上邊兩式相減得￡-S"=$+2(〃-l)D,

所以?！?s+2(〃-l)￡),

當〃=1時，上式成立，

又研”=0+2〃。-5+2(〃-1)0=2。為常數(shù),因此又｝為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件,

所以甲是乙的充要條件.

二、多項選擇題(每小題6分，共18分)

7.下列既是存在量詞命題又是真命題的是()

A.BxER,|x|<0

B.SxEZ,cosjv=-l

C.至少有一個x￡Z,使x能同時被3和5整除

D.每個平行四邊形都是中心對稱圖形

答案BC

解析選項A為存在量詞命題，因為所有實數(shù)的絕對值非負，即|川20,所以A是假命題；

選項B為存在量詞命題，當尸2時，滿足cos《-2)=cos7r=-l,所以B既是存在量詞命題又是真命題；

選項C為存在量詞命題，15能同時被3和5整除，所以C既是存在量詞命題又是真命題；

選項D是全稱量詞命題，所以D不符合題意.

8.下列說法正確的是()

A.命題AQ1,a>1”的否定是“DEI,AW1”

B.“60且J=//4acW0”是“一元二次不等式a占區(qū)+后0的解集為R”的充要條件

C.“力0”是的必要不充分條件

D.已知a,b^R,則“|a+〃=|a|+|切”的充要條件是“ab>0”

答案BC

解析對于A,命題的否定是“Vx21,fWl”，故A錯誤；

對于B,若心0&=〃247cW0,則不等式的解集為R,充分性成立，若不等式的解集為R,則。>0且

/=人4。。<0,即必要性成立，故B正確；

對于C,若AO,不可以推出例如片，即充分性不成立，若心1,可以推出。>0,即必要性成立，

故C正確；

對于D,例如。=6=0,可以推出|〃+〃=同+依，即|。+力|=同+|切不可以推出必>0,故D錯誤.

9.下列說法正確的為（）

A."Vx>0,lnx>0”為真命題

B.若FxWR,sin、3”為真命題，則實數(shù)。的取值范圍為（-1,+8）

C.已知人{x|-14W2},B={X\2x-a<G},若匕￡，'是“