2024?2025學年北京市海淀區(qū)中關村中學知春分校八年級（下）開學

數學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.新版《北京市生活垃圾管理條例》于2020年5月1日實施，條例規(guī)定生活垃圾應按照廚余垃圾、可回

收物、有害垃圾、其他垃圾的分類，分別投入相應標識的收集容器.下圖為某小區(qū)分類垃圾桶上的標識，

其圖標部分可以看作軸對稱圖形的有（）

XO

闞余垃圾可回收物有害垃圾其他與圾

A1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】

【分析】根據軸對稱圖形的概念判斷即可.

【詳解】解：廚余垃圾是軸對稱圖形；

可回收物不是軸對稱圖形，注意箭頭；

有害垃圾是軸對稱圖形；

其他垃圾不軸對稱圖形，注意箭頭.

所以是軸對稱圖形的有2個.

故選:B.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可

重合.

2.下列計算正確的是（）

A.a2*a3=a5B.（?3）2=?5

3

C.（2ab2）3=D.3a24-4a2=—a

4

【答案】A

【解

【分析】根據同底數軾的乘除法、積的乘方與靠的乘方法則進行計算即可得出正確答案.

【詳解】解:A、〃?“3=/，故該選項正確，符合題意;

B、（〃）2=〃6,故該選項錯誤，不符合題意；

C、（2招）3=8〃次故該選項錯誤，不符合題意;

D、3?24-4f?=-,故該選項錯誤，不符合題意；

4

故選:A.

【點睛】本題主要考查了同底數塞的乘除法以及轅的乘方與積的乘方，熱記轅的運算法則是解答本題的關

鍵.

3.如果一個多邊形的內角和等于一個三角形的外角和的兩倍，那么這個多邊形是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了多邊形的內角和以及外角和，已知多邊形的內角和求邊數，可以轉化為方程的問

題來解決，難度適中.任何多邊形的外角和是36CT,內角和等丁外角和的2倍則內角和是720c.〃邊形

的內角和是（〃-2卜180,如果己知多邊形的內角和，就可以得到一個關于邊數的方程，解方程就可以求出

多邊形的邊數.

【詳解】解：根據題意得，

（〃-2）*180=360x2,

解得〃=6,

故選：D.

4.下列因式分解變形正確的是（）

A.2/-4〃=2（Q2—2Q）B.a--2〃+1=（a-1了

C.-a2+4=（a+2）（a-2）D./-5〃-6=（。-2）（。一3）

【答案】B

【解析】

分析】根據提公因式分解因式可得出A錯誤；根據完全平方公式可得B正確；根據平方差公式可得C錯

誤；根據十字相乘法可判斷D錯誤.

【詳解】A、2/-44=24（〃-2）,故此選項錯誤；

B、/-24+1=3-1）2,故此選項正確;

c、一/+4=（2+。）（2_。），故此選項錯誤;

D、片-5。-6=（。-6）（。+1）,故此選項錯誤.

故選：B

【點睛】本題主要考查了因式分解，要靈活使用各種方法對多項式進行因式分解，一般來說，如果可以先

提取公因式的要提取公因式，再考慮運用公式法分解.

11-r

5.把分式方程一^-k一=1化為整式方程正確的是（）

x—22—x

A.1-（1-X）=1B.1+（1-X）=1

C.1—（1-x）=x-2D.1+（1-x）=x-2

【答案】D

【解析】

【分析】此題考查了分式方程的解法，正確找到最簡公分母是解即的關鍵.把分式方程變形后兩邊都乘以最

簡公分母即可得到答案.

11-r

【詳解】解：方程變形得：--+--=1，

x-2x-2

去分母得：1+（1-x）=x-2,

故選：D.

6.如圖，為了測量池塘兩岸相對的兩點A,3之間的距離，小穎在池塘外取A3的垂線斯上兩點C,

。，使8c=8,再畫出3尸的垂線。石，使點七與A,C在同一條直線上，這時，可得

AABC學4EDC,因此，測得DE的長就是A8的長.這里判定△A3C-/XEDC的依據是（）

A.ASAB.SASC.AASD.SSS

【答案】A

【解析】

［分析］根據題意可得N8=ZCDE=90°,即可根據ASA證明AABC與EDC.

詳解】解：

:.ZB=ZCDE=90°,

C(C)c：c

所以在圖中與7ABC成軸對稱的格點三角形可以畫出6個.

故選：D.

1

8」L都有意義，下列等式①2=:；②」—=J_+J_；③_1=&.；④乙=3±2中

mm+nnmnrm+nmntn2mm/〃+2

一定不成立的是（）

A.②④B,①④C.①②③④D.②

【答案】D

【解析】

【分析】根據題意，判斷出相。0,〃工0，加+〃。0,根據分式的性質逐個判斷即可.

【詳解】解：???,［都有意義，

mtn+nn

。0,〃00,m+n=0，

①巴=工=（°1,僅需2（二一n=o,即衛(wèi)二1時成立;

mm~）""m）tn

②一--=—+—,不成立；

m+nmn

③（右側分子分母同時除以2）,因此成立;

m2m

〃+2

④一二/?（m+2）=m（A?+2）即2n=2m,當"加時成立;

min+2

故僅有②一定不成立,

故選D

【點睛】本題綜合考查了分式的基本性質，解題關鍵是根據題意得出〃?、〃和〃75的范圍.

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分.

9.分解因式：2/—8x=.

【答案】2x(x+2)(x-2)

【解析】

【分析】本題考查提公因式法分解因式及平方差公式法分解因式.先提取公因式，再利用平方差公式分解

因式即可得出答案.

【詳解】解：2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2),

故答案為：2Mx+2乂犬-2).

10.使分式二一有意義的工的取值范圍是

x+1

【答案】xwT

【解析】

【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，根據分式的分母不為0列出不等式，解不等式得到答案.

【詳解】解：由題意得：x+1/O,

解得：x^-1,

故答案為：XW—1.

11.若2。-6=0,且〃工()，則分式絲2的值為____.

a-b

【答案】-3

【解析】

【分析】由已知2a-b=0,可知b=2a；將所得結果代入所求的式子中，經過約分、化簡即可得到所求的

值.

【詳解】解：V2a-b=0,??.b=2a；

..-a-+b=-a-+-2a=—3a=—J..

a-ba-2a-a

故答案為-3.

【點睛】正確對式子進行變形，億簡求值是解決本題的關鍵.在解題過程中要注意思考已知條件的作用.

12.如圖，兩個陰影圖形都是正方形，用兩種方式表示這兩個正方形的面積和，可以得到的等式為

【答案】（a+b）2-2ab=a2+b2

【解析】

【分析】利用各圖形的面積求解即可.

【洋解】解：兩個陰影圖形的面積和可表示為：a?+b2或（a+b）2-2ab,

故可得：（a+b）2-2ab=a2+b2

故答案為：（a+b），2ab=a^+b?

【點睛】本題主要考杳了完全平方公式的幾何背景，解題的關鍵是明確四塊圖形的面積.

13.借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分某些度數的角，這個“三等分角儀”由兩根有槽的棒04,

06組成，兩根棒在。點相連并可繞。轉動，C點固定，OC=CD=DE,懸D，石可在槽中滑動.若

NBDE=75。,則NCDE=°.

【解析】

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質、三角形外角的性質，利用數形結合的思想是解題的關鍵.

由等邊對等角即可得出NO=NCDQ,ZDCE=ZDEC,再結合三角形外角性質即可求出NO=25。，從

而求出NC0E的大小.

【詳解】解：?.?OC=CD=DE、

;.NOuNCDO,NDCE=NDEC,

???ZDCE=NO+/CDO=2N。，

:.2DEC=24O,

:"BDE=NO+/DEC=3NO=75°,

「.NO=25。，

/.ZDCE=ZDEC=50°,

/.ZCZ)Z?-80°,

故答案為：80.

14.如圖，在平面直角坐標系xO）中，點8的坐標為（2,0）,若點A在第一象限內，且A8=08,

Z/=60°,則點A到y軸的距離為.

【答案】1

【解析】

【分析】過A作AC_LOB,首先證明AAOB是等邊三角形，再求出OC的長即可.

【詳解】解，過A作AC_LOB于點C,

???NAOB=6（）。且AAOB是等邊三角形，

???點B的坐標為（2,0）

/.0B=2

VAC1OB

???OC=-OB=-x2=i

22

故答案為：1.

【點睛】此題主要考杳了坐標與圖形的性質，掌握等邊三角形的性質是解答此題的關鍵.

15.對于一個四邊形的四個內角，下面四個結論中，①可以四個角都是銳角；②至少有兩個角是銳角；③

至少有一個角是鈍角；④最多有三個角是鈍角；所有正確結論的序號是______.

【答案】④

【解析】

【分析】四邊形的內角和是360。，根據四邊形內角的性質選出正確選項.

【詳解】解：①錯誤，如果四個角都是銳角，那么內角和就會小于360。；

②錯誤，可以是四個直角；

③錯誤，可以是四個直角；

④正確.

故選：④.

【點睛】本題考查四邊形內角的性質，解題的關鍵是掌握四邊形內角的性質.

16.在平面直角坐標系xO.y中，點A坐標為(0,3),點8與點A關于4軸對稱，點C在x粕上，若

△48c為等腰直角三角形，則點C的坐標為.

【答案】(3,0)或(-3,0)

【解析】

【分析】根據關于坐標軸對稱的點的特征可求得點8坐標，再利用等腰直角三角形的性質得04、OC的

長，即可求解.

【詳解】解：???點A的坐標為(0,3),點8與點A關于x軸對稱，

，點5(0,-3),

：.OA=OB=3t.

???點C在上軸上，△4BC為等腰直角三角形，

???N4CB=90°,AC=BC,

：?OC=OA=OB=3,

???點C(3,0)或(-3,0),

故答案為：(3,0)或(-3,0).

【點睛】本題考查了軸對稱的性質，等腰直角三角形的性質，掌握等腰直角三角形的性質是本題的關鍵.

三、計算題：本大題共2小題，共8分.

17.計算：a3-a+(-a2^a2.

【答案】0

【解析】

【分析】根據同底數箱的乘法和除法的運算法則，鼎的乘方的運算法則解答即可.

【詳解】解：原式

=a4-a4

=0.

【點睛】本題主要考查了同底數靠的乘法和除法的運算法則，塞的乘方的運算法則，熟記事的運算法則足解

答本題的關鍵.

18.計算：———二

x-\x-1

【答案】一一

X+1

【解析】

【分析】根據分式的加減法法則計算即可.

X+12x

【詳解】原式:

(X-1)U+1)(x-1)(x+1)

—X+1

=(x+l)(x-1)

1

~~x+\,

【點睛】本題主要考查了分式的加減法，掌握運算法則是解題的關鍵.

四、解答題：本題共7小題，共44分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

19.解分式方程:--------------------F1=——

(x-l)(x+2)--------x-1

【答案】方程無解

【解析】

【分析】去分母將分式方程化為整式方程，求解并驗證根即可.

【詳解】解:去分母得：3+(x-l)(x+2)=x(x+2),

去括號得：3+x2+x-2=x2+2%>

移項合并得：一工=一1,

解得：x=\.

經檢驗工=1是該方程的增根，即方程無解.

【點睛】本題考查解分式方程.解分式方程的思路就是去分母兩邊乘以最簡公分母，將分式方程化為整式

方程求解.解分式方程一定不要忘了驗根.

20.已知2/一7工=7,求代數式(2工一3)2-(工一3)(21+1)的值.

【答案】19

【解析】

【分析】本題考查整式的混合運算，化簡求值，先進行完全平方公式和多項式乘以多項式的運算，再合并同

類項進行化簡，然后利用整體代入法求值即可.

【詳解】解：???2戈2-7工=7,

???原式=4d-12x+9-（2/-5—3）

—4X'2—]2x+9—2x?+5x+3

=2x2-7x4-12

=7+12

=19.

21.如圖，C是A8的中點，CD//BE,CD=BE,連接A。，CE.求證：AD=CE.

【解析】

【分析】根據平行線的性質和中點的定義以及全等三角形的判定和性質解答即可.

【詳解】證明：???C是AB的中點,

:.AC=CB,

?：CD//BE,

:.ZACD=ZB.

在也人。。和△C8E中，

AC=CB

<ZACD=ZB,

CD=BE

:.△ACD9RCBE(SAS),

：.AD=CE.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定、平行線的性質及其應用等幾何知識點問題.應牢固掌握全等

三角形的判定定理.

22.開展“光盤行動”，拒絕“舌尖上的浪費”，己成為一種時尚.某學校食堂為了激勵同學們做到光盤不

浪費，提出如果學生每餐做到光盤不浪費，那么餐后獎勵香蕉或橘子一份.近口，學校食堂花了2800元和

2500元分別采購了香蕉和橘子，采購的香蕉比橘子多150kg,香蕉每千克的價格比橘子每千克的價格低

30%,求橘子每千克的價格.

【答案】10元

【解析】

【分析】設橘子每千克的價格為1元，則香蕉每千克的價格為70%x元，然后根據學校食堂花了2800元和

2500元分別采購了香蕉和橘子，采購的香蕉比橘子多150kg列出方程求解即可.

【詳解】解：設橘子每千克的價格為x元，則香蕉每千克的價格為70%戈元.

2500

根據題意,,70%x=150,

x

解得x=10.

經檢驗，當戈=10時，70%%。0,且符合題意.

???原分式方程的解為x=10.

答：橘子每千克的價格為10元.

【點睛】本題主要考查了分式方程的實際應用，正確理解題意找到等最關系列出方程是解題的關鍵.

23.在VA8C中，ZBAC=90°,AB=AC.。是4c邊上一點，連接80,ECLAC,且

AE=BD，A七與5c交于點兄

（1）求證：CE=AD；

（2）當AO=C/時，求證：BD平分/ABC.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】此題考查全等三角形判定與性質，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，關鍵是根據HL證明

三角形全等，再利用全等三角形的性質解答.

（1）根據HL證明RtaCAE1與全等，進而解答即可；

（2）根據全等三角形的性質和角之間的關系解答即可.

【小問1詳解】

證明：???EC_LAC,NBA。=90。,

???ZAC￡=ZB/4C=90°,

在RtACAE與RtAABO中，

AE=BD

[C4=43'

RsCZAE畛RtaABZ^HL）,

:.CE=AD.

【小問2詳解】

證明：設AE、BD交于點G,如圖，

由（1）得RtAGAE^RtZMBD，

AZEAC=ZABD,/E=/ADB.

由（1）得CE=A￡）,

,：AD=CF,

???CE=CF.

???ZCFE=ZE,

I/CFE=ZAFB,

：?^AFB=/E.

?:4E=/ADB,

???ZAFB=ZADB,

???ZAGB=ZEAC+ZADB,ZAGB=/DBC+ZAFB,

???/EAC=ZDBC.

??,4EAC=/DBA,

???/DBA=NDBC,

???B。平分/ABC.

24.小明在學習有關整式的知識時，發(fā)現一個有趣的現象：對于關于X的多項式：f_2x+3,由于

X2-2X+3=(X-1)2+2,所以當x-l取任意一對互為相反數的數時，多項式/一21+3的值是相等

的.例如，當無一1=±1,即x=2或。時，/一2犬+3的值均為3；當不一1=±2,即x=3或一1時，

產一2%+3的值均為6.于是小明給出一個定義：對于關于x的多項式，當工一，取任意一對互為相反數的

數時，該多項式的值相等，就稱該多項式x=F關于對稱.例如『-2X+3關于工=1對稱.

請結合小明的思考過程，運用此定義解決下列問題：

(1)多項式W-4x+6關丁-x=對稱；

(2)若關于x的多項式V+2/猶+3關于x=3對稱，求”的值；

(3)整式(r+81+16)(廠—4/+4)關于x=對稱.

【答案】(1)2

(2)b=-3

(3)-1

【解析】

【分析】本題考查了完全平方公式的應用.

(1)對多項式進行配方，根據新定義判斷即可；

(2)對多項式進行配方，根據新定義判斷即可；

(3)對多項式進行配方，根據新定義判定即可.

【小問1詳解】

%2-4工+6=12_44+4+2=(4—2)"+2，

?,?該多項式x=2關于對稱，

故答案為：2；

【小問2詳解】

X2+2Z?X+3=X2+2/?X+/?2-Z?2+3=(A:+Z?)2+3-Z?2,

???關于工的多項式V+2H+3關于x=3對稱，

x=3=—/??

/?=—3：

【小問3詳解】

(x2+8x+16)(x2-4x+4)

22

=(X+4)(X-2)

=[(x+4)(x-2)]2

二(—+2%-8)

=(V+2x+1-1-8)

=[(X+1)2-9]2.

?,?該多項式x=—l關于對稱，

故答案為：一1.

25.已知△ABC是等邊三角形，點。在射線上(與點&C不重合)，點。關于直線AC的對稱點為點

E,連接4。，AE,CE,DE.

圖1圖2

(I)如圖1,當點。為線段8c的中點時，求證：△AQE是等邊三角形；

(2)當點。在線段8。的延長線上時，連接84尸為線段8E的中點，連接。足根據題意在圖2中補全

圖形，用等式表示線段4