高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)一一數(shù)列求和專題

知識(shí)點(diǎn)?梳理

①公式法求和

當(dāng)求出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式后，發(fā)現(xiàn)其為等差數(shù)列或者等比數(shù)列，即直接套用等差數(shù)列或等比數(shù)

列求和公式進(jìn)行求和。

②分組求和

如果一個(gè)數(shù)列可寫成%"的形式，而數(shù)列｛〃”｝，｛勿｝是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能

夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法。

③裂項(xiàng)相消法求和

當(dāng)求出一個(gè)新的數(shù)列為如下表現(xiàn)形式時(shí)，可適用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和。

常見裂項(xiàng)相消：

1)—!—=-(-———)

〃(〃+2)knn+k

,111111

如n:------=-------；--------------

+nn+\n-\n

2)!------=-(-------—)

(kn-\)(kn+\)2kn-\kn+\

如：-^―=-(-------)(尤其要注意不能丟前邊的口

4〃2T22/?-12/?+12

3)]----!■———=一向

yjn+kk

如：,——!——7==+l-4n

+l+\Jn

④錯(cuò)位相減法求和

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一人等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前

〃項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法.

,曾錯(cuò)位相減法：若數(shù)列上｝的通項(xiàng)公式%=%也，其口｛/｝、卜｝中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是

等比數(shù)列，求和時(shí)，一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將

所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和.這種方法叫夕倍錯(cuò)位相減法.

第1頁(yè)共15頁(yè)

重點(diǎn)題型?歸類精講

題型一公式法求和

【例1-1］（2018年真題）已知｛%｝是公差不為零的等差數(shù)列，q=l,且4M3，為成等比數(shù)列

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式

（2）設(shè)％…求數(shù)列依｝的前〃項(xiàng)和S“

【例1?2】（2016年真題）已知仇｝是等比數(shù)列，"=4,2=上,數(shù)列｛〃“｝滿足%=log2a

16

⑴證明數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列

（2）求｛an｝的前〃項(xiàng)和Sn的最大值

【例1?3】（2003年真題）在數(shù)列｛〃“｝中，若q=-2,且對(duì)任意〃EN,有2+1-則數(shù)列｛〃”｝的

前10項(xiàng)和為

215

A、5B、C、D、25

~22

【變式1】已知數(shù)列上｝為等比數(shù)列,6=1,6=3a2,貝lj%=;數(shù)列也+2｝的前4項(xiàng)和

為.

第2頁(yè)共15頁(yè)

題型二分組求和

【例2?1】(2004年真題)設(shè)｛〃“｝為等比數(shù)列，｛或｝為等差數(shù)列,且4=0,若數(shù)列｛%｝中,

cn=an+bn,c｛=c2=l,c3=2,求數(shù)列｛qj的前10項(xiàng)和

【例2-2］已知數(shù)列｛可｝是公差不為零的等差數(shù)列，滿足％=6,且知心/成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列伍“｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)么=%+2%,求數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和S“.

【變式1】等比數(shù)列｛q｝的公比為2,且出外+2必成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

⑵若么=1嗎%+%，求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和7；.

第3頁(yè)共15頁(yè)

題型三裂項(xiàng)相消求和

【例3?1】（2016年真題）數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為4=如果｛4｝的前2項(xiàng)和等于3,那么

A、8B、9C、15D、16

1

【例52】（2007年真題）數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為4=如果｛4｝的前〃項(xiàng)卻等于3,那么

A、8B、9C、15D、16

【例3-3］若數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為勺=〃2+〃，則:（）

%a2a\OO

【變式1】數(shù)列｛q｝滿足4="2+3+~+〃則數(shù)列的前〃項(xiàng)和為（）

22〃

A.B.2nc.D.

〃+27+2n+\n+\

題型四錯(cuò)位相減求和

【例41］等比數(shù)列S.｝的各項(xiàng)均為正數(shù),且4+%=1。,小生".

（1）求數(shù)列｛《J的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛〃4｝的前〃項(xiàng)和

【變式1］已知等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且43=12,54=40.

第4頁(yè)共15頁(yè)

(1)求數(shù)列｛?〃｝的通項(xiàng)公式;

(2)沒a=2號(hào)，求數(shù)歹lJ｛含｝的前〃項(xiàng)和丁九

課后模擬?鞏固練習(xí)

111

1.化簡(jiǎn)式子4t-41-41-???+——-——，得()

1x33x55x72023x2025

20222024J0H1012

B.D.

?20252025?20252025

2.在遞增的等比數(shù)列加“｝中,a2=8fq+生=6,其中〃eN*.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)若么=2%+3,求數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和九

3.已知數(shù)列｛q｝中，%=2〃-1+1,求數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和S”.

第5頁(yè)共15頁(yè)

4.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S.滿足工=-3,S7=-2i.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

求數(shù)列局｝的前〃項(xiàng)和人

(2)h?=-an+\

5.已知等差數(shù)列｛4｝的前.〃項(xiàng)和為S”，S9=-27,SIO=-4O.

⑴求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b,=an+2”,求數(shù)列｛bn｝的前川項(xiàng)和T”.

6.己知數(shù)列｛〃“｝的前”項(xiàng)和為S"q=2".令2=l+log//?,求數(shù)列｛4也｝的前〃項(xiàng)和Tn.

第6頁(yè)共15頁(yè)

數(shù)列求和

I知識(shí)點(diǎn)?梳理］

①公式法求和

當(dāng)求出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式后，發(fā)現(xiàn)其為等差數(shù)列或者等比數(shù)列，即直接套用等差數(shù)列或等比數(shù)

列求和公式進(jìn)行求和。

②分組求和

如果一個(gè)數(shù)列可寫成。“=可？2的形式，而數(shù)列｛4｝,｛"｝是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能

夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法。

③裂項(xiàng)相消法求和

當(dāng)求出一個(gè)新的數(shù)列為如下表現(xiàn)形式時(shí)，可適用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和。

常見裂項(xiàng)相消：

1),

)

n(n+k)knn+k

1_1111_]_

如:

n(n+1)n〃+1'〃(〃-1)〃一1n

(切-1)(如十1)2kn-\如+1

如：-^―=-(-------)(尤其要注意不能丟前邊的

4/?2-122/1-12/?+12

3)]---——尸=二3幾十k

yjn+k+>Jnk

如：,——7==+1-4n

④錯(cuò)位相減法求和

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一人等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前

〃項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法.

q倍錯(cuò)位相減法：若數(shù)列匕｝的通項(xiàng)公式配=凡。，其口｛4｝、也｝中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是

等比數(shù)列，求和時(shí)，一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將

所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和.這種方法叫〃倍錯(cuò)位相減法.

第7頁(yè)共15頁(yè)

重點(diǎn)題型?歸類精講

題型一公式法求和

【例1/】(2018年真題)已知｛%｝是公差不為零的等差數(shù)列，q=l,且4M3，為成等比數(shù)列

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式

(2)設(shè)”二旬，求數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和S“

解:(1)4，《必成等比數(shù)列，生2=4%，4=1,%"=%,(4+24)，=4+8",(1+24丫=1+84』

+4J+4r/2=l+8d,4d2-4d=0,4d(d-l)=0,因?yàn)閐wO,所以d==q+(〃-l)d=1-(A?-1)X1=n。

(2)S“二4+仇+4+……+a=%I+42+43+……+%.=/+%+/+……+4"=2+4+8+.......+2"。等

比數(shù)列，首項(xiàng)為2,尾項(xiàng)為2"，前〃項(xiàng)和S”二與也=2二2：2=2向—2

\-q1-2

【例1?2】(2016年真題)已知｛4｝是等比數(shù)列，々=4也=高數(shù)列｛(｝滿足%=總或

(1)證明數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列

(2)求｛〃”｝的前〃項(xiàng)和S“的最大值

n-2

解：(1)々=4也=府=與,q=；、b“=ba"]=4x—=IogZ??=log

lo4⑷22

2242M

=log2(2-p=log22-=4-2?=-2n+4,數(shù)列也｝是公差為-2的等差數(shù)列

(a.+a]n(2-2〃+4)〃,1Tt?人

⑵4=-2〃+4,4=2￡=^^=---—一3〃，所以當(dāng)"=1或〃=2時(shí)取最l大值'

S,=5;=2

【例1?3】(2003年真題)在數(shù)列｛〃“｝中，若q=-2,且對(duì)任意〃EN,有a“+]-〃“=L,則數(shù)列｛〃”｝的

前1()項(xiàng)和為

215

A、5B、-C>-D、25

22

【答案】C

【解析】數(shù)列｛4｝首項(xiàng)6=-2,公差d=qm-q=g,所以前10項(xiàng)分別是：

?2,-1.5,-1-0.5,0,0.5,1,1.5,2,2.5,首尾相加最后結(jié)果2、5

第8頁(yè)共15頁(yè)

_(4+q°)xlO_(—2+2.5)xlO_

-----------------------------------------

1022

【變式1】已知數(shù)列｛《,｝為等比數(shù)列，q=l,%=34，則4=；數(shù)列｛q+2｝的前4項(xiàng)和

為.

【答案】8148

【詳解】等比數(shù)列｛凡｝中，由％=3%,得數(shù)列｛叫的公比夕=3,通項(xiàng)q=而1=3”工

所以q_3J81；數(shù)歹|J｛/十2｝的前4項(xiàng)和為(％+2)+(%+2)+(%+2)+(4+2)=1+3+9+27+4x2=48.

故答案為：81；48

題型二分組求和

【例2?1】(2004年真題)設(shè)｛叫為等比數(shù)列，也｝為等差數(shù)列,且4=0,若數(shù)列｛%｝中，

cn=an+bn9ct=c2=l,q=2,求數(shù)列｛%｝的前10項(xiàng)和

解：設(shè)口｝公比為4,但｝公差為d

-=4+6=1,q+0=1,4=1

C2=a2+"2=qq+"i+d=l1xg+0+d=l,g+d=l

c3=a3+仇=a4+4+2d=q?+0+2d=2

解得舍夫

q-+2d=2[J=-l[d=l

所以等比數(shù)列｛%｝首項(xiàng)6=1、公比4=2

等差數(shù)列｛〃｝首項(xiàng)4=0、公差d=—l

數(shù)列｛c“｝的前10項(xiàng)和So=(+。2+……+%=q+4+/+&+……+4。+%

=cZ]+a,+.......+4。+/?|+Zz>+.......+A。

々「qoxq?3+%)xio

\-q2~

為)=4x/=2),Z?[0—ax+9d=0+9x(-1)=-9

品=廿2-J?！?。…

=1024-46

=978

第9頁(yè)共15頁(yè)

【例2-2］已知數(shù)列“｝是公差不為零的等差數(shù)列，滿足4=6,且叼L成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列伍』的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)bt=a?+,求數(shù)列的｝的前〃項(xiàng)和Sn.

【答案】(1)⑸=2〃

(2電=〃2+〃+加一1)

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到關(guān)于d的方程，解出"值即可;

(2)根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式進(jìn)行分組求和即可.

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為"，由已知有

2

a4=a2a^f即(6+d>=(6-d>(6+5d),解得d=2,d=0(舍)，

at=供-2〃=2,:.a?=2+2(〃-1)=2〃；

(2)"=2〃+22"=2〃+4",

S“=(2+4+???+2〃)+(4+4~+???+4(?)

〃(2+2〃)4(1-4")

=2-+1-4

4

=〃2+”+卞(4"-1).

【變式1】等比數(shù)列｛q｝的公比為2,且生M+2,出成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列乩｝的通項(xiàng)公式；

(2)若仇=log24+4,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和Tn.

【答案】⑴%=2",〃wN*(2)7；=fU+2e—2

【詳解】(1)已知等比數(shù)列｛4｝的公比為2,且，，為+2,4成等差數(shù)列，

.?.2(/+2)=%+《，/.2(相+2)=加+防，解得％=2,

=2X2"T=2",〃eN'；

wn

(2)^=log22+2=n+2\

...7；=Q+2+???十〃)+(2+2，十.??十2").

第10頁(yè)共15頁(yè)

綜上，等=〃（；+1）+2"-2

題型三裂項(xiàng)相消求和

1

【例3-1］（2016年真題）數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為4=如果｛q｝的前左項(xiàng)卻等于3,那么

A、8B、9C、15D、16

【答案】C

【解析】S./+生+%+……+”號(hào)+++小+……+vrT777T=

(夜—⑷(百-旬(4-6)

(a+⑺(夜一/)+(6+&)(層⑹+("+6)(4.司+……+

(VITT—4)

=V2-VF+>/3-V2+A/4-V3++477-4=47T-1=3/=15

(VTTT+VI)(VTTT-4)

1

【例3-2］（2007年真題）數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為〃“=,如果｛4｝的前〃項(xiàng)司等于3,那么

yJn+\+yfn

n=

A、8B、9C、15D、16

【答案】C

【解析】前〃項(xiàng)和，+?！?……+?=尋石+僅%+……+忌7r

1X^5/2—j]X一1X/?4-1—yfnj

(拒+⑷(五一司+(G+司(石一可+……+叩+6)(內(nèi)_冊(cè))二及■

V1+G—>/2...+J/?+1—y/n=+1-1=3,〃=15

【例3-3】若數(shù)列｛〃,,｝的通項(xiàng)公式為=""7,則g+?+…+；=（）

a

%2"100

I他B，C必D

101101100100

【答案】A

【分析】利用裂項(xiàng)相消求和可得答案.

第11頁(yè)共15頁(yè)

_i

【詳解】

n〃+1

1I1111111100

則nl1----1■…4------=-+------+■+,—,=

%a2?223100101io?"ToT,

故選：A.

【變式”數(shù)列間滿足/=出x，則數(shù)列｛￡｝的前”項(xiàng)和為（）

I.-4-B.qC.-^42n

D.~n+\

【答案】B

(1+〃)〃

【詳解】因?yàn)镴+2+3+…—21」+〃，

Cln-

nn2

所以---=---------=4—..........-

'di(n+l)(n+2)1/2+1〃+2

設(shè)數(shù)歹“念，的前〃項(xiàng)和為人則小咆一泊彳….一白M97y二言.故選：B

題型四錯(cuò)位相減求和

【例生1】等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且4+4=10,而；=生

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛〃?4｝的前〃項(xiàng)和九

【答案】（1）4=2"；（2）7＞（〃-1）20+2.

【詳解】解：⑴設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為4,

貝I］夕＞0,由4。；=〃2r6=G

得：一=4,所以“=2.

由％+%=%+4%=541=10,得到q=2

所以數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為4=2".

（2）由條件知,

7；,=1X2+2X22+3X234-...+//X2,'

X27；,=1X22+2X23+3X24+L+八2向

將以上兩式相減得

-7；=2+2?+2,+???+2”一〃x2fl+,=2（2"-1）-/1x2n+,=（1-〃）2'向一2

第12頁(yè)共15頁(yè)

所以(=(〃—1)2向+2.

【變式1】已知等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且。3=12,S/=40.

（1）求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)a=2號(hào)，求數(shù)歹IJ｛去｝的前〃項(xiàng)和了幾

【答案】（1）刖=4〃；⑵。?=2一擊一次.

【詳解】（1）設(shè)他〃｝的首項(xiàng)為。人公差為"，

由43=12,54=40

q+2d=12

則44+l|2d=4。,解得切=%d=4,

67/?=4+4(〃-1)=4〃.

a_4〃_〃

⑵=2；=2"，;n

地4?2"

1cIc1〃G

=F2x-7+3x-^+...4----,(1)

222232"

=*+2X5+3X/+…+/,②

1

①一②得總=；+*+/+/+???+-----n-

?2〃2"+'

，7>1=2一再一會(huì).

課后模擬?鞏固練習(xí)

1111

1.化簡(jiǎn)式子------F-------h------+???+，得（）

1x33x55x72023x2025

20222024J0H

B.D?黑

,20252025?2025

【答案】D

I1=11-1111111

【詳解】4-+-L+…+4+…+―

1x33x55x72023x20252(3)2135J2157)2120232025

1012+3生八

X餐卜2025?故選：口

2.在遞增的等比數(shù)列｛4｝中，4%=8,%+%=6,其中〃cN’.

⑴求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式;

（2）若么=2%+3,求數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和Tn.

【答案】（1）%=2”；（2n=2"+2+3"4.

【詳解】（1）

第13頁(yè)共15頁(yè)

由4。=8嗎+%=6,等比數(shù)列何｝是遞增數(shù)列，得q=24=4,因此數(shù)列｛4｝的公比＞f=2,則

%=a"1=2",所以數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式是丁=2”.

(2)由(1)得，2=2勺+3=2向+3,7；=)+優(yōu)+…+2=-2")+3〉=2*2+3〃一4.

1-2

3.已知數(shù)列｛q｝中，4=2〃-1+3,求數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和九

【答案】s*=/+；("")

［詳解］因?yàn)椋ァ?，則邑=(1+以+(3+9+(5+*卜…+(2,1+()

=1+3+5+...+2〃-1+：+：+：+1=2￡!_!_2^_!12A_^2_=獷+：故答案為：S.=〃2+：1-^-

33332+.13)L\5)

1—

3

4.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S.滿足S3=-3,S7=-21.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2也=-%+1,求數(shù)列的前〃項(xiàng)和

__八3277+3

“【答口案無(wú)】’1⑴1凡”=T?+11⑵々-4----2--(-〃--+--1-)-(-〃--+--2--)

33^^30

;二?一;，|解得，=1，

+21J=-21=-1

｛iax

所以。，=4+