7.7向量法求空間角和距離

'考試要求

1.能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問題.

2.會(huì)求空間中點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離.

際備知識(shí)回顧自主學(xué)習(xí)?基整回扣

教材回扣

用空間向量研究距離、夾角問題

分類計(jì)算公式

異面直cos/9=|cos(u,v)|=

線所成uvI|M-V|

的角MMI~ln||v|

直線與sinZ?=|cos(u,n}|=

平面所unI[u-n\

成的角|w||w|I-|M||/?I

COS<9=|cos</l|,"2〉1=

兩個(gè)平-I"2_

MM=

面的

Ei?

夾角歷業(yè)T

(。為兩個(gè)平面的夾集)

夕。=吊箱2-旗|2=

\l（r—（a-u）2（ii是

直線/的單位方向向量）

PQ=M瑞卜

Ap-n\,小

FTI?川

（〃是平面a的法向量）

教材拓展

i.確定平面的法向量的方法

（1）直接法：觀察是否有垂直于平面的向量，若有可直接確定.

⑵待定系數(shù)法：取平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量％b,設(shè)平面的法向量為〃=a，y,Z）,由

na=O,

求得?

2.方向向量和法向量均不為零向量且不唯一.

3.當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，比夾角就是此異面直線所成的角；當(dāng)

異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，此夾角的補(bǔ)角才是異面直線所成的角.

基礎(chǔ)檢測(cè)

1.判斷（正確的畫錯(cuò)誤的畫“X”）

（1）兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.（X）

（2）直線的方向向量與平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.（x）

（3）兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面的夾角.（x）

（4）兩異面直線夾角的范用是（0,1］,直線與平面所成角的范圍是［。，￡|，二面角的范圍

是［0,小兩個(gè)平面夾角的范圍是0,.（4）

2.（人教A版選擇性必修第一冊(cè)P38Tl改編）在長方體ABCD-ABiGG中，AB=BC=

I,人人產(chǎn)小，則異面宜線八人與。辦所成角的余弦值為（C）

A—B.小

3o

C.害D,卓

解析：以。為原點(diǎn)，DA,DC,所在的直線分別為4軸、），軸、z軸，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，則。1(0,0,小),4(1,0,0),D(0,0,0),Bi(1,1,g,所以用5|

=（-1,0,?。?，胡尸（1,1,小）.設(shè)異面直線AZ）1與。歷所成的角為仇則cosO=

丫］吧=II=老所以異面直線AD］與DBi所成角的余弦值為黑.故選C.

|協(xié)卜|晶|ispi））

3.（人教A版選擇性必修第一冊(cè)P43T10改編）在空間直角坐標(biāo)系中，若直線/的方向

向量是丫=（一2,2,1）,平面Q的一個(gè)法向量是〃=（2,0,1）,則直線/與平面a所成角的

正弦值為坐.

解析：設(shè)直線/與平面a所成的角為仇則sin?=|cos〃〉1丫?小

1=MWI

|-2x2+2x0+lxl|yfs

、（一2戶+22++12—5?

4.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P35T3改編)已知平面a經(jīng)過點(diǎn)8(1,0,0),且a的法

向量〃=(1,1,1),則點(diǎn)P(2,2,0)到平面a的距離為近.

解析：因?yàn)榧?(1,2,0),/i=(l,1,1),所以點(diǎn)尸(2,2,0)到平面a的距離d=‘第

|1+2|

=小.

[1+1+1

陜鍵能力提升互動(dòng)探究?考點(diǎn)精講

考點(diǎn)1異面直線所成的角

【例I】(2024?湖北武漢模擬)在正四面體附BC中，E,尸分別為PC,的中點(diǎn),

則異面直線BE與P產(chǎn)所成角的正切值為(D)

43

--

A.3B.4

C.2^2D.f

【解析】設(shè)工四面體月WC的棱艮為1,設(shè)聞=a,Ph=b,Pt=c,J!1]|a|=|Z>|=|c|=1,

ZAPB=ZBPC=ZAPC=60°,，。力=同向cosZBPA=^fb-c=\b\\c\-cosZBPC=^,ca=

MlalcosZAPC=^.VE,尸分別為PC,AB的中點(diǎn)，△以8,"BC是等邊三角形，.㈤

+日群昆-%i兩=岫=號(hào),…,弱=器="*

^ac^hc-^ah-^bf

---------3---------=一§.設(shè)異面直線8E與P尸所成的角為。，則cos9=|cos〈外'，融:〉

4

3

???異面直線BE與P”所成角的正切值為坐.故選D.

規(guī)律總結(jié)

用向量法求異面直線所成的角的一般步驟

(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)求出兩直線的方向向量力，也.

(3)代入公式|cos<VI,V2>1=昌符求解.

I'I11r-I

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】(2024?遼寧丹東一模)在直三棱柱ABC-A\B\C\中，AB=AC=AA\,

NB4C=120。，則異面直線84與AG所成角的余弦值為（A）

A-IB?乎

c.小D.平

解析：取8c的中點(diǎn)。，連接A。，因?yàn)锳3=AC,所以D4_LQC,以。為原點(diǎn)，DA,

QC所在直線分別為x軸、），軸，過點(diǎn)。且垂直于平面6AC的直線為z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)A3=AC=AA=1,因?yàn)镹ZMC=120°,所以，O=OC=半，AD=|,所以

，—坐0）,0.1）,0,0）,C（0,喙，1）,所以前=（；,里1）花=

（一坐，1）,所以異面直線84］與AG所成角的余弦值為|cos〈育:公|〉|=if=

'一）I就川公il

3

-

4

考點(diǎn)2直線與平面所成的角

【例2】（2024?山東青島二模）如圖，在四棱錐P-48co中，△附。是等邊三角形,

且8C〃4。，ABLAD,PB=AB=AD=2BC,E為PD的中點(diǎn).

⑴求證：CE〃平面以8；

（2）求直線PB與平面PC。所成角的正弦值.

【解】（I）證明：如圖1,取外的中點(diǎn)G,連接GE,GB.YE為PD的中點(diǎn)、,：,GE//

AD且GE=^AD,又BC//AD,BC=^AD,

:?GE〃BC員GE=BC,

.??四邊形8CEG為平行四邊形，:.CE//GB.

又G8u平面PAB,CEC平面PAB,

.??CE〃平面PAB.

圖1圖2

(2)設(shè)PB=AB=AD=2BC=2.

如圖2,取人。的中點(diǎn)N,連接PN,CN.

???△%。為正三角形，

:,PNIAD,PN=p

又AN=8C,AN//BC,

???四邊形A8CN為平行四邊形，

；?CN〃4B.又4B_LAZ),

：.CNLAD,義PNCCN=N,PN,CNu平面PCN,二4。，平面PGV.

?:BC"ND,:?BCL平面PCN,

又PCu平面PCN,：,BCVPC.

在Rt^PBC中，PC=NPB?-BC2=5=PN.

:8Cu平面ABCD,；?平面PCN1平面ABCD,取OV的中點(diǎn)0,則PO±CN,

???PO_L平面ABCO,

PO=yJ(y/3)2-12=y/l.

取C。的中點(diǎn)居以。為原點(diǎn)，OC,OF,OP所在直線分別為x軸、)，軸、z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，則B(l,-1,0),P(0,0,也)，D(-l,1,0),C(l,0,0),

.?.聞=(I,-I,-72),cZ)=(-2,1,0),CP=(-1,0,也).

6^/!=—X+A/2Z=0,

設(shè)平面PC。的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),則，

cZ)w=-2x+>'=0,

令z=l,則n=(小，2m，1).

設(shè)尸3與平面PCD所成的角為。，則sinO=|cos〈聞，〃〉|=遨迎

|前間2xvH

故直線P8與平面PCD所成.角的正弦值為嚕.

向量法求直線與平面所成角的方法

(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的

夾角(或其補(bǔ)角)問題.

(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的

補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】(2024?山東聊城二模)如圖，在幾何體A8CGBA中，四邊形BCG?

是邊長為2的正方形，AAi=3,點(diǎn)E在線段ACi上，且￡G=2A]￡.

(1)求證:QE〃平面人BG；

(2)若A8_L平面ACGBi，且A/3=2,求直線AiG與平面A/力上所成角的正弦值.

解：(1)證明：如圖，在線段上取點(diǎn)M,使A|M=；AiA,連接ME,則MA=2A|M.

又因?yàn)镋G=2A|E,所以ME〃AG.

因?yàn)镸EC平面ABG,4Gu平面A8G,所以ME〃平面ABG.

由4A=3,得M4=2,又8出=2,且人4〃8小，所以四邊形為平行四邊形，

所以B\MI/NB.

因?yàn)锽iMC平面A8G,ABu平面A8G,所以41M〃平面A5G.

又SMu平面BiME,MEu平面B\ME,

所以平面8|ME〃平面ABC.

又因?yàn)镾￡u平面8|ME,所以8|E〃平面A8G.

(2)因?yàn)?B_L平面BCG8,附,BCu平面8CGS,所以A8_LB8i,ABLBC,

又四邊形BCGBi是正方形，所以

所以BC,BA,兩兩互相垂直.

所以以4為原點(diǎn)，以BC,3A,8/力所在直線分別為x軸、)，軸、z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

由A8=3C=2,AAi=3f得A(O,2,0),4(0,2,3),Bi(0,0,2),Ci(2,0,2),

于是4力=(2,—2,—1),涵=(0,—2,2),氏丸=(0,2,1),推=氏丸+薊匕=停，T,

n-A^\=0,—2v+2z=0,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),則，得<242

〃.員i=o,亨+亨，+乎=0

y—z=O,

即V

[x+2y+z=0,

令.y=l,得z=l,x=-3,所以平面ABiE的一個(gè)法向量〃=(一3,1,1).

設(shè)直線AiCi與平面ABiE所成的角為0,則sinO=|cos</i,A/I〉|=^'A]C^=

Iwl-l^il

_93/

^9+1+1x^44-44-1-11，

所以直線A\C\與平面AB\E所成角的正弦值為今口.

考點(diǎn)3平面與平面的夾角

【例3】(2024?新課標(biāo)I卷改編)如圖，四棱錐P-ABCQ中，布_L底面A8C￡>,PA=

AC=2,RC=1,A8=小.

(1)若求證：AO〃平面PBC；

-x/42

(2)若AQ_LOC,且平面ACP與平面CPO夾角的正弦值為勺，求A。.

【解】(1)證明：因?yàn)橐訨_平面A8CQ,AQu平面A3C。，所以必_LAD又AQ_LP8,

PBC\PA=P,PB,附u平面以8,所以4D_L平面附8,

又A8u平面力B,所以AQ_LA8.

在A4BC中，AB2+BC2=AC2,

所以

因?yàn)?,仇C,。四點(diǎn)共面，所以AD//BC.

義4Cu平面PBC,仁平面PBC,

所以AO〃平面PBC.

(2)以。為原點(diǎn)，以D4,OC所在直線分別為x軸、)，軸，過點(diǎn)。且與平面ABC。垂直

的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

令人。=/(0</<2),則A。，0,0),P(t,0,2),令0,0,0),

DC=、4一F,C(0,小一產(chǎn),0).

n??祀=-5+yl4—l2y\—0,

設(shè)平面ACP的一個(gè)法向量為〃1=(x1,yi,zi),財(cái)

〃「#=2z]=0,

設(shè)Xi=417,則y=/,zi=O,所以川=(小一尸,i,0).

也?9=/X2+2Z2=0,

設(shè)平面CPO的一個(gè)法向量為〃2=(X2,)*Z2),則“

“2?Dt=W一IT=0,

設(shè)Z2=/,則X2=—2,”=0,所以〃2=(—2,0,t).

因?yàn)槠蕉鳤CP與平面CP。夾角的正弦值為華，則其余弦值的絕對(duì)值為坐，所以乎=

z、，Mml274T

Icos〈在小〉1=1加網(wǎng)=2后？

解得7=小，所以八。=小.

」規(guī)律總結(jié)

利用空間向量計(jì)算平面與平面夾角大小的常用方法

(1)找法向量：分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到平面

與平面夾角的大小.

(2)找與棱垂直的向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩

個(gè)向量，然后通過這兩個(gè)向量的夾角可得到平面與平面呆角的大小.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】(2024.新課標(biāo)II卷)如圖，平面四邊形A8CQ中，A8=8,CD=3,

AO=5小，ZADC=90°,NB4Z)=30。，點(diǎn)E,尸滿足屁=|屐)，#=g方.將“石尸沿E尸翻

折至APEF,使得PC=4小.

(1)求證：EFUD；

(2)求面PCD與面P8F所成的二面角的正弦值.

解：(1)證明：在aAE產(chǎn)中，AE=14O=2S，AF=^AB=4,ZEAF=30°,

AE^AF2~EF212+16-E產(chǎn)布

所以cosZ.EAF=解得EF=2,

2AEAF2x2小x4—2

所以E尸+4￡：2=A產(chǎn)，所以4EJLEF,所以DE1EF,由折疊的性質(zhì)可知PE_LEE

火PECDE=E,PE,DEu平面PDE,所以￡7口_平面PDE.

義PDu平面PDE,所以EF上PD.

(2)如圖，連接CE,DE=5小一2小=3小,CD=3,ZCDE=90°,所以CE2=36,CE

=6,PE=AE=2小,所以PE2+CE2=PC\所以尸E_LC￡

又因?yàn)锳7工LE匕EH)CE=EfEF,C￡u平面。上尸，所以產(chǎn)&_L平面/)".

又EDu平面DE匕所以尸E_LEO,所以EF,ED,￡尸所在直線兩兩垂直,

以E為原、點(diǎn),EF,ED,七夕所在直線分別為x軸、），軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，貝“P（0,0,2小），D（0,3小，0）,F（2,0,0）,A（0,一2小，0）,則B（4,2小，

0）,C（3,3小，0）,所以用=（0,3小，一2?。?，C&=（-3,0,0）,Pk=（4,2小，

一2小)，游=(-2,-2V5,0).

”1?協(xié)=3#y—2小zi=0,

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為川=(內(nèi)，yi,zi),則’

/!i-CZ)=—3AI=0,

令yi=2,則zi=3,AI=0,所以〃i=(0,2,3).

n2-Pi=4x2+2小)'2—2v5Z2=0,

設(shè)平面尸8尸的一個(gè)法向量為〃2=(x2,y?,Z2),則，

,/?2-酢=—2X2—2小”=0,

令工2=小,則以=-1,Z2=1,所以〃2=(小，—I,I).

設(shè)面PCQ與面P8F所成的二面角為如因?yàn)閏os〈川，小〉=瑞=

0x^3-2x1+3x11_y/658幅

所以sina=

A/22+32X^/(V3)24-(-1)2+12VHx小6565.

考點(diǎn)4求空間距離

【例4】（多選）（2024?福建福州模擬）在長方體A8CD-A山1。。中，43=2,AA|=

AD=l,E為A8的中點(diǎn)，則（BC）

A.AtBlBiC

B.平面DBC

C.點(diǎn)。到直線4出的距離為羋

D.點(diǎn)D到平面EBiC的距離為小

【解析】如圖，以D為原點(diǎn)，OA,DC,。。|所在直線分別為％軸、y軸、z軸建立空

間直角坐標(biāo)系,易知。（0,0,0）,41（1,0,1）,8（1,2,0）,Bi（l,2,1）,C（0,2,0）,E（l,

1,0).

A^=(0,2,-1),0,-1),Q屐=(0,2,-1)(-1,0,-1)=1翔,

所以A錯(cuò)誤；顯然4Q〃BC,4。仁平面EBC,SCu平面E&C,可得4。〃平面E8C,

季（。,唔省,又加一

所以B正確；記直線4B的單位方向向量為〃，則〃=

\A\B\''?7

1,0,—1）,所以向量擊力在直線48上的投影向量為不4=空言?含=0,T,—I,則。到

直線AB的距離為。。="不力F-|碓『=￥，故C正確；設(shè)平面EBC的一個(gè)法向量為加

).B\Eni=-y—z=(),

=(x,y,z),由31c=(—1,0,—1),Bi￡=(0,—I,—1),叫一令x

x-z=0,

=1,可得加=(1,1,-I),又成=(0,2,0),所以點(diǎn)。到平面EBiC的距離4=端e=羋

故D錯(cuò)誤.故選BC.

1.點(diǎn)線距的求解步驟

直線的單位方向向量QT所求點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的向量師'及其在直線的方向向量。上的投

影向量T代入公式.

2.點(diǎn)面距的求解步驟

(1)求出該平面的一個(gè)法向量.

(2)找出從該點(diǎn)出發(fā)到平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量.

(3)求出法向量與斜線段對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值，再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到

平面的距離.

3.兩異面直線間的距離

在兩直線上各取一點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)向量露，〃為兩直線的公垂線的單位方向向量，則兩異面

直線間的距離為I曲M.

JT

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4](1)(2024?河北滄州二模)已知四面體ABCD滿足N84C=1,cosZ

CAD=^,cosZfiAD=1,AB=2,AC=3,AD=2,則點(diǎn)A到平面BCD的距離為(D)

3

-

A.V25B.2

D.邛

C.小

解析：因?yàn)樗拿骟wA6CO滿足NZMCg,COSZCAD=^,COSZBAD=^,48=2,AC

JJ

=3,AD=2,可得露祀=3,At-Ab=2,冠)腦=1,設(shè)平面SCO的一個(gè)法向量為〃=戈/話

..〃?沈=(，加+〉，祀+zA^)?(At—盤)=-x+6y+z=0,

4-yAc+zAO,則，

nBt)=(xAb+yAt^-zAb)(At)—Ah)=—3x—y+3z=0,

=Ak+Ab,所以|川=、/筋?+乃)2+2|禍初

令z=1,解得x=I,>'=(),所以II|cosZBAD

=<10,戲〃=4+1=5,設(shè)點(diǎn)A到平面8c。的距離為兒則力=嚕9=/=乎?故選D.

(2)如圖，正四棱柱ABCD-A出中，AA^=2AB=2,E,尸分別是線段AG，上的

動(dòng)點(diǎn)，則E,尸間的最小距離為(C)

A,

c坐D?小

解析：因?yàn)辄c(diǎn)E,產(chǎn)分別是線段4G與8。上的動(dòng)點(diǎn)，則已尸間最小距離即為異面直線

AG與BO間的距離，以。為原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分別為x軸、)，軸、z軸，建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則。(0,0,0),8(1,1,0),4(1,0,0),Ci(0,1,2),則加

=(1,1,0),A?i=(-I,1,2),A^=(0,I,0),設(shè)與異面直線AG與都垂直的向量為

〃?m=%+丁=0,x=z,

n=y,z),則j解得

=—x+y+2z=0,x=-y,

取x=l,則y=—1,z=1,所以〃=(1,—1,1),則異面直線間的距離為與科=七=3

即E,尸間的最小距離為求故選C.

創(chuàng)新點(diǎn)國

立體幾何中的新定義問題

1.立體幾何的新定義問題，往往通過具體的問題背景或新的定義，考查立體幾何知識(shí)等

在問題情境中的應(yīng)用，以比來檢驗(yàn)學(xué)生的核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí).

2.解決立體幾何的新定義問題，常用的解題思路：審題、建模、研究模型、解決新定義

問題.解題要點(diǎn)：根據(jù)題目給出的新定義，建立立體幾何模型.研究模型時(shí)需注意根據(jù)新定

義進(jìn)行由特殊到一般的規(guī)律總結(jié)，最后解決問題.

【典例】已知Q是棱長為唱的正四面體ABCD,設(shè)0的四個(gè)頂點(diǎn)到平面?的距離所

構(gòu)成的集合為M,若M中元素的個(gè)數(shù)為匕則稱a為。的攵階等距平面，M為。的A階等

距集.

(1)若a為。的1階等距平面且1階等距集為{〃},求a的所有可能值以及相應(yīng)的。的個(gè)

(2)己知外為。的4階等距平面，且點(diǎn)A與點(diǎn)8,C,。分別位于夕的兩側(cè)，若Q的4階

等距集為出，2b,3b,4的，其中點(diǎn)4到6的距離為〃，求平面4co與夕夾角的余弦值.

【解】(1)①如圖，分別取A6,AC,A。的中點(diǎn)M,E,F,由中位線性質(zhì)可知

EF=^,此時(shí)平面MEV為。的一個(gè)1階等距平面，。為正四面體高的一半，等于多＜：

由于正四而體有4個(gè)面，這樣的1階等距平面a平行于其中一個(gè)面，有4種情況.

②如圖，分別取4B,ACfCD,的中點(diǎn)P,Q,R,S,將此正四而體放置到棱長為1

的正方體中，則〃為正方體棱長的一半，等于今

由于正四面體的六條棱中有3組對(duì)棱互為異面直線，這樣的1階等距平面a平行于其中

一組異面直線，有3種情況.

綜上，當(dāng)a的值為坐時(shí)，a有4個(gè)；當(dāng)a的值為：時(shí)，a有3個(gè).

(2)如圖，在線段AB,AC,40上分別取一點(diǎn)M,E,F,使得AM：M8=1：2,AE：EC

=1：3,AF：FD=\：4,則平面4即為平面MEF.

取8。的中點(diǎn)。，連接0C,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OC,所在直線分別為*軸、y軸，過點(diǎn)OR與平面RTD垂直的直線為Z軸建定空間

直角坐標(biāo)系，則A償,0,￥）,砒=荏-而=（祀-;露=[（乎,°，-平）-g

（_亞—應(yīng)_鳴=（童巫四

I6，2'3廠136，6，187

濟(jì)=#一加加'U邛,坐,答4（一乎,-坐一的=

砥逑4四

[45，15，45/

m?斯=（）,4+4?。?2吸2=0,

設(shè)平面ME廠的一個(gè)法向量為m=（x,y,z）,則，即，

/w/v7fe=o,_5x+26v+/z=0,

可取〃?=（0,1,一、歷）.

又平面BCD的一個(gè)法向量為〃=（0,0,1）,

設(shè)平面BCD與夕的夾角為仇所以

|〃??川巫

85'=網(wǎng).間=產(chǎn)=7，

所以平面8CD與夕夾角的余弦值為華.

課時(shí)作業(yè)51

星基礎(chǔ)鞏固,

1.（15分）如圖，四棱錐2ABe。的底面是邊長為2的菱形，N?W=60。，對(duì)角線AC

與4。相交于點(diǎn)O,PO_L底面ABC。，P3與底面438所成的角為60。，E是P6的中點(diǎn).

⑴求證:OE〃平面用5

（2）求DE與孫所成角的正弦值.

解：（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛3CO為菱形，對(duì)角線AC與3。相交于點(diǎn)O,所以。為30

的中點(diǎn).

又月是P8的中點(diǎn)，處EO〃PD,且EOC平而以。，PDu平面以D,

所以E?！ㄆ矫鍼AD.

(2)因?yàn)樗倪呅?4co為菱形，所以AC_L/3O,又PO_L底面ABC。，則PO,OC,0B兩

兩互相垂直，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線08,OC,。尸分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空

間直角坐標(biāo)系，如圖，菱#A3CQ中，ND48=60。，所以50=208=2.

在RtAAOB中，0A=7AB2—0B?=4.

因?yàn)镻0上底而ABCD,所以P8與底面A8C。所成的角為/尸BO=60°,

所以PO=OBian60。=小，

則A(0,一小,0),B(l,0,0),0(-1,0,0),P(0,0,小),電。，陰，

于是踮=《，0,%,#=(0,小，小).

3

-

2

設(shè)晟與#的夾角為。，則cos0=

所以sinf)=y]I-COS2^=^T

所以界面直線。石與用所成角的正弦值為邛士

2.(15分)如圖，在三棱錐尸-4BC中，AB=BC=PC=PB=2,NA8C=90。，E為AC

的中點(diǎn)，PBLAC.

(1)求證;平面尸8E_L平面4BC；

⑵求點(diǎn)C到平面PAB的距離.

解：(1)證明:9：AB=BC,E為AC的中點(diǎn),

：.BELAC.

義P8LAC,且PBCBE=B,PB,BEu平面PBE,，AC_L平面

又ACu平面A4C,

???平面P8E_L平面A8C.

(2)在ZMBC中，AB=BC=2,ZABC=90°,

：.AC=2yf2,BE=y[2.

由（1）知ACJ_平面PBE,又PKu平面PBE,

/.ACA.PE.

又E為AC的中點(diǎn)，則P￡垂直平分AC,PC=2,：,PE=y[2,又P8=2,

222

：,PB=PE-^-BEt即又ACn8E=E,AC,8￡u平面ABC,故PE_L平面A8c

故以￡為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以成，曲,作的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直

角坐標(biāo)系，如圖.則A（\傷，0,0）,B（0,也，0）,P（0,0,巾）,C（一?0,0）,

?,?#=（一卷0,72）,臥=（0,一隹?。?，的=（一版0,一小）.

設(shè)平面附B的一個(gè)法向量為〃=（x,ytz）,

.n*AP——72J-=0.

則]一?.

n=—J2y+J2z=0.

令Z=l,得〃=（1,1,1）.

設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為d,則＜/=卑抖=平=羋.

l〃lA/3J

3.（15分）（2024?江西景德鎮(zhèn)三模）如圖，已知在正三棱柱ABC-A由iG中，A8=2,A4

（1）已知/分別為棱A4”BC的中點(diǎn)，求證：EF〃平面4BC；

（2）求直線4出與平面A由iC所成角的正弦值.

解：（I）證明：如圖，取8c的中點(diǎn)G,連接AiG,FG「：G,F分別為%C,BC的中點(diǎn),

:,GF〃BB\,且GF=；38i.

???E為44的中點(diǎn)，

???〃且

AIE5BIX.

：，GF//A\E,SLGF=A\E,

???四邊形AiEFG是平行四邊形，

：,EF//A\G.

又￡/過平面ABC,AGu平面AiSC

???E尸〃平面481c

（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,AAi所在直線分別為y軸、z軸，過點(diǎn)A且與平面ACG4

垂直的直線為木軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則4（0,0,1）,B（小,1,0）,Bi（小,1,1）,

C（0,2,0）,則林=（0,2,—1）,A3[=（小，1,0）.

設(shè)平面A18C的一個(gè)法向量為〃=（x,y,z）,

A^tn=2y—z=0,

令x=l,得），=一小，z=—25,

n=（1,一小，—2?。?

又/由=（小，1,-1）,

即直線48與平面4BiC所成角的正弦值是瞎.

4.（15分）（2023?新課標(biāo)II卷）如圖，三棱錐A-5CD中，DA=DB=DC,BDA.CD,Z

AO3=NAQC=60。，￡為8c的中點(diǎn).

（1）求證：BCLDA；

（2）點(diǎn)/滿足毋=用，求二面角D-AB-尸的正弦值.

解：（1）證明：如圖，連接AE,DE.,:DB=DC,E為BC的中點(diǎn)、,：.DELBC,'：DA=DB

=DC,NAOB=NA/）C=60。，

???△ACO與XABD均為等邊三角形,

：.AC=AB,C.AELBC.

又A￡BOE=E,???BCJ_平面人?！?/p>

義人。u平面人。E,：,BC1DA.

(2)設(shè)DA=DB=DC=2,

則BC=2"DE=AE=-j2.

'：AE2+DE2=4=AD2,：.AE±DE.

又AE_LBC,DEC\BC=E,

???AE_L平面BCD.

以E為原點(diǎn)，ED,EB,E4所在直線分別為x軸、)，軸、z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系,則。(72,0,0),A(0,0,<2),B(0,隹0),E(0,0,0).

???/?'(一a,0,班),

ADA=（一回0,A/2）,A^=（0,A/2,一6），#=（一也，0,0）.

設(shè)平面D48的一個(gè)法向量為y\,zi）,

平面的一個(gè)法向量為“2=（X2,Z2）,

(—y/2n+y/2zi=0,

則令內(nèi)=解得》=

ly/2yi—y/2zi=0,1,zi=1;

1也y2—啦Z2=0,

1l令腎=1,解得X2=0,Z2=l.

1-72x2=0,

故“1=(1,1,1),712=(0,1,1).

設(shè)二面角D-AB-F的平面角為0,

人"as①|(zhì)W1||W2|小班3，

卜,.八小

故sin〃=亍，

，二面角D-AB-F的正弦值為蟲.

且素養(yǎng)提升「

5.（20分）（2024?山東青島三模）如圖所示，多面體ABCDE尸的底面ABC。是正方形,

點(diǎn)。為底面的中心，點(diǎn)M為石戶的中點(diǎn)，側(cè)面與8CEr是全等的等腰梯形，EF=4,

其余棱長均為2.

（1）求證：MO_L平面A8CO；

⑵若點(diǎn)P在棱CE上，直線BP與平面A8M所成角的正弦值為留，求E尸的長.

解：（1）證明：如圖，分別取A優(yōu)CO的中點(diǎn)K,Q,連接產(chǎn)K,KQ,QE,則。為KQ的

中點(diǎn).

因?yàn)閭?cè)面ADE/是等腰梯形，所以E/〃A。，又KQ〃AZ),所以KQ〃EE

△A8尸和AOCE都是邊長為2的等邊三角形，則FK=EQ,所以四邊形FKQE為等腰梯

形.

因?yàn)辄c(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，O為KQ的中點(diǎn)，所以MO_LK。.

因?yàn)槭堑冗吶切?，所以A4_L〃K,

又48_LKQ,KQ,尸Ku平面FKQE,KQC\FK=K,所以A8_L平面FKQE.又A8u平面ABCD,

所以平面FKQE1.平面ABCD.

又平面/KQEA平面A8