2025年中國(guó)精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）試題及答案2025年中國(guó)精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）試題一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.已知某壽險(xiǎn)產(chǎn)品的死亡力函數(shù)為$\mu_x=0.02$，則$_{5}p_{x}$的值為（）A.$e^{-0.1}$B.$e^{-0.2}$C.$e^{-0.02}$D.$e^{-0.05}$2.設(shè)$X$表示某保險(xiǎn)標(biāo)的在一年內(nèi)的損失額，其概率密度函數(shù)為$f(x)=\begin{cases}0.01e^{-0.01x},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}$，則該保險(xiǎn)標(biāo)的在一年內(nèi)損失額超過100的概率為（）A.$e^{-1}$B.$1-e^{-1}$C.$e^{-2}$D.$1-e^{-2}$3.已知利率$i=0.05$，則$\ddot{a}_{\overline{10}|}$的值為（）A.$\frac{1-v^{10}}z3jilz61osys$B.$\frac{1-v^{10}}{i}$C.$\frac{v-v^{11}}z3jilz61osys$D.$\frac{v-v^{11}}{i}$4.對(duì)于保額為1的離散型終身壽險(xiǎn)，設(shè)$Z$為其給付現(xiàn)值隨機(jī)變量，利率$i=0.06$，$A_x=0.2$，則$Var(Z)$的值為（）A.$0.16$B.$0.2$C.$0.32$D.$0.64$5.某年金在第1年末支付1，第2年末支付2，第3年末支付3，依此類推，共支付10年，利率為$i=0.05$，則該年金的現(xiàn)值為（）A.$\frac{\ddot{a}_{\overline{10}|}-10v^{10}}{i}$B.$\frac{\ddot{a}_{\overline{10}|}-10v^{10}}z3jilz61osys$C.$\frac{s_{\overline{10}|}-10}{i}$D.$\frac{s_{\overline{10}|}-10}z3jilz61osys$6.已知某生存模型中，$l_x=1000(1-\frac{x}{100})$，$0\leqx\leq100$，則$q_{30}$的值為（）A.$0.01$B.$0.02$C.$0.03$D.$0.04$7.設(shè)$Y$為保額為1的連續(xù)型$n$年期生存年金的給付現(xiàn)值隨機(jī)變量，利率為$\delta$，則$E(Y)$等于（）A.$\bar{a}_{\overline{n}|}$B.$\ddot{a}_{\overline{n}|}$C.$a_{\overline{n}|}$D.$\frac{1-e^{-n\delta}}{\delta}$8.對(duì)于完全離散型20年期兩全保險(xiǎn)，保額為1000，已知$A_{x:\overline{20}|}=0.4$，$P_{x:\overline{20}|}=0.03$，則該保險(xiǎn)的責(zé)任準(zhǔn)備金$V_{x:\overline{20}|}$在第10年末的值為（）A.$200$B.$300$C.$400$D.$500$9.已知某保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的損失額$X$服從參數(shù)為$\lambda=0.01$的指數(shù)分布，保險(xiǎn)公司設(shè)置了免賠額$d=50$，則當(dāng)損失發(fā)生時(shí)，保險(xiǎn)公司的平均賠付額為（）A.$50$B.$100$C.$150$D.$200$10.設(shè)$X$為某風(fēng)險(xiǎn)的損失隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為$F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\\frac{x}{100},&0\leqx\lt100\\1,&x\geq100\end{cases}$，則該風(fēng)險(xiǎn)的方差$Var(X)$為（）A.$\frac{10000}{3}$B.$\frac{5000}{3}$C.$\frac{20000}{3}$D.$\frac{15000}{3}$11.在某生存模型中，$p_x=0.9$，$p_{x+1}=0.8$，則$_{2}p_x$的值為（）A.$0.72$B.$0.8$C.$0.9$D.$0.98$12.已知利率$i=0.04$，則$i^{(12)}$的近似值為（）A.$0.0392$B.$0.0408$C.$0.0412$D.$0.042$13.對(duì)于完全連續(xù)型終身壽險(xiǎn)，設(shè)$Z$為給付現(xiàn)值隨機(jī)變量，死亡力為$\mu$，利率為$\delta$，則$E(Z)$等于（）A.$\frac{\mu}{\mu+\delta}$B.$\frac{\delta}{\mu+\delta}$C.$\frac{\mu}{\delta}$D.$\frac{\delta}{\mu}$14.某保險(xiǎn)合同規(guī)定，在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)立即給付1000元，已知死亡力$\mu_x=0.03$，利率$\delta=0.05$，則該保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)為（）A.$375$B.$400$C.$625$D.$750$15.已知某年金在第1年初支付1，以后每年初支付額比上一年初增加1，共支付5年，利率為$i=0.06$，則該年金的終值為（）A.$\frac{\ddot{s}_{\overline{5}|}-5}{i}$B.$\frac{\ddot{s}_{\overline{5}|}-5}z3jilz61osys$C.$\frac{s_{\overline{5}|}-5}{i}$D.$\frac{s_{\overline{5}|}-5}z3jilz61osys$二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.以下關(guān)于生存函數(shù)$S(x)$的性質(zhì)，正確的有（）A.$S(0)=1$B.$S(x)$是非增函數(shù)C.$\lim_{x\rightarrow+\infty}S(x)=0$D.$S(x)$是右連續(xù)函數(shù)2.下列關(guān)于年金的表述，正確的有（）A.期末付年金的現(xiàn)值公式為$a_{\overline{n}|}=\frac{1-v^{n}}{i}$B.期初付年金的終值公式為$\ddot{s}_{\overline{n}|}=\frac{(1+i)^{n+1}-(1+i)}{i}$C.連續(xù)年金的現(xiàn)值公式為$\bar{a}_{\overline{n}|}=\frac{1-e^{-n\delta}}{\delta}$D.變額年金可以根據(jù)支付額的變化規(guī)律分為遞增年金和遞減年金3.對(duì)于保險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金，以下說法正確的有（）A.責(zé)任準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人的一種負(fù)債B.完全離散型保險(xiǎn)的責(zé)任準(zhǔn)備金可以通過過去法和未來法計(jì)算C.責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算與死亡率、利率等因素有關(guān)D.隨著保險(xiǎn)期限的增加，責(zé)任準(zhǔn)備金一般會(huì)逐漸增加4.設(shè)$X$為損失隨機(jī)變量，$d$為免賠額，$L$為保險(xiǎn)公司的賠付隨機(jī)變量，則以下關(guān)系正確的有（）A.$L=\max(X-d,0)$B.$E(L)=E(X-d|X\gtd)P(X\gtd)$C.當(dāng)$X$服從指數(shù)分布時(shí)，$E(L)$與免賠額$d$無關(guān)D.若$X$服從均勻分布$U(0,b)$，則$E(L)=\frac{(b-d)^2}{2b}$5.關(guān)于利息理論中的利率和貼現(xiàn)率，以下說法正確的有（）A.利率$i$與貼現(xiàn)率$d$滿足$i=\fracz3jilz61osys{1-d}$B.名義利率$i^{(m)}$與實(shí)際利率$i$滿足$(1+\frac{i^{(m)}}{m})^m=1+i$C.名義貼現(xiàn)率$d^{(m)}$與實(shí)際貼現(xiàn)率$d$滿足$(1-\frac{d^{(m)}}{m})^m=1-d$D.連續(xù)復(fù)利下，利率$\delta$與實(shí)際利率$i$滿足$e^{\delta}=1+i$三、解答題（每題15分，共45分）1.已知某生存模型中，$l_x=1000-10x$，$0\leqx\leq100$。（1）計(jì)算$q_{20}$和$_{5}p_{20}$；（2）若有1000個(gè)年齡為20歲的人投保一年期定期壽險(xiǎn)，保額為1000元，利率$i=0.05$，計(jì)算該保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)。2.考慮一個(gè)完全離散型30年期終身壽險(xiǎn)，保額為10000元，已知$A_x=0.3$，$A_{x+30}=0.5$，$P_x=0.02$。（1）用未來法計(jì)算第30年末的責(zé)任準(zhǔn)備金$_{30}V_x$；（2）說明責(zé)任準(zhǔn)備金在保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中的作用。3.設(shè)某保險(xiǎn)標(biāo)的的損失額$X$服從參數(shù)為$\lambda=0.02$的指數(shù)分布，保險(xiǎn)公司設(shè)置了免賠額$d=100$和限額$u=500$（即當(dāng)損失額$X$超過500時(shí)，賠付額為400）。（1）寫出保險(xiǎn)公司賠付隨機(jī)變量$L$的表達(dá)式；（2）計(jì)算$E(L)$。四、證明題（10分）證明：對(duì)于完全離散型$n$年期兩全保險(xiǎn)，其責(zé)任準(zhǔn)備金$_{t}V_{x:\overline{n}|}$滿足未來法公式$_{t}V_{x:\overline{n}|}=A_{x+t:\overline{n-t}|}-P_{x:\overline{n}|}\ddot{a}_{x+t:\overline{n-t}|}$。答案一、單項(xiàng)選擇題1.答案：A根據(jù)生存概率公式$_{n}p_{x}=e^{-\int_{x}^{x+n}\mu_sds}$，已知$\mu_x=0.02$，則$_{5}p_{x}=e^{-\int_{x}^{x+5}0.02ds}=e^{-0.02\times5}=e^{-0.1}$。2.答案：A損失額超過100的概率為$P(X\gt100)=\int_{100}^{+\infty}0.01e^{-0.01x}dx=-e^{-0.01x}\big|_{100}^{+\infty}=e^{-1}$。3.答案：A期初付年金現(xiàn)值公式為$\ddot{a}_{\overline{n}|}=\frac{1-v^{n}}z3jilz61osys$，其中$v=\frac{1}{1+i}$，$d=\frac{i}{1+i}$。4.答案：A已知$A_x=0.2$，對(duì)于離散型終身壽險(xiǎn)，$Var(Z)=A_x^2-(A_x)^2$，又因?yàn)?A_x^2=\frac{A_x}{1+i}$（在本題中可根據(jù)一般公式推導(dǎo)），這里$i=0.06$，$A_x=0.2$，$Var(Z)=0.2\times(1-0.2)=0.16$。5.答案：A遞增年金現(xiàn)值公式為$(Ia)_{\overline{n}|}=\frac{\ddot{a}_{\overline{n}|}-nv^{n}}{i}$。6.答案：A$q_{x}=\frac{l_x-l_{x+1}}{l_x}$，已知$l_x=1000(1-\frac{x}{100})$，則$l_{30}=1000(1-\frac{30}{100})=700$，$l_{31}=1000(1-\frac{31}{100})=690$，$q_{30}=\frac{l_{30}-l_{31}}{l_{30}}=\frac{700-690}{700}=0.01$。7.答案：A連續(xù)型$n$年期生存年金給付現(xiàn)值隨機(jī)變量$Y$的期望$E(Y)=\bar{a}_{\overline{n}|}=\frac{1-e^{-n\delta}}{\delta}$。8.答案：A根據(jù)責(zé)任準(zhǔn)備金的未來法公式$_{t}V_{x:\overline{n}|}=A_{x+t:\overline{n-t}|}-P_{x:\overline{n}|}\ddot{a}_{x+t:\overline{n-t}|}$，對(duì)于20年期兩全保險(xiǎn)，第10年末，$_{10}V_{x:\overline{20}|}=1000\times(A_{x+10:\overline{10}|}-P_{x:\overline{20}|}\ddot{a}_{x+10:\overline{10}|})$，已知$A_{x:\overline{20}|}=0.4$，$P_{x:\overline{20}|}=0.03$，$_{10}V_{x:\overline{20}|}=1000\times(0.4-0.03\times\frac{1-v^{10}}z3jilz61osys)\approx200$（這里通過一般的年金和保險(xiǎn)關(guān)系計(jì)算）。9.答案：B對(duì)于指數(shù)分布$X\simExp(\lambda)$，設(shè)免賠額為$d$，當(dāng)損失發(fā)生時(shí)保險(xiǎn)公司的平均賠付額為$E(X-d|X\gtd)=\frac{1}{\lambda}=100$（指數(shù)分布的無記憶性）。10.答案：B先求期望$E(X)=\int_{0}^{100}x\cdot\frac{1}{100}dx=50$，$E(X^2)=\int_{0}^{100}x^2\cdot\frac{1}{100}dx=\frac{10000}{3}$，則$Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{10000}{3}-2500=\frac{5000}{3}$。11.答案：A根據(jù)生存概率的乘法規(guī)則，$_{2}p_x=p_x\cdotp_{x+1}=0.9\times0.8=0.72$。12.答案：B根據(jù)名義利率與實(shí)際利率的關(guān)系$(1+\frac{i^{(m)}}{m})^m=1+i$，當(dāng)$m=12$，$i=0.04$時(shí)，$i^{(12)}\approx12[(1+0.04)^{\frac{1}{12}}-1]\approx0.0392$（近似計(jì)算）。13.答案：A對(duì)于完全連續(xù)型終身壽險(xiǎn)，$E(Z)=\frac{\mu}{\mu+\delta}$。14.答案：A躉繳純保費(fèi)為$\bar{A}_x=\frac{\mu}{\mu+\delta}$，已知$\mu=0.03$，$\delta=0.05$，則$\bar{A}_x=\frac{0.03}{0.03+0.05}=\frac{3}{8}$，給付1000元時(shí)，躉繳純保費(fèi)為$1000\times\frac{3}{8}=375$。15.答案：B遞增期初付年金終值公式為$(I\ddot{s})_{\overline{n}|}=\frac{\ddot{s}_{\overline{n}|}-n}z3jilz61osys$。二、多項(xiàng)選擇題1.答案：ABCD生存函數(shù)$S(x)$的性質(zhì)：$S(0)=1$，表示剛出生時(shí)生存的概率為1；$S(x)$是非增函數(shù)，因?yàn)殡S著年齡增長(zhǎng)生存概率不會(huì)增加；$\lim_{x\rightarrow+\infty}S(x)=0$，即年齡趨于無窮大時(shí)生存概率為0；$S(x)$是右連續(xù)函數(shù)。2.答案：ACD期末付年金現(xiàn)值公式$a_{\overline{n}|}=\frac{1-v^{n}}{i}$；連續(xù)年金現(xiàn)值公式$\bar{a}_{\overline{n}|}=\frac{1-e^{-n\delta}}{\delta}$；變額年金可分為遞增年金和遞減年金。期初付年金終值公式為$\ddot{s}_{\overline{n}|}=\frac{(1+i)^{n}-1}z3jilz61osys$，B選項(xiàng)錯(cuò)誤。3.答案：ABCD責(zé)任準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人的負(fù)債；完全離散型保險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金可通過過去法和未來法計(jì)算；其計(jì)算與死亡率、利率等因素有關(guān)；隨著保險(xiǎn)期限增加，責(zé)任準(zhǔn)備金一般會(huì)逐漸增加。4.答案：ABD$L=\max(X-d,0)$；$E(L)=E(X-d|X\gtd)P(X\gtd)$；若$X\simU(0,b)$，$E(L)=\frac{(b-d)^2}{2b}$。當(dāng)$X$服從指數(shù)分布時(shí)，$E(L)=\frac{1}{\lambda}e^{-\lambdad}$，與免賠額$d$有關(guān)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤。5.答案：ABCD利率$i$與貼現(xiàn)率$d$關(guān)系$i=\fracz3jilz61osys{1-d}$；名義利率$i^{(m)}$與實(shí)際利率$i$滿足$(1+\frac{i^{(m)}}{m})^m=1+i$；名義貼現(xiàn)率$d^{(m)}$與實(shí)際貼現(xiàn)率$d$滿足$(1-\frac{d^{(m)}}{m})^m=1-d$；連續(xù)復(fù)利下，$e^{\delta}=1+i$。三、解答題1.（1）-首先計(jì)算$q_{20}$：已知$l_x=1000-10x$，則$l_{20}=1000-10\times20=800$，$l_{21}=1000-10\times21=790$。根據(jù)$q_{x}=\frac{l_x-l_{x+1}}{l_x}$，可得$q_{20}=\frac{l_{20}-l_{21}}{l_{20}}=\frac{800-790}{800}=0.0125$。-然后計(jì)算$_{5}p_{20}$：$_{5}p_{20}=\frac{l_{25}}{l_{20}}$，$l_{25}=1000-10\times25=750$，所以$_{5}p_{20}=\frac{750}{800}=0.9375$。（2）躉繳純保費(fèi)為$1000\timesA_{20:1|}=1000\timesvq_{20}$，已知$i=0.05$，則$v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1.05}$，$q_{20}=0.0125$，躉繳純保費(fèi)為$1000\times\frac{0.0125}{1.05}\approx11.9$。2.（1）根據(jù)未來法公式$_{30}V_x=10000(A_{x+30}-P_x\ddot{a}_{x+30})$，又因?yàn)?1=A_{x+30}+d\ddot{a}_{x+30}$，$P_x=0.02$，$A_{x+30}=0.5$，$d=\frac{i}{1+i}$，$i$可根據(jù)$P_x=\frac{A_x}{\ddot{a}_x}$及相關(guān)關(guān)系計(jì)算（這里簡(jiǎn)化計(jì)算）。$_{30}V_x=10000(0.5-0.02\times\frac{1-A_{x+30}}z3jilz61osys)=10000(0.5-0.02\times\frac{1-0.5}z3jilz61osys)$，假設(shè)$i=0.05$，$d=\frac{0.05}{1.05}$，則$_{30}V_x=10000(0.5-0.02\times\frac{0.5}{\frac{0.05}{1.05}})=10000(0.5-0.21)=2900$。（2）責(zé)任準(zhǔn)備金在保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中的作用主要有：-保證保險(xiǎn)人的償付能力。責(zé)任準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人的負(fù)債儲(chǔ)備，確保在未來保險(xiǎn)事故發(fā)生時(shí)有足夠的資金進(jìn)行賠付，維護(hù)保險(xiǎn)市場(chǎng)的穩(wěn)定。-衡量保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的經(jīng)營(yíng)狀況。通過責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算和分析，可以了解保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的盈利情況和風(fēng)險(xiǎn)程度，為保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)決策提供依據(jù)。-公平合理地分?jǐn)偙ｋU(xiǎn)成本。隨著保險(xiǎn)期限的推移，被保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)狀況發(fā)生變化，責(zé)任準(zhǔn)備金的調(diào)整可以使保險(xiǎn)成本在不同時(shí)期得到合理分?jǐn)偂?.（1）保險(xiǎn)公司賠付隨機(jī)變量$L$的表達(dá)式為：$L=\begin{cases}0,&X\leq100\\X-100,&100\ltX\leq500\\400,&X\gt500\end{cases}$（2）$E(L)=\int_{100}^{500}(x-100)\lambdae^{-\lambdax}dx+400\int_{500}^{+\infty}\lambdae^{-\lambdax}dx$，已知$\lambda=0.02$。先計(jì)算$\int_{100}^{500}(x-100)\lambdae^{-\lambdax}dx$：