2025年中國(guó)精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案(遼寧鞍山)2025年中國(guó)精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.已知某保險(xiǎn)標(biāo)的在過(guò)去10年的損失數(shù)據(jù)分別為120，150，130，160，140，170，155，145，165，135。則該組數(shù)據(jù)的樣本均值為（）A.145B.150C.155D.160答案：B解析：樣本均值\(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\)，這里\(n=10\)，\(\sum_{i=1}^{10}x_{i}=120+150+130+160+140+170+155+145+165+135=1500\)，則\(\bar{x}=\frac{1500}{10}=150\)。2.若隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda=2\)的泊松分布，則\(P(X=3)\)的值為（）A.\(\frac{8e^{-2}}{6}\)B.\(\frac{4e^{-2}}{3}\)C.\(\frac{2e^{-2}}{3}\)D.\(\frac{e^{-2}}{3}\)答案：A解析：泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為\(P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}\)，已知\(\lambda=2\)，\(k=3\)，則\(P(X=3)=\frac{2^{3}e^{-2}}{3!}=\frac{8e^{-2}}{6}\)。3.在一個(gè)線性回歸模型\(y=\beta_{0}+\beta_{1}x+\epsilon\)中，通過(guò)最小二乘法得到回歸系數(shù)\(\hat{\beta}_{1}=0.5\)，\(\hat{\beta}_{0}=2\)。當(dāng)\(x=10\)時(shí)，預(yù)測(cè)值\(\hat{y}\)為（）A.4B.5C.6D.7答案：D解析：將\(\hat{\beta}_{0}=2\)，\(\hat{\beta}_{1}=0.5\)，\(x=10\)代入回歸方程\(\hat{y}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}x\)，可得\(\hat{y}=2+0.5\times10=7\)。4.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)隨機(jī)變量，已知\(Cov(X,Y)=3\)，\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，則\(X\)和\(Y\)的相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}\)為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{1}{6}\)答案：A解析：相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\)，將\(Cov(X,Y)=3\)，\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)代入可得\(\rho_{XY}=\frac{3}{\sqrt{4\times9}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)。5.某保險(xiǎn)公司對(duì)一類風(fēng)險(xiǎn)的損失分布進(jìn)行擬合，采用極大似然估計(jì)法估計(jì)參數(shù)。已知樣本數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，似然函數(shù)為\(L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_{i};\theta)\)，其中\(zhòng)(f(x_{i};\theta)\)是概率密度函數(shù)。若要使\(L(\theta)\)達(dá)到最大，通常對(duì)\(L(\theta)\)取對(duì)數(shù)得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)\(l(\theta)\)，其原因是（）A.對(duì)數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，取對(duì)數(shù)不改變似然函數(shù)的極值點(diǎn)B.對(duì)數(shù)函數(shù)可以簡(jiǎn)化計(jì)算，將連乘轉(zhuǎn)化為連加C.以上都是D.以上都不是答案：C解析：一方面，對(duì)數(shù)函數(shù)\(y=\lnx\)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以\(L(\theta)\)和\(l(\theta)=\lnL(\theta)\)有相同的極值點(diǎn)；另一方面，\(l(\theta)=\sum_{i=1}^{n}\lnf(x_{i};\theta)\)，將似然函數(shù)的連乘形式轉(zhuǎn)化為連加形式，簡(jiǎn)化了計(jì)算。6.在時(shí)間序列分析中，自回歸模型\(AR(p)\)的一般形式為（）A.\(X_{t}=\sum_{i=1}^{p}\varphi_{i}X_{t-i}+\epsilon_{t}\)B.\(X_{t}=\mu+\sum_{i=1}^{p}\varphi_{i}X_{t-i}+\epsilon_{t}\)C.\(X_{t}=\sum_{i=1}^{p}\theta_{i}\epsilon_{t-i}+\epsilon_{t}\)D.\(X_{t}=\mu+\sum_{i=1}^{p}\theta_{i}\epsilon_{t-i}+\epsilon_{t}\)答案：B解析：自回歸模型\(AR(p)\)的一般形式為\(X_{t}=\mu+\sum_{i=1}^{p}\varphi_{i}X_{t-i}+\epsilon_{t}\)，其中\(zhòng)(\mu\)是均值，\(\varphi_{i}\)是自回歸系數(shù)，\(\epsilon_{t}\)是白噪聲。7.對(duì)于一個(gè)二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)，其均值和方差分別為（）A.\(np\)和\(np(1-p)\)B.\(n(1-p)\)和\(np(1-p)\)C.\(np\)和\(np\)D.\(n(1-p)\)和\(n(1-p)\)答案：A解析：若\(X\simB(n,p)\)，則\(E(X)=np\)，\(D(X)=np(1-p)\)。8.在風(fēng)險(xiǎn)度量中，Value-at-Risk（VaR）是指（）A.在一定的置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來(lái)特定的一段時(shí)間內(nèi)的最大可能損失B.在一定的置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來(lái)特定的一段時(shí)間內(nèi)的最小可能損失C.在一定的時(shí)間范圍內(nèi)，某一金融資產(chǎn)或投資組合的平均損失D.在一定的時(shí)間范圍內(nèi)，某一金融資產(chǎn)或投資組合的最大損失答案：A解析：VaR是指在一定的置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來(lái)特定的一段時(shí)間內(nèi)的最大可能損失。9.已知某保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的索賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，每次索賠的金額\(X_i\)相互獨(dú)立且都服從均值為\(\mu\)的指數(shù)分布，且\(N\)與\(X_i\)相互獨(dú)立。則該保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的總索賠金額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_{i}\)的均值為（）A.\(\lambda\mu\)B.\(\lambda+\mu\)C.\(\frac{\lambda}{\mu}\)D.\(\frac{\mu}{\lambda}\)答案：A解析：根據(jù)復(fù)合泊松分布的均值公式\(E(S)=E(N)E(X)\)，已知\(E(N)=\lambda\)，\(E(X)=\mu\)，所以\(E(S)=\lambda\mu\)。10.在多元線性回歸模型\(y=\beta_{0}+\beta_{1}x_{1}+\beta_{2}x_{2}+\cdots+\beta_{k}x_{k}+\epsilon\)中，若要檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)自變量\(x_j\)是否對(duì)因變量\(y\)有顯著影響，通常采用的檢驗(yàn)方法是（）A.\(F\)檢驗(yàn)B.\(t\)檢驗(yàn)C.卡方檢驗(yàn)D.以上都不是答案：B解析：在多元線性回歸中，\(t\)檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)單個(gè)自變量對(duì)因變量的顯著性，\(F\)檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)整個(gè)回歸模型的顯著性。11.設(shè)\(X\)是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為\(f(x)\)，分布函數(shù)為\(F(x)\)。則\(P(a\ltX\leqb)\)等于（）A.\(F(b)-F(a)\)B.\(f(b)-f(a)\)C.\(\int_{a}^f(x)dx\)D.以上A和C都對(duì)答案：D解析：根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)\(P(a\ltX\leqb)=F(b)-F(a)\)，又由概率密度函數(shù)的定義\(P(a\ltX\leqb)=\int_{a}^f(x)dx\)。12.某公司對(duì)市場(chǎng)上的某種產(chǎn)品的需求數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)需求數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出季節(jié)性波動(dòng)。為了消除季節(jié)性影響，通常采用的方法是（）A.移動(dòng)平均法B.指數(shù)平滑法C.季節(jié)調(diào)整法D.以上都不是答案：C解析：季節(jié)調(diào)整法是專門用于消除時(shí)間序列中季節(jié)性波動(dòng)的方法。13.在精算模型中，對(duì)于一個(gè)離散時(shí)間的風(fēng)險(xiǎn)模型，設(shè)\(U_n\)表示第\(n\)期末的盈余，\(U_0\)為初始盈余，\(P_n\)為第\(n\)期的保費(fèi)收入，\(S_n\)為第\(n\)期的總索賠金額，則\(U_n\)的表達(dá)式為（）A.\(U_n=U_0+\sum_{i=1}^{n}P_{i}-\sum_{i=1}^{n}S_{i}\)B.\(U_n=U_0+\sum_{i=1}^{n}(P_{i}-S_{i})\)C.以上A和B都對(duì)D.以上都不對(duì)答案：C解析：\(U_n=U_0+\sum_{i=1}^{n}P_{i}-\sum_{i=1}^{n}S_{i}=U_0+\sum_{i=1}^{n}(P_{i}-S_{i})\)。14.若兩個(gè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，則它們的協(xié)方差\(Cov(X,Y)\)為（）A.0B.1C.任意實(shí)數(shù)D.以上都不是答案：A解析：若\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，則\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0\)。15.在數(shù)據(jù)分析中，主成分分析（PCA）的主要目的是（）A.數(shù)據(jù)降維，將高維數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為低維數(shù)據(jù)，同時(shí)保留盡可能多的信息B.尋找數(shù)據(jù)中的異常值C.對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類D.以上都不是答案：A解析：主成分分析的主要目的是通過(guò)線性變換將高維數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為低維數(shù)據(jù)，同時(shí)保留原始數(shù)據(jù)的大部分信息。二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.以下哪些是常見(jiàn)的概率分布（）A.正態(tài)分布B.泊松分布C.二項(xiàng)分布D.指數(shù)分布答案：ABCD解析：正態(tài)分布、泊松分布、二項(xiàng)分布和指數(shù)分布都是常見(jiàn)的概率分布。2.在回歸分析中，以下哪些是衡量回歸模型擬合優(yōu)度的指標(biāo)（）A.判定系數(shù)\(R^2\)B.調(diào)整的判定系數(shù)\(\bar{R}^2\)C.均方誤差\(MSE\)D.殘差平方和\(SSE\)答案：ABC解析：判定系數(shù)\(R^2\)和調(diào)整的判定系數(shù)\(\bar{R}^2\)越大，說(shuō)明模型擬合效果越好；均方誤差\(MSE\)越小，模型擬合效果越好。殘差平方和\(SSE\)主要用于計(jì)算\(R^2\)等指標(biāo)，本身不是直接衡量擬合優(yōu)度的指標(biāo)。3.時(shí)間序列的組成部分通常包括（）A.長(zhǎng)期趨勢(shì)B.季節(jié)變動(dòng)C.循環(huán)變動(dòng)D.不規(guī)則變動(dòng)答案：ABCD解析：時(shí)間序列通常由長(zhǎng)期趨勢(shì)、季節(jié)變動(dòng)、循環(huán)變動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)組成。4.在精算中，風(fēng)險(xiǎn)度量的方法有（）A.VaRB.CVaRC.標(biāo)準(zhǔn)差D.半方差答案：ABCD解析：VaR、CVaR、標(biāo)準(zhǔn)差和半方差都是常見(jiàn)的風(fēng)險(xiǎn)度量方法。5.以下關(guān)于極大似然估計(jì)法的說(shuō)法正確的有（）A.極大似然估計(jì)法是一種參數(shù)估計(jì)方法B.極大似然估計(jì)法的基本思想是在所有可能的參數(shù)值中，選擇使得樣本出現(xiàn)的概率最大的參數(shù)值作為估計(jì)值C.極大似然估計(jì)量具有一致性、漸近正態(tài)性等優(yōu)良性質(zhì)D.極大似然估計(jì)法只適用于連續(xù)型隨機(jī)變量答案：ABC解析：極大似然估計(jì)法既適用于連續(xù)型隨機(jī)變量，也適用于離散型隨機(jī)變量。三、簡(jiǎn)答題（每題10分，共30分）1.簡(jiǎn)述線性回歸模型的基本假設(shè)。答案：線性回歸模型\(y=\beta_{0}+\beta_{1}x_{1}+\beta_{2}x_{2}+\cdots+\beta_{k}x_{k}+\epsilon\)有以下基本假設(shè)：（1）線性關(guān)系假設(shè)：因變量\(y\)與自變量\(x_1,x_2,\cdots,x_k\)之間存在線性關(guān)系。（2）獨(dú)立性假設(shè)：誤差項(xiàng)\(\epsilon\)的觀測(cè)值相互獨(dú)立，即對(duì)于任意的\(i\neqj\)，\(Cov(\epsilon_{i},\epsilon_{j})=0\)。（3）同方差性假設(shè)：誤差項(xiàng)\(\epsilon\)的方差為常數(shù)，即\(Var(\epsilon_{i})=\sigma^{2}\)，\(i=1,2,\cdots,n\)。（4）正態(tài)性假設(shè)：誤差項(xiàng)\(\epsilon\)服從正態(tài)分布，即\(\epsilon\simN(0,\sigma^{2})\)。（5）無(wú)多重共線性假設(shè)：自變量之間不存在嚴(yán)格的線性關(guān)系，即自變量的相關(guān)系數(shù)矩陣的行列式不為零。2.解釋什么是復(fù)合泊松分布，并說(shuō)明其在保險(xiǎn)精算中的應(yīng)用。答案：復(fù)合泊松分布是一種概率分布。設(shè)\(N\)是一個(gè)服從泊松分布的隨機(jī)變量，參數(shù)為\(\lambda\)，表示索賠次數(shù)；\(X_1,X_2,\cdots\)是相互獨(dú)立且同分布的隨機(jī)變量，表示每次索賠的金額，且\(N\)與\(X_i\)相互獨(dú)立。則總索賠金額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_{i}\)服從復(fù)合泊松分布。在保險(xiǎn)精算中的應(yīng)用：（1）總索賠金額建模：可以用復(fù)合泊松分布來(lái)描述保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的總索賠金額，通過(guò)估計(jì)泊松分布的參數(shù)\(\lambda\)和索賠金額分布的參數(shù)，來(lái)預(yù)測(cè)總索賠金額的分布。（2）保費(fèi)定價(jià)：根據(jù)復(fù)合泊松分布計(jì)算總索賠金額的均值和方差等統(tǒng)計(jì)量，結(jié)合保險(xiǎn)公司的費(fèi)用和利潤(rùn)要求，確定合理的保費(fèi)。（3）風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估：通過(guò)分析復(fù)合泊松分布的性質(zhì)，評(píng)估保險(xiǎn)業(yè)務(wù)面臨的風(fēng)險(xiǎn)，如計(jì)算VaR、CVaR等風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。3.簡(jiǎn)述主成分分析的步驟。答案：主成分分析的步驟如下：（1）數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化：對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，使得每個(gè)變量的均值為0，方差為1，消除量綱的影響。設(shè)原始數(shù)據(jù)矩陣為\(X=(x_{ij})_{n\timesp}\)，標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣為\(Z=(z_{ij})_{n\timesp}\)，其中\(zhòng)(z_{ij}=\frac{x_{ij}-\bar{x}_{j}}{s_{j}}\)，\(\bar{x}_{j}\)是第\(j\)個(gè)變量的均值，\(s_{j}\)是第\(j\)個(gè)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。（2）計(jì)算協(xié)方差矩陣或相關(guān)系數(shù)矩陣：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)計(jì)算協(xié)方差矩陣\(S\)或相關(guān)系數(shù)矩陣\(R\)。（3）求特征值和特征向量：對(duì)協(xié)方差矩陣或相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行特征值分解，得到特征值\(\lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_p\geq0\)和對(duì)應(yīng)的特征向量\(e_1,e_2,\cdots,e_p\)。（4）確定主成分個(gè)數(shù)：可以根據(jù)特征值的大小、累計(jì)貢獻(xiàn)率等方法確定主成分的個(gè)數(shù)\(m\)（\(m\leqp\)）。累計(jì)貢獻(xiàn)率\(\frac{\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}}{\sum_{i=1}^{p}\lambda_{i}}\)一般要求達(dá)到80%-90%以上。（5）計(jì)算主成分得分：主成分\(Y_i=Ze_i\)（\(i=1,2,\cdots,m\)），得到主成分得分矩陣。四、計(jì)算題（每題12.5分，共25分）1.某保險(xiǎn)公司收集了100個(gè)索賠數(shù)據(jù)，經(jīng)整理得到索賠金額的分組數(shù)據(jù)如下：|索賠金額區(qū)間（元）|頻數(shù)||----|----||(0,1000]|20||(1000,2000]|30||(2000,3000]|35||(3000,4000]|15|（1）計(jì)算樣本均值和樣本方差。（2）假設(shè)索賠金額\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，用樣本均值和樣本方差估計(jì)總體的均值\(\mu\)和方差\(\sigma^{2}\)。答案：（1）首先計(jì)算組中值，分別為\(x_1=500\)，\(x_2=1500\)，\(x_3=2500\)，\(x_4=3500\)。樣本均值\(\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{4}f_{i}x_{i}}{\sum_{i=1}^{4}f_{i}}\)，其中\(zhòng)(f_i\)是頻數(shù)。\(\sum_{i=1}^{4}f_{i}=20+30+35+15=100\)\(\sum_{i=1}^{4}f_{i}x_{i}=20\times500+30\times1500+35\times2500+15\times3500\)\(=10000+45000+87500+52500=195000\)則\(\bar{x}=\frac{195000}{100}=1950\)。樣本方差\(s^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{4}f_{i}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{\sum_{i=1}^{4}f_{i}-1}\)\(\sum_{i=1}^{4}f_{i}(x_{i}-\bar{x})^{2}=20\times(500-1950)^{2}+30\times(1500-1950)^{2}+35\times(2500-1950)^{2}+15\times(3500-1950)^{2}\)\(=20\times(-1450)^{2}+30\times(-450)^{2}+35\times550^{2}+15\times1550^{2}\)\(=20\times2102500+30\times202500+35\times302500+15\times2402500\)\(=42050000+6075000+10587500+36037500\)\(=94750000\)則\(s^{2}=\frac{94750000}{99}\approx957070.71\)。（2）用樣本均值和樣本方差估計(jì)總體的均值和方差，即\(\hat{\mu}=\bar{x}=1950\)，\(\hat{\sigma}^{2}=s^{2}\approx957070.71\)。2.已知某保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的索賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=3\)的泊松分布，每次索賠的金額\(X_i\)相互獨(dú)立且都服從均值為2的指數(shù)分布，且\(N\)與\(X_i\)相互獨(dú)立。（1）求該保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的總索賠金額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_{i}\)的均值和方差。（2）若保險(xiǎn)公司為該業(yè)務(wù)設(shè)定的保費(fèi)為\(P=10\)，求該業(yè)務(wù)虧損的概率（即\(S>P\)的概率）。答案：（1）已知\(E(N)=\lambda=3\)，\(E(X)=2\)，\(D(N)=\lambda=3\)，\(D(X)=2^2=4\)。根據(jù)復(fù)合泊松分布的均值公式\(E(S)=E(N)E(X)\)，可得\(E(S)=3\times2=6\)。根據(jù)復(fù)合泊松分布的方差公式\(D(S)=E(N)E(X^{2})\)，又\(E(X^{2})=D(X)+[E(X)]^{2}=4+4=8\)，所以\(D(S)=3\times8=24\)。（2）由于\(S\)是復(fù)合泊松分布，當(dāng)\(N=0\)時(shí)，\(S=0\)；當(dāng)\(N=1\)時(shí)，\(S=X_1\)；當(dāng)\(N=2\)時(shí)，\(S=X_1+X_2\)；等等。\(P(S>10)=1-P(S\leq10)\sum_{n=0}^{\infty}P(N=n)P(\sum_{i=1}^{n}X_{i