寧夏2025自考[金融學]線性代數(shù)（經(jīng)管類）易錯題專練一、選擇題（每題2分，共10題）1.若向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，則α+β等于（）。A.(5,7,9)B.(3,4,5)C.(4,5,6)D.(1,2,3)2.矩陣A=[a_ij]_3×3中，若a₁₁=1，a₂₃=2，a₃₂=3，則A的元素a₃₂的位置是（）。A.第一行第三列B.第二行第三列C.第三行第二列D.第二行第二列3.行列式|A|=5，若矩陣A的每個元素都乘以2，則新行列式的值為（）。A.10B.20C.40D.804.向量(1,0,1)與(0,1,0)線性相關，則正確的說法是（）。A.兩個向量平行B.兩個向量垂直C.兩個向量線性無關D.無法判斷5.若矩陣A可逆，且|A|=3，則A的逆矩陣A^-1的行列式為（）。A.3B.1/3C.-3D.-1/3二、填空題（每空2分，共10空）1.若矩陣A=[1,2；3,4]，則|2A|=______。2.向量α=(1,2)與β=(3,4)的向量積為______。3.若矩陣A=[a_ij]_2×3，則A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T的維度為______。4.若向量α=(1,2,3)與β=(2,-1,1)正交，則α·β=______。5.若矩陣A=[1,2；3,4]的逆矩陣為A^-1，則A^-1·A=______。6.行列式|A|=6，若將A的第一行乘以2，第三行乘以3，則新行列式的值為______。7.若向量α=(1,2,3)與β=(1,-1,1)的夾角為90°，則cosθ=______。8.若矩陣A=[a_ij]_3×3可逆，且|A|=4，則det(A^T)=______。9.若向量α=(1,0,0)與β=(0,1,0)線性無關，則這兩個向量的秩為______。10.若矩陣A=[1,2；3,4]的特征值為λ?和λ?，則λ?+λ?=______。三、計算題（每題10分，共5題）1.計算行列式|A|，其中A=[1,2,3；4,5,6；7,8,9]。2.已知矩陣A=[1,2；3,4]，求A的逆矩陣A^-1。3.計算向量α=(1,2,3)與β=(4,5,6)的向量積。4.若矩陣A=[1,2；3,4]，求A的特征值和特征向量。5.已知矩陣B=[1,0,1；0,1,0；1,0,1]，求B的秩。四、證明題（每題15分，共2題）1.證明：若矩陣A可逆，則A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T也可逆，且(A^T)^-1=(A^-1)^T。2.證明：若向量α與β線性無關，且α+γ與α-γ線性相關，則γ與α共線。答案與解析一、選擇題答案與解析1.A解析：向量加法按分量逐項相加，α+β=(1+4,2+5,3+6)=(5,7,9)。2.C解析：矩陣元素a₃₂位于第三行第二列。3.C解析：行列式性質(zhì)，矩陣每個元素乘以k，行列式值乘以k?（n為矩陣階數(shù)），此處3×3矩陣乘以23=8，原行列式5×8=40。4.D解析：兩個向量線性相關當且僅當存在不全為零的常數(shù)c?,c?使c?(1,0,1)+c?(0,1,0)=(0,0,0)，解得c?=c?=0，不平行也不垂直。5.B解析：可逆矩陣的行列式不為零，且|A^-1|=1/|A|=1/3。二、填空題答案與解析1.40解析：|2A|=23|A|=8×5=40。2.-3解析：向量積(1,2)×(3,4)=1×4-2×3=-2。3.3×2解析：轉(zhuǎn)置矩陣維度互換，2×3轉(zhuǎn)置為3×2。4.0解析：正交向量內(nèi)積α·β=1×2+2×(-1)+3×1=0。5.E解析：A^-1·A=E（單位矩陣）。6.36解析：行列式性質(zhì)，第一行乘2，第三行乘3，行列式值乘2×3=6。7.0解析：正交向量夾角θ=90°，cosθ=0。8.4解析：行列式與轉(zhuǎn)置矩陣行列式相等，det(A^T)=det(A)=4。9.2解析：線性無關向量組秩為向量個數(shù)。10.5解析：矩陣特征值之和等于主對角線元素之和，1+4=5。三、計算題答案與解析1.0解析：行列式按第一行展開，1×(5×9-6×8)+2×(4×9-6×7)+3×(4×8-5×7)=0。2.A^-1=[-2,1；1.5,-0.5]解析：用公式A^-1=1/|A|adj(A)，|A|=1×4-2×3=-2，adj(A)為代數(shù)余子式轉(zhuǎn)置。3.(-3,3,-3)解析：向量積(1,2,3)×(4,5,6)=(2×6-3×5,3×4-1×6,1×5-2×4)=(-3,6,-3)。4.特征值λ?=5,λ?=-1；特征向量分別為(1,1)和(-1,1)解析：解方程|A-λE|=0，求特征值，再解(A-λE)x=0求特征向量。5.3解析：矩陣非零子式最高階為3，秩為3。四、證明題答案與解析1.證明：設A可逆，則存在A^-1使AA^-1=E。對等式兩邊取轉(zhuǎn)置，(AA^-1)^T=E^T=E。由轉(zhuǎn)置性質(zhì)(A^T(A^-1)^T)=E，得A^T可逆且(A^T)^-1=(A^-1)^T。2.證明：由α+γ與α-γ線性相關，存在c?,c?（不全為0）使c?(α+