5.3

誘導(dǎo)公式數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)

①借助單位圓,推導(dǎo)出正弦、余弦和正切的誘導(dǎo)公式.

②能正確運(yùn)用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù),并解決有關(guān)三角函數(shù)求值、化簡和恒等式證明問題.

③了解未知到已知、復(fù)雜到簡單的轉(zhuǎn)化過程,培養(yǎng)化歸思想.重點(diǎn)：

利用圓的對稱性探究誘導(dǎo)公式，運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的求值、化簡與恒等式的證明．難點(diǎn)：

誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)、記憶及符號的判斷.思考1

(1)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有什么關(guān)系?(2)角-α與α的終邊有何位置關(guān)系?(3)角π-α與α的終邊有何位置關(guān)系?(4)角π+α與α的終邊有何位置關(guān)系?相等.終邊關(guān)于x軸對稱.

終邊關(guān)于y軸對稱.終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱.思考2

已知任意角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y),請同學(xué)們思考回答點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸對稱的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是什么?提示點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)是(-x,-y),點(diǎn)P(x,y)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)是(x,-y),點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P3的坐標(biāo)是(-x,y).探究一

如圖,角π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系?

從而可知公式二sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.探究二

如圖,角α與-α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系?

從而可知公式三sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.探究三

如圖,根據(jù)上兩組公式的推導(dǎo),你能否推導(dǎo)出角π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系?

從而可知公式四sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.思考3

誘導(dǎo)公式一、二、三、四有什么規(guī)律?提示α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函數(shù)值,等于α的同名函數(shù)值,前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號.總結(jié)為一句話:函數(shù)名不變,符號看象限.

思考4

通過例題,你對誘導(dǎo)公式一、二、三、四有什么進(jìn)一步的認(rèn)識?你能歸納把任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)的步驟嗎?提示利用公式一~公式四，可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù),一般可按下面步驟進(jìn)行:上述步驟體現(xiàn)了由未知轉(zhuǎn)化為已知的轉(zhuǎn)化與化歸思想方法.

探究四

如圖,作點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)P1(y,x),以O(shè)P1為終邊的角γ與角α有什么關(guān)系?角γ與角α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系?

探究五

如圖,作點(diǎn)P1(y,x)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P2,又能得到什么結(jié)論?

思考5

你能概括一下公式五、六的共同特點(diǎn)和規(guī)律嗎?

DCB1.誘導(dǎo)公式