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章

4.5函數(shù)的應用（二）人教A版2019必修第一冊4.5.2用二分法求方程的近似解學習目標1.通過具體實例理解二分法的概念及其使用條件．2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助計算器用二分法求方程的近似解．3.會用二分法求一個函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點，從而求得方程的近似解．目錄CATALOG01.二分法的概念03.題型強化訓練02.用二分法求函數(shù)零點的近似值04.小結及隨堂練習01二分法的概念4.5.2用二分法求方程的近似解導入新知：手機猜價格游戲教師展示一部神秘手機，提示價格區(qū)間2000-3000元，學生需在6次提問內(nèi)猜出誤差不超過50元的價格。如何提問才能最快鎖定價格？導入新知：水管漏水檢測家中水管從入口到水龍頭有10米，發(fā)現(xiàn)漏水但不知具體位置。如何用最少的檢測次數(shù)定位1米內(nèi)的漏水點？導入新知我們已經(jīng)知道，方程lnx＋2x－6=0的實數(shù)根x0∈(2，3)，即函數(shù)在區(qū)間(2，3)內(nèi)存在一個零點．進一步的問題是，如何求出這個零點呢？一個直觀的想法是：如果能將零點所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，就可以得到符合要求的零點的近似值．為了方便，可以通過取區(qū)間中點的方法，逐步縮小零點所在的范圍．應用新知取區(qū)間(2，3)的中點2.5，用計算工具算得

f(2.5)≈－0.084．因為f(2.5)f(3)<0，所以零點在區(qū)間(2.5，3)．再取區(qū)間(2.5，3)的中點2.75，用計算工具算得f(2.75)≈0.512.因為f(2.5)f(2.75)<0，所以零點在區(qū)間(2.5，2.75)內(nèi)．因為(2，3)?(2.5，3)?(2.5，2.75)，所以零點所在的范圍變小了．如果重復上述的步驟，那么零點所在的范圍會越來越?。@樣，我們就可以通過有限次重復相同的步驟，將零點所在的范圍縮小到滿足一定精度的區(qū)間，區(qū)間內(nèi)的任意一點都可以作為函數(shù)零點的近似值．為了方便，我們把區(qū)間的一個端點作為零點的近似值．應用新知f(x)=lnx＋2x－6∵f(2)<0，f(3)>0，∴x0∈(2，3)∵f(2.5)<0，

f(3)>0，∴x0∈(2.5，3)∵f(2.5)<0，

f(2.75)>0，∴x0∈(2.5，2.75)∵f(2.5)<0，

f(2.625)>0，∴x0∈(2.5，2.625)∵f(2.5)<0，

f(2.5625)>0，∴x0∈(2.5，2.5625)∵f(2.53125)<0，f(2.5625)>0，∴x0∈(2.53125，2.5625)應用新知232.52.752.652.5625零點所在區(qū)間中點的值中點函數(shù)近似值(2，3)2.5-0.084(2.5，3)2.750.512(2.5，2.75)2.6250.215(2.5，2.625)2.56250.066(2.5，2.5625)2.53125-0.009(2.53125，2.5625)2.5468750.029(2.53125，2.546875)2.53906250.010(2.53125，2.5390625)2.535156250.001應用新知例如，當精確度為0.01時，因為|2.5390625－2.53125|=0.0078125<0.01，所以區(qū)間(2.53125，2.5390625)內(nèi)任意一點都可以作為零點的近似值，也可以將x=2.53125作為函數(shù)f(x)=lnx＋2x－6零點的近似值，即方程lnx＋2x－6=0的近似解．零點所在區(qū)間中點的值中點函數(shù)近似值(2，3)2.5-0.084(2.5，3)2.750.512(2.5，2.75)2.6250.215(2.5，2.625)2.56250.066(2.5，2.5625)2.53125-0.009(2.53125，2.5625)2.5468750.029(2.53125，2.546875)2.53906250.010(2.53125，2.5390625)2.535156250.001【詳解】由已知可得，，所以有.故選：B.牛刀小試

用二分法求近似解的條件【詳解】由已知可得，，所以有.故選：B.牛刀小試

用二分法求近似解的條件【詳解】由已知可得，，所以有.故選：B.牛刀小試

零點存在性定理的應用、用二分法求近似解的條件【詳解】由已知可得，，所以有.故選：B.牛刀小試

用二分法求近似解的條件總結新知對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)

f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．二分法的理論依據(jù)是什么？xy0ab能用二分法求零點的函數(shù)必須在給定區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷，并且有f(a)·f(b)<0．二分法是否適合求所有函數(shù)的零點？零點定理總結新知用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟3.計算f(c)

；若f(c)=0，則c就是函數(shù)的零點c；若f(a)·f(c)<0，此時零點x0∈(a,c)，則令b=c;若f(b)·f(c)<0，此時零點x0∈(c,b)，則令a=c;1.確定區(qū)間[a,b]，驗證f(a)·f(b)<0，給定精確度ε；2.求區(qū)間(a,b)的中點c；4.判斷是否達到精度ε，若|a-b|<ε，則得到零點近似值a(或b)，否則重復步驟2~4；

由|a-b|<ε可知，區(qū)間[a,b]中任意一個值都是零點x0的滿足精確度ε的近似值，為了方便，我們統(tǒng)一區(qū)間端點值a(或b).02用二分法求函數(shù)零點的近似值4.5.2用二分法求方程的近似解

【詳解】由已知可得，，所以有.故選：B.牛刀小試

零點存在性定理的應用、判斷零點所在的區(qū)間【詳解】由已知可得，，所以有.故選：B.牛刀小試

零點存在性定理的應用、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)【詳解】由已知可得，，所以有.故選：B.牛刀小試

零點存在性定理的應用、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)學習新知例2

借助信息技術，用二分法求方程2x＋3x=7函數(shù)的近似解（精確度為0.1）【解析】原方程即2x＋3x－7=0，令f(x)=2x＋3x－7，用信息技術畫出函數(shù)y=f(x)的圖象，并列出它的對應值表．x012345678y-6-2310214075142273觀察函數(shù)圖象和上表，可知f(1)·f(2)<0．學習新知區(qū)間中點的值中點函數(shù)近似值(1,2)1.50.33(1,1.5)1.25-0.87(1.25,1.5)1.375-0.28(1.375,1.5)1.43750.02(1.375,1.4375)由于|1.375－1.4375|=0.0625<0.1，此時區(qū)間(1.375，1.4375)的兩個端點精確到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精確到0.1的近似解可以為1.375

．【詳解】由已知可得，，所以有.故選：B.牛刀小試

根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性、判斷零點所在的區(qū)間【詳解】由已知可得，，所以有.故選：B.牛刀小試

根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性、判斷零點所在的區(qū)間應用新知二分法求方程近似解，計算量較大，重復步驟多，這可以讓計算機來完成，但是得是人設計好計算程序，由計算機執(zhí)行，其程序框圖為：開始定義f(x)輸入ε,a,bb=ca=ca=c輸出解x=a結束是否是否是否總結新知二分法步驟1.確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)·f(b)<0,給定精確度ε.2、求區(qū)間(a,b)的中點c3、計算f(c);(1)若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點(2)若f(a)f(c)<0,則令b=c(此時零點x0∈(a,c))(3)若f(a)f(c)>0,則令a=c(此時零點x0∈(c,b))4、判斷是否達到精確度ε,即若|a-b|<ε,則得到零點的近似值a(或b)；否則重復2～4【詳解】由已知可得，，所以有.故選：B.牛刀小試

二分法求方程近似解的過程【詳解】由已知可得，，所以有.故選：B.牛刀小試

函數(shù)與方程的綜合應用【詳解】由已知可得，，所以有.故選：B.牛刀小試

函數(shù)與方程的綜合應用、對數(shù)函數(shù)圖象的應用03題型強化訓練4.5.2用二分法求方程的近似解

能力提升【跟蹤訓練】1．以下每個圖象表示的函數(shù)都有零點，但不能用二分法求函數(shù)零點近似值的是解析：由二分法的定義，可知只有當函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，且f(a)f(b)＜0，即函數(shù)f(x)的零點是變號零點時，才能用二分法求函數(shù)零點的近似值．對各選項分析可知，A，B，D都符合，而C不符合，因為在零點兩側(cè)函數(shù)值不異號，因此不能用二分法求函數(shù)零點的近似值．題型一二分法的概念能力提升題型一二分法的概念【感悟提升】

用二分法求函數(shù)零點應具備的條件(1)函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)不斷．(2)在該零點左右兩側(cè)的函數(shù)值異號．只有同時滿足上述兩個條件，才可用二分法求函數(shù)零點．能力提升題型二用二分法求方程的近似解(或函數(shù)零點的近似值)【跟蹤訓練】2．利用計算器，用二分法求函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6零點的近似值(精確度為0.1)．解：因為函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6在R上單調(diào)遞增，且f(1)＝2＋3－6＝－1<0，f(2)＝4＋6－6＝4>0，即f(1)f(2)<0，所以函數(shù)f(x)在R上存在唯一的零點，設為x0，則x0∈(1，2)．利用二分法，可以得到下表：能力提升題型二用二分法求方程的近似解(或函數(shù)零點的近似值)我們得到區(qū)間(1.1875，1.25)的長度為0.0625，它小于0.1，因此可選取這一區(qū)間的任意一個數(shù)作為函數(shù)f(x)零點的近似值，如可取x0＝1.2作為函數(shù)f(x)零點的一個近似值．能力提升題型二用二分法求方程的近似解(或函數(shù)零點的近似值)【感悟提升】

利用二分法求方程近似解的步驟(1)構造函數(shù)，利用圖象確定方程的根所在的大致區(qū)間，通常限制在區(qū)間(n，n＋1)，n∈Z.(2)利用二分法求出滿足精確度的方程的根所在的區(qū)間M.(3)區(qū)間M內(nèi)的任一實數(shù)均是方程的近似解，通常取區(qū)間M的一個端點．04小結及隨堂練習4.5.2用二分法求方程的近似解

總結新知總結新知用二分法求解方程的近似解：1、確定區(qū)間[a,b]，驗證f(a)·f(b)<0，給定精確度ε2、求區(qū)間(a,b)的中點c3、計算f(c);(1)若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點(2)若f(a)·f(c)<0,則令b=c(此時零點x0∈(a,c))(3)若f(a)·

f(c)>0,則令a=c(此時零點x0∈(c,b))4、判斷是否達到精確度ε，即若|a-b|<ε,則得到零點的近似值a(或b)；否則重復2～4.總結新知二分法：對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟：1.確定區(qū)間[a,b]，驗證f(a)·f(b)<0，給定精確度ε；