初一數(shù)學(xué)二次根式專題訓(xùn)練卷卷首語二次根式是初中數(shù)學(xué)代數(shù)部分的重要內(nèi)容，它既是對(duì)前面所學(xué)平方根、算術(shù)平方根等知識(shí)的深化，也是后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)。掌握二次根式的概念、性質(zhì)及運(yùn)算，對(duì)于培養(yǎng)我們的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和運(yùn)算能力至關(guān)重要。本卷將圍繞二次根式的核心要點(diǎn)展開，希望同學(xué)們能從中獲益。一、知識(shí)梳理與回顧在開始訓(xùn)練之前，讓我們先簡(jiǎn)要回顧一下二次根式的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，確保我們?cè)谕黄鹋芫€上。1.1二次根式的定義形如`√a(a≥0)`的式子叫做二次根式。其中，“√”稱為根號(hào)，a叫做被開方數(shù)。注意：二次根式有意義的條件是被開方數(shù)`a≥0`。同時(shí)，`√a`本身也是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即`√a≥0`。這一點(diǎn)，我們常稱之為二次根式的“雙重非負(fù)性”，非常重要。1.2二次根式的基本性質(zhì)1.`(√a)2=a(a≥0)`：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身。2.`√(a2)=|a|`：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。*當(dāng)`a≥0`時(shí)，`√(a2)=a`；*當(dāng)`a<0`時(shí)，`√(a2)=-a`。1.3最簡(jiǎn)二次根式滿足以下兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式：1.被開方數(shù)不含分母；2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。例如：`√2`、`3√5`是最簡(jiǎn)二次根式；`√(1/2)`、`√8`則不是。1.4二次根式的運(yùn)算1.加減法：先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）進(jìn)行合并。*法則：`a√c±b√c=(a±b)√c(c≥0)`2.乘除法：*乘法法則：`√a·√b=√(ab)(a≥0,b≥0)`*除法法則：`√a/√b=√(a/b)(a≥0,b>0)`*運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式。二、專題訓(xùn)練第一部分：基礎(chǔ)鞏固(每小題分值可自定，此處略)一、選擇題(請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填在括號(hào)里)1.下列各式中，是二次根式的是()A.`√(-3)`B.`3√2`C.`√(x2+1)`D.`√(2x)(x<0)`2.若二次根式`√(3-x)`有意義，則x的取值范圍是()A.`x>3`B.`x<3`C.`x≥3`D.`x≤3`3.下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是()A.`√12`B.`√(1/3)`C.`√(a2b)`(a>0)D.`√7`4.計(jì)算`(√5)2`的結(jié)果是()A.5B.-5C.±5D.√5二、填空題5.化簡(jiǎn)：`√(16)=`______；`√(8)=`______。6.若`√(x-2)+√(2-y)=0`，則`x+y=`______。7.計(jì)算：`√2×√3=`______；`√(18)÷√2=`______。三、計(jì)算題(將結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式)8.`√12+√27`9.`√(1/2)-√8`10.`(√5+√2)(√5-√2)`第二部分：能力提升11.當(dāng)`a<0`時(shí)，化簡(jiǎn)`√(a3b)`(b<0)。12.已知`x=√3+1`，求代數(shù)式`x2-2x+3`的值。13.比較大?。篳3√2`與`2√3`。14.已知`√a+1/√a=3`，求`a+1/a`的值。第三部分：拓展延伸15.閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如`3+2√2=(1+√2)2`。善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)`a+b√2=(m+n√2)2`(其中a、b、m、n均為整數(shù))，則有`a+b√2=m2+2n2+2mn√2`。∴`a=m2+2n2`，`b=2mn`。這樣小明就找到了一種把類似`a+b√2`的式子化為平方式的方法。請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若`a+b√3=(m+n√3)2`，用含m、n的式子分別表示a、b，得a=______，b=______。(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：____+____√3=(____+____√3)2。三、參考答案與提示第一部分：基礎(chǔ)鞏固1.C(提示：二次根式被開方數(shù)須非負(fù)，C選項(xiàng)中`x2+1`恒為正)2.D(提示：`3-x≥0`?`x≤3`)3.D(提示：A可化簡(jiǎn)為`2√3`，B可化簡(jiǎn)為`√3/3`，C可化簡(jiǎn)為`a√b`)4.A5.4；`2√2`6.4(提示：利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)，`x-2=0`且`2-y=0`)7.`√6`；38.`5√3`(提示：`√12=2√3`，`√27=3√3`，合并得`5√3`)9.`-3√2/2`(提示：`√(1/2)=√2/2`，`√8=2√2`，相減得`-3√2/2`)10.3(提示：利用平方差公式`(a+b)(a-b)=a2-b2`，得`5-2=3`)第二部分：能力提升11.`a√(ab)`(提示：`a<0`，`b<0`，則`ab>0`。`√(a3b)=√(a2·ab)=|a|√(ab)=-a√(ab)`，注意a本身是負(fù)數(shù)，所以`-a`為正)12.5(提示：由`x=√3+1`得`x-1=√3`，兩邊平方`(x-1)2=3`，即`x2-2x+1=3`，∴`x2-2x=2`，代入得`2+3=5`)13.`3√2>2√3`(提示：可比較兩者平方的大小，`(3√2)2=18`，`(2√3)2=12`，18>12)14.7(提示：將`√a+1/√a=3`兩邊平方，得`a+2+1/a=9`，∴`a+1/a=7`)第二部分：拓展延伸15.(1)`m2+3n2`；`2mn`(提示：展開`(m+n√3)2=m2+3n2+2mn√3`)(2)答案不唯一，例如：`4+2√3=(1+1√3)2`(此時(shí)m=1,n=1,a=1+3=4,b=2×1×1=2)四、學(xué)習(xí)建議二次根式的學(xué)習(xí)，首先要準(zhǔn)確理解概念，尤其是“雙重非負(fù)性”和最簡(jiǎn)二次根式的標(biāo)準(zhǔn)。其次，要熟練掌握基本性質(zhì)和運(yùn)算法則，多做練習(xí)，在練習(xí)中體會(huì)化簡(jiǎn)技巧和運(yùn)算規(guī)律。遇到復(fù)雜問題時(shí)，要善于觀察，勇于嘗試，比如將根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)（注意符