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高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)分析與糾正高考數(shù)學(xué),作為一門區(qū)分度較高的學(xué)科,不僅考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度,更考驗(yàn)其思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與解題的規(guī)范性。在緊張的考試氛圍中,一些看似不起眼的“小毛病”往往成為失分的重災(zāi)區(qū)。本文旨在梳理高考數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn),并結(jié)合具體情形給出針對(duì)性的糾正方法,希望能為同學(xué)們的備考之路點(diǎn)亮一盞明燈。一、概念理解與辨析:數(shù)學(xué)大廈的基石不容有失數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的基石,對(duì)概念的準(zhǔn)確理解和深刻把握是正確解題的前提。然而,在學(xué)習(xí)過(guò)程中,部分同學(xué)常滿足于對(duì)概念的表層認(rèn)知,未能深入其內(nèi)涵與外延,從而導(dǎo)致解題時(shí)出現(xiàn)偏差。1.1函數(shù)定義域的“隱形門檻”易錯(cuò)表現(xiàn):求解函數(shù)問(wèn)題時(shí),尤其是涉及復(fù)合函數(shù)、分式函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、根式函數(shù)時(shí),容易忽略定義域的限制條件。例如,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值,或判斷函數(shù)奇偶性時(shí),未先確定定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。糾正方法:樹(shù)立“定義域優(yōu)先”意識(shí)。在處理任何函數(shù)問(wèn)題前,務(wù)必首先求出并明確函數(shù)的定義域。對(duì)于含參數(shù)的函數(shù),要討論參數(shù)對(duì)定義域的影響??蓪⒊R?jiàn)的定義域限制條件總結(jié)歸納,如分式分母不為零、偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零且底數(shù)大于零不等于一、零次冪的底數(shù)不為零等,并在解題時(shí)逐一核對(duì)。1.2函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的概念混淆與前提遺忘易錯(cuò)表現(xiàn):判斷函數(shù)奇偶性時(shí),忽略定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這一首要條件;認(rèn)為“奇函數(shù)必過(guò)原點(diǎn)”(實(shí)則只有在原點(diǎn)有定義的奇函數(shù)才過(guò)原點(diǎn));對(duì)單調(diào)性定義中的“任意”二字理解不到位,用特殊值代替一般性證明。糾正方法:深刻理解定義的每一個(gè)字。判斷奇偶性,先看定義域,再驗(yàn)f(-x)與f(x)的關(guān)系。理解奇函數(shù)“f(-x)=-f(x)”中,x與-x必須同時(shí)在定義域內(nèi)。對(duì)于單調(diào)性,要明確是在“某個(gè)區(qū)間上”的性質(zhì),定義中的“對(duì)于任意的x?<x?,都有f(x?)<f(x?)(或>)”是全稱命題,不能用特殊值法證明。1.3三角函數(shù)中的“細(xì)節(jié)陷阱”易錯(cuò)表現(xiàn):對(duì)三角函數(shù)的定義理解不透徹,特別是在不同象限中三角函數(shù)值的符號(hào)判斷;忽視三角函數(shù)的周期性,在求解三角方程或不等式時(shí),漏寫(xiě)通解;對(duì)y=Asin(ωx+φ)的圖像變換中,相位變換與周期變換的順序混淆,或?qū)Ζ盏姆?hào)意義理解不清。糾正方法:回歸單位圓定義,牢記三角函數(shù)在各象限的符號(hào)規(guī)律(“一全正,二正弦,三正切,四余弦”)。求解三角問(wèn)題時(shí),時(shí)刻關(guān)注角的范圍,利用周期性寫(xiě)出所有可能解。圖像變換時(shí),遵循“先平移后伸縮”或“先伸縮后平移”的不同規(guī)則,特別注意平移的單位是針對(duì)“x”而言的,例如,由y=sinx到y(tǒng)=sin(2x+φ),是向左平移|φ/2|個(gè)單位,而非|φ|個(gè)單位。1.4向量相關(guān)概念的模糊地帶易錯(cuò)表現(xiàn):混淆向量的模與數(shù)量的絕對(duì)值;認(rèn)為向量的數(shù)量積(點(diǎn)乘)結(jié)果是向量;對(duì)向量平行(共線)與垂直的充要條件記憶不準(zhǔn)確或應(yīng)用錯(cuò)誤;忽略零向量的特殊性(零向量與任意向量平行,零向量的方向是任意的)。糾正方法:清晰區(qū)分向量的幾何表示與代數(shù)運(yùn)算。明確向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù),數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),其計(jì)算公式為a·b=|a||b|cosθ。牢記向量平行(a//b?a=kb,k∈R,b≠0)和垂直(a⊥b?a·b=0)的充要條件,并注意公式中對(duì)非零向量的限制。在解題中遇到向量問(wèn)題,若有必要可畫(huà)出圖形輔助理解。二、運(yùn)算求解與推理:嚴(yán)謹(jǐn)是得分的保障數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理是數(shù)學(xué)的核心能力,運(yùn)算的準(zhǔn)確性和推理的嚴(yán)密性直接決定了解題的成敗。在這方面,同學(xué)們常因粗心大意、方法不當(dāng)或邏輯鏈條斷裂而失分。2.1符號(hào)運(yùn)算的“滑鐵盧”易錯(cuò)表現(xiàn):在去括號(hào)、移項(xiàng)、乘除負(fù)數(shù)、平方開(kāi)方、對(duì)數(shù)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算等過(guò)程中,符號(hào)出錯(cuò)是最為常見(jiàn)的問(wèn)題。例如,解不等式時(shí),兩邊同乘(除)一個(gè)負(fù)數(shù)忘記改變不等號(hào)方向;對(duì)負(fù)數(shù)進(jìn)行開(kāi)偶次方;導(dǎo)數(shù)公式記憶不準(zhǔn)確導(dǎo)致符號(hào)錯(cuò)誤。糾正方法:養(yǎng)成“步步為營(yíng)”的運(yùn)算習(xí)慣,每一步運(yùn)算都要思考其依據(jù)和合理性。對(duì)于容易出錯(cuò)的符號(hào)問(wèn)題,要放慢速度,刻意關(guān)注。在進(jìn)行等式或不等式變形時(shí),明確每一步變形的規(guī)則。對(duì)于復(fù)雜運(yùn)算,可在草稿紙上分區(qū)、清晰書(shū)寫(xiě),避免潦草導(dǎo)致的看錯(cuò)、抄錯(cuò)。定期進(jìn)行符號(hào)敏感性訓(xùn)練,例如,專門練習(xí)含多項(xiàng)負(fù)號(hào)的代數(shù)式化簡(jiǎn)。2.2公式記憶與應(yīng)用的“張冠李戴”易錯(cuò)表現(xiàn):記錯(cuò)公式的結(jié)構(gòu)或參數(shù),如二項(xiàng)式定理中通項(xiàng)公式的指數(shù)、等比數(shù)列求和公式中q=1的特殊情況、導(dǎo)數(shù)公式(如(sinx)’=cosx,(cosx)’=-sinx)、積分公式等;在應(yīng)用公式時(shí),忽略公式成立的條件。糾正方法:理解公式的推導(dǎo)過(guò)程,從根源上記憶公式,而非死記硬背。對(duì)于易混淆的公式,要對(duì)比分析其異同點(diǎn),如等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)、求和公式。將重要公式整理在卡片上,時(shí)常翻閱,并通過(guò)大量練習(xí)加深印象和應(yīng)用熟練度。特別注意公式的適用條件,例如,等比數(shù)列求和公式,務(wù)必先考慮公比q是否為1。2.3邏輯推理的“斷層”與“臆斷”易錯(cuò)表現(xiàn):在證明題中,跳步嚴(yán)重,關(guān)鍵步驟缺乏依據(jù);使用“顯然”、“易知”等詞語(yǔ)掩蓋思維的不嚴(yán)謹(jǐn);在立體幾何證明中,未嚴(yán)格按照判定定理的條件進(jìn)行推導(dǎo),憑直觀感覺(jué)下結(jié)論;在概率統(tǒng)計(jì)中,混淆“互斥事件”與“對(duì)立事件”,誤用古典概型或幾何概型的條件。糾正方法:強(qiáng)化邏輯推理的嚴(yán)密性意識(shí)。證明過(guò)程要做到“言必有據(jù)”,每一步推理都要有已知條件、定義、公理或定理作為支撐。書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程時(shí),要條理清晰,層次分明。對(duì)于立體幾何,要熟練掌握各判定定理和性質(zhì)定理的題設(shè)條件和結(jié)論,嚴(yán)格按照定理要求進(jìn)行證明。在概率問(wèn)題中,仔細(xì)分析試驗(yàn)的基本事件構(gòu)成,明確事件間的關(guān)系(互斥、對(duì)立、獨(dú)立),選擇正確的概率模型進(jìn)行計(jì)算。2.4“算理”不清,盲目套用易錯(cuò)表現(xiàn):在進(jìn)行復(fù)雜運(yùn)算,如解析幾何中的聯(lián)立方程、韋達(dá)定理應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)綜合題中的分類討論時(shí),由于對(duì)運(yùn)算的目標(biāo)不明確,或?qū)ψ冃渭记烧莆詹皇炀?,?dǎo)致運(yùn)算過(guò)程繁瑣,最終出錯(cuò);或在求導(dǎo)后,對(duì)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)判斷、符號(hào)分析不到位,導(dǎo)致單調(diào)性和極值求解錯(cuò)誤。糾正方法:運(yùn)算前先理清“算理”,明確運(yùn)算的目的和步驟。例如,解析幾何中,聯(lián)立方程后是為了求弦長(zhǎng)、中點(diǎn),還是判斷位置關(guān)系,從而決定是否需要求出判別式、利用韋達(dá)定理。平時(shí)練習(xí)中,注重運(yùn)算技巧的積累,如因式分解、配方、整體代換等,以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。對(duì)于含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題,分類討論的標(biāo)準(zhǔn)要清晰,通常根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的類型(一次、二次)、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及零點(diǎn)的大小關(guān)系進(jìn)行分類。三、思維方式與解題策略:跳出思維定勢(shì)的“怪圈”數(shù)學(xué)思維的靈活性和深刻性是解決復(fù)雜問(wèn)題的關(guān)鍵。同學(xué)們?cè)陂L(zhǎng)期的學(xué)習(xí)中可能形成了一些固定的思維模式,這些模式在某些情況下有效,但在遇到新題型或變式題時(shí),容易陷入思維定勢(shì),導(dǎo)致解題困難或失誤。3.1分類討論的“遺漏”與“重復(fù)”易錯(cuò)表現(xiàn):對(duì)于需要分類討論的問(wèn)題,如含參數(shù)的方程或不等式、二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等,常常出現(xiàn)分類標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一、分類不完整或重復(fù)討論的情況。糾正方法:掌握分類討論的基本原則:不重不漏、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一。在解題前,仔細(xì)分析題目中可能引起結(jié)果變化的因素,確定分類對(duì)象和分類標(biāo)準(zhǔn)。例如,解含參數(shù)的一元二次不等式,通常先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零,再考慮判別式的符號(hào),最后考慮根的大小關(guān)系。分類討論后,要注意將各類情況的結(jié)果進(jìn)行綜合,并檢查是否有重復(fù)或遺漏。3.2數(shù)形結(jié)合的“形”“數(shù)”脫節(jié)易錯(cuò)表現(xiàn):不善于利用函數(shù)圖像理解函數(shù)性質(zhì)、解決方程與不等式問(wèn)題;畫(huà)圖不規(guī)范,導(dǎo)致對(duì)圖形的觀察和分析出現(xiàn)偏差;解析幾何中,未能將幾何條件準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程,或代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果未能回歸到幾何意義。糾正方法:培養(yǎng)“數(shù)形結(jié)合”的意識(shí)和能力。對(duì)于函數(shù)問(wèn)題,要養(yǎng)成畫(huà)圖的習(xí)慣,通過(guò)圖像直觀理解函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、零點(diǎn)等。畫(huà)圖時(shí)力求準(zhǔn)確,特別是關(guān)鍵點(diǎn)(頂點(diǎn)、交點(diǎn)、零點(diǎn)、漸近線)的位置要標(biāo)注清楚。在解析幾何中,要深刻理解每一個(gè)代數(shù)表達(dá)式背后的幾何含義,例如,直線的斜率、截距,圓的圓心、半徑,圓錐曲線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等,實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題的順暢轉(zhuǎn)化。3.3隱含條件的“視而不見(jiàn)”易錯(cuò)表現(xiàn):解題時(shí),只關(guān)注題目中明確給出的條件,而忽略了題目中隱含的限制條件。例如,在應(yīng)用題中,變量的實(shí)際意義(非負(fù)性、整數(shù)性);在三角形問(wèn)題中,三角形內(nèi)角和為180度、兩邊之和大于第三邊;在數(shù)列問(wèn)題中,數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為正整數(shù)等。糾正方法:提高對(duì)隱含條件的敏感度。在審題時(shí),不僅要關(guān)注顯性條件,更要字斟句酌,挖掘題目背景、圖形特征、物理意義等方面所隱含的條件。將常見(jiàn)的隱含條件進(jìn)行總結(jié),如“二次函數(shù)f(x)有實(shí)根?Δ≥0”,“對(duì)數(shù)函數(shù)log?b中a>0,a≠1,b>0”,“概率的取值范圍是[0,1]”等。解題過(guò)程中,要時(shí)刻提醒自己是否有隱含條件未被利用。3.4特殊與一般、正難則反的思維轉(zhuǎn)換不靈活易錯(cuò)表現(xiàn):面對(duì)一些一般性問(wèn)題,不善于從特殊情況入手,尋找規(guī)律;或者在正面思考問(wèn)題受阻時(shí),不懂得及時(shí)轉(zhuǎn)向,利用反證法、補(bǔ)集思想等間接方法求解。糾正方法:學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用“特殊化”與“一般化”的思維方法。對(duì)于選擇題,可以用特殊值法、特殊函數(shù)法、特殊圖形法等快速排除錯(cuò)誤選項(xiàng),找到正確答案。對(duì)于一些探索性問(wèn)題,可以先從n=1,2,3等簡(jiǎn)單情況入手,歸納猜想一般性結(jié)論,再進(jìn)行證明。當(dāng)正面解題思路遇到困難,如證明“不存在”、“至少”、“至多”等問(wèn)題時(shí),嘗試運(yùn)用反證法,假設(shè)結(jié)論不成立,看是否能推出矛盾。對(duì)于一些復(fù)雜事件的概率計(jì)算,可考慮其對(duì)立事件的概率。四、解題習(xí)慣與規(guī)范:細(xì)節(jié)決定成敗良好的解題習(xí)慣和規(guī)范的書(shū)寫(xiě)是減少非智力因素失分的重要保障。許多同學(xué)明明思路正確,卻因書(shū)寫(xiě)潦草、步驟不完整、審題不清等原因丟分,實(shí)在可惜。4.1審題不清,答非所問(wèn)易錯(cuò)表現(xiàn):看錯(cuò)題目中的關(guān)鍵詞、數(shù)據(jù)、符號(hào);忽略題目中的限制條件或隱含信息;未能準(zhǔn)確理解題目要求,例如,把“不正確的是”看成“正確的是”,把“求取值范圍”寫(xiě)成“求最值”。糾正方法:養(yǎng)成“慢審題,快解題”的習(xí)慣。審題時(shí),要逐字逐句仔細(xì)閱讀,圈點(diǎn)勾劃關(guān)鍵信息(如“定義域”、“值域”、“單調(diào)遞增”、“至少”、“恰有”等)。對(duì)于較長(zhǎng)的題目,可分段理解題意,明確已知什么,求什么。必要時(shí),可將文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)或圖形語(yǔ)言。審題結(jié)束后,再快速回顧一遍,確保理解無(wú)誤再開(kāi)始解題。4.2書(shū)寫(xiě)不規(guī)范,過(guò)程不完整易錯(cuò)表現(xiàn):字跡潦草,涂改過(guò)多,卷面不整潔;解題步驟跳躍過(guò)大,關(guān)鍵得分點(diǎn)缺失;數(shù)學(xué)符號(hào)書(shū)寫(xiě)不規(guī)范,如“∈”與“?”混淆,“∪”與“∩”不分,導(dǎo)數(shù)符號(hào)“’”遺漏;答案未化簡(jiǎn)或未寫(xiě)單位。糾正方法:嚴(yán)格按照高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范書(shū)寫(xiě)。解題過(guò)程要做到條理清晰,步驟完整,關(guān)鍵的公式、定理、變形過(guò)程要書(shū)寫(xiě)清楚。字跡力求工整,卷面保持整潔。注意數(shù)學(xué)符號(hào)的正確書(shū)寫(xiě),養(yǎng)成良好的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣。解答完畢后,要檢查答案是否最簡(jiǎn)形式,應(yīng)用題是否需要帶單位,結(jié)果是否符合實(shí)際意義。4.3時(shí)間分配不合理,“會(huì)而不對(duì),對(duì)而不全”易錯(cuò)表現(xiàn):在某一道難題上花費(fèi)過(guò)多時(shí)間,導(dǎo)致后面會(huì)做的題目沒(méi)時(shí)間做;或者為了追求速度,做題毛毛躁躁,導(dǎo)致會(huì)做的題目也出錯(cuò),或步驟不完整而失分。糾正方法:合理規(guī)劃答題時(shí)間。在平時(shí)模擬考試中,就要有意識(shí)地訓(xùn)練時(shí)間分配能力,大致確定選擇題、填空題、解答題各部分的用時(shí)。答題時(shí),遵循“先易后難,先熟后生”的原則,確保將會(huì)做的題目都做對(duì)、做完。遇到暫時(shí)沒(méi)有思路的題目,可先跳過(guò),完成其他題目后再回頭攻克。對(duì)于分值較高的解答題,即使不能完全做出,也要寫(xiě)出相關(guān)的公式、思路和步驟,爭(zhēng)取“分步得分”。4.4缺乏檢驗(yàn)反思的習(xí)慣易錯(cuò)表現(xiàn):題目做完后,不進(jìn)行檢驗(yàn),直接交卷;或檢驗(yàn)方法不當(dāng),未能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。糾正方法:養(yǎng)成“解題后檢驗(yàn)”的好習(xí)慣。檢驗(yàn)的方法有很多,如代入檢驗(yàn)法(將結(jié)果代入原題,看是否符合題意)、特殊值檢驗(yàn)法(對(duì)一般結(jié)論取特殊值驗(yàn)證)、邏輯檢驗(yàn)法(檢查推理過(guò)程是否合理)、估值檢驗(yàn)法(對(duì)結(jié)果的大致范圍進(jìn)行判斷)等。對(duì)于計(jì)算類題目,可采用不同的計(jì)算方法進(jìn)行復(fù)核。特別注意,解分式方程、無(wú)理方
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