第1頁/共1頁湖北省2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將其標(biāo)號在答題卡上涂黑作答．1.集合，，若，則實數(shù)的值為（）A B.或 C. D.0或或2.下列函數(shù)是偶函數(shù)且在上是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.3.已知，，，則（）A. B. C. D.4.函數(shù)的定義域為（）A B. C. D.5.集合，，定義，則的非空真子集的個數(shù)為（）A.62 B.31 C.63 D.306.已知且，則函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)（，）的圖像恒過定點P，P在冪函數(shù)圖象上，則的值為（）A.8 B.4 C. D.8.函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A B. C. D.9.設(shè)函數(shù)（a，b為實數(shù)），已知，則的值為（）A. B.4 C.5 D.與a，b的取值有關(guān)10.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，規(guī)定排放時污染物的殘留含量不得超過1%．已知在過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量P（單位：毫克/升）與過濾時間t（單位：小時）之間的函數(shù)關(guān)系為：（為正常數(shù)，為原污染物數(shù)量）.若前5個小時廢氣中的污染物被過濾掉了90%，那么要能夠按規(guī)定排放廢氣，至少還需要過濾（）A.小時 B.小時 C.5小時 D.小時11.函數(shù)，若在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.12.若，其中m，n均為實數(shù)，則（）A. B. C. D.二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13.函數(shù)的值域為_____________．14.若，且，則t的值為______；15.設(shè)全集，，，若，則實數(shù)a的所有取值構(gòu)成的集合為______；16.已知函數(shù)滿足對任意的實數(shù)且，都有不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．三、解答題：本大題共6大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，并且寫在答題卡對應(yīng)的答題區(qū)域．17.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象關(guān)于直線對稱，且．（1）求函數(shù)，解析式；（2）設(shè)m，n是方程的根，求的值．18.已知符號表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如，．定義函數(shù)，．（1）寫出函數(shù)的解析式，并作出函數(shù)的圖象；（2）方程恰有一個實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍．19已知全集，集合．（1）設(shè)，求集合；（2）若集合中恰有兩個整數(shù)元素，求實數(shù)a的取值范圍．20.已知函數(shù)，其中，且．（1）求函數(shù)的定義域；（2）已知，若不等式對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．21.如圖1，有一個半徑為2的半圓，一個等腰梯形的下底是的直徑，上底的端點在圓周上，記線段的長度為x，梯形的周長為y．（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出周長y的最大值；（2）當(dāng)梯形的周長取得最大值時，如圖2所示建立平面直角坐標(biāo)系，記梯形位于直線（）左側(cè)的圖形的面積為，請寫出函數(shù)的解析式．22.已知奇函數(shù)（其中，且，）滿足．（1）求與的值；（2）判斷的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；（3）解關(guān)于x的不等式．

湖北省2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將其標(biāo)號在答題卡上涂黑作答．1.集合，，若，則實數(shù)的值為（）A. B.或 C. D.0或或【答案】D【解析】【分析】由，則，分和進(jìn)行討論，從而確定的取值.【詳解】由，則，又，當(dāng)時，則，此時符合題意；當(dāng)時，即，則，當(dāng)，即，此時，，符合題意；當(dāng)，即，此時，，符合題意；故選：D.2.下列函數(shù)是偶函數(shù)且在上是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義以及函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)一一判斷各選項，即可得答案.【詳解】對于A，的定義域為R，且，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，在上為增函數(shù)，又為增函數(shù)，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則可知函數(shù)在上是增函數(shù)，符合題意；對于B，的定義域為R，且，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)在上為減函數(shù)，不符合題意；對于C，的定義域為，且，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)在上為減函數(shù)，不符合題意；對于D，的定義域為，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.故選：A3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合待比較的三個數(shù)的指數(shù)，底數(shù)的特點，構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，根據(jù)它們的單調(diào)性即可求解.【詳解】設(shè)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，在上單調(diào)遞減，則，即；設(shè)，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，在上單調(diào)遞增，則，即.故.故選：D4.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】根據(jù)函數(shù)特征得到不等式，求出定義域.【詳解】由題意得，由①得，由②得，故，故所求函數(shù)定義域為.故選：C5.集合，，定義，則的非空真子集的個數(shù)為（）A.62 B.31 C.63 D.30【答案】A【解析】【分析】由新定義確定集合，再由非空真子集的計算公式求解.【詳解】由新定義知，，所以的非空真子集的個數(shù)為，故選：A6.已知且，則函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指對函數(shù)的圖象特征分和判斷.【詳解】當(dāng)時，在R上單調(diào)遞減且恒過，在上單調(diào)遞減且恒過，B不符合，D符合，當(dāng)時,在R上單調(diào)遞增且恒過，在上單調(diào)遞增且恒過，A、C不符合.故選：D.7.已知函數(shù)（，）的圖像恒過定點P，P在冪函數(shù)圖象上，則的值為（）A.8 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象特點和定義求解即可.【詳解】因為函數(shù)的圖象恒過點，令，即時.所以點的坐標(biāo)為.又點在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，則，所以，所以.所以.故選：C.8.函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計算函數(shù)值，再根據(jù)零點存在性定理可判斷.【詳解】因，，，，，則由零點存在性定理可知，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為故選：B9.設(shè)函數(shù)（a，b為實數(shù)），已知，則的值為（）A. B.4 C.5 D.與a，b的取值有關(guān)【答案】B【解析】【分析】計算可得，再利用對數(shù)運算法則可得，則有，即可得解.【詳解】由，，則，又，則，故，則.故選：B.10.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，規(guī)定排放時污染物的殘留含量不得超過1%．已知在過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量P（單位：毫克/升）與過濾時間t（單位：小時）之間的函數(shù)關(guān)系為：（為正常數(shù)，為原污染物數(shù)量）.若前5個小時廢氣中的污染物被過濾掉了90%，那么要能夠按規(guī)定排放廢氣，至少還需要過濾（）A.小時 B.小時 C.5小時 D.小時【答案】C【解析】【分析】先利用函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合前5個小時消除了90%的污染物，求出常數(shù)k的值，然后根據(jù)污染物的殘留含量不得超過1%，列出方程，即可求出結(jié)論．【詳解】由題意，前5個小時消除了的污染物，∵，∴，∴，即，∴，則由，即，∴，即總共需要過濾10小時，污染物的殘留含量才不超過1%，又∵前面已經(jīng)過濾了5小時，所以還需過濾5小時.故本題選C.【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域，考查函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)實際問題列出表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，屬中檔題.11.函數(shù)，若在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用分段函數(shù)的單調(diào)性畫出圖象，進(jìn)而結(jié)合圖象可求的取值范圍.【詳解】令函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，其值域為；所以由，解得.又，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其值域為.所以，解得或.畫出圖象如下圖所示：結(jié)合圖象可知，使得在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)t的取值范圍是.故選：B12.若，其中m，n均為實數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，可得函數(shù)為增函數(shù)，借助單調(diào)性即可得出結(jié)果.【詳解】由變形，可得：，設(shè)函數(shù)，因為指數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù).由可得，即.故選：C二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13.函數(shù)的值域為_____________．【答案】【解析】【分析】本題可根據(jù)、得出函數(shù)的值域【詳解】因為，所以，因為，所以函數(shù)的值域為，故答案為：.14.若，且，則t的值為______；【答案】或【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式，結(jié)合對數(shù)的運算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，當(dāng)時，顯然符合，此時，當(dāng)時，，由，代入中，得，故答案為：或15.設(shè)全集，，，若，則實數(shù)a的所有取值構(gòu)成的集合為______；【答案】【解析】【分析】先求出，分和兩種情況，得到相應(yīng)的方程，求出答案.【詳解】由題意得，解得，又，故，，若，滿足，此時，即；若，也滿足，此時，解得；故實數(shù)a的所有取值構(gòu)成的集合為.故答案為：16.已知函數(shù)滿足對任意的實數(shù)且，都有不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)真數(shù)大于0得出，再利用分段函數(shù)的單調(diào)性即可列出關(guān)于的不等式組，求解即可.【詳解】由題意可知，對任意恒成立，則對任意恒成立，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，則其最小值為，則，即，易知，在上單調(diào)遞增，則，，，得，，，令，則，則，畫出的圖象，因，，則的解為，即，得，綜上，實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：三、解答題：本大題共6大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，并且寫在答題卡對應(yīng)的答題區(qū)域．17.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象關(guān)于直線對稱，且．（1）求函數(shù)，的解析式；（2）設(shè)m，n是方程的根，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由題意，兩邊取對數(shù)解得，即可求得，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)關(guān)系可得；（2）由韋達(dá)定理得，利用對數(shù)運算法則得，利用換底公式化簡得，即可得解.【小問1詳解】對于函數(shù)（且），，所以，所以，即，所以，所以，所以；又函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以；【小問2詳解】由題意m，n是方程即的根，令，則是二次方程的兩根，所以，所以，又，所以.18.已知符號表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如，．定義函數(shù)，．（1）寫出函數(shù)的解析式，并作出函數(shù)的圖象；（2）方程恰有一個實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1），圖象見解析，（2）k的取值范圍為【解析】【分析】（1）結(jié)合的定義分別求，，，，時的解析式，由此可得結(jié)論，（2）由條件可得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有一個交點，觀察圖象可得結(jié)論，【小問1詳解】設(shè)，因為，，所以，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，所以，函數(shù)圖象如下：【小問2詳解】因為方程恰有一個實數(shù)根，所以方程恰有一個實數(shù)根，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有一個交點，作函數(shù)與函數(shù)的圖象可得觀察圖象可得，或，k的取值范圍為．19.已知全集，集合．（1）設(shè)，求集合；（2）若集合中恰有兩個整數(shù)元素，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出集合，分，，且，分類討論求出；（2）問題化為不等式有兩個整數(shù)解，結(jié)合集合分析得兩根在范圍內(nèi)或在范圍內(nèi)，分類討論即可.【小問1詳解】因為，即，即，即，所以，解得或，所以或，則，所以，當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；當(dāng)且時，，此時；綜上，當(dāng)或時，；當(dāng)且時，【小問2詳解】因為集合中恰有兩個整數(shù)元素，或，所以不等式有兩個整數(shù)解，設(shè)整數(shù)解為，所以，則符號相同，所以在范圍內(nèi)或在范圍內(nèi)，設(shè)，當(dāng)在范圍內(nèi)時，整數(shù)為和，需滿足

且，計算得

；得；得

，因此，；當(dāng)在范圍內(nèi)時，整數(shù)為和，需滿足且，計算得；得

；得，因此，，綜合兩種情況，實數(shù)的取值范圍為.20.已知函數(shù)，其中，且．（1）求函數(shù)的定義域；（2）已知，若不等式對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)，定義域為；當(dāng)時，定義域為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分情況求出函數(shù)定義域；（2）先求出，然后參變分離，問題轉(zhuǎn)化成，求出不等式左邊的最小值即可.【小問1詳解】設(shè)，由題知，即，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時，由，解得；當(dāng)時，由，解得.綜上，當(dāng)，定義域為；當(dāng)時，定義域為【小問2詳解】時，即，即，解得，由于，此時，，則，即，即，即，設(shè)，令，則，此時，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，在上遞減，注意到，則在取得最大值，即，則，此時，則21.如圖1，有一個半徑為2的半圓，一個等腰梯形的下底是的直徑，上底的端點在圓周上，記線段的長度為x，梯形的周長為y．（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出周長y的最大值；（2）當(dāng)梯形的周長取得最大值時，如圖2所示建立平面直角坐標(biāo)系，記梯形位于直線（）左側(cè)的圖形的面積為，請寫出函數(shù)的解析式．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，過點作于點，連接，由題中條件，表示出，進(jìn)而可得出周長的函數(shù)關(guān)系式；令，由換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出周長y的最大值.（2）由（1）知，等腰梯形的各邊長，由的不同取值范圍，求出梯形位于直線左側(cè)的圖形的面積.【小問1詳解】由題意可得，過點作于點，連接，因為半圓的半徑為2，線段的長度為x，則，，，所以，因此，所以這個等腰梯形的周長為，其中，即，；令，因為，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最大值，因此梯形周長的最大值為.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)梯形的周長取得最大值時，，等腰梯形的下底，腰，等腰梯形的高，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，.22.已知奇函數(shù)（其中，且，）滿足．（1）求與值；（2）判斷