1/42025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷02（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版選擇性必修第一冊空間向量與立體幾何+直線和圓+圓錐曲線。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．3．已知空間向量，，若與垂直，則等于（

）A． B． C． D．4．若雙曲線與雙曲線：有相同漸近線，且過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C．或 D．或5．已知圓與圓有且僅有兩條公共切線，則正數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．已知正方體的棱長為1，為的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線和直線，下列說法正確的是（

）A．始終過定點(diǎn)B．若，則或C．若，則或2D．當(dāng)時(shí)，始終不過第三象限10．設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，M為C上一動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．準(zhǔn)線l的方程是B．的最小值為4C．所在直線被拋物線所截得的弦長為D．以線段為直徑的圓與y軸相切11．在長方體中，，，動(dòng)點(diǎn)在體對角線上（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（

）A．頂點(diǎn)到平面的最大距離為 B．存在點(diǎn)，使得平面C．的最小值 D．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，為銳角第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．如圖，在四面體OABC中，，，，點(diǎn)在OA上，且，點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，設(shè)，則.13．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中記載有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼奧斯圓.已知點(diǎn)，圓，在圓上存在點(diǎn)滿足，則.（寫出滿足條件的一個(gè)的值即可）14．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，在雙曲線左支上取一點(diǎn)M，若直線MF與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓相切于N，若向量，則雙曲線C的離心率為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知圓：.(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓所截得的弦長；如果相離，求圓心到直線的距離.(2)過圓外一點(diǎn)引圓的切線，求切線方程.16．（15分）已知雙曲線：的離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的右焦點(diǎn)的直線交的右支于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，.(1)求的方程；(2)過P作直線的垂線，垂足為N.證明：直線過定點(diǎn)；17．（15分）如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，平面平面，，，，，，且.(1)已知點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，證明：平面；(2)若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.18．（17分）已知橢圓的左右兩焦點(diǎn)為，，焦距為，過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，的周長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為.（i）求證：為定值;（ii）求面積的最大值.19．（17分）如圖，在三棱臺(tái)中，點(diǎn)D，E分別為，的中點(diǎn)，，，，．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)，且平面，當(dāng)線段最短時(shí)，求平面與平面所成的二面角的正弦值．

2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷02全解全析（考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版選擇性必修第一冊空間向量與立體幾何+直線和圓+圓錐曲線。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由得：，所以直線的斜率為，直線的傾斜角為.2．拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】即，則準(zhǔn)線方程為.故選：C.3．已知空間向量，，若與垂直，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由于與垂直，故，解得，故.4．若雙曲線與雙曲線：有相同漸近線，且過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【詳解】因?yàn)楹陀邢嗤臐u近線，所以設(shè)雙曲線的方程為，將代入得，所以雙曲線的方程為，故選：B5．已知圓與圓有且僅有兩條公共切線，則正數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】圓的方程整理可得，可知圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，由題意可知：兩圓相交，且，，所以.6．在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可知，三線兩兩垂直，所以可建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，．∴．∴．異面直線與所成角的余弦值為．故選：C．7．已知正方體的棱長為1，為的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)三棱錐的外接球的球心為，連接，則，得，解得，所以，故三棱錐的外接球的表面積為.故選：A.8．過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑為1，根據(jù)題意及圖形可知切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，即，則有，整理可得，則，設(shè)兩切線的斜率分別為、，則、為關(guān)于的方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，，所以，所以，由題意可知，所以，由，解得．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線和直線，下列說法正確的是（

）A．始終過定點(diǎn)B．若，則或C．若，則或2D．當(dāng)時(shí)，始終不過第三象限【答案】AC【詳解】對于A，直線，由，得，始終過定點(diǎn)，A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，與直線重合，B錯(cuò)誤；對于C，，則，解得或，C正確；對于D，取，直線過第三象限，D錯(cuò)誤.故選：AC10．設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，M為C上一動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．準(zhǔn)線l的方程是B．的最小值為4C．所在直線被拋物線所截得的弦長為D．以線段為直徑的圓與y軸相切【答案】BD【詳解】對于A，由拋物線，則，所以準(zhǔn)線的方程為，故A錯(cuò)誤；對于B，由題意，過作，垂足為，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由圖可知，故B正確；對于C，由，則直線的方程為，代入，可得，整理可得，由，設(shè)直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為和，則，，所以弦長為，故C錯(cuò)誤；對于D，取的中點(diǎn)為，并過作，垂足為，記準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，如下圖：設(shè)以為直徑的圓的半徑為，由圖可知其圓心為，由圖可知，易知到軸的距離為，則圓與相切，故D正確.故選：BD.11．在長方體中，，，動(dòng)點(diǎn)在體對角線上（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（

）A．頂點(diǎn)到平面的最大距離為 B．存在點(diǎn)，使得平面C．的最小值 D．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，為銳角【答案】BCD【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，故，則，，對于A，，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則點(diǎn)到平面的距離為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為0，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以點(diǎn)到平面的最大距離為，故A錯(cuò)誤.當(dāng)平面，因?yàn)槠矫?，所以，則，解得，故存在點(diǎn)，使得平面，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，取得最小值，由B得，此時(shí)，則，，所以，即的最小值為，故C正確；對于D，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，則，，則，，所以，所以為銳角，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．如圖，在四面體OABC中，，，，點(diǎn)在OA上，且，點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，設(shè)，則.【答案】1【詳解】在四面體OABC中，，而，所以，.13．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中記載有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼奧斯圓.已知點(diǎn)，圓，在圓上存在點(diǎn)滿足，則.（寫出滿足條件的一個(gè)的值即可）【答案】3（答案不唯一）【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)，因滿足，則，化簡得：，即點(diǎn)的軌跡方程為，依題意點(diǎn)又在圓上,如圖，兩圓必有公共點(diǎn)，須使，（由圖知圓C半徑），而，解得.故可取區(qū)間內(nèi)的任何數(shù).14．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，在雙曲線左支上取一點(diǎn)M，若直線MF與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓相切于N，若向量，則雙曲線C的離心率為.【答案】【詳解】連接，取雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，過作的垂線，垂足為，直線與圓相切，，，為的中點(diǎn)，，相似于，且相似比為，故..在雙曲線中，由雙曲線定義知，，為直角三角形，，即，解得，故雙曲線的離心率為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知圓：.(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓所截得的弦長；如果相離，求圓心到直線的距離.(2)過圓外一點(diǎn)引圓的切線，求切線方程.【答案】(1)相交，弦長為；(2)或【詳解】（1）圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，所以直線與圓相交；直線被圓所截得的弦長為；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，圓心到直線的距離等于半徑，所以直線與圓相切，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離為，解得，所以直線方程為，綜上，切線方程為或.16．（15分）已知雙曲線：的離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的右焦點(diǎn)的直線交的右支于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，.(1)求的方程；(2)過P作直線的垂線，垂足為N.證明：直線過定點(diǎn)；【答案】(1)；(2)（i）證明見解析.【詳解】（1）由題設(shè)且，則，由軸時(shí)，，不妨令，代入雙曲線得，所以，則所求方程為；（2）（i）設(shè)，則，由斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立雙曲線并整理得，則，所以，由，直線，根據(jù)雙曲線的對稱性，直線所過定點(diǎn)必在軸上，令，則，因?yàn)?，所以，而，則，所以過定點(diǎn)；17．（15分）如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，平面平面，，，，，，且.(1)已知點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，證明：平面；(2)若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)，取中點(diǎn)為，連接，，，在四邊形中，，，故四邊形為平行四邊形.故為中點(diǎn)，所以在中，為中位線，則且，又且，故且，即四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，平面，即平面.（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，，，設(shè)平面的法向量為，，取由平面與平面所成銳二面角的余弦值為，可得，解得或（舍去），故，又，所以點(diǎn)到平面的距離.18．（17分）已知橢圓的左右兩焦點(diǎn)為，，焦距為，過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，的周長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為.（i）求證：為定值;（ii）求面積的最大值.【答案】(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）【詳解】（1）由題意可得橢圓焦點(diǎn)在x軸上，因?yàn)榻咕酁?，所以，解得，由橢圓定義可得，的周長為，故，解得，又，故，所以橢圓的方程為；（2）（i）證明：由題意可知直線斜率存在，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，顯然，所以；當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，則，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，綜上，為定值0；（ii）由（i）可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以△ABF1面積的最大值為.19．（17分）如圖，在三棱臺(tái)中，點(diǎn)D，E分別為，的中點(diǎn)，，，，．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)，且平面，當(dāng)線段最短時(shí)，求平面與平面所成的二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)【詳解】（1）由棱臺(tái)性質(zhì)知，所以，則，在中，由余弦定理可得：，，連接，