專題05數(shù)列求和（倒序相加法、分組求和法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1題型一：倒序相加法 1題型二：通項(xiàng)為型求和 4題型三：通項(xiàng)為型求和 7三、專題05數(shù)列求和（倒序相加法、分組求和法）專項(xiàng)訓(xùn)練 12一、必備秘籍1、倒序相加法，即如果一個數(shù)列的前項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和.2、分組求和法2.1如果一個數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.2.2如果一個數(shù)列可寫成的形式，在求和時可以使用分組求和法.二、典型題型題型一：倒序相加法例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求證：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；(2)求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，即函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.（2）由（1）知與首尾兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等，使用倒序相加求和.因?yàn)?，所以（倒序），又由?）得，所以，所以.例題2．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．(1)計算的值．(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)2(2)【詳解】（1）；（2）由題知，當(dāng)時，，又，兩式相加得，所以，又不符合，所以.例題3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)是函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)，且，已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；(2)若且求；【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）證明：設(shè)，因?yàn)?，故可得，由知，故，?故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值.（2）由（1）知，兩式相加得：，故.例題4．（2023秋·山東青島·高二山東省青島第五十八中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)滿足，若數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)，；【詳解】（1）因?yàn)?由①,則②,所以可得：，故，.例題5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知為等比數(shù)列，且，若，求的值．【答案】2021【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，所以，因?yàn)?，所以，同理可得，所以題型二：通項(xiàng)為型求和例題1．（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足，，.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）記等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則由題可得，，解得，又等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，所以，.（2）由（1）可得，，所以例題2．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的首項(xiàng)，，，成等比數(shù)列；(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，又因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，即，整理得：，又因?yàn)?，解得?舍)則有，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）解：因?yàn)?，所以，所?所以.例題3．（2023春·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？计谥校┮阎缺葦?shù)列中，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)公比是，則，，因此，所以；（2）由（1），．例題4．（2023秋·江蘇無錫·高二江蘇省南菁高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以.（2），數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.例題5．（2023秋·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）等差數(shù)列滿足，，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，是和的等比中項(xiàng)．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題意可得：，解得，，所以，；又且，，所以，所以．（2）因?yàn)?，所?題型三：通項(xiàng)為型求和例題1．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在①成等比數(shù)列，且；②，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并解答．問題：已知各項(xiàng)均是正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且__________．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)【詳解】（1）若選擇條件①：根據(jù)題意，由，得當(dāng)時，．兩式相減得，，化簡得或（舍），所以當(dāng)時，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，則．又由，得，解得，所以．當(dāng)時，，解得，滿足上式，故若選擇條件②：由題設(shè)知，則當(dāng)時，．，由，得，解得，故當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足上式，故．（2），當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，故例題2．（2023秋·浙江·高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前的項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，兩式相減得．令數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，（2）由題意可得，,①，則②，①②得：,∴,例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】【詳解】當(dāng)n為奇數(shù)時，．當(dāng)n為偶數(shù)時，．綜上所述，例題4．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)且【詳解】（1），當(dāng)時，檢驗(yàn)知：當(dāng)時上式也成立，故．（2）．當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，且，又時滿足上式，此時；且.例題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由可知，則化簡可得：，即，數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，，由可知，，又由為遞增的等比數(shù)列，且，即，解得，.（2）依題意可知，因此,當(dāng)為偶數(shù)時，原式，當(dāng)為奇數(shù)時，原式，綜上，.三、專題05數(shù)列求和（倒序相加法、分組求和法）專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2023秋·山東濰坊·高三山東省安丘市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列為等比數(shù)列，，且，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式的方法，則（

）A． B．2017 C．4034 D．8068【答案】C【詳解】用倒序相加法：令①則也有②由，，即有，可得：，于是由①②兩式相加得，所以．故選：C2．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試用推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的方法探求：若，則（）A．2022 B．4044 C．2023 D．4046【答案】D【詳解】因?yàn)檎龜?shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，所以，又∵函數(shù)，∴，令，則，∴，∴.故選：D.二、填空題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試用推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法探求：若，則.【答案】4038【詳解】正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，，則，由，當(dāng)時，，于是，令，則因此，所以.故答案為：40384．（2023·全國·高三專題練習(xí)）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子．在其年幼時，對的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成．因此，此方法也稱為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)，則的值為.【答案】1009【詳解】由函數(shù)，得，令，則，兩式相加得，解得，所以所求值為1009.故答案為：1009三、解答題5．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，其中為實(shí)數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)滿足，其前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題知，即，整理得，解得；（2）由題知，，且，則，又，故，即.6．（2023秋·廣東廣州·高三廣州市真光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為非零數(shù)列，且滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，由，得，兩式相除得：，即，當(dāng)時，也滿足，所以．（2）由（1）可知，，所以，所以，.7．（2023春·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.滿足，且6是和的等比中項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，可得，又因?yàn)?是和的等比中項(xiàng)，則，可得，則，解得，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得：，則，所以.8．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)定義，記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時，，解得；當(dāng)時，，所以，即，所以，即是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，，則．（2）因?yàn)椋磾?shù)列為遞增數(shù)列，，即數(shù)列單調(diào)遞減．，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以所以．9．（2023秋·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)校考開學(xué)考試）各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)n為偶數(shù)時，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，即,解得或（負(fù)值舍去），當(dāng)時，，，兩式相減得：，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.所以.（2）因?yàn)?，，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等差數(shù)列，所以，當(dāng)n為偶數(shù)時，.10．（2023秋·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）已知在正項(xiàng)數(shù)列中，，當(dāng)時，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）解：由，得，的各項(xiàng)都為正數(shù)，，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，.（2）證明：由，，，因?yàn)?，所以，所以，所?11．（2023春·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，即，得，解得或，?dāng)時，，不合題意，舍去，所以，由，解得，所以，對于，因?yàn)棰?，?dāng)時，，則，當(dāng)時，②，由①－②得，即，又，也適合上式，故，，采用累乘法求通項(xiàng)得，所以．（2）由（1）可得：，則，則數(shù)列的前n項(xiàng)和，①當(dāng)為偶數(shù)，時，采用分組求和：，，所以；②當(dāng)為奇數(shù)，且時，為偶數(shù)，由（1）中結(jié)論得，此時，當(dāng)時，，也適合上式，所以.綜上所述，．12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列中，且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）解：由已知得：