專題02數(shù)列求通項(xiàng)（累加法、累乘法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：累加法 2題型二：累乘法 4三、數(shù)列求通項(xiàng)（累加法、累乘法）專項(xiàng)訓(xùn)練 6一、必備秘籍一、累加法（疊加法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。具體步驟：將上述個(gè)式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：=整理得：=二、累乘法（疊乘法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法。具體步驟：將上述個(gè)式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：整理得：二、典型題型題型一：累加法例題1．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列{}中，，且.其中，(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；【答案】(1)，；【詳解】（1）（法一）由題意知，，則，累加得：且，又，故，而符合上式，故.（法二）由題意知，則，所以則.例題2．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)；【答案】(1)【詳解】（1）當(dāng),①,②,①②可得,左右同時(shí)乘以可以得出:,即得當(dāng)時(shí),應(yīng)用累加法可得:,當(dāng)時(shí),,,且,例題3．（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且．(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以．例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足（），且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（）．【詳解】由題意得（），即，，，，所以個(gè)式子累加得，因?yàn)?，所以（），因?yàn)?，所以（），又?dāng)時(shí)，，所以（）．題型二：累乘法例題1．（2023秋·福建廈門·高三福建省廈門第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列中，，設(shè)為前項(xiàng)和，．(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）解：由數(shù)列中，，且當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，可得，所以，即，則當(dāng)時(shí)，可得，所以，當(dāng)或時(shí)，，適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.例題2．（2023秋·江蘇蘇州·高二南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)（）【詳解】（1）因?yàn)椋ǎ?，（），所以，，，…，，（且），所以（且），整理得：（且），即，（且），又因?yàn)?，所以，（且），?dāng)時(shí)，適合上式，所以，（）.例題3．（2023秋·山東德州·高三德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）∵，，則，∴，兩式相除得：，當(dāng)時(shí)，，∴，即，當(dāng)時(shí)，，∴，即，綜上所述，的通項(xiàng)公式為：；例題4．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)（）【詳解】（1）因?yàn)椋ǎ?，所以，（），所以，，，…，，（且），所以（且），整理得：（且），即，（且），又因?yàn)?，所以，（且），?dāng)時(shí)，適合上式，所以，（）.例題5．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）由可得，當(dāng)時(shí)，，，將以上各式相乘可得：，當(dāng)時(shí)，成立；所以三、數(shù)列求通項(xiàng)（累加法、累乘法）專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）數(shù)列、滿足：，，，則數(shù)列的最大項(xiàng)是（

）A．第7項(xiàng) B．第9項(xiàng)C．第11項(xiàng) D．第12項(xiàng)【答案】B【詳解】時(shí)，，，，，將上式累加，得，解得（對(duì)于同樣成立），故，令，即，解得，，故，即第九項(xiàng)最大.故選：B.2．（2023秋·江蘇蘇州·高二南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等比數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，時(shí)，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得，，解得，故，時(shí)，，故．故選：A3．（2023秋·江蘇無錫·高二江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，∴，∴，故選：C.4．（2023春·河南南陽·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的項(xiàng)滿足，而，則＝（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得，所以，，，……，，，（），所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)闈M足上式，所以，故選：B5．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：在數(shù)列中，，其中d為常數(shù)，則稱數(shù)列為“等比差”數(shù)列.已知“等比差”數(shù)列中，，，則（

）A．1763 B．1935 C．2125 D．2303【答案】B【詳解】因?yàn)閿?shù)列是“等比差”數(shù)列，所以，因?yàn)椋?，所以，所以有，累和，得，因此有，累積，得，所以，故選：B6．（2023春·廣東佛山·高二統(tǒng)考期中）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：A二、填空題7．（2023春·安徽滁州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，若表示不超過x的最大整數(shù)，則．【答案】1【詳解】由得時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也符合，所以，故，，故答案為：18．（2023春·吉林白城·高二?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，且，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】【詳解】由，得，，…，（），以上各式相乘，得（），又，所以（），當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以，，所以．故答案為：.9．（2023秋·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）若，則通項(xiàng)公式.【答案】【詳解】由，得，所以，，，……，，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)闈M足上式，所以，故答案為：10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則【答案】【詳解】由已知可得，.當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，有，，兩式相減得，，所以.所以有，，，，，兩邊同時(shí)相乘可得，，整理可得，.當(dāng)時(shí)，，滿足該式，，滿足該式，故.故答案為：.三、解答題11．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，求的最小值．【答案】【詳解】由題意，，則，當(dāng)時(shí)，上式成立，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，但，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，所以的最小值為，則的最小值為.12．（2023·河南開封·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足且．(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）由題設(shè)，即，而，所以，且，所以，顯然也滿足上式，故.13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若數(shù)列{an}滿足：，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【詳解】由，得，，又當(dāng)時(shí)滿足此式，所以14．（2023春·黑龍江大慶·高二肇州縣第二中學(xué)校考開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)(2)【詳解】（1）由可得，所以，，，…，，以上各式左右兩邊分別相乘可得，即，所以，公式對(duì)也