連續(xù)最優(yōu)化問題的近似算法規(guī)劃一、引言

連續(xù)最優(yōu)化問題的近似算法規(guī)劃是解決復雜優(yōu)化問題的一種重要方法。由于許多實際優(yōu)化問題難以找到精確解，近似算法通過在可接受的時間內提供接近最優(yōu)解的方案，成為工程和科學研究中的常用工具。本文檔將介紹近似算法的基本概念、常用策略及具體應用步驟，為相關領域的從業(yè)者提供理論指導和實踐參考。

二、近似算法概述

近似算法是指在一定時間內能夠找到接近最優(yōu)解的算法，通常以解的質量與最優(yōu)解質量的比值（稱為近似比）來衡量算法性能。

（一）近似算法的分類

1.固定近似比算法：算法保證解的質量不低于最優(yōu)解的某個固定比例。

2.可調近似比算法：算法在解的質量上更靈活，允許根據問題規(guī)模調整近似比。

（二）近似算法的設計原則

1.貪心策略：通過每一步選擇當前最優(yōu)解來構建最終方案。

2.動態(tài)規(guī)劃：將問題分解為子問題并存儲子問題的最優(yōu)解。

3.隨機化方法：利用隨機性提高解的質量或計算效率。

三、近似算法的常用策略

近似算法的設計通?；谝韵虏呗裕?/p>

（一）貪心算法

貪心算法通過在每一步選擇局部最優(yōu)解來構建全局近似解。

1.步驟：

(1)定義問題的局部最優(yōu)選擇標準。

(2)從初始狀態(tài)開始，按順序選擇最優(yōu)選擇，直到滿足終止條件。

(3)返回當前解作為近似解。

2.應用示例：

-貪心算法在最小生成樹問題中，通過每次選擇最小邊并確保不形成環(huán)，可得到近似最優(yōu)解。

（二）隨機化算法

隨機化算法通過引入隨機性來提高解的質量或魯棒性。

1.步驟：

(1)設計隨機化選擇機制。

(2)運行多次算法并記錄最優(yōu)結果。

(3)輸出平均或最佳隨機解。

2.應用示例：

-在負載均衡問題中，通過隨機分配任務到服務器，可近似實現(xiàn)均勻負載。

（三）多項式時間近似方案（PTAS）

PTAS是一類在多項式時間內給出近似解的算法，近似比隨時間復雜度下降。

1.步驟：

(1)將問題規(guī)模參數化。

(2)設計時間復雜度隨參數增長而降低的算法。

(3)通過增加參數獲取更高近似度的解。

2.應用示例：

-在集合覆蓋問題中，PTAS可通過動態(tài)調整集合選擇范圍來逼近最優(yōu)解。

四、近似算法的應用實例

以網絡流問題為例，說明近似算法的實際應用：

（一）最大流問題的近似算法

1.問題描述：在給定網絡中找到流量最大的路徑。

2.近似策略：

-增廣路徑算法：通過重復選擇增廣路徑并調整流量，近似逼近最大流。

-多路徑算法：同時選擇多條增廣路徑以提高流量利用率。

（二）調度問題的近似算法

1.問題描述：在有限資源下最小化任務完成時間。

2.近似策略：

-短任務優(yōu)先：優(yōu)先處理耗時短的任務，減少等待時間。

-隨機調度：隨機分配任務以平衡資源使用。

五、總結

近似算法通過合理的策略和設計方法，能夠在可接受的時間內提供接近最優(yōu)解的方案。本文檔介紹了貪心、隨機化及PTAS等常用策略，并通過具體實例展示了近似算法的應用。未來，隨著算法理論的不斷發(fā)展，近似算法將在更廣泛的領域發(fā)揮重要作用。

一、引言

連續(xù)最優(yōu)化問題的近似算法規(guī)劃是解決復雜優(yōu)化問題的一種重要方法。由于許多實際優(yōu)化問題難以找到精確解，近似算法通過在可接受的時間內提供接近最優(yōu)解的方案，成為工程和科學研究中的常用工具。本文檔將介紹近似算法的基本概念、常用策略及具體應用步驟，為相關領域的從業(yè)者提供理論指導和實踐參考。重點在于闡述如何設計、分析和應用近似算法來解決實際的連續(xù)最優(yōu)化問題，涵蓋從理論框架到具體實施的技術細節(jié)。

二、近似算法概述

近似算法是指在一定時間內能夠找到接近最優(yōu)解的算法，通常以解的質量與最優(yōu)解質量的比值（稱為近似比）來衡量算法性能。近似比的定義通常為：

ApproximationRatio=(ValueofApproximateSolution)/(ValueofOptimalSolution)

對于最小化問題，近似比小于等于1是理想的；對于最大化問題，近似比大于等于1是理想的。更高的近似比通常意味著更接近最優(yōu)解，但可能需要更長的計算時間。

（一）近似算法的分類

1.固定近似比算法：算法保證解的質量不低于最優(yōu)解的某個固定比例α≥1（最小化問題）或α≤1（最大化問題）。例如，某種算法保證解的最差情況也是最優(yōu)解的1.5倍。這類算法的缺點是可能無法針對特定問題實例獲得更好的近似比。

2.可調近似比算法：算法的近似比依賴于問題的某些參數（如實例規(guī)模n），隨著n的增大，近似比可以任意接近最優(yōu)比。這類算法在理論上更優(yōu)，但實際應用中可能仍受限于計算資源。

（二）近似算法的設計原則

設計近似算法時需遵循以下核心原則：

1.貪心策略：通過在每一步選擇當前最優(yōu)解來構建最終方案。貪心算法簡單高效，但通常只能得到固定近似比。其有效性依賴于“貪心選擇性質”（當前最優(yōu)選擇最終導向全局最優(yōu)解）和“最優(yōu)子結構性質”（問題的最優(yōu)解包含各子問題的最優(yōu)解）。

-應用場景：適用于具有獨立選擇性質的問題，如最小生成樹（Kruskal算法）、活動選擇問題。

2.動態(tài)規(guī)劃：將問題分解為子問題并存儲子問題的最優(yōu)解，避免重復計算。動態(tài)規(guī)劃適用于具有重疊子問題和最優(yōu)子結構性質的問題。對于連續(xù)優(yōu)化問題，可通過離散化技術（如將連續(xù)變量離散化）將其轉化為動態(tài)規(guī)劃問題。

-挑戰(zhàn)：連續(xù)優(yōu)化問題的動態(tài)規(guī)劃實現(xiàn)通常需要復雜的離散化方法，且可能面臨狀態(tài)空間爆炸問題。

3.隨機化方法：利用隨機性提高解的質量或計算效率。隨機化算法可分為：

-拉斯維加斯算法：總運行時間確定性，但解為隨機最優(yōu)解（即解一定是最優(yōu)的，但概率為1）。

-蒙特卡洛算法：解為近似解，但運行時間確定性。

-舍入算法：通過將整數規(guī)劃松弛問題（如線性規(guī)劃）的解舍入為整數解來構造近似解。適用于問題可轉化為整數規(guī)劃的形式。

三、近似算法的常用策略

近似算法的設計通常基于以下策略，每種策略都有其適用場景和局限性：

（一）貪心算法

貪心算法通過在每一步選擇當前最優(yōu)解來構建最終方案，適用于具有“貪心選擇性質”和“最優(yōu)子結構性質”的問題。其優(yōu)點是簡單、高效，計算復雜度通常較低。

1.步驟：

(1)定義局部最優(yōu)選擇標準：根據問題特性，明確每一步應如何選擇最優(yōu)解。例如，在最小生成樹問題中，選擇邊權重最小的邊作為當前最優(yōu)選擇。

(2)初始化：從問題的初始狀態(tài)開始，通常為空解集或全解集。

(3)迭代選擇：在當前解集中，按定義的標準選擇一個最優(yōu)元素（如最小權重的邊），并將其加入解集中。

(4)更新約束：確保新增元素不違反問題的約束條件（如不形成環(huán)）。

(5)終止條件：當解集滿足問題要求或無法繼續(xù)選擇時，停止算法，返回當前解集。

(6)返回解：輸出當前解集作為近似解。

2.應用示例：

-最小生成樹（MST）問題：Kruskal算法和Prim算法都是典型的貪心算法。

-Kruskal算法步驟：

(1)將所有邊按權重從小到大排序。

(2)初始化一個空并查集（Union-Find結構）來記錄連通分量。

(3)遍歷排序后的邊，對每條邊：

a.檢查其兩個端點是否屬于同一連通分量（通過并查集查詢）。

b.若不屬于同一分量，則將邊加入MST結果，并將兩個分量合并。

(4)繼續(xù)步驟(3)直到所有頂點連通。

-Prim算法步驟：

(1)初始化一個空MST結果和一個頂點集合（已訪問頂點）。

(2)從任意起始頂點開始，將其加入已訪問集合。

(3)在當前已訪問頂點與未訪問頂點的邊中，選擇權重最小的邊，并確保其連接的未訪問頂點加入已訪問集合。

(4)重復步驟(3)直到所有頂點被訪問。

-集合覆蓋問題：貪心策略可以是“貪心選擇未被覆蓋的頂點最多的集合”，但只能保證常數近似比（α≤2）。

（二）隨機化算法

隨機化算法通過引入隨機性來提高解的質量或魯棒性。其優(yōu)點是可能比確定性算法更優(yōu)，且在某些問題中易于實現(xiàn)。

1.步驟：

(1)設計隨機化選擇機制：根據問題特性，定義隨機選擇的規(guī)則。例如，在負載均衡問題中，隨機選擇服務器分配任務。

(2)多次運行算法：運行多次隨機化算法并記錄每次的結果（如解的質量）。

(3)選擇最優(yōu)結果：根據多次運行的結果，選擇質量最優(yōu)的解作為近似解。

(4)分析近似比：評估算法的近似比或期望性能。

2.應用示例：

-負載均衡問題：將任務隨機分配到服務器，可近似實現(xiàn)均勻負載。

-步驟：

(1)初始化服務器集合S和任務集合T。

(2)對每個任務t∈T：

a.隨機選擇一個服務器s∈S。

b.將任務t分配給服務器s。

(3)返回分配方案。

-近似比分析：在均勻分布的任務到達下，隨機分配的近似比為1（最優(yōu)）。

-最大流問題：隨機選擇增廣路徑的算法（如隨機選擇剩余容量最大的路徑）可得到近似解。

（三）多項式時間近似方案（PTAS）

PTAS是一類在多項式時間內給出近似解的算法，近似比隨時間復雜度下降。這類算法適用于對解的質量要求極高的問題，但通常需要更高的計算成本。

1.步驟：

(1)參數化問題：引入一個參數ε（表示允許的近似誤差），將問題規(guī)模與ε聯(lián)系起來。

(2)設計時間復雜度隨ε下降的算法：通常通過增加問題的“規(guī)?！保ㄈ缭黾幼兞繑盗浚﹣頁Q取更好的近似比。

(3)近似比分析：證明算法的近似比隨著ε的減小而逼近1（或目標最優(yōu)比）。

(4)實現(xiàn)策略：常見的實現(xiàn)方法包括“舍入技術”（將松弛問題的解舍入為整數解）和“多項式縮減”（將原問題轉化為更容易處理的子問題）。

2.應用示例：

-集合覆蓋問題：通過增加集合數量并隨機舍入線性規(guī)劃松弛解，可得到近似比為O(logn)的PTAS。

-步驟：

(1)線性規(guī)劃松弛：將集合覆蓋問題轉化為整數規(guī)劃問題，再松弛為線性規(guī)劃問題。目標是最小化覆蓋所有頂點的總成本，約束是每個頂點被至少一個集合覆蓋。

(2)舍入解：將線性規(guī)劃的最優(yōu)解（x_i≥0，表示集合i的覆蓋比例）進行隨機舍入：若x_i≥1/2，則保留集合i；否則不保留，概率為1-x_i。

(3)近似比分析：可通過概率論證明，該PTAS的近似比為O(logn)。

-頂點覆蓋問題：類似地，可通過舍入技術設計PTAS。

四、近似算法的應用實例

以網絡流問題為例，說明近似算法的實際應用：

（一）最大流問題的近似算法

1.問題描述：在給定網絡中找到流量最大的路徑。

2.近似策略：

-增廣路徑算法：通過重復選擇增廣路徑并調整流量，近似逼近最大流。

-Ford-Fulkerson算法：使用隊列或堆優(yōu)化選擇增廣路徑（如Dinic算法），時間復雜度為O(VE^2)。近似比取決于邊容量的對數因子。

-隨機增廣路徑：隨機選擇增廣路徑，重復多次，可提高解的質量，但近似比不保證。

-多路徑算法：同時選擇多條增廣路徑以提高流量利用率。例如，多路增廣算法（Multiflow）：通過迭代選擇多條增廣路徑并分配流量，可得到更好的近似比（如O(logU)）。

（二）調度問題的近似算法

1.問題描述：在有限資源下最小化任務完成時間（如單機調度、多機調度）。

2.近似策略：

-短任務優(yōu)先（ShortestProcessingTime,SPT）：優(yōu)先處理耗時短的任務，可得到近似比為2的最小化完工時間算法（單機）。

-步驟：

(1)按任務處理時間升序排序。

(2)按順序處理每個任務，記錄當前時間。

(3)返回最大完工時間作為近似解。

-隨機調度：隨機分配任務以平衡資源使用。例如，在多機調度中，隨機將任務分配到空閑機器，可得到近似比為O(logn)的解。

五、近似算法的設計與實現(xiàn)注意事項

在設計和實現(xiàn)近似算法時，需考慮以下因素：

（一）近似比的選擇

-根據應用場景確定可接受的近似比。例如，在資源受限的嵌入式系統(tǒng)中，可能需要更嚴格的近似比。

（二）計算復雜度的權衡

-更好的近似比通常需要更高的計算成本。需根據實際需求選擇合適的算法復雜度（如多項式時間、指數時間）。

（三）算法的魯棒性

-考慮輸入數據的隨機性或噪聲對算法性能的影響。例如，在隨機化算法中，可增加運行次數以提高穩(wěn)定性。

（四）離散化方法的應用

-對于連續(xù)優(yōu)化問題，可通過離散化技術（如分段、四邊形剖分）將其轉化為離散問題，再應用近似算法。

（五）實驗驗證

-通過隨機生成或實際數據測試算法性能，評估近似比和運行時間。

六、總結

近似算法通過合理的策略和設計方法，能夠在可接受的時間內提供接近最優(yōu)解的方案。本文檔介紹了貪心、隨機化及PTAS等常用策略，并通過具體實例展示了近似算法的應用。未來，隨著算法理論的不斷發(fā)展，近似算法將在更廣泛的領域發(fā)揮重要作用。在實際應用中，需根據問題特性選擇合適的近似算法，并考慮計算復雜度、近似比和魯棒性等因素。

一、引言

連續(xù)最優(yōu)化問題的近似算法規(guī)劃是解決復雜優(yōu)化問題的一種重要方法。由于許多實際優(yōu)化問題難以找到精確解，近似算法通過在可接受的時間內提供接近最優(yōu)解的方案，成為工程和科學研究中的常用工具。本文檔將介紹近似算法的基本概念、常用策略及具體應用步驟，為相關領域的從業(yè)者提供理論指導和實踐參考。

二、近似算法概述

近似算法是指在一定時間內能夠找到接近最優(yōu)解的算法，通常以解的質量與最優(yōu)解質量的比值（稱為近似比）來衡量算法性能。

（一）近似算法的分類

1.固定近似比算法：算法保證解的質量不低于最優(yōu)解的某個固定比例。

2.可調近似比算法：算法在解的質量上更靈活，允許根據問題規(guī)模調整近似比。

（二）近似算法的設計原則

1.貪心策略：通過每一步選擇當前最優(yōu)解來構建最終方案。

2.動態(tài)規(guī)劃：將問題分解為子問題并存儲子問題的最優(yōu)解。

3.隨機化方法：利用隨機性提高解的質量或計算效率。

三、近似算法的常用策略

近似算法的設計通常基于以下策略：

（一）貪心算法

貪心算法通過在每一步選擇局部最優(yōu)解來構建全局近似解。

1.步驟：

(1)定義問題的局部最優(yōu)選擇標準。

(2)從初始狀態(tài)開始，按順序選擇最優(yōu)選擇，直到滿足終止條件。

(3)返回當前解作為近似解。

2.應用示例：

-貪心算法在最小生成樹問題中，通過每次選擇最小邊并確保不形成環(huán)，可得到近似最優(yōu)解。

（二）隨機化算法

隨機化算法通過引入隨機性來提高解的質量或魯棒性。

1.步驟：

(1)設計隨機化選擇機制。

(2)運行多次算法并記錄最優(yōu)結果。

(3)輸出平均或最佳隨機解。

2.應用示例：

-在負載均衡問題中，通過隨機分配任務到服務器，可近似實現(xiàn)均勻負載。

（三）多項式時間近似方案（PTAS）

PTAS是一類在多項式時間內給出近似解的算法，近似比隨時間復雜度下降。

1.步驟：

(1)將問題規(guī)模參數化。

(2)設計時間復雜度隨參數增長而降低的算法。

(3)通過增加參數獲取更高近似度的解。

2.應用示例：

-在集合覆蓋問題中，PTAS可通過動態(tài)調整集合選擇范圍來逼近最優(yōu)解。

四、近似算法的應用實例

以網絡流問題為例，說明近似算法的實際應用：

（一）最大流問題的近似算法

1.問題描述：在給定網絡中找到流量最大的路徑。

2.近似策略：

-增廣路徑算法：通過重復選擇增廣路徑并調整流量，近似逼近最大流。

-多路徑算法：同時選擇多條增廣路徑以提高流量利用率。

（二）調度問題的近似算法

1.問題描述：在有限資源下最小化任務完成時間。

2.近似策略：

-短任務優(yōu)先：優(yōu)先處理耗時短的任務，減少等待時間。

-隨機調度：隨機分配任務以平衡資源使用。

五、總結

近似算法通過合理的策略和設計方法，能夠在可接受的時間內提供接近最優(yōu)解的方案。本文檔介紹了貪心、隨機化及PTAS等常用策略，并通過具體實例展示了近似算法的應用。未來，隨著算法理論的不斷發(fā)展，近似算法將在更廣泛的領域發(fā)揮重要作用。

一、引言

連續(xù)最優(yōu)化問題的近似算法規(guī)劃是解決復雜優(yōu)化問題的一種重要方法。由于許多實際優(yōu)化問題難以找到精確解，近似算法通過在可接受的時間內提供接近最優(yōu)解的方案，成為工程和科學研究中的常用工具。本文檔將介紹近似算法的基本概念、常用策略及具體應用步驟，為相關領域的從業(yè)者提供理論指導和實踐參考。重點在于闡述如何設計、分析和應用近似算法來解決實際的連續(xù)最優(yōu)化問題，涵蓋從理論框架到具體實施的技術細節(jié)。

二、近似算法概述

近似算法是指在一定時間內能夠找到接近最優(yōu)解的算法，通常以解的質量與最優(yōu)解質量的比值（稱為近似比）來衡量算法性能。近似比的定義通常為：

ApproximationRatio=(ValueofApproximateSolution)/(ValueofOptimalSolution)

對于最小化問題，近似比小于等于1是理想的；對于最大化問題，近似比大于等于1是理想的。更高的近似比通常意味著更接近最優(yōu)解，但可能需要更長的計算時間。

（一）近似算法的分類

1.固定近似比算法：算法保證解的質量不低于最優(yōu)解的某個固定比例α≥1（最小化問題）或α≤1（最大化問題）。例如，某種算法保證解的最差情況也是最優(yōu)解的1.5倍。這類算法的缺點是可能無法針對特定問題實例獲得更好的近似比。

2.可調近似比算法：算法的近似比依賴于問題的某些參數（如實例規(guī)模n），隨著n的增大，近似比可以任意接近最優(yōu)比。這類算法在理論上更優(yōu)，但實際應用中可能仍受限于計算資源。

（二）近似算法的設計原則

設計近似算法時需遵循以下核心原則：

1.貪心策略：通過在每一步選擇當前最優(yōu)解來構建最終方案。貪心算法簡單高效，但通常只能得到固定近似比。其有效性依賴于“貪心選擇性質”（當前最優(yōu)選擇最終導向全局最優(yōu)解）和“最優(yōu)子結構性質”（問題的最優(yōu)解包含各子問題的最優(yōu)解）。

-應用場景：適用于具有獨立選擇性質的問題，如最小生成樹（Kruskal算法）、活動選擇問題。

2.動態(tài)規(guī)劃：將問題分解為子問題并存儲子問題的最優(yōu)解，避免重復計算。動態(tài)規(guī)劃適用于具有重疊子問題和最優(yōu)子結構性質的問題。對于連續(xù)優(yōu)化問題，可通過離散化技術（如將連續(xù)變量離散化）將其轉化為動態(tài)規(guī)劃問題。

-挑戰(zhàn)：連續(xù)優(yōu)化問題的動態(tài)規(guī)劃實現(xiàn)通常需要復雜的離散化方法，且可能面臨狀態(tài)空間爆炸問題。

3.隨機化方法：利用隨機性提高解的質量或計算效率。隨機化算法可分為：

-拉斯維加斯算法：總運行時間確定性，但解為隨機最優(yōu)解（即解一定是最優(yōu)的，但概率為1）。

-蒙特卡洛算法：解為近似解，但運行時間確定性。

-舍入算法：通過將整數規(guī)劃松弛問題（如線性規(guī)劃）的解舍入為整數解來構造近似解。適用于問題可轉化為整數規(guī)劃的形式。

三、近似算法的常用策略

近似算法的設計通?；谝韵虏呗裕糠N策略都有其適用場景和局限性：

（一）貪心算法

貪心算法通過在每一步選擇當前最優(yōu)解來構建最終方案，適用于具有“貪心選擇性質”和“最優(yōu)子結構性質”的問題。其優(yōu)點是簡單、高效，計算復雜度通常較低。

1.步驟：

(1)定義局部最優(yōu)選擇標準：根據問題特性，明確每一步應如何選擇最優(yōu)解。例如，在最小生成樹問題中，選擇邊權重最小的邊作為當前最優(yōu)選擇。

(2)初始化：從問題的初始狀態(tài)開始，通常為空解集或全解集。

(3)迭代選擇：在當前解集中，按定義的標準選擇一個最優(yōu)元素（如最小權重的邊），并將其加入解集中。

(4)更新約束：確保新增元素不違反問題的約束條件（如不形成環(huán)）。

(5)終止條件：當解集滿足問題要求或無法繼續(xù)選擇時，停止算法，返回當前解集。

(6)返回解：輸出當前解集作為近似解。

2.應用示例：

-最小生成樹（MST）問題：Kruskal算法和Prim算法都是典型的貪心算法。

-Kruskal算法步驟：

(1)將所有邊按權重從小到大排序。

(2)初始化一個空并查集（Union-Find結構）來記錄連通分量。

(3)遍歷排序后的邊，對每條邊：

a.檢查其兩個端點是否屬于同一連通分量（通過并查集查詢）。

b.若不屬于同一分量，則將邊加入MST結果，并將兩個分量合并。

(4)繼續(xù)步驟(3)直到所有頂點連通。

-Prim算法步驟：

(1)初始化一個空MST結果和一個頂點集合（已訪問頂點）。

(2)從任意起始頂點開始，將其加入已訪問集合。

(3)在當前已訪問頂點與未訪問頂點的邊中，選擇權重最小的邊，并確保其連接的未訪問頂點加入已訪問集合。

(4)重復步驟(3)直到所有頂點被訪問。

-集合覆蓋問題：貪心策略可以是“貪心選擇未被覆蓋的頂點最多的集合”，但只能保證常數近似比（α≤2）。

（二）隨機化算法

隨機化算法通過引入隨機性來提高解的質量或魯棒性。其優(yōu)點是可能比確定性算法更優(yōu)，且在某些問題中易于實現(xiàn)。

1.步驟：

(1)設計隨機化選擇機制：根據問題特性，定義隨機選擇的規(guī)則。例如，在負載均衡問題中，隨機選擇服務器分配任務。

(2)多次運行算法：運行多次隨機化算法并記錄每次的結果（如解的質量）。

(3)選擇最優(yōu)結果：根據多次運行的結果，選擇質量最優(yōu)的解作為近似解。

(4)分析近似比：評估算法的近似比或期望性能。

2.應用示例：

-負載均衡問題：將任務隨機分配到服務器，可近似實現(xiàn)均勻負載。

-步驟：

(1)初始化服務器集合S和任務集合T。

(2)對每個任務t∈T：

a.隨機選擇一個服務器s∈S。

b.將任務t分配給服務器s。

(3)返回分配方案。

-近似比分析：在均勻分布的任務到達下，隨機分配的近似比為1（最優(yōu)）。

-最大流問題：隨機選擇增廣路徑的算法（如隨機選擇剩余容量最大的路徑）可得到近似解。

（三）多項式時間近似方案（PTAS）

PTAS是一類在多項式時間內給出近似解的算法，近似比隨時間復雜度下降。這類算法適用于對解的質量要求極高的問題，但通常需要更高的計算成本。

1.步驟：

(1)參數化問題：引入一個參數ε（表示允許的近似誤差），將問題規(guī)模與ε聯(lián)系起來。

(2)設計時間復雜度隨ε下降的算法：通常通過增加問題的“規(guī)模”（如增加變量數量）來換取更好的近似比。

(3)近似比分析：證明算法的近似比隨著ε的減小而逼近1（或目標最優(yōu)比）。

(4)實現(xiàn)策略：常見的實現(xiàn)方法包括“舍入技術”（將松弛問題的解舍入為整數解）和“多項式縮減”（將原問題轉化為更容易處理的子問題）。

2.應用示例：

-集合覆蓋問題：通過增加集合數量并隨機舍入線性規(guī)劃松弛解，可得到近似比為O(logn)的PTAS。

-步驟：

(1)線性規(guī)劃松弛：將集合覆蓋問題轉化為整數規(guī)劃問題，再松弛為線性規(guī)劃問題。目標是最小化覆蓋所有頂點的總成本，約束是每個頂點被至少一個集合覆蓋。

(2)舍入解：將線性規(guī)劃的最優(yōu)解（x_i≥0，表示集合i的覆蓋比例）進行隨機舍入：若x_i≥1/2，則保留集合i；否則不保留，概率為1-x_i。

(3)近似比分析：可通過概率論證明，該PTAS的近似比為O(logn)。

-頂點覆蓋問題：類似地，可通過舍入技術設計PTAS。

四、近似算法