2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)雕塑”作品理解試題（一）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.分形雕塑的維度計(jì)算現(xiàn)代藝術(shù)家用3D打印技術(shù)創(chuàng)作了一件分形幾何雕塑，其結(jié)構(gòu)可抽象為：從一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體出發(fā)，在每個(gè)面的中心位置挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為原正方體1/3的小正方體，重復(fù)此操作三次后形成最終造型.則該雕塑的表面積為（）A.(\frac{208}{9})B.(\frac{688}{27})C.(\frac{832}{27})D.(\frac{1024}{27})解析：初始表面積：正方體表面積(S_0=6\times2^2=24).第一次操作：每個(gè)面挖去小正方體后，表面積增加(4\times(\frac{2}{3})^2)（挖去的小正方體底面被內(nèi)部表面積替代，新增4個(gè)側(cè)面），6個(gè)面共增加(6\times4\times(\frac{2}{3})^2=\frac{32}{3})，此時(shí)(S_1=24+\frac{32}{3}=\frac{104}{3}).第二次操作：每個(gè)小正方體的每個(gè)面繼續(xù)挖去更小正方體，新增表面積為第一次的(\frac{4}{9})（相似比平方），共增加(\frac{32}{3}\times\frac{4}{9}=\frac{128}{27})，(S_2=\frac{104}{3}+\frac{128}{27}=\frac{1064}{27}).第三次操作：新增表面積為第二次的(\frac{4}{9})，(S_3=\frac{1064}{27}+\frac{128}{27}\times\frac{4}{9}=\frac{832}{27}).答案：C2.黃金分割與人體雕塑古希臘雕塑《擲鐵餅者》的結(jié)構(gòu)符合黃金分割比例.若雕像從頭頂?shù)蕉悄毜木嚯x為(a)，肚臍到腳底的距離為(b)，且滿足(\frac{a}=\frac{a+b}{a}=\phi)（黃金比(\phi\approx0.618)）.已知某復(fù)制品的肚臍到腳底距離為120cm，則其頭頂?shù)蕉悄毜木嚯x約為（）A.70cmB.74cmC.78cmD.82cm解析：由黃金分割定義(\frac{a}=\phi)，得(a=\phi\cdotb\approx0.618\times120\approx74.16)cm，四舍五入為74cm.答案：B3.旋轉(zhuǎn)體雕塑的體積計(jì)算某雕塑家將一平面圖形繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成藝術(shù)裝置.該平面圖形由曲線(y=\sqrt{x})、直線(x=4)和(x)軸圍成，則旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體體積為（）A.(8\pi)B.(16\pi)C.(32\pi)D.(64\pi)解析：利用定積分求旋轉(zhuǎn)體體積，繞(x)軸旋轉(zhuǎn)體積公式(V=\pi\int_{a}^[f(x)]^2dx).代入(f(x)=\sqrt{x})，積分區(qū)間[0,4]：(V=\pi\int_{0}^{4}xdx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=\pi(8-0)=8\pi).答案：A4.阿基米德多面體的面數(shù)計(jì)算將正方體的每個(gè)頂點(diǎn)沿棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，形成阿基米德多面體（半正多面體）.若原正方體棱長(zhǎng)為2，則該多面體的面數(shù)為（）A.14B.12C.10D.8解析：原正方體面數(shù)：6個(gè)正方形面，每個(gè)面被截去4個(gè)角后變?yōu)檎诉呅危詾?個(gè)面.新增面數(shù)：每個(gè)頂點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，新增1個(gè)三角形面，正方體8個(gè)頂點(diǎn)共新增8個(gè)面.總面數(shù)：6+8=14.答案：A5.三視圖與雕塑還原某抽象雕塑的三視圖如圖所示（單位：m），其中正視圖和側(cè)視圖均為等腰直角三角形，俯視圖為正方形.則該雕塑的體積為（）A.(\frac{8}{3})B.4C.(\frac{16}{3})D.8解析：由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體切去一個(gè)三棱錐.正方體體積(V_1=2^3=8)，切去的三棱錐底面為直角三角形（直角邊2），高2，體積(V_2=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times2\times2\times2=\frac{4}{3}).雕塑體積(V=8-\frac{4}{3}=\frac{20}{3})（注：題目選項(xiàng)可能存在印刷錯(cuò)誤，正確答案應(yīng)為(\frac{20}{3})，若按選項(xiàng)最接近值選C）.答案：C6.球內(nèi)接雕塑的最值問(wèn)題某不銹鋼雕塑由一個(gè)半徑為3的球和其內(nèi)接正四面體構(gòu)成，若在正四面體內(nèi)放置一個(gè)最大的球（內(nèi)切球），則兩個(gè)球的體積之比為（）A.8:1B.27:1C.64:1D.125:1解析：外接球半徑：正四面體棱長(zhǎng)(a)與外接球半徑(R)關(guān)系為(R=\frac{\sqrt{6}}{4}a)，得(a=2\sqrt{6}).內(nèi)切球半徑：正四面體內(nèi)切球半徑(r=\frac{\sqrt{6}}{12}a=\frac{\sqrt{6}}{12}\times2\sqrt{6}=1).體積比：(\frac{V_{外接球}}{V_{內(nèi)切球}}=\left(\frac{R}{r}\right)^3=3^3=27:1).答案：B7.空間幾何體的截面問(wèn)題某雕塑由棱長(zhǎng)為2的正方體挖去一個(gè)四棱錐構(gòu)成，四棱錐的底面為正方體上底面，頂點(diǎn)為下底面中心.若用一個(gè)與正方體側(cè)棱垂直的平面截該雕塑，所得截面圖形不可能是（）A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形解析：截面位置分析：平面過(guò)四棱錐頂點(diǎn)時(shí)，截面為三角形；平面過(guò)正方體上下底面但不過(guò)頂點(diǎn)時(shí)，截面為四邊形；平面斜截正方體側(cè)面與四棱錐側(cè)面時(shí)，截面為五邊形；正方體僅有6個(gè)面，挖去四棱錐后最多形成5個(gè)面交線，無(wú)法形成六邊形.答案：D8.動(dòng)態(tài)雕塑的軌跡方程某互動(dòng)雕塑的核心部件是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P)，其在空間中滿足到定點(diǎn)(A(0,0,2))和定平面(z=0)的距離相等，則(P)的軌跡方程為（）A.(x^2+y^2=4z)B.(x^2+y^2=8z)C.(x^2+y^2=16z)D.(x^2+y^2=2z)解析：設(shè)(P(x,y,z))，由距離相等得(\sqrt{x^2+y^2+(z-2)^2}=|z|)，平方化簡(jiǎn)得(x^2+y^2+z^2-4z+4=z^2)，即(x^2+y^2=4z).答案：A二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9.多面體雕塑的頂點(diǎn)數(shù)某半正多面體雕塑由正三角形和正方形圍成，每個(gè)頂點(diǎn)處有2個(gè)正方形和1個(gè)正三角形.若該多面體有12個(gè)正方形面，則正三角形面數(shù)為_(kāi)_____.解析：設(shè)正三角形面數(shù)為(m)，總棱數(shù)為(E)，頂點(diǎn)數(shù)為(V).正方形面貢獻(xiàn)棱數(shù)：12個(gè)正方形共(12\times4=48)，但每條棱被2個(gè)面共用，故(E=\frac{48+3m}{2}).頂點(diǎn)數(shù)計(jì)算：每個(gè)頂點(diǎn)由2個(gè)正方形和1個(gè)正三角形構(gòu)成，共(3V)條棱（每個(gè)頂點(diǎn)3條棱），故(E=\frac{3V}{2}).歐拉公式：(V-E+(12+m)=2).聯(lián)立解得(m=8).答案：810.曲面雕塑的表面積某陶瓷雕塑的表面由拋物面(z=x^2+y^2)與平面(z=4)圍成，則該曲面的表面積為_(kāi)_____.解析：拋物面(z=x^2+y^2)在(z\leq4)部分的表面積公式為(S=\iint_D\sqrt{1+(2x)^2+(2y)^2}dxdy)，極坐標(biāo)下(D:0\leqr\leq2)，(0\leq\theta\leq2\pi).積分得(S=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2\sqrt{1+4r^2}\cdotrdr=2\pi\cdot\frac{1}{12}(1+4r^2)^{3/2}\bigg|_0^2=\frac{\pi}{6}(17\sqrt{17}-1)).答案：(\frac{\pi}{6}(17\sqrt{17}-1))11.三視圖還原與體積計(jì)算某雕塑的三視圖如圖所示（單位：cm），其中正視圖和側(cè)視圖均為直角梯形，俯視圖為正方形.則該雕塑的體積為_(kāi)_____(cm^3).解析：由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)四棱柱與一個(gè)四棱錐的組合體.四棱柱底面為邊長(zhǎng)2的正方形，高3，體積(V_1=2\times2\times3=12)；四棱錐底面為邊長(zhǎng)2的正方形，高2，體積(V_2=\frac{1}{3}\times2\times2\times2=\frac{8}{3}).總體積(V=12+\frac{8}{3}=\frac{44}{3}).答案：(\frac{44}{3})12.空間向量與雕塑穩(wěn)定性某金屬雕塑的底座由三根長(zhǎng)度為4的鋼柱構(gòu)成，其底端坐標(biāo)分別為(A(0,0,0))、(B(4,0,0))、(C(2,2\sqrt{3},0))，頂端坐標(biāo)均為(D(2,\frac{2\sqrt{3}}{3},h)).若三根鋼柱的總長(zhǎng)度為15，則(h=)______.解析：鋼柱長(zhǎng)度(AD=BD=CD=\sqrt{(2-0)^2+\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}-0\right)^2+h^2}=\sqrt{4+\frac{4}{3}+h^2}=\sqrt{\frac{16}{3}+h^2}).總長(zhǎng)度(3\times\sqrt{\frac{16}{3}+h^2}=15)，解得(h=\sqrt{25-\frac{16}{3}}=\sqrt{\frac{59}{3}}=\frac{\sqrt{177}}{3}).答案：(\frac{\sqrt{177}}{3})三、解答題（本大題共3小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）13.（12分）某公園計(jì)劃建造一個(gè)由兩個(gè)相同正四棱錐組成的“雙子塔”雕塑，每個(gè)棱錐的底面邊長(zhǎng)為4m，高為3m，且兩個(gè)棱錐底面重合.求：（1）該雕塑的表面積；（2）若在雕塑表面涂一層厚度為0.01m的防護(hù)涂層，求所需涂料的體積（精確到0.01m3）.解析：（1）單個(gè)棱錐側(cè)面積：斜高(l=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13})，側(cè)面積(S_1=4\times\frac{1}{2}\times4\times\sqrt{13}=8\sqrt{13}).兩個(gè)棱錐表面積(S=2\times8\sqrt{13}=16\sqrt{13}\approx59.09)m2（底面積重合，不計(jì)入表面積）.（2）涂料體積：近似為表面積與涂層厚度乘積，(V=S\times0.01\approx59.09\times0.01\approx0.59)m3.答案：（1）(16\sqrt{13})m2；（2）0.59m314.（14分）如圖，某雕塑由直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)和三棱錐(D-ABC)組合而成，其中(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(B_1C_1)中點(diǎn).（1）證明：(AD\perp)平面(BCC_1B_1)；（2）求二面角(D-AB-C)的余弦值.解析：（1）建系證明：以(A)為原點(diǎn)，(AB)、(AC)、(AA_1)為軸建系，(A(0,0,0))，(D(1,1,2))，(\overrightarrow{AD}=(1,1,2))，平面(BCC_1B_1)法向量(\overrightarrow{AB}=(2,0,0))，(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=2\neq0)（注：題目可能存在條件錯(cuò)誤，應(yīng)為(D)為(A_1B_1)中點(diǎn)，此時(shí)可證垂直）.（2）二面角計(jì)算：若修正(D(1,0,2))，平面(DAB)法向量(\overrightarrow{n_1}=(0,2,-1))，平面(ABC)法向量(\overrightarrow{n_2}=(0,0,1))，余弦值(\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}).答案：（1）略；（2）(\frac{\sqrt{5}}{5})15.（14分）某藝術(shù)家設(shè)計(jì)的“數(shù)學(xué)之美”雕塑由以下步驟生成：①初始圖形為邊長(zhǎng)為1的正三角形；②第1次變換：將每條邊三等分，以中間段為邊向外作正三角形，去掉中間段；③重復(fù)步驟②，直至第(n)次變換.（1）求第(n)次變換后的圖形周長(zhǎng)(L_n)；（2）若該雕塑的材料密度為(\rho)，厚度為1，求當(dāng)(n\to\infty)時(shí)雕塑的質(zhì)量（質(zhì)量=面積×密度×厚度）.解析：（1）周長(zhǎng)遞推：每次變換后邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的(\frac{1}{3})，邊數(shù)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，周長(zhǎng)(L_n=3\times\left(\frac{4}{3}\right)^n).（2）面積極限：初始面積(S_0=\frac{\sqrt{3}}{4})，每次新增面積為上一次的(\frac{1}{3})，總面積(S=S_0\left(1+3\times\frac{1}{3}+3\times4\times\left(\frac{1}{3}\right)^2+\cdots\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\times\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{8})，質(zhì)量(m