高一上學(xué)期具體與數(shù)學(xué)試題一、集合與函數(shù)概念（一）集合的基本概念與運算集合是高一數(shù)學(xué)的入門內(nèi)容，也是整個高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。構(gòu)成集合的元素具有確定性、互異性和無序性三大特征。在表示集合時，常用的方法有列舉法、描述法和圖示法。例如，由方程x2-5x+6=0的解組成的集合，用列舉法可表示為{2,3}，用描述法可表示為{x|x2-5x+6=0}。集合之間的基本關(guān)系包括子集、真子集和相等。若集合A是集合B的子集，記作A?B，表示集合A中的任意一個元素都屬于集合B。當A?B且B?A時，A=B。如果集合A中有n個元素，則它有2?個子集，2?-1個真子集。集合的運算主要有交集、并集和補集。交集A∩B={x|x∈A且x∈B}，并集A∪B={x|x∈A或x∈B}，補集?UA={x|x∈U且x?A}。在進行集合運算時，常借助韋恩圖來直觀理解。例如，已知全集U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，B={2,3,4}，則A∩B={3}，A∪B={1,2,3,4,5}，?UA={2,4}。（二）函數(shù)的定義與性質(zhì)函數(shù)的概念是高一上學(xué)期的重點內(nèi)容。設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。求函數(shù)定義域時，需要考慮分式的分母不等于零、偶次方根的被開方數(shù)不小于零、對數(shù)式的真數(shù)必須大于零等情況。例如，函數(shù)f(x)=1/(x-1)+√(x+2)的定義域，要滿足x-1≠0且x+2≥0，即x≥-2且x≠1，用區(qū)間表示為[-2,1)∪(1,+∞)。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一。設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x?，x?，當x?<x?時，都有f(x?)<f(x?)（或f(x?)>f(x?)），那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。判斷函數(shù)單調(diào)性的方法主要有定義法和圖像法。定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟為：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論。函數(shù)的奇偶性也是函數(shù)的基本性質(zhì)。如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。例如，函數(shù)f(x)=x3是奇函數(shù)，因為f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)；函數(shù)f(x)=x2是偶函數(shù)，因為f(-x)=(-x)2=x2=f(x)。二、基本初等函數(shù)（一）指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的一般形式為y=a?（a>0且a≠1）。當a>1時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當0<a<1時，函數(shù)在R上單調(diào)遞減。指數(shù)函數(shù)的圖像恒過定點(0,1)。例如，函數(shù)y=2?是增函數(shù)，y=(1/2)?是減函數(shù)，它們的圖像都經(jīng)過點(0,1)。指數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)包括：a?·a?=a???，(a?)?=a??，(ab)?=a?b?（a>0，b>0，m，n∈R）。這些性質(zhì)在解決指數(shù)運算問題時經(jīng)常用到。例如，計算23×2?=23??=2?=128，(32)3=3?=729。（二）對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，其一般形式為y=log?x（a>0且a≠1）。對數(shù)函數(shù)的定義域為(0,+∞)，值域為R。當a>1時，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當0<a<1時，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。對數(shù)函數(shù)的圖像恒過定點(1,0)。對數(shù)的運算性質(zhì)有：log?(MN)=log?M+log?N，log?(M/N)=log?M-log?N，log?M?=nlog?M（a>0且a≠1，M>0，N>0）。換底公式log?b=log_cb/log_ca（a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0）在對數(shù)的計算和證明中有著廣泛的應(yīng)用。例如，計算log?8+log?4=log?(8×4)=log?32=5，log?9=log?32=2log?3=2。（三）冪函數(shù)冪函數(shù)的一般形式為y=x?（a為常數(shù)）。常見的冪函數(shù)有y=x，y=x2，y=x3，y=x?1，y=x^(1/2)等。不同冪函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)性有所不同。例如，y=x3的定義域為R，在R上單調(diào)遞增；y=x?1的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)，在(-∞,0)和(0,+∞)上分別單調(diào)遞減。三、函數(shù)的應(yīng)用（一）函數(shù)與方程函數(shù)y=f(x)的零點是指使f(x)=0的實數(shù)x，也就是函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標。函數(shù)零點存在定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點。例如，判斷函數(shù)f(x)=x3-3x+1在區(qū)間(0,1)內(nèi)是否有零點。因為f(0)=03-3×0+1=1，f(1)=13-3×1+1=-1，f(0)·f(1)=1×(-1)=-1<0，且函數(shù)f(x)的圖像在R上連續(xù)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點。（二）函數(shù)模型及其應(yīng)用常見的函數(shù)模型有一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型和對數(shù)函數(shù)模型等。在解決實際問題時，需要根據(jù)具體情況選擇合適的函數(shù)模型。例如，某商店購進一批商品，每件商品的進價為10元，售價為x元，銷售量為y件。已知銷售量y與售價x之間的關(guān)系為y=-10x+200（10≤x≤20），則該商店的利潤L=(x-10)y=(x-10)(-10x+200)=-10x2+300x-2000。這是一個二次函數(shù)模型，通過求二次函數(shù)的最值，可以確定最大利潤。對于二次函數(shù)L=-10x2+300x-2000，其對稱軸為x=-300/(2×(-10))=15，因為二次項系數(shù)-10<0，所以函數(shù)在x=15處取得最大值，最大利潤為L=-10×152+300×15-2000=250元。四、空間幾何體（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺和球是常見的空間幾何體。棱柱有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形，每相鄰兩個四邊形的公共邊平行。正棱柱是側(cè)棱垂直于底面的棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共頂點的三角形。正棱錐的底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心。旋轉(zhuǎn)體是由平面圖形繞著一條直線旋轉(zhuǎn)而成的。圓柱可以由矩形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到，圓錐可以由直角三角形繞一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到，圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周或等腰梯形繞上下底面中心所在直線旋轉(zhuǎn)半周得到，球可以由半圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)一周得到。（二）空間幾何體的三視圖和直觀圖三視圖是觀測者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形，包括正視圖、側(cè)視圖和俯視圖。三視圖的畫法要遵循“長對正，寬相等，高平齊”的原則，即正視圖和側(cè)視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬。直觀圖是用斜二測畫法畫出的空間幾何體的圖形。斜二測畫法的步驟為：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O；畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x'軸和y'軸，兩軸相交于點O'，且使∠x'O'y'=45°（或135°）；已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別平行于x'軸或y'軸；已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半。五、數(shù)列（一）數(shù)列的基本概念按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做數(shù)列的項。數(shù)列可以看作是定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1,2,...,n}）的函數(shù)當自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值。數(shù)列的一般形式可以寫成a?，a?，a?，...，a?，...，簡記為{a?}。數(shù)列的通項公式是表示數(shù)列{a?}的第n項與序號n之間的關(guān)系的公式。如果已知數(shù)列的通項公式，就可以求出數(shù)列中的任意一項。例如，數(shù)列{a?}的通項公式為a?=2n-1，則a?=2×5-1=9。（二）等差數(shù)列等差數(shù)列是指從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)的數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，常用字母d表示。等差數(shù)列的通項公式為a?=a?+(n-1)d，前n項和公式為S?=n(a?+a?)/2=na?+n(n-1)d/2。等差數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），則a?+a?=a?+a_q。例如，在等差數(shù)列{a?}中，a?+a?=a?+a?=a?+a?=2a?。（三）等比數(shù)列等比數(shù)列是指從第二項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數(shù)的數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，常用字母q表示（q≠0）。等比數(shù)列的通項公式為a?=a?q??1，前n項和公式為S?=a?(1-q?)/(1-q)（q≠1），當q=1時，S?=na?。等比數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），則a?·a?=a?·a_q。例如，在等比數(shù)列{a?}中，a?·a?=a?·a?=a?·a?=a?2。六、典型試題示例（一）集合與函數(shù)概念試題已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，求實數(shù)a的值。解：由x2-3x+2=0，解得x=1或x=2，所以A={1,2}。因為A∪B=A，所以B?A。對于方程x2-ax+a-1=0，可化為(x-1)(x-(a-1))=0，所以方程的解為x=1或x=a-1。當a-1=1，即a=2時，B={1}，滿足B?A；當a-1=2，即a=3時，B={1,2}，滿足B?A；當a-1≠1且a-1≠2，即a≠2且a≠3時，B={1,a-1}，要使B?A，則a-1必須屬于A，而A中只有1和2，所以這種情況不成立。綜上，實數(shù)a的值為2或3。已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)=x2-2x，求f(x)的解析式。解：因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)。當x<0時，-x>0，所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x。又因為f(-x)=-f(x)，所以-f(x)=x2+2x，即f(x)=-x2-2x。綜上，f(x)的解析式為f(x)=x2-2x（x≥0），f(x)=-x2-2x（x<0）。（二）基本初等函數(shù)試題計算：log?8+log?(1/9)+2?+ln1。解：log?8=log?23=3，log?(1/9)=log?3?2=-2，2?=1，ln1=0，所以原式=3+(-2)+1+0=2。已知函數(shù)f(x)=a?（a>0且a≠1）的圖像經(jīng)過點(2,4)，求f(-1)的值。解：因為函數(shù)f(x)=a?的圖像經(jīng)過點(2,4)，所以a2=4，解得a=2或a=-2。又因為a>0且a≠1，所以a=2，即f(x)=2?，所以f(-1)=2?1=1/2。（三）函數(shù)的應(yīng)用試題某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為40元，銷售單價為60元，每月可銷售300件。為了提高銷量，工廠決定降價銷售，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每降低1元，每月可多銷售20件。設(shè)銷售單價降低x元（x為整數(shù)），每月的銷售利潤為y元，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當銷售單價為多少時，每月的銷售利潤最大，最大利潤是多少？解：銷售單價降低x元后，銷售單價為(60-x)元，每月的銷售量為(300+20x)件。每月的銷售利潤y=(銷售單價-成本)×銷售量=(60-x-40)(300+20x)=(20-x)(300+20x)=-20x2+100x+6000。因為x為整數(shù)，且銷售單價不能低于成本，所以60-x≥40，解得x≤20，又因為銷售量不能為負數(shù)，所以300+20x≥0，解得x≥-15，所以x的取值范圍為0≤x≤20且x為整數(shù)。對于二次函數(shù)y=-20x2+100x+6000，其對稱軸為x=-100/(2×(-20))=2.5。因為x為整數(shù)，所以當x=2或x=3時，y可能取得最大值。當x=2時，y=-20×22+100×2+6000=-80+200+6000=6120；當x=3時，y=-20×32+100×3+6000=-180+300+6000=6120。所以當x=2或x=3時，y取得最大值6120元。此時銷售單價為60-2=58元或60-3=57元。綜上，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-20x2+100x+6000（0≤x≤20且x為整數(shù)），當銷售單價為57元或58元時，每月的銷售利潤最大，最大利潤是6120元。（四）空間幾何體試題一個正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，求該正三棱錐的高和體積。解：正三棱錐的底面是正三角形，底面中心到頂點的距離即為底面正三角形的外接圓半徑r。對于邊長為2的正三角形，其外接圓半徑r=2/(√3)=2√3/3。正三棱錐的高h、側(cè)棱長l和底面外接圓半徑r滿足勾股定理，即h=√(l2-r2)=√[(√3)2-(2√3/3)2]=√[3-4/3]=√(5/3)=√15/3。正三棱錐的體積V=1/3×底面積×高。底面正三角形的面積S=√3/4×22=√3，所以體積V=1/3×√3×√15/3=√5/3。（五）數(shù)列試題已知等差數(shù)列{a?}中，a?=1，a?+a?=14，求數(shù)列{a?}的通項公式和前n項和S?。解：設(shè)等差數(shù)列{a?}的公差為d，因為a?+a?=14，所以a?+2d+a?+4d=14，即2a?+6d=14。又因為a?=1，所以2×1+6d=14，解得d=2。所以數(shù)列{a?}的通項公式為a?=a?+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。前n項和S?=n(a?+a?)/2=n(1+2n-1)/2