新課改背景下初高中數(shù)學二次函數(shù)教學內(nèi)容銜接研究摘要本文旨在對新課改背景下的二次函數(shù)教學內(nèi)容進行逐層分析，并提出一系列解決策略，最后以桂陽縣東風中學為例，分析教學實例，結合新課改背景下對二次函數(shù)教學的要求，對初高中進行了研究分析，重點分析了函數(shù)的單調(diào)性在初高中教學中的對比性，并對提出了一些建設性建議。關鍵詞二次函數(shù)；初高中數(shù)學；教育教學銜接ResearchontheconnectionoftheteachingcontentofthequadraticfunctionofmathematicsinjuniorandseniorhighschoolunderthebackgroundofthenewcurriculumreformAbstractThepurposeofthispaperistoanalyzetheteachingcontentofthequadraticfunctioninthecontextofthenewcurriculumreformlayerbylayer,andtoputforwardaseriesofsolutions.Finally,takingDongfengMiddleSchoolinGuiyangCountyasanexample,thispaperanalyzestheteachingexamples,combinedwiththerequirementsoftheteachingofthequadraticfunctioninthecontextofthenewcurriculumreform,studiesandanalyzesthejuniorandseniorhighschools,focusingonthecomparisonofthemonotonyofthefunctionintheteachingofthejuniorandseniorhighschools,andputsforwardsomesuggestionsSomeconstructivesuggestionsareputforward.KeywordsQuadraticfunction；Mathematicsofjuniorhighschool；Connectionofeducationandteaching目錄1緒論 22研究目的及意義 23新課改下初高中二次函數(shù)教學內(nèi)容及教學要求比較 33.1初中二次函數(shù)教學內(nèi)容及教學要求 43.2高中二次函數(shù)教學內(nèi)容及教學要求 53.3新課改背景下二次函數(shù)學情對比 63.4初高中學生學習特點對比 64初高中二次函數(shù)內(nèi)容的教學現(xiàn)狀調(diào)查 74.1對學生的訪談調(diào)查 74.2對教師的訪談調(diào)查 75二次函數(shù)單調(diào)性教學案例的研究 85.1函數(shù)單調(diào)性的教學案例 85.2初中二次函數(shù)單調(diào)性描述性定義 105.3高中二次函數(shù)單調(diào)性形式化定義階段 105.4高中利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性階段 125.5函數(shù)單調(diào)性案例研究結論 126初高中二次函數(shù)教與學銜接中存在的問題與建議 136.1初高中二次函數(shù)銜接教學中存在的問題 136.2關于初高中二次函數(shù)銜接教學的建議 14結論 15參考文獻 161緒論在21世紀的新時代，數(shù)學教育越來越受到重視。自2004年新課程改革（全稱）實施以來，課程標準逐步走向成熟。就像建造房子需要一個良好的基礎，學習數(shù)學也是如此。在數(shù)學學習生涯中，筆者多次認識到數(shù)學基礎的重要性，并感受到學習的困難，這源于初中和高中許多知識點的“斷開”問題。隨著數(shù)學教材的更新和迭代，教育者逐漸認識到數(shù)學知識的一致性，而課程中某一知識點的獲取失敗將使后續(xù)的知識獲取更加困難。在新課程改革的背景下，二次函數(shù)在初中教學中得到了廣泛的應用，而在高中教學中，隨著教學模式的轉(zhuǎn)變，教學方法也逐漸發(fā)生了變化，教師也逐漸開始重視數(shù)形結合的理念，并進行前端化教書。[1]我翻閱了目前的初高中教材，發(fā)現(xiàn)在我國目前現(xiàn)行的各個數(shù)學教材中，大多數(shù)初中教材對二次函數(shù)的掌握程度要求偏低，大多數(shù)初中生對函數(shù)的理解相較高中更為簡單，只初步形成了簡單的數(shù)學思維狀態(tài)。進入高中后，高考二次函數(shù)的測試幾乎貫穿整個高中生涯。二次函數(shù)和二次方程的組合，二次函數(shù)是不一樣的，并且有很多知識是學習者無法回避的，比如方程和二次方程之間的轉(zhuǎn)換。這次，我以二次函數(shù)為垂直線，分析了初中、高中的教材和教學中二次函數(shù)學習所涉及的內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)初中二次函數(shù)的教學總是從頭到尾的，而不是以高中教學為中心。進入高中后，教師的教學方法發(fā)生了根本性的變化。學習者在改變學習方法之前必須面對更多的知識壓力，這會增加學習者的學習壓力。2研究目的及意義為了從根本上改善教育困難，使后進生有更好的教育媒介，筆者擬以二次函數(shù)的初中、高中數(shù)學教材為例，對教學中存在的不足、教學中的壓力和困難進行總結和從教學中學習平衡部分：高中教學不應強調(diào)教學的重點和難點，而應在中學教學中放一部分平衡。[2]高中一年級首先要學的是二次函數(shù)，它是初中和高中知識的完美連接。它不僅對初中的內(nèi)容進行了回顧，而且對高中二次函數(shù)學習過程中的分類思維進行了介紹和訓練。必須引導學生掌握二次函數(shù)的圖像、開放方向、對稱軸等內(nèi)容之間的關系，掌握二次函數(shù)的參數(shù)的處理方法。大部分初中教材為學生打下了基礎，但大部分都不夠強。即使是一些學生在進入高中后再次看到新知識時也會覺得自己有了新知識。在數(shù)學學習中，知識是由許多舊知識組成的。在舊知識的教學中，我們應該滲透新知識的脈絡。筆者希望從不同的角度對二次函數(shù)教學進行戰(zhàn)略性的解決：從初中的具體內(nèi)容、章節(jié)的專業(yè)化到問題的靈活激活、高中函數(shù)的概念化，以及如何適應二次函數(shù)教學的實踐分析。3新課改下初高中二次函數(shù)教學內(nèi)容及教學要求比較二次函數(shù)作為一種簡單而基本的函數(shù)類型，是初高中教學內(nèi)容中聯(lián)系最密切的內(nèi)容。大多數(shù)初中學生在初中時學習成績優(yōu)異，但一進入高中，就會開始失去一開始的得心應手。在初中階段，學生研究的函數(shù)以二次函數(shù)為重點，題目意圖淺顯明了，題目類型單一，師生重視，掌握得較好；而在高中階段，二次函數(shù)除了二次不等式部分略有涉及外，其他已不再有單獨的二次函數(shù)題型出現(xiàn)，而更多的是二次函數(shù)穿插在其它內(nèi)容中來進行考察。[3]在實際教學中筆者發(fā)現(xiàn)，對二次函數(shù)有關內(nèi)容，學生在數(shù)學學習中，存在著脫節(jié)現(xiàn)象，高中學生對二次函數(shù)的性質(zhì)運用不再順手，甚至有時束手無策。即使到了高三復習階段，許多學生對二次函數(shù)的認識及運用水平、思維層次還停留在初中階段，較強的思維定勢導致的這種情況，主要是因為初高中二次函數(shù)的學習雖有共同點，但更多的是不同點，學生不能及時適應題型的變化，初中時形成的思維定勢不能消除。這次，本人以二次函數(shù)為垂直線，分析了初中、高中的教材和教學中二次函數(shù)學習所涉及的內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)初中二次函數(shù)的教學總是從頭到尾的，而不是以高中教學為中心。進入高中后，教師的教學方法發(fā)生了根本性的變化。學習者在改變學習方法之前必須面對更多的知識壓力，這會增加學習者的學習壓力。3.1初中二次函數(shù)教學內(nèi)容及教學要求二次函數(shù)在初中教學的一個重難點，主要教學內(nèi)容有：由生活實例出發(fā)入手，引出二次函數(shù)的圖像的討論：主要討論什么樣的函數(shù)為二次函數(shù)，從而得出二次函數(shù)的概念；通過類比一次函數(shù)的研究方法，運用數(shù)形結合的方法，從y=x2開始，由簡單到復雜，由特殊到一般，逐步逐層地對一般二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)進行深入研究，以了解通過組織小組合作交流，集體觀察二次函數(shù)圖像的平移變換過程，研究平移時解析式的變化，體驗函數(shù)圖像的變換，了解數(shù)形結合思想在學習中的重要性；以函數(shù)的角度認識一元二次方程，認識二次函數(shù)與對應方程之間的聯(lián)系，并由此加深對一元二次方程的認識；運用二次函數(shù)模型分析與解決某些實際問題，進一步體會函數(shù)在反映現(xiàn)實世界的運動變化中的作用。教師有意識地培養(yǎng)學生的應用意識及創(chuàng)新意識，有利于培養(yǎng)學生用數(shù)學語言表達生活情景的能力，加強學生數(shù)學建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，使學生養(yǎng)成用數(shù)學眼光觀察世界的習慣。學生在初中學段二次函數(shù)的學習，不僅會為學生體會函數(shù)的思想奠定基礎，而且為下個學段的繼續(xù)學習起到很好的鋪墊作用。二次函數(shù)在中考中也是一個重點考點，其中重點考察：函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的圖像；函數(shù)的定義域；函數(shù)的值域（最值問題）；函數(shù)的解析式；代數(shù)與幾何的綜合能力（作為壓軸題出現(xiàn)）。《義務教育數(shù)學課程標準》中關于初中學段二次函數(shù)所學知識的要求如下:通過學習情境中蘊含的函數(shù)關系，來體會二次函數(shù)的意義；學生會使用描點法繪制二次函數(shù)圖像，且能根據(jù)圖像來理解二次函數(shù)性質(zhì)；學生會根據(jù)配方法將二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c學生會根據(jù)二次函數(shù)的圖像逆推求出相應二次方程的根；對待定系數(shù)法有一定了解，會運用不共線的三點坐標，求出二次函數(shù)的解析式。3.2高中二次函數(shù)教學內(nèi)容及教學要求高中學段二次函數(shù)知識主要分布在必修一（第二章·第四節(jié)·二次函數(shù)性質(zhì)的再研究）及必修五（第三章·第二節(jié)·一元二次不等式），具體內(nèi)容如下:準確地判定及嚴謹?shù)赝评碜C明二次函數(shù)的單調(diào)性；學生會結合單調(diào)性求出二次函數(shù)的最值（判斷是否有最大值或最小值、求出其中之一），以解決以二次函數(shù)為模型的實際問題；對二次函數(shù)的圖像再深入研究，體會a與圖像開口大小間的關系，研究h、k與圖像平移之間的聯(lián)系，并學會通過研究二次函數(shù)圖像的形狀（開口方向、是否有最值）、位置的拓展以及化歸的過程，以體會研究函數(shù)的一般方法。對二次函數(shù)性質(zhì)的再研究，在初中學段研究的基礎上，高中學段根據(jù)配方后得到的解析式對其單調(diào)區(qū)間、最大值、最小值進行研究；根據(jù)二次函數(shù)圖像準確求出一元二次不等式的解集，進一步體會二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三個“二次”之間的關系，并通過從實際問題中抽象出二次不等式加深學生對三個‘二次’的認識。高中學段二次函數(shù)的學習其實是對初中所學內(nèi)容的推廣、引申以及完善，本文中關于二次函數(shù)教學做了相關研究，意識到對函數(shù)板塊的學習應該承前啟后的進行。而在2017版《普通高中課程標準》中關于高中學段二次函數(shù)所學知識的要求如下:在初中預備知識中，以義務教育階段數(shù)學課程內(nèi)容為載體，從初中已教授的二次函數(shù)觀點中認識未知的一元二次方程與一元二次不等式，理解三個知識點之間的聯(lián)系，體會數(shù)學知識間的整體聯(lián)系性，幫助學生完成各學段數(shù)學學習的過渡。具體內(nèi)容包括:從二次函數(shù)角度看一元二次方程，要做到能根據(jù)函數(shù)的圖像，判斷對應一元二次方程實數(shù)根是否存在，借此了解函數(shù)零點與一元二次方程的根之間的關系；從二次函數(shù)的函數(shù)角度來看一元二次不等式，學生應做到能從實際情境中抽象表達出一元二次不等式，以了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義，帶領學生做到結合二次函數(shù)圖像對一元二次不等式進行求解，并通過集合表示一元二次不等式的解集；做到通過結合一元二次函數(shù)的圖像，來了解一元二次不等式以及其相應函數(shù)、相應方程，即了解三個“二次”之間的聯(lián)系。3.3新課改背景下二次函數(shù)學情對比初中學段二次函數(shù)的學習應作為高中學段二次函數(shù)學習的基石，因為高中學段二次函數(shù)的學習是在初中學段的學習基礎上進一步探索研究。中考中二次函數(shù)考察占比較大，出題人經(jīng)常會將二次函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性）與圖形變換（主要考察a、b相較中考，高考對于二次函數(shù)的考察更有深度，高考中已不再單獨對二次函數(shù)性質(zhì)及應用進行簡單的考查，而是將二次函數(shù)作為解題載體或者說解題工具，將二次函數(shù)知識點穿插于導數(shù)、一元二次不等式與數(shù)列等知識中，并且通常以綜合題的形式出現(xiàn)（全國卷I卷大多為21題）。高考重心向數(shù)學核心素養(yǎng)考查偏，以數(shù)形結合、分類討論思想、函數(shù)方程整體思想和各類函數(shù)解析式以及待定系數(shù)法等計算方法和技巧地運用。3.4初高中學生學習特點對比在初高中數(shù)學教學中，教師對學生能力的培養(yǎng)是多方面的，但目前教育現(xiàn)狀要求下，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維更是重中之重。在數(shù)學思維中，邏輯思維和非邏輯思維是最基本的思維。數(shù)學思維是深刻的，它表現(xiàn)為通過現(xiàn)象認識事物的本質(zhì)和外部關系，從而發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)在本質(zhì)和規(guī)律。通過深入系統(tǒng)的思考，才能達到解決問題的目的。思維深度在學生思維能力上的差異，即思維深度的培養(yǎng)，實際上是對學生內(nèi)在數(shù)學能力的培養(yǎng)，要求學生能夠?qū)W習數(shù)學概念，學會全面思考。[4]數(shù)學的深層思考主要表現(xiàn)在以下幾個方面：善于從本質(zhì)上理解數(shù)學對象。如果你能認識到數(shù)學中所研究的幾何圖形只是對具體事物的抽象，而不是具體事物，那么它們只存在于人們的思維中，而不是自然界中；如果你能認識到任何對數(shù)學對象的研究都是一個從抽象到具體再到進一步抽象的過程。他善于運用對立統(tǒng)一的觀點來理解數(shù)學對象。比如，他可以通過有限的情境理解無限的情境，用有限的情境描述無限的情境；比如，他可以認識到數(shù)學研究對象兩個相對的方面的依賴性。它有著廣泛的思想，可以從多個角度和層次進行研究和討論。面對具體問題，我們應該能夠從各個方面了解問題，找出與這個問題有關的問題。換言之，數(shù)學思維的廣度是指一個數(shù)學問題可以從許多不同的角度和方面來考慮，而思維是發(fā)散的。要有一定的層次來培養(yǎng)學生的廣闊思維。首先，為了培養(yǎng)學生多角度觀察事物的能力，我們可以用“一題多解”的方法引導學生發(fā)現(xiàn)問題，并提出多種不同的解決方案。[5]其次，我們可以通過開放式問題和開放式教學來培養(yǎng)學生。思維的靈活性思維的靈活性體現(xiàn)在運用一些數(shù)學方法的靈活性上，即條件的變化會使學習者的反應最小，這可以體現(xiàn)在學習方法上，從而找到解決問題的方法：隨著問題新情況的變化，我們可以快速確定解決問題的方向，并根據(jù)當前情況將其他相關知識與解決問題的知識相關聯(lián)；當思維受阻時，我們可以迅速發(fā)現(xiàn)問題，并且可以從一種方式轉(zhuǎn)變到另一種方式，或者以多種方式思考同一個問題。數(shù)學在形象思維方面，以其抽象性、邏輯性和嚴謹性著稱，但學生大多在數(shù)學思維中存在形象感性思維因素。從常見的“數(shù)形結合”的數(shù)學思想可以看出，形象思維是學生一切抽象思維的基礎。在日常教學中我發(fā)現(xiàn)，對于目前的初中生來說，大多的學生形象思維能力相較抽象思維能力更強，但大多都缺乏對數(shù)學知識的深入理解和廣泛運用。在直覺思維方面，初中生和高中生普遍缺乏直覺意識，他們對數(shù)學問題缺乏直觀的想象力和判斷力。在數(shù)學研究中，直觀的想象和判斷具有相對重要的意義，應予以鼓勵和提倡。在數(shù)學教學過程中，教師要引導學生進行感性判斷，鍛煉直覺思維。在抽象邏輯思維方面，初中生和高中生相對缺乏抽象思維，普遍需要經(jīng)歷先后進的過程。這一過程類似于“老虔誠人”沿著“三步跪五步轉(zhuǎn)”的密集臺階，曲折地朝圣圣地。例如，在函數(shù)教學中，在一定的知識點上，這個問題與這個問題有一定的聯(lián)系。如果他們不指出具體的聯(lián)系，學生往往會感到困惑和茫然。4初高中二次函數(shù)內(nèi)容的教學現(xiàn)狀調(diào)查對教育現(xiàn)狀感觸最深的一定是身處教育一線的學生以及老師，所以筆者在郴州市桂陽縣東風中學進行了隨機走訪，以下是部分的訪談記錄。（名字均為化名）4.1對學生的訪談調(diào)查在參與實踐課的桂陽縣東風中學初三331班同學中，張嘉心同學：對二次函數(shù)認識淺薄，停留在單純的圖像和公式表面上，比較擔心自己參加中考時的成績，以及未來高中學習中會不會有更多二次函數(shù)的題型，擔心未來的學習壓力，有輕微的厭學情況。在參與實踐課的桂陽縣東風中學初三334班同學中，龍顧同學：上次考試里二次函數(shù)的題正確率還算高，但運用起來沒有那么得心應手，對中考成績還算有信心，但對未來高中所學一無所知。在談及希不希望老師講課時對高中學習內(nèi)容有提及是，龍顧表示：肯定要提一下，我很快就要中考，對未來的知識也很是好奇，如果進高中的時候?qū)χR一無所知，我會很緊張。4.2對教師的訪談調(diào)查桂陽縣東風中學中的徐建彬老師：學生學習二次函數(shù)式子時還好，圖像也還行，但是在函數(shù)的性質(zhì)這一段就開始犯糊涂，容易出現(xiàn)知識混淆，學習成績也出現(xiàn)兩極化，好的特別好，壞的特別壞，中等的那些學生就是只記得一般式和圖像是個拋物線，但具體細節(jié)特別容易混亂，在學習重點時，基礎一般的學生學習起來都有點吃力，更別說難點，更別提基礎差的學生了。在提及是否需要對高中知識進行銜接時，徐建彬老師表示：在平行班其實沒有特別大的必要，平行班學生基礎差，學習基礎的知識都有點吃力，更不要提高中內(nèi)容了，還不如留著時間去鞏固基礎知識。但是如果是實驗班的話，可以在教學結束的時候進行提及，可以拓寬一下這群孩子的眼界，思維一直停留在初中學段對她們沒有太大好處。如果對高中學習做好準備，剛進高中的她們也不會太過慌亂。在問到是否在教學之余有對高中內(nèi)容有過了解，徐建彬老師說：比較少，但是說多深也沒多深，我的工作固定，所以基本只做初中的，以及一些競賽的題目，有些孩子想走競賽這條路，我也能幫幫他們。之后應該會去多了解一下高中的教材內(nèi)容，你說的二次函數(shù)確實是我印象里比較重點的初高中都有的內(nèi)容，我之后也會去給她們上課的時候涉及一下，就算只有一點也比進了高中一頭霧水好。5二次函數(shù)單調(diào)性教學案例的研究5.1函數(shù)單調(diào)性的教學案例根據(jù)新課程標準的理念要求，數(shù)學教學要設計一系列問題，讓學生在解決應用問題的時候，應逐步完善其認知結構。[6]而函數(shù)單調(diào)性在二次函數(shù)教學中的比重越來越大，所以筆者將研究重點放在了單調(diào)性教學上。下面是本人函數(shù)單調(diào)性的一個教學案例。教學目標:掌握函數(shù)單調(diào)性定義，并掌握一些判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。能利用單調(diào)性進一步研究函數(shù)。教學重點:對函數(shù)單調(diào)性定義的理解。教學難點:學習過程中問題的提出與解決。教學流程:一、情境導入（生活情境到數(shù)學概念的的提出）表1某地一天中氣溫的變化8:0010:0012:0014:0016:0018:0020:0018.8℃21.8℃23.6℃23.9℃24.3℃23.2℃22.7℃圖1某地一天中氣溫的變化圖從表格和圖像上我們可以看到這一天的氣溫，溫度在8-16點之間不斷上升，而從16-20在下降。師：同學們，老師給你們個要求：把時間作為自變量，氣溫作為因變量，來構建一個函數(shù)，請你們告訴老師氣溫會隨時間怎么變化？（教師拋出問題給學生，而不是一味地重復講解）生自由討論，并舉手回答。（學生自由思考，并逐漸提升發(fā)散性思維，將對教師的依賴性降低）師：同學們，再回憶一下：我們之前學過的一次函數(shù)，以及反比例函數(shù)的圖像有什么特點呢？生：當系數(shù)大于0時，一次函數(shù)的圖像是上升的，反比例函數(shù)的圖像是下降的。（以二次函數(shù)為核心，引導學生回憶不同函數(shù)的圖像性質(zhì)。而不是單獨學習一個獨立的函數(shù)）師：那么從這些我們可以得到函數(shù)的什么性質(zhì)了？生：當y隨著x的增大而增大時，則為增函數(shù)，當y隨x的增大而較小時，則為減函數(shù)。師：接下來，當你們沒有圖像和表格的時候，你們覺得應該如何去判斷一個函數(shù)是呈增函數(shù)還是減函數(shù)呢？生自由討論，并舉手回答。師總結：在某定義區(qū)間內(nèi)，任意x1<x這樣的情景討論在師生互動中抽象地引出了學生對增減函數(shù)的正確定義，而在后面教學過程中，教師應用例題引導學生運用數(shù)學語言進行函數(shù)單調(diào)性進行證明。在學習的時候，學生又太過依賴教師教學，不愿意動腦去思考，而是直接獲取結論，失去了積累學習經(jīng)驗的機會。而結論也并沒有掌握的很牢固，浮于表面，中考考察內(nèi)容簡單，而高中考察內(nèi)容復雜，且與其他知識串聯(lián)成網(wǎng)，致使以二次函數(shù)為例的銜接性知識前后考察結果不一[7]。引導學生從實際情況出發(fā)，根據(jù)現(xiàn)有的知識對函數(shù)單調(diào)性進行歸納總結，最終學會函數(shù)單調(diào)性的運用，這種函數(shù)教學方式能提升學生對于二次函數(shù)地理解。5.2初中二次函數(shù)單調(diào)性描述性定義在初中數(shù)學教學中，由于學生剛剛接觸函數(shù)這個范疇，對函數(shù)只進行過簡單的了解。因此在普通的函數(shù)單調(diào)性教學中，只能以簡單的現(xiàn)象來描述函數(shù)的定義。譬如，在4.1節(jié)中，利用某地一天中氣溫隨時間的變化數(shù)據(jù)來向?qū)W生展示出函數(shù)的單調(diào)性，通過數(shù)據(jù)，學生可以很容易的捕捉到一天中在8-16點之間，溫度是不斷上升的；從16點到晚上20點之間，溫度是連續(xù)下降的。[8]這樣的模型體現(xiàn)，使教師在教學的過程中，能通過這個簡單的現(xiàn)象告訴學生函數(shù)的定義：以溫度為因變量，以時間為自變量，那么溫度和時間所構成的關系就是函數(shù)：在8-16點之間，溫度隨時間不斷上升，像這種溫度(變量)隨時間(自變量)不斷上升的函數(shù)，我們稱之為增函數(shù)。同理，當溫度隨時間減小，我們便稱之為減函數(shù)。這種增減性，我們稱之為單調(diào)性。通過情境導入（生活實例介紹），使得剛接觸函數(shù)范疇的初中生，對函數(shù)有了個簡單的了解，對函數(shù)的單調(diào)性也產(chǎn)生了初步的認知。而之后二次函數(shù)的單調(diào)性也通過同樣的教學形式來進行，不論是初中還是高中的數(shù)學教學，都會更加的簡易便捷。這樣的課堂教學形式，提升了學生學習數(shù)學的興趣，對于學生知識吸收程度的感知，我們通常用師生課堂互動的方式來進行。[9]而這類互動最簡單的方式就是讓學生自由討論，并舉例闡述現(xiàn)實生活中能夠體現(xiàn)出函數(shù)單調(diào)性的案例。5.3高中二次函數(shù)單調(diào)性形式化定義階段而到了高中階段，對函數(shù)的單調(diào)性有了直接的定義:函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)的變量y，隨著自變量x的變化(在x的一個連續(xù)的范圍內(nèi))而呈現(xiàn)單調(diào)增加或減小的情況，我們就稱這個函數(shù)在x的這個定義域內(nèi)單調(diào)遞增或遞減。[10]如函數(shù)y=x圖2一元二次函數(shù)從圖中可以明顯看出，當橫坐標x>0時，y的值隨著x的增加而增加，因此函數(shù)是單調(diào)遞增的，從圖形上也可以看出曲線隨著x增大不斷上升的趨勢;當x<0時，函數(shù)是單調(diào)遞減的，從圖形上也可以明顯看出曲線隨著x增大不斷下降的趨勢。另外作為高中生不僅僅要求從現(xiàn)象和圖像上了解函數(shù)，還要從符號表示上去了解函數(shù)單調(diào)性的定義:函數(shù)fx在定義域內(nèi)任意取x1，x2，且x1<x2，當存在fx1<fx2時，我們稱函數(shù)在這個定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的;同理，函數(shù)fx在定義域內(nèi)任意取x1,x2一般函數(shù)單調(diào)性的證明:函數(shù)fx=x5證明，令在定義域內(nèi)，取任意x1,x2fx1?fx2=(x15+x13=(x1?x2)5+(x1因為x所以x1所以f即函數(shù)fx通過函數(shù)單調(diào)性符號定義法，我們可以很快的證明較復雜的函數(shù)的單調(diào)性。5.4高中利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性階段近年來，隨著我國數(shù)學教育的進一步發(fā)展，導數(shù)概念從大中專院校引入了高中課堂，為二次函數(shù)的單調(diào)性證明帶來了極大的方便。導數(shù)的定義:設函數(shù)y=fx在點x0的某個鄰域N(x0,δ)內(nèi)有定義，當自變量x在x0處有增量△x(設x0+△x∈N(x0,δ)>0)，函數(shù)y=f(x)相對應的增量為△y=f(x0+△x)?f(x利用導數(shù)的來判斷函數(shù)的增減性，而導數(shù)從圖形上來說表示為某個點的切線的斜率，利用這一特點，我們從圖形上很明顯的知道，當圖像上升的時候，所有點的切線斜率都為正，所以在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果fx<0，那么函數(shù)y=fx在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;而當圖像是下降的時候，所有點的切線斜率為負，所以在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果fx<0，那么函數(shù)y=fx在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有y=fx，則fx是常數(shù)函數(shù)。而要用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，必須保證圖像是連續(xù)的。導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性證明中的具體應用，函數(shù)fx5.5函數(shù)單調(diào)性案例研究結論用三個階段和三種方法來證明和描述函數(shù)的單調(diào)性，說明初中數(shù)學教學階段用描述性定義的函數(shù)判斷水平最低，存在一定的缺陷和不科學性。從上面的溫度和時間數(shù)據(jù)來看，嚴格地說，我們只能證明這些時間點的溫度是上升還是下降，但這兩個時間點之間是否存在波動是未知的，因此得到的函數(shù)的單調(diào)性是不科學的。然而，對于初中生來說，這足以解釋函數(shù)的單調(diào)性。在高中階段，我們引入了函數(shù)單調(diào)性的符號定義，這是非常精確的。同時，該方法還可以證明許多函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，包括二次函數(shù)在內(nèi)。[12]然而，隨著我們數(shù)學知識的不斷積累，一些復雜數(shù)學函數(shù)的大小很難用加減法來判斷。因此，許多函數(shù)的單調(diào)性不能用符號定義來證明和求解。最后介紹的導數(shù)證明可以說是一種簡單易行的高級函數(shù)證明方法。同時，它可以解決復函數(shù)的許多單調(diào)性問題，但它的一個缺點是基于導數(shù)。6初高中二次函數(shù)教與學銜接中存在的問題與建議6.1初高中二次函數(shù)銜接教學中存在的問題在社會發(fā)展過程中，每一個矛盾的解決和處理新事物的方式，都意味著改革是需要的，而改革也是一種生產(chǎn)力，所以從這個意義上說，我國的新課程改革也具有同樣的價值和意義。在傳統(tǒng)的初中、高中數(shù)學教學中，初中、高中數(shù)學各種函數(shù)教學的銜接問題沒有得到應有的重視，導致以二次函數(shù)為主的函數(shù)教學可能存在諸多影響因素和問題。最重要的原因是初中和高中的教師有自己的教學任務和目標，沒有充分認識到兩者之間的聯(lián)系，導致初中和高中的數(shù)學教學對學習之間的關系沒有認識。[13]初中和高中數(shù)學教學對二次函數(shù)銜接的認識不足，體現(xiàn)在學生學習的認知能力和特點、學生的情境和認知結構以及對學生數(shù)學學習的概念理解等方面有待提高。初中數(shù)學的教與學更多的是應付中考，而與高中數(shù)學的聯(lián)系卻缺乏應有的重視，使得初中生與高中生在學習方法、學習態(tài)度、思維方式等方面存在一定的差異。在學生學習中通常會有多方面的影響因素，不同的因素對學生學習產(chǎn)生的后果大多大同小異，正向因素大多又會使學生的學習穩(wěn)步提升，比如良好的學習環(huán)境，優(yōu)質(zhì)的教師資源，良性競爭的同學關系。而負向因素大多使學生心理開始出現(xiàn)失常，這類因素大多令學生的學習有很大阻力。而對于教師來說，有一部分故步自封的原因，這也是教師知識儲配量停滯的原因。有一部分教師在課后的題庫里并沒去刻意了解高中知識，而是僅僅停留在中考考點，而學生的學習任務足夠大，更不會去主動翻閱了解，知識的銜接在這個因素的共同影響下，幾乎失去存在。對于二次函數(shù)而言，教師的教授也僅停留在初中考察內(nèi)容上，浮于函數(shù)的圖像以及基本性質(zhì)，單純的教師講解學生聽，便開始單調(diào)的計算訓練，這也讓學生產(chǎn)生了一定的疲憊感。再提教材，教材本身影響力其實不足以影響學生的整體成績，但筆者還是建議我們的初中教材（人教版）首先能平衡一下初高中二次函數(shù)知識點的難度，而不是一味初中只講基礎不講提高。且在章節(jié)后面可以加入高中知識的點撥，有基礎的學生可以自行了解，教師授課也方便給學生找到適合的例題，而不是貿(mào)然出題。而從教材的角度研究函數(shù)教學的銜接，從內(nèi)容、要求、呈現(xiàn)方式、編寫特點、要點、思維要求、練習等方面對教材的研究進行比較。從教材內(nèi)容來看，函數(shù)內(nèi)容是預先滲透的。當我們在初中第一天學習積分公式時，我們會把它和方程聯(lián)系起來。一組未知數(shù)的值對應于一個代數(shù)公式的值。當字母的值改變時，代數(shù)表達式的值也隨之改變。同時，函數(shù)的概念也滲透到生活中，如氣溫的變化等。什么時候氣溫會升高？什么時候落下？兩天內(nèi)體溫的關系？學生能理解變量變化的依賴性、知覺函數(shù)的單調(diào)性和周期性。[14]6.2關于初高中二次函數(shù)銜接教學的建議根據(jù)新課程改革的要求，教師應積極探索和消除中小學函數(shù)之間的差距和裂縫，使學生更好地融入函數(shù)學習，提高學生的認知能力，加深對數(shù)學基本概念的理解。如果我們不注意初中和高中數(shù)學教學之間的聯(lián)系，初中生可能會因為不適應而出現(xiàn)學習困難。學生們經(jīng)常抱怨二次函數(shù)的抽象性使其難以理解。他們還抱怨說，他們在理解能力和知識結構方面沒有做好充分準備，導致學生學習的目的和方向缺乏。由此可見，初中與高中數(shù)學函數(shù)教學的銜接是非常重要的，是幫助學生更好、高效地完成各學習階段任務的重要途徑。筆者在充分體會二次函數(shù)教育教學的滯澀問題后，總結出以下幾點建議：教材編寫人員要對初高中知識都有涉獵，對數(shù)學知識概念已經(jīng)新課改背景下的中高考知識點做到心中有數(shù)，初中重點應作為知識的鋪墊與引入，但不能全然放棄高中知識；高中重點應作為初中內(nèi)容的延伸，使得教師在教學中更注重新舊知識的銜接串講，以曾經(jīng)熟悉的知識進行鋪墊引入，對學生的學習也會更流暢。如在高中講一元二次方程組的存在性以及根的個數(shù)時，先對一元二次方程組的知識和二次函數(shù)圖像性質(zhì)的知識進行復習，再引入新知識。教材編寫者應當意識到：教材的使用者是學生以及教師，因此教材應更加融入課堂，而且需要及時更新，以滿足學生變化和社會現(xiàn)狀的需求。在初中二次函數(shù)教學中，教師應當帶領學生充分回顧曾經(jīng)學習過的各類函數(shù)，如一次函數(shù)、反比例函數(shù)等。在回顧結束后，應當讓學生自己對生活中的現(xiàn)象進行闡述，通過生活情景，逐步引出二次函數(shù)的圖像（見圖3），再引到二次函數(shù)的性質(zhì)，隨后在教師嚴謹引導與學生自由探索的同步進行下，雙線教學，引出二次函數(shù)的公式y(tǒng)=ax圖3二次函數(shù)圖像在高中數(shù)學教學中，教師應當綜合運用各種教學方法，以配合多種教學方式的整合，在直觀性與探究性同步注重的基礎上，增強教學的理論性，系統(tǒng)挖掘數(shù)學思想方法，進一步完善高中學生對相應數(shù)學知識的認知。而高中教師需要開始關注學生的心理健康發(fā)展狀況，思維日漸成熟的高中生需要在教師的正確引導下，在學習中思考老師所傳授的數(shù)學學習思想，形