2026屆河北省廊坊市名校九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心坐標(biāo)是(-3，a)(a>3)，半徑為3，函數(shù)y=-x的圖像被⊙P截得的弦AB的長為，則a的值是()A．4 B． C． D．2．如圖，ABCD是矩形紙片，翻折∠B，∠D，使AD，BC邊與對角線AC重疊，且頂點(diǎn)B，D恰好落在同一點(diǎn)O上，折痕分別是CE，AF，則等于（）A． B．2 C．1.5 D．3．在數(shù)軸上表示不等式﹣2≤x＜4，正確的是（）A． B．C． D．4．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ABO=50°，則∠ACB的大小為（）A．30° B．40° C．45° D．50°5．如圖，在平行四邊形中：：若，則（）A． B． C． D．6．若整數(shù)使關(guān)于的不等式組至少有4個整數(shù)解，且使關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，那么所有滿足條件的的和是（）A． B． C． D．7．今年來某縣加大了對教育經(jīng)費(fèi)的投入，2013年投入2500萬元，2015年投入3500萬元．假設(shè)該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率為x，根據(jù)題意列方程，則下列方程正確的是（）A．2500x＝3500B．2500（1+x）＝3500C．2500（1+x%）＝3500D．2500（1+x）+2500（1+x）＝35008．用配方法解一元二次方程，配方后的方程是（）A． B． C． D．9．如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，若OA＝2，∠P＝60°，則的長為()A．π B．π C．π D．π10．為了解我市居民用水情況，在某小區(qū)隨機(jī)抽查了20戶家庭，并將這些家庭的月用水量進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：月用水量（噸）456813戶數(shù)45731則關(guān)于這20戶家庭的月用水量，下列說法正確的是（）A．中位數(shù)是5 B．平均數(shù)是5 C．眾數(shù)是6 D．方差是6二、填空題(每小題3分,共24分)11．若、是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，且，則，，，的大小關(guān)系是_____________．12．函數(shù)的自變量的取值范圍是．13．已知二次函數(shù)y=-x2+2x+5，當(dāng)x________時，y隨x的增大而增大14．如圖，中，ACB=90°,AC=4,BC=3,則_______.15．關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是_________．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，以為對角線作矩形連結(jié)則對角線的最小值為．17．如圖，是的兩條切線，為切點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上，且，則__________．18．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，若點(diǎn)P為y軸上的一個動點(diǎn)，連接PD，則的最小值為________.三、解答題(共66分)19．（10分）某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價為40元的蘋果．經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱；價格每提高1元，則平均每天少銷售3箱．設(shè)每箱的銷售價為x元（x＞50），平均每天的銷售量為y箱，該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w元．（1）y與x之間的函數(shù)解析式為__________；（2）求w與x之間的函數(shù)解析式；（3）當(dāng)x為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？20．（6分）如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點(diǎn)E是BC邊上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)B．

C重合)，連結(jié)AE，并作EF⊥AE，交CD邊于點(diǎn)F，連結(jié)AF.設(shè)BE=x，CF=y.（1）求證：△ABE∽△ECF；（2）當(dāng)x為何值時，y的值為2；21．（6分）如圖是由24個小正方形組成的網(wǎng)格圖，每一個正方形的頂點(diǎn)都稱為格點(diǎn)，的三個頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．請按要求完成下列作圖，每個小題只需作出一個符合條件的圖形．（1）在圖1網(wǎng)格中找格點(diǎn)，作直線，使直線平分的面積；（2）在圖2網(wǎng)格中找格點(diǎn)，作直線，使直線把的面積分成兩部分．22．（8分）解方程：x（x﹣3）+6＝2x．23．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．點(diǎn)P從B出發(fā)，沿BC方向，以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)Q從A出發(fā)，沿AB方向，以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動；若兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（t＞0），△BPQ的面積為S（cm2）．（1）t＝2秒時，則點(diǎn)P到AB的距離是cm，S＝cm2；（2）t為何值時，PQ⊥AB；（3）t為何值時，△BPQ是以BP為底邊的等腰三角形；（4）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值．24．（8分）閱讀理解：如圖，在紙面上畫出了直線l與⊙O，直線l與⊙O相離，P為直線l上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PM，切點(diǎn)為M，連接OM、OP，當(dāng)△OPM的面積最小時，稱△OPM為直線l與⊙O的“最美三角形”．解決問題：（1）如圖1，⊙A的半徑為1，A(0，2)，分別過x軸上B、O、C三點(diǎn)作⊙A的切線BM、OP、CQ，切點(diǎn)分別是M、P、Q，下列三角形中，是x軸與⊙A的“最美三角形”的是．(填序號)①ABM；②AOP；③ACQ（2）如圖2，⊙A的半徑為1，A(0，2)，直線y=kx（k≠0）與⊙A的“最美三角形”的面積為，求k的值．（3）點(diǎn)B在x軸上，以B為圓心，為半徑畫⊙B，若直線y=x+3與⊙B的“最美三角形”的面積小于，請直接寫出圓心B的橫坐標(biāo)的取值范圍．25．（10分）某公司銷售某一種新型通訊產(chǎn)品，已知每件產(chǎn)品的進(jìn)價為4萬元，每月銷售該種產(chǎn)品的總開支(不含進(jìn)價)總計11萬元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，月銷售量(件)與銷售單價(萬元)之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（2）試寫出該公司銷售該種產(chǎn)品的月獲利(萬元)關(guān)于銷售單價(萬元)的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)銷售單價為何值時，月獲利最大?并求這個最大值．(月獲利＝月銷售額一月銷售產(chǎn)品總進(jìn)價一月總開支)26．（10分）某網(wǎng)絡(luò)經(jīng)銷商銷售一款夏季時裝，進(jìn)價每件60元，售價每件130元，每天銷售30件，每銷售一件需繳納網(wǎng)絡(luò)平臺管理費(fèi)4元．未來30天，這款時裝將開展“每天降價1元”的促銷活動，即從第一天起每天的單價均比前一天降1元，通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該時裝單價每降1元，每天銷售量增加5件，設(shè)第x天（1≤x≤30且x為整數(shù)）的銷量為y件．（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）在這30天內(nèi)，哪一天的利潤是6300元？（3）設(shè)第x天的利潤為W元，試求出W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出哪一天的利潤最大，最大利潤是多少？

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】如圖所示過點(diǎn)P作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連結(jié)PB，可得OC=3，PC=a，把x=-3代入y=-x得y=3，可確定D點(diǎn)坐標(biāo)，可得△OCD為等腰直角三角形，得到△PED也為等腰直角三角形，又PE⊥AB，由垂徑定理可得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，由勾股定理可得PE=，可得PD=PE=，最終求出a的值.【詳解】作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連結(jié)PB，如圖，∵⊙P的圓心坐標(biāo)是（-3，a），∴OC=3，PC=a，把x=-3代入y=-x得y=3，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，3），∴CD=3，∴△OCD為等腰直角三角形，∴△PED也為等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故選B．本題主要考查了垂徑定理、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及勾股定理，熟練掌握圓中基本定理和基礎(chǔ)圖形是解題的關(guān)鍵.2、B【詳解】解：∵ABCD是矩形，∴AD=BC，∠B=90°，∵翻折∠B，∠D，使AD，BC邊與對角線AC重疊，且頂點(diǎn)B，D恰好落在同一點(diǎn)O上，∴AO=AD，CO=BC，∠AOE=∠COF=90°，∴AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=60°，∴∠BCE=∠ACB=30°，∴BE=CE，∵AB∥CD，∴∠OAE=∠FCO，在△AOE和△COF中，∵∠OAE=∠FCO，AO=CO，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴EF與AC互相垂直平分，∴四邊形AECF為菱形，∴AE=CE，∴BE=AE，∴=2，故選B．本題考查翻折變換（折疊問題）．3、A【分析】根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】解：在數(shù)軸上表示不等式﹣2≤x＜4的解集為：故選：A．此題主要考查不等式解集的表示，解題的關(guān)鍵是熟知不等式解集的表示方法．4、B【解析】試題解析：在中，故選B.5、A【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD，AB∥CD，再計算出AE：CD=1：3，接著證明△AEF∽△CDF，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解．【詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∵，

∴，

∴，

∵AE∥CD，

∴，

∴，

∴．

故選：A．本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．6、A【分析】根據(jù)不等式組求出a的范圍，然后再根據(jù)分式方程求出a的取值范圍，綜合考慮確定a的值，再求和即可.【詳解】解不等式組得：∵至少有4個整數(shù)解∴，解得分式方程去分母得解得：∵分式方程有整數(shù)解，a為整數(shù)∴、、、∴、、、、、、、∵，∴又∵∴或滿足條件的的和是-13，故選A.本題考查了不等式組與分式方程，解題的關(guān)鍵是解分式方程時需要舍去增根的情況.7、B【分析】根據(jù)2013年教育經(jīng)費(fèi)額×（1+平均年增長率）2=2015年教育經(jīng)費(fèi)支出額，列出方程即可．【詳解】設(shè)增長率為x，根據(jù)題意得2500×（1+x）2＝3500，故選B．本題考查一元二次方程的應(yīng)用--求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2=b．（當(dāng)增長時中間的“±”號選“+”，當(dāng)下降時中間的“±”號選“-”）．8、C【分析】先移項(xiàng)變形為，再將兩邊同時加4，即可把左邊配成完全平方式，進(jìn)而得到答案.【詳解】∵∴∴∴故選C.本題考查配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法的解法步驟是解題的關(guān)鍵.9、C【解析】試題解析：∵PA、PB是⊙O的切線，

∴∠OBP=∠OAP=90°，

在四邊形APBO中，∠P=60°，

∴∠AOB=120°，

∵OA=2，

∴的長l=.

故選C.10、C【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義、平均數(shù)的公式、眾數(shù)的定義和方差公式計算即可.【詳解】解：A、按大小排列這組數(shù)據(jù)，第10，11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)，（6+6）÷2＝6，故本選項(xiàng)錯誤；B、平均數(shù)＝（4×4+5×5+6×7+8×3+13×1）÷20＝6，故本選項(xiàng)錯誤；C、6出現(xiàn)了7次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是6，故本選項(xiàng)正確；D、方差是：S2＝[4×（4﹣6）2+5×（5﹣6）2+7×（6﹣6）2+3×（8﹣6）2+（13﹣6）2]＝4.1，故本選項(xiàng)錯誤；故選C．此題考查的是中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)和方差的算法，掌握中位數(shù)的定義、平均數(shù)的公式、眾數(shù)的定義和方差公式是解決此題的關(guān)鍵.二、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】根據(jù)題意和二次函數(shù)性質(zhì)，可以判斷出的大小關(guān)系，本題得以解決．【詳解】令，則該函數(shù)的圖象開口向上，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，

，

即，

∵是關(guān)于的方程的兩根，且，

∴，

故答案為：．本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．12、x＞1【詳解】解：依題意可得，解得，所以函數(shù)的自變量的取值范圍是13、x<1【分析】把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，可求得其開口方向及對稱軸，利用二次函數(shù)的增減性可求得答案．【詳解】解：∵y=-x2+2x+5=-（x-1）2+6，

∴拋物線開口向下，對稱軸為x=1，

∴當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而增大，

故答案為：＜1．此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y=a（x-h）2+k中，對稱軸為x=h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）．14、【分析】先求得∠A=∠BCD，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求解即可．【詳解】在Rt△ABC與Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．∴∠A=∠BCD．∴tan∠BCD=tan∠A=．故答案為．本題考查了解直角三角形，三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，因而求一個角的函數(shù)值，可以轉(zhuǎn)化為求與它相等的其它角的三角函數(shù)值．15、【分析】方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則＞2，由此建立關(guān)于k的不等式，然后可以求出k的取值范圍．【詳解】解：由題意知，=36-36k＞2,

解得k＜1．

故答案為：k＜1.本題考查了一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）＞2?方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）=2?方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；（3）＜2?方程沒有實(shí)數(shù)根．同時注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為2．16、1【分析】先利用配方法得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），再根據(jù)矩形的性質(zhì)得BD=AC，由于AC的長等于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，所以當(dāng)點(diǎn)A在拋物線的頂點(diǎn)時，點(diǎn)A到x軸的距離最小，最小值為1，從而得到BD的最小值．【詳解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），

∵四邊形ABCD為矩形，

∴BD=AC，

而AC⊥x軸，

∴AC的長等于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，

當(dāng)點(diǎn)A在拋物線的頂點(diǎn)時，點(diǎn)A到x軸的距離最小，最小值為1，

∴對角線BD的最小值為1．

故答案為1．17、61°【分析】根據(jù)切線長定理，可得PA=PB，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠FAD=∠DBE=61°，利用SAS即可證出△FAD≌△DBE，從而得出∠AFD=∠BDE，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠EDF．【詳解】解：∵是的兩條切線，∠P=58°∴PA=PB∴∠FAD=∠DBE=（180°－∠P）=61°在△FAD和△DBE中∴△FAD≌△DBE∴∠AFD=∠BDE，∵∠BDF=∠BDE＋∠EDF=∠AFD＋∠FAD∴∠EDF=∠FAD=61°故答案為：61°此題考查的是切線長定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、全等三角形的判定及性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，掌握切線長定理、等邊對等角和全等三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．18、【分析】連接AC，連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥CD交于點(diǎn)E，則AE為所求.由銳角三角函數(shù)的知識可知PC=PE，然后通過證明△CDO∽△AED，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：連接AC，連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥CD交于點(diǎn)E，則AE為所求.當(dāng)x=0時，y=3,∴C(0,3).當(dāng)y=0時，0=-x2+2x+3，∴x1=3，x2=-1，∴A（-1，0）、B（3，0），∴OA=1，OC=3，∴AC=，∵二次函數(shù)y=-x2+2x+3的對稱軸是直線x=1,∴D(1,0),∴點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于y軸對稱，∴sin∠ACO=，由對稱性可知，∠ACO=∠OCD，PA=PD，CD=AC=，∴sin∠OCD=，∵sin∠OCD=，∴PC=PE，∵PA=PD，∴PC+PD=PE+PA，∵∠CDO=∠ADE,∠COD=AED,∴△CDO∽△AED,∴,∴,∴；故答案為.本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，銳角三角函數(shù)的知識，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，難度較大，屬中考壓軸題.三、解答題(共66分)19、（1）;（2）w=；（3）當(dāng)x為60元時，可以獲得最大利潤，最大利潤是1元【分析】（1）設(shè)每箱的銷售價為x元（x＞50），則價格提高了元，平均每天少銷售箱，所以平均每天的銷售量為，化簡即可；（2）平均每天的銷售利潤每箱的銷售利潤平均每天的銷售量，由此可得關(guān)系式；（3）當(dāng)時（2）中的關(guān)于二次函數(shù)有最大值，將x的值代入解析式求出最大值即可.【詳解】（1）．（2）=．w=∴當(dāng)時，w最大值=1．∴當(dāng)x為60元時，可以獲得最大利潤，最大利潤是1元．本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，根據(jù)題中等量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.20、（1）見解析；（2）x的值為2或1時，y的值為2【分析】（1）①先判斷出∠BAE＝∠CEF，即可得出結(jié)論；（2）利用的相似三角形得出比例式即可建立x，y的關(guān)系式，代入即可；【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°．∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°＝∠B．∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∠FEC＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF．又∵∠B＝∠C，∴△ABE∽△ECF．②∵△ABE∽△ECF．∴，∵AB＝1，BC＝8，BE＝x，CF＝y(tǒng)，EC＝8?x，∴．∴y＝?x2＋x．∵y＝2，?x2＋x＝2，解得x1＝2，x2＝1．∵0＜x＜8，∴x的值為2或1．此題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用方程的思想解決問題．21、（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)中線的定義畫出中線即可平分三角形面積；

（2）根據(jù)同高且底邊長度比為1:2的兩個三角形的面積比為1:2尋找點(diǎn)，同時利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等可找出格點(diǎn)．【詳解】解：（1）如圖①，由網(wǎng)格易知BD=CD，所以S△ABD=S△ADC，作直線AD即為所求；（2）如圖②，取格點(diǎn)E，由AC∥BE可得，（或）,∴S△ACN=2S△ABN（或S△ABM=2S△ACM,），∴作直線AE即為所求．（選取其中一條即可）本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計，三角形的面積，相似的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．22、x1＝2，x2＝1．【分析】先去掉括號，再把移到等號的左邊，再根據(jù)因式分解法即可求解．【詳解】解：x（x﹣1）+6＝2x，x2﹣1x+6﹣2x＝0，x2﹣5x+6＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，x1＝2，x2＝1．本題考查了解一元二次方程因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．23、（1），；（2）；（3）；（4）S＝﹣t2+3t，S的最大值為．【分析】（1）作PH⊥AB于H，根據(jù)勾股定理求出AB，證明△BHP∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，求出PH，根據(jù)三角形的面積公式求出S；（2）根據(jù)△BQP∽△BCA，得到＝，代入計算求出t即可；（3）過Q作QG⊥BC于G，證明△QBG∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計算，得到答案；（4）根據(jù)△QBG∽△ABC，用t表示出QG，根據(jù)三角形的面積公式列出二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，由勾股定理得，AB＝＝＝10cm，∴0＜t≤5，經(jīng)過ts時，BP＝t，AQ＝2t，則BQ＝10﹣2t，（1）如圖1，作PH⊥AB于H，當(dāng)t＝2時，BP＝2，BQ＝10﹣2t＝6，∵∠BHP＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B，∴△BHP∽△BCA，∴＝，即＝，解得：PH＝，∴S＝×6×＝，故答案為：；；（2）當(dāng)PQ⊥AB時，∠BQP＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B，∴△BQP∽△BCA，∴＝，即＝，解得，t＝，則當(dāng)t＝時，PQ⊥AB；（3）如圖2，過Q作QG⊥BC于G，∵QB＝QP，QG⊥BC，∴BG＝GP＝t，∵∠BGQ＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△QBG∽△ABC，∴＝，即＝，解得，t＝，∴當(dāng)t＝時，△BPQ是以BP為底邊的等腰三角形；（4）由（3）可知，△QBG∽△ABC，∴＝，即＝，解得，QG＝﹣t+6，∴S＝×t×（﹣t+6），＝﹣t2+3t，＝﹣（t﹣）2+，則當(dāng)t＝時，S的值最大，最大值為．本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用以及三角形的面積計算，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24、（1）②；（2）±1；（3）＜＜或＜＜【分析】（1）本題先利用切線的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理以及三角形面積公式將面積最值轉(zhuǎn)化為線段最值，了解最美三角形的定義，根據(jù)圓心到直線距離最短原則解答本題．（2）本題根據(jù)k的正負(fù)分類討論，作圖后根據(jù)最美三角形的定義求解EF，利用勾股定理求解AF，進(jìn)一步確定∠AOF度數(shù)，最后利用勾股定理確定點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求k．（3）本題根據(jù)⊙B在直線兩側(cè)不同位置分類討論，利用直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)確定∠NDB的度數(shù)，繼而按照最美三角形的定義，分別以△BND，△BMN為媒介計算BD長度，最后與OD相減求解點(diǎn)B的橫坐標(biāo)范圍．【詳解】（1）如下圖所示：∵PM是⊙O的切線，∴∠PMO=90°，當(dāng)⊙O的半徑OM是定值時，，∵，∴要使面積最小，則PM最小，即OP最小即可，當(dāng)OP⊥時，OP最小，符合最美三角形定義．故在圖1三個三角形中，因?yàn)锳O⊥x軸，故△AOP為⊙A與x軸的最美三角形．故選：②．（2）①當(dāng)k＜0時，按題意要求作圖并在此基礎(chǔ)作FM⊥x軸，如下所示：按題意可得：△AEF是直線y=kx與⊙A的最美三角形，故△AEF為直角三角形且AF⊥OF．則由已知可得：，故EF=1．在△AEF中，根據(jù)勾股定理得：．∵A(0,2)，即OA=2，∴在直角△AFO中，，∴∠AOF=45°，即∠FOM=45°，故根據(jù)勾股定理可得：MF=MO=1，故F(-1,1)，將F點(diǎn)代入y=kx可得：．②當(dāng)k＞0時，同理可得k=1．故綜上：．（3）記直線與x、y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D、C，則，，①當(dāng)⊙B在直線CD右側(cè)時，如下圖所示：在直角