專題3.2勾股定理的逆定理(知識梳理+題型精析)2025-2026學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊(蘇科版2024)含答案_第1頁
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文檔簡介

(1)判斷△ABC的形狀,并說明理由.形形狀描述最確切的是()3.如圖,地鐵口C和小明家B兩地恰好處在東西方向上,且相距2km,學(xué)校A也在小明家B正北方向的2km處,公園D與地鐵口C的距離CD為4km,公園D到學(xué)校A的距離AD為2km.則DDAB的大小為.A.45°B.55°C.60°3.規(guī)律:當n正整數(shù)時,2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1那么ka、kb、kc(k為正整數(shù))也是勾股數(shù).中.下列各組數(shù)中,是“勾股數(shù)”的是()A.2,3,5B.6,8,10C.6,6,6abc__________A.m2+121.勾股定理與逆定理的綜合核心是“形”與“數(shù)”的轉(zhuǎn)化1)勾股定理14.如圖,已知△ABC中,AB的垂直平分線交BC于點D,AC的垂直平分線交BC于點E,點M,N為垂足,BD=3,DE=4,EC=5,則AC的長為()形ABCD的面積為.(2)求四邊形ABCD的面積.(1)如圖1,△ABC和△DCE都是等邊三角形,點D在△ABC內(nèi)部,連接AD,AE,BD.【問題探究】(2)如圖2.△ABC和△DCE都是等邊三角形,點D在△ABC外部,若仍然成立,求DADC的度數(shù).19.以長度分別為下列各組數(shù)的線段為邊,可以組成直角三角形的是()..確的是()有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知為田幾何角形沙田,三條邊分別為5里,12里,13里,問這塊沙田的面積為()22.如圖,點D在△ABC的邊BC上,點E是AC的中點,連接AD,DE,若,AD=3,BD=1,DE=2,則AC的長為()為()取水點H與原取水點B相距1.5千米,則新建后比原來少走的路程A.1.5B.128.如圖,某港口P位于東西方向的海開港口一個半小時后分別位于點Q,R處,且相距30海里.已知“遠航”號沿東北方向航行,如圖,學(xué)校決定開發(fā)該空地作為學(xué)生的綜合實踐基地.求AC的長度.32.如圖,四邊形ABCD的四個頂點都在網(wǎng)格上,且每個小正方形的邊長都為1.(1)求證:DD=90°;(2)求四邊形ABCD面積.里,12里,13里,則該沙田的面積為()9,40,41…,則第n組勾股數(shù)的第為()A.120°B.135°38.如圖,在△ABC中,AB=AC,點M在AB上,點N在線段AC的延長線上,且BM=CN,連接MN與BC相交于點D.若AM=3,BM=1,DN=2,則△BMD的面積為39.如圖,將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角a(0°<a<180°)得到△AED,若別交AB,AC于點M,N,再分別以M,N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,連接AP并延長交BC于點D,則點D到AB的距離為.42.如圖,將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE,點C的對應(yīng)點E落在CB的延長線上,外作△BQC≌△BPA,連接PQ,則以下結(jié)論中正確的有(填序號)(2)求線段AD的長.47.如圖,在△ABC中,D是BC的中點,DE丄BC,交AB于點E,且BE2-AE2=AC2.(1)若BC=6,點M、N在BC、AC上,將△ABC沿MN折疊,使得點C與點A重合,求折痕MN的長;的長.小浩在解決這個問題時,用到了以下方法:把△ABD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到將其折疊成直三棱柱后,下列各點中,與點C距離最大的是()A.點MB.點NC.點PD.點Q52.已知,a,b,c是△ABC的三條邊長,記其中k為整數(shù).7且相距20海里,如果知道甲船沿北偏西40°方向航行,則乙船沿方向航行.54.如圖,在直角坐標系中,以點A(3,1)為端點的四條射線AB,AC,AD,AE分別過點B(1,1),點C(1,3),點D(4,4),點E(5,2),則DBACDDAE(填“>”“=”“<”中的一(3)在圖③中,△ABC是面積最大的222:BC2+AC2=AB2,:△ABC是直角三角形,且上ACB=90°;:CD是△ABC的高:是等腰直角三角形,【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理,熟練掌握勾股定理鍵.由題意可得:上BAC=45°,在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理可求出AC=2km,再根據(jù)勾股定理的逆定理可得:△ACD是直角三角形,且上CAD=90°,即可求解.在△ACD中,AC=AD=2km,CD=4km,:AC2+AD2=16=CD2,:△ACD是直角三角形,且上CAD=90°,故答案為:135°.點.取格點D,連接CD,DE,利用SA222:CD2+DE2=CE2,【分析】延長AB交網(wǎng)格于格點D,連接CD,證明△BCD是等腰直角三角形,得到【詳解】解:如圖,延長AB交網(wǎng)格于格點D,連接CD,:DD=90°,:△BCD是等腰直角三角形,故答案為:135°.【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義,分別算出a2、b2、c2,再得到a2+b2=c2,即可求解;理解定義:“能夠成為直角三角形三條邊長度的三個正整數(shù),稱為勾股數(shù).”是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:Qn為整數(shù)(n≥2:a,b,c為整數(shù),:a2=(n2-1)24-2n2+1,b22,2c2n2+1,2:a2+b24-2n2+1+4n222:a,b,c為勾股數(shù).:不能構(gòu)成直角三角形,不是勾股數(shù),故此選項不符合題意;22,:能構(gòu)成直角三角形,且邊是整數(shù),是勾股數(shù),此選項符合題意;22,:不能構(gòu)成直角三角形,不是勾股數(shù),故此選項不符合題意;22,:不能構(gòu)成直角三角形,不是勾股數(shù),故此選項不符合題意;故選:B.直角三角形三邊長為3xcm,4xcm,5xcm,從而列方程求解即可得到答案.【詳解】解:根據(jù)題意,設(shè)拉出的直角三角形三邊長為3xcm,4xcm,5xcm,則:斜邊長為5x=10cm,2(2)a2【分析】本題主要考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用,準確理解題2-b2中,:n為正整數(shù),【分析】本題考查了勾股數(shù),熟練掌握勾股定理求勾股由題意得2m為偶數(shù),設(shè)其股是a,則弦為(a+2)【詳解】解::m為正整數(shù),:2m為偶數(shù),解得a=m2-1,【分析】本題考查了勾股定理的逆定理,角平分線的性質(zhì)定理,全等三角形的判定和性質(zhì),(1)先證明△ABC是直角三角形且上ACB=90°,再根據(jù)等面積法計算即可;(2)過點E作EF丄AB交AB于點F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE=EF,證明(2)解:如圖,過點E作EF丄AB交AB于點F,:CE=EF,:△ACE≌△AFE(HL):AC=AF=9,:BF=6,:x2+62=(12-x)2,:AB的垂直平分線交BC于點D,AC的垂直平分線交BC于點E,:DE=4,先由勾股定理求出AC,再通過勾股定理逆定【詳解】解:連接AC,:AC===5,2,2:AC2=CD2+AD2,四邊形ABCD△ABC△ACD22:S=S+S=AB.BC四邊形ABCD△ABC△ACD22222m22222求解即可.2:AC2+BC2=AB2,解得:k2=mn.故答案為:k2=mn.(2)首先把求四邊形ABCD的面積分割為求△ABC和△ACD的面積,然后利用三角形的面積公式分別求出這兩個三角形的面積,最后將兩個三角形的面積相:AC2+DA2=8+1=9,CD2:AC2+DA2=CD2,:△ACD是直角三角形,且上CAD=90°;:四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積【詳解】解1)證明:①∵△ABC和△DCE都是等邊三角形,:BD=AE;:AD2+DE2=AE2,:△DCB≌△ECA(SAS),:BD=AE,【分析】本題考查了勾股定理的逆定理:“如果一個三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方,則該三角形為直角三角形”,逐一判斷即可,掌握逆定理是解題關(guān)理求線段長度是解題的關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理求出BC、AB、AC2,利用勾股定理的逆定理推出上ACB=90°,再利用割補法求出S△ABC,結(jié)合選項即可得出答案.2:AC2+BC2=AB2,:上ACB=90°,2:52+122=132.:這個三角形沙田是直角三角形,其中5里和12里為兩條直角邊.:沙田的面積為平方里【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理,正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.連接22:BD2+BC2=CD2,【分析】直接利用勾股定理逆定理得出△ACH是直角三角形,再利用勾股定理得出BC的長,:AC2=CH2+AH2,【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用,正確運用勾股25.2:AB=2AD=8故答案為:2.26.45點,掌握勾股定理逆定理的運用是解題的關(guān)鍵.連接BC,運用勾股定理可得【詳解】解:如圖所示,連接BC,:222,即AB2+BC2=AC2,AB=BC,:△ABC是等腰直角三角形,故答案為:45.【分析】利用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三:AC2+BC2=AB2,:△ABC是直角三角形,解得:BE=9.6,故答案為:9.6.根據(jù)題意,得出△PRQ的三邊長,再利用勾股定理的逆定理推出△PRQ是直角三角形,再:PQ2+PR2=QR2,:“海天”號沿西北方向航行.得AC2=18,然后根據(jù)勾股定理逆定理可知上CAD=90°,最后根據(jù)角的和差即可解答.本題:AD2=7,CD2=25,:AD2+AC2=CD2,【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,熟練掌握勾股定理及逆定理是解本題的關(guān)鍵.在Rt△ABD中,利用勾股定理求出BD2,再利用勾股定理的逆∵BD22222:BD2+CD2=BC2:△BCD是直角三角形,且DBDC=90°:S四邊形ABCD=S△ABD+S△平方故答案為:114.【分析】本題主要考查勾股定理及其逆定理的運用,根據(jù)勾股定理逆定理得到△CBD是直角三角形,在Rt△ADC中,由勾股定理即可求解.22:CD2+BD2=BC2,又∵AD=AB-BD=25-9=16,:AC的長度為20.【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理,熟知勾股定理及其逆定:,222:△BCD是等腰直角三角形.(1)先由勾股定理求出BC,進而根據(jù)勾股定理的逆定理證明△BC2:CD2+BD2=BC2,:△BCD是直角三角形,DD=90°.(2)解:∵△DBC是直角三角形,且DD=90°,:S四邊形ABCD=S△ABC+S△DBC=30+6=36.2,【分析】延長BA到E,連接CE,先利用勾股定理的逆定理證明△A【詳解】解:如圖,延長BA到E,連接CE,:AE2+CE2=AC2,:△AEC是直角三角形,:EA=EC,【分析】本題考查的是尺規(guī)作圖-作垂線,勾股定理逆定理的運用,如果三角形的三條a,得到AD^BC,根據(jù)三角形面積公式計算得到答案.:AB2=64,AC2=36,BC2=100,2+AC2=BC2,由作圖得到AD^BC,【詳解】解:如圖,過M作MEⅡAC于E,:AM=3,BM=1,:BM=EM=1,:BM=CN,:MD=ND=2,:MN=4,=AN2【詳解】解:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:AE=AC,a=DCAE,:AC=1,:AE=1,2:12:12,:AC2:12定理逆定理證明△ABC是直角三角形,過點D作DE^AB于點E,由角平分線性質(zhì)定理得22由作圖得AD是DBAC的平分線,過點D作DE^AB于點E,則DC=DE;:DC=DE,AC.BCAC.BCAB:AC2+BC2=4+12=16=AB2,:△ABC是直角三角形,且上ACB=90°,:S△ABC=2AB.CD=2AC.BC,:上DCE=60°【點睛】【詳解】解:∵將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE,:2AC2=CE2=142,:AC=7.故答案為:7.44.45°##45度【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì),勾股定理及其逆定理,二次根式的乘法運算,:上:△DBC是直角三角形,上DBC=90°,故答案為:45°.【分析】本題考查三角形全等的性質(zhì),等邊三角形的判定與性的逆定理可得上PQC=90°,判斷②;根據(jù)△BPQ是等邊三角形,結(jié)合全等三角形的性質(zhì)即可判斷③;若DAPC=135°,則DQPC=360°-150°-60°-135°=15°,如圖,構(gòu)建上P=15°的直角三角形,作CM=PM=m,證明DQMC=30°,得出與題干互相矛盾的結(jié)論即可判斷④.【詳解】解::△ABC是等邊三角形,:上ABC=60°,:△BQC≌△BPA,22:△PCQ是直角三角形,故②正確;若DAPC=135°,則DQPC=15°,如圖,構(gòu)建上P=15°的直角三角形,作CM=PM=m,:DMPC=DMCP=15°,:DQMC=30°,:MC=2QC=6=PM,與PQ=4矛盾,所以④錯誤.結(jié)合AB=AC=AD+DC,可以將關(guān)系式轉(zhuǎn)為是關(guān)于AD的方程,解出即可.:BD2+CD2=BC2,:△BDC是直角三角形.:在Rt△ADB中,BD2+AD2=AB2,QAB=AC,:82+AD2=(AD+6)2,故AD的長為.(1)連接CE,由線段垂直平分線的性質(zhì)可求得BE=CE,再結(jié)合BE2-EA2=AC2可求得EC2=EA2+AC2,可證得結(jié)論;∵D是BC的中點,DE丄BC,:EB=EC,:EC2-EA2=AC2,:EC2=EA2+AC2,在Rt△EAC中(2)如圖2,過A作AE丄BC于E,根據(jù)等腰三角形:BD

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