專(zhuān)題03 二次函數(shù)中三角形存在性的三種考法(原卷版)-2025數(shù)學(xué)???jí)狠S題上冊(cè)九年級(jí)人教版_第1頁(yè)
專(zhuān)題03 二次函數(shù)中三角形存在性的三種考法(原卷版)-2025數(shù)學(xué)???jí)狠S題上冊(cè)九年級(jí)人教版_第2頁(yè)
專(zhuān)題03 二次函數(shù)中三角形存在性的三種考法(原卷版)-2025數(shù)學(xué)???jí)狠S題上冊(cè)九年級(jí)人教版_第3頁(yè)
專(zhuān)題03 二次函數(shù)中三角形存在性的三種考法(原卷版)-2025數(shù)學(xué)常考?jí)狠S題上冊(cè)九年級(jí)人教版_第4頁(yè)
專(zhuān)題03 二次函數(shù)中三角形存在性的三種考法(原卷版)-2025數(shù)學(xué)???jí)狠S題上冊(cè)九年級(jí)人教版_第5頁(yè)
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專(zhuān)題03二次函數(shù)中三角形存在性的三種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 2題型一、等腰三角形存在性 2題型二、直角三角形的存在性 11題型三、等腰直角三角形的存在性 20壓軸能力測(cè)評(píng)(5題) 34一、等腰三角形存在性根據(jù)等腰三角形的定義,若為等腰三角形,則有三種可能情況:(1)AB=BC;(2)BC=CA;(3)CA=AB.但根據(jù)實(shí)際圖形的差異,其中某些情況會(huì)不存在,所以等腰三角形的存在性問(wèn)題,往往有2個(gè)甚至更多的解,在解題時(shí)需要尤其注意.1、知識(shí)內(nèi)容:在用字母表示某條線段的長(zhǎng)度時(shí),常用的方法有但不僅限于以下幾種:(1)勾股定理:找到直角三角形,利用兩邊的長(zhǎng)度表示出第三邊;(2)兩點(diǎn)間距離公式:設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)2、解題思路:(1)利用幾何或代數(shù)的手段,表示出三角形的三邊對(duì)應(yīng)的函數(shù)式;(2)根據(jù)條件分情況進(jìn)行討論,排除不可能的情況,將可能情況列出方程(多為分式或根式方程)(3)解出方程,并代回原題中進(jìn)行檢驗(yàn),舍去增根.二、直角三角形存在性在考慮△ABC是否為直角三角形時(shí),很顯然需要討論三種情況:①∠A=90°;②∠B=90°;③∠C=90°.在大多數(shù)問(wèn)題中,其中某兩種情況會(huì)較為簡(jiǎn)單,剩下一種則是考察重點(diǎn),需要用到勾股定理。以函數(shù)為背景的直角三角形存在性問(wèn)題1、知識(shí)內(nèi)容:在以函數(shù)為背景的此類(lèi)壓軸題中,坐標(biāo)軸作為一個(gè)“天然”的直角存在,在解題時(shí)經(jīng)常會(huì)用到,作出垂直于坐標(biāo)軸的直線來(lái)構(gòu)造直角。另外,較困難的情況則需要用到全等或者勾股定理的計(jì)算來(lái)確定直角三角形.2、解題思路:(1)按三個(gè)角分別可能是直角的情況進(jìn)行討論;(2)計(jì)算出相應(yīng)的邊長(zhǎng)等信息;(3)根據(jù)邊長(zhǎng)與已知點(diǎn)的坐標(biāo),計(jì)算出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).題型一、等腰三角形存在性【例1】.(23-24九年級(jí)下·四川眉山·期中)如圖,拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn),交軸于點(diǎn)(1)求拋物線的解析式;(2)如圖,點(diǎn)是軸上一點(diǎn),是否存在點(diǎn),使是等腰三角形?若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)如圖,點(diǎn)是拋物線上且在直線上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試求出面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【變式1】(2023春·湖北武漢·九年級(jí)??计谥校┤鐖D,拋物線與x軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,.(1)直線過(guò)A,C兩點(diǎn),①如圖1,求拋物線的解析式;②如圖1,將直線向右平移,A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,且,以為一腰作等腰三角形,求N的坐標(biāo);(2)如圖2,M為拋物線第一象限上任意一點(diǎn),直線交y軸于點(diǎn)H,若,求a的值.【變式2】.(23-24九年級(jí)上·湖南湘西·期末)拋物線與軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn),已知.(1)求拋物線的解析式;(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn),使是以為腰的等腰三角形?如果存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn),當(dāng)面積最大時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo)及的最大值.【變式3】.(23-24九年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末)如圖,拋物線與x軸交于,兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn).直線與拋物線交于A,D兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)D的坐標(biāo)為.(1)求拋物線的解析式;(2)若點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)且在直線上方,連接、,求當(dāng)面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及該面積的最大值;(3)在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使是以為腰的等腰三角形?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.題型二、直角三角形存在性【例2】.(23-24九年級(jí)上·安徽淮南·期末)已知,如圖點(diǎn)C在y軸正半軸上,,將線段繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB的位置,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為方程的一個(gè)解且點(diǎn)A、B在y軸兩側(cè);(1)求經(jīng)過(guò)A、B、C的拋物線的解析式;(2)在如圖拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l上是否存在點(diǎn)M,使為直角三角形,若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式1】(2023春·甘肅金昌·九年級(jí)統(tǒng)考期中)平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于,,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).(1)求拋物線的解析式,并直接寫(xiě)出點(diǎn),的坐標(biāo);(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn),使是直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)如圖,點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接,,是否存在點(diǎn)使最小,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;【變式2】.(23-24九年級(jí)上·安徽宣城·期末)如圖,拋物線經(jīng)過(guò),兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,連接,,.(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)求證:平分;(3)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)M,使得是以為直角邊的直角三角形.若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.【變式3】.(23-24九年級(jí)上·浙江紹興·期中)如圖,拋物線與x軸相交于A,B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,對(duì)稱(chēng)軸為直線,頂點(diǎn)為D,點(diǎn)B的坐標(biāo)為.(1)填空:點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_____,點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_____,拋物線的解析式為_(kāi)_____;(2)是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使是以為斜邊的直角三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)當(dāng)二次函數(shù)的自變量x滿(mǎn)足時(shí),函數(shù)y的最小值為,求m的值.題型三、等腰直角三角形的存在性【例3】.(23-24九年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.(1)求拋物線的解析式;(2)若點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),當(dāng)△PBC面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)若點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)Q是線段BC上一點(diǎn)(點(diǎn)Q不與兩端點(diǎn)重合),是否存在以P、Q、O為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式1】.(23-24九年級(jí)上·江西上饒·期末)在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn),(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),與軸交于點(diǎn).(1)寫(xiě)出點(diǎn)、、的坐標(biāo);(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn)作平行于軸的直線,直線與二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn),.①若,以為直徑作,當(dāng)與軸相切時(shí),求的值;②直線上是否存在一點(diǎn),使得是等腰直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出的值:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式2】(2024·四川眉山·中考真題)如圖,拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上.

(1)求該拋物線的解析式;(2)當(dāng)點(diǎn)在第二象限內(nèi),且的面積為3時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);(3)在直線上是否存在點(diǎn),使是以為斜邊的等腰直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式3】(2023·四川·統(tǒng)考中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn),,與軸交于點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式;(2)已知為拋物線上一點(diǎn),為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn),以,,為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,且,求出點(diǎn)的坐標(biāo);(3)如圖,為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),連接交軸于點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn),在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否為定值?若是,求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.1.(23-24九年級(jí)下·江蘇常州·期末)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線過(guò)點(diǎn),(1)求拋物線的解析式;(2)平移拋物線,平移后的頂點(diǎn)為.①如果,設(shè)直線,在這條直線的右側(cè)原拋物線和新拋物線不全是上升趨勢(shì),求的取值范圍;②若平移后的新拋物線交軸于點(diǎn),且恰好為頂角是的等腰三角形,求點(diǎn)的坐標(biāo)、2.(23-24九年級(jí)上·重慶銅梁·期末)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線,拋物線與x軸分別交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)是.

(1)求拋物線的解析式;(2)如圖1所示,P是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn),連接、、.求四邊形的面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)如圖2所示,在(2)的條件下,點(diǎn)M是直線上一點(diǎn),當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).3.(23-24九年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期末)如圖,點(diǎn)為二次函數(shù)的頂點(diǎn),直線與該二次函數(shù)圖象交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在軸上),與二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn).(1)求的值及點(diǎn)坐標(biāo);(2)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的的取值范圍;(3)連接、,求的面積;(4)在該二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn),使得以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.4.(23-24九年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末)如圖,已知拋物線與軸交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式;(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P,使的值最小,此時(shí)P的坐標(biāo)為;(3)點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)、點(diǎn)重合),過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),交直線于點(diǎn),連接,直線能否把分成面積之比為的兩部分?若能,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;(4)若為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn),使得為直角三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).5.(23-24九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期末)已知二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))

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