專(zhuān)題12.26三角形全等幾何模型-旋轉(zhuǎn)模型（專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)）

一、單選題

1.如圖，正方形A8C。的邊長(zhǎng)是2,對(duì)角線AC、相交于點(diǎn)0,點(diǎn)反產(chǎn)分別在邊

40、48上，K0EA.0F,則四邊形4FQE的面積是（）

A.4B.2C.1D.y

2.如圖，在ZiABC中，ZACB=90°,AC=BC,D是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D與A,B不

重合），連結(jié)CD,將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到線段CE,連結(jié)DE交BC

十點(diǎn)F,連接BE.當(dāng)AD=BF時(shí)，NBEF的度數(shù)是（）

3.將4個(gè)邊長(zhǎng)都是2的正方形按如圖所示的樣子擺放，點(diǎn)A,B,C分別是三個(gè)正方

形的中心，則圖中三塊重疊部分的面積的和為（）.

4.如圖，AB//CD,與NACD的平分線相交于點(diǎn)G,￡<7_14?于點(diǎn)￡：,F為AC

中點(diǎn)，G”_LS于"，NFGC=/FCG.下列說(shuō)法正確的是（）

①4G_LCG；②/BAG=/CGE；?S^FG=S^GFCi④若NEGH:ZECH=2:7,則

Z4FG=150°.

B

G

D

/\/H

AFEC

A.①③④B.②③C.???D.????

5.如圖，已知△ABC中，AB=AC,（3BAC=90o,直角NEPF的頂點(diǎn)P是邊BC中點(diǎn)，兩邊

PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,當(dāng)NEPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重

合），給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②團(tuán)EPF是等腰直角三角形；③四邊形AEPF的面積=0ABC

的面積的一半，④當(dāng)EF最短時(shí)，EF=AP,上述結(jié)論始終王確的個(gè)數(shù)為（）

6.如圖，在△4AC中，是邊上的高，NB4F=NCAG=90。，AB=AF,AC=AG,

連接尸G,交D4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接8G,CF,則下列結(jié)論：①BG=CF；②BGJLCE

③NE4辰NABC：④EF=EG,其中正確的有（）

8"C

A.①②③B.①②④C.?@?D.@@③④

二、填空題

7.如圖，等邊AABC中,ZAOB=]\50,ZBOC=\25°,則以線段0A0C為邊構(gòu)成

的三角形的各角的度數(shù)分別為_(kāi)_________________________

B

得到折線A。-。瓦點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在線段3c上的點(diǎn)。處，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)E處,

連接CE,若CE上BC,則tan/EOC=.

9.如圖，AABC和ADCE都是等腰直角三角形，Z/1CB=ZECD=90°,N￡BO=42。，則

10.兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖1所示放置，直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)。處,

4B=13,CO=7.保持紙片AO8不動(dòng)，將紙片C。。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)〃（0<a<90。），

11.如圖，在等邊A48C中，。是AC邊上一點(diǎn)，連接8。，將aBCO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60°,得到△BAE,連接ED,若8c=10,BD=9,則“ED的周長(zhǎng)是.

繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a后得到線段BE,連接CE.

（1）求證：BE1CE；

（2）延長(zhǎng)線段人/）,交線段CE于點(diǎn)尸.求NC7弘的度數(shù)（用含有。的式子表示）

16.在△A8C中，AB=AC,N8AC=90。，點(diǎn)。為直線8c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8,

C重合），以4。為一邊在AO的右側(cè)作△AOE,使AD=AE,/DAE=NBAC,連CE.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段3c上時(shí)，

①4C與CE的位置關(guān)系是_____；

②線段AC、CD、C￡之間的數(shù)量關(guān)系是_____.

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？如果成

立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)寫(xiě)出正確的結(jié)論再給出證明.

17.（1）如圖I所示，AACB,△氐：/）都是等腰三角形，A、C、D三點(diǎn)在同一直線上,

連接BD、AE,并延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)卜，試判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并證

明你的結(jié)論.

（2）若AEa）繞頂點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)任意角度后得到圖2,圖1中的結(jié)論是否仍然成立?

請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.如圖1,等腰中，ZA=90。，點(diǎn)。，E分別在邊4B,ACL,AD=AE,

連接。。，點(diǎn)M，P,N分別為DE,DC,BC的中點(diǎn).

（1）觀察猜想：圖1中，線段尸M與PN的數(shù)最關(guān)系是，位置關(guān)系是.

（2）探究證明：把AADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN,BD,CE,

判斷△QWV的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若4）=8,人8=20,請(qǐng)直接寫(xiě)

出△?”可面積的最大值.

19.（1）操作發(fā)現(xiàn)：將等腰RSABC與等腰R1ADE按如圖I方式疊放，其中

NACB=NADE=90,點(diǎn)D,七分別在A4,AC邊上，M為跖的中點(diǎn)，連結(jié)CM,OM.小

明發(fā)現(xiàn)C'M="M,你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）思考探究：小明想：若將圖I中的等腰RLADE繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的

角度，上述結(jié)論會(huì)如何呢？為此進(jìn)行以下探究：

探究一：將圖1中的等腰RlaADE繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°（如圖2）,其他條件

不變，發(fā)現(xiàn)結(jié)論CM=DM依然成立.請(qǐng)你給出證明.

探究二：將圖1中的等腰RSADE繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)135°（如圖3）,其他條件

不變，則結(jié)論=還成立.嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.如圖①，在心△ABC中，AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)、（不與點(diǎn)B,C重合），將

線段4。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連接EC

（1）試探索線段BC,DC,EC之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2）如圖②，在心△A8C與心△AOE中，AB=ACtAD=AEf將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),

使點(diǎn)。落在邊上，試探索線段A。，BD,之間涉足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

21.（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn):

如圖I,△ACB和△OCE均為等邊三角形，當(dāng)AOCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)4,。,E在同一直線上,

連接則：

①NAEB的度數(shù)為°；

②線段A。、8E之間的數(shù)量關(guān)系是.

（2）拓展研究:

如圖2,△AC4和△QCE均為等腰三角形，且NACB=NDCE=90。，點(diǎn)A、D、七在同

一直線上，若40=。，AE=b,A4=c,求〃、b、。之間的數(shù)量關(guān)系.

（3）探究發(fā)現(xiàn)：

圖I中的△ACB和△DCE,在ADCE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)4,D,E不在同一直線上時(shí)，

設(shè)直線A。與8E相交于點(diǎn)0,試在備用圖中探索NAOE的度數(shù)，直接寫(xiě)出結(jié)果，不必說(shuō)明

理由.

22.四邊形A8CD是由等邊AA8C和頂角為120。的等腰AA?。┡懦桑瑢⒁粋€(gè)60。角頂點(diǎn)

放在。處，將60。角繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該60。交兩邊分別交直線8C、AC于"、N,交直線A8

于E、F兩點(diǎn).

（1）當(dāng)E、尸都在線段A3上時(shí)（如圖I）,請(qǐng)證明：BM+AN=MN；

.V.V

(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊B4的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖2),請(qǐng)你寫(xiě)出線段MB,AN和MN之間的

數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論：

(3)在(1)的條件下，若AC=7,AE=2.1,請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為.

參考答案

I.C

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OA=O氏ZOAE=ZOBF=45Q,AC1.BD,再利用ASA證明

4A0EQXB0F、從而可得ZiAOE的面積=△BO尸的面積，進(jìn)而可得四邊形AFOE的面積

=!正方形/WCQ的面積，問(wèn)題即得解決.

解：???四邊形48co是正方形，

：,OA=OB,/OAE=/O6/=45°,ACA.BD,

JNAO8=90。，

?：OELOF,

???NEOF=90。,

ZAOE=NBOF,

:.XAOE9XB6F(ASA),

???△AOE的面枳=△8。尸的面積，

??.四邊形AFOE的面積=正方形ABCD的面積=7x22=l；

44

故選C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握正

方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

2.D

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=CE和NDCE=9()。，結(jié)合NACB=90。，AC=BC,可證

△ACD^ABCE,依據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到NCBE=NA=45。，再由AD=BF可得

等腰ABEF,則可計(jì)算出/BEF的度數(shù).

解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：CD=CE,ZDCE=90°.

VZACB=90°,AC=BC,

AZA=45°.

ZACB-ZDCB=ZDCE-ZDCB.

即NACD=NBCE.

/.△ACD^ABCE.

AZCBE=ZA=45°.

VAD=BF,

???BE=BF.

???NBEF=NBFE=67.5°.

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解

題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出相等的線段和角，并能準(zhǔn)確判定一：角形全等，從而利用

全等三角形性質(zhì)解決相應(yīng)的問(wèn)題.

3.B

【分析】

如圖：連接4P，AM點(diǎn)4是正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，易證△小尸且△NAE,可得△NAP

的面積是正方形的面積的,，即每個(gè)陰影部分的面積都等于正方形面積的：，即可解答.

44

連接AP,AN,點(diǎn)4是正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，

則=^APF=^ANE=45\

NPAF+/FAN=NFAN+NNAE=90，

:.NPAF=NNAE、

..△24尸且△N4E,

四邊形AENF的面積等于△N4P的面積，

而的面積定正方形的面積的；，而正方形的面積為4,

4

四邊形AENF的面積為\cnv,三塊陰影面積的和為3cm1.

故選B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的特性及面枳公式，由圖形的特點(diǎn)可知，每個(gè)陰影部分

的面積都等于正方形面積的!，據(jù)此解題?解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)每個(gè)陰影部分的面積都等

4

于正方形面積的;.

4

4.C

【分析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到NG4C+NGC4=90。從而根據(jù)三角形

的內(nèi)角和定理得到NAGC=90。，即可判斷①正確性；根據(jù)等角的余角相等可知

NCGE=NGAC，再由角平分線的定義與等量代換可知NBAGMCGE,即可判斷②正確性:

通過(guò)面積的計(jì)算方法，由等底等高的三角形面積相等，即可判斷③正確性；通過(guò)角度的和差

計(jì)算先求出NEG”,NECH的度數(shù)，再求出NEG/uSOS再由三角形內(nèi)角和定理及補(bǔ)角關(guān)

系即可判斷④是否正確.

解：①中，???AB〃CD,

.??Z?4C+ZACD=180°,

???NR4c與N。。的平分線相交于點(diǎn)G,

...ZGAC+NGC4=-NBAC+-ZACD=12x180°=90°,

22

ZGAC+NGCA+ZAGC=180°,

JZAGC=90°

???4G_LCG,

則①正確；

②中，由①得AGJ_CG,

???EGA.AC,NFGC=Z.FCG,

???根據(jù)等角的余侑相等得4CGE=NGAC,

〈AG平分的C,

,NBAG=NGAC,

???4BAG=4CGE、

則②正確；

③中，根據(jù)三角形的面積公式，???廠為AC中點(diǎn)，."F=CE'??八4尺7與AGFC等底

等高，SMFG=SAGFC，則③正確；

④中，根據(jù)題意，得：在四邊形GEC”中，NEGH+NECH=180。,

又：NEGH:NECH=2:7,

27

JZEG//=180ox-=40°,ZECH=I80°x-=140°,

99

"G平分NEC，,

???ZFCG=-Z￡CH=70°,

2

根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，得/叩C=2O。.

???4FGC=/FCG,

：.匕FGC=匕FCG=70°,

NEGF=NFGC-4ECG=50°,

EG±AC,

???Z.GFE=90°-AEGF=40°,

???ZAFG=180°-ZGFE=180°-40°=140°,則④錯(cuò)誤.

故正確的有①?<③，

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題主要考杳了三角形的綜合應(yīng)用，涉及到三角形面積求解，三角形的內(nèi)角和

定理，補(bǔ)角余角的計(jì)算，角平分線的定義，平彳丁線的性偵等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)以及等量代換等數(shù)學(xué)

思想，熟練掌握相關(guān)角度的和差倍分計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

5.D

【分析】

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NZMP=NC=45。，AP=CP,根據(jù)等角的余角相等求出

NAPE=NCPF,然后利用“角邊角”證明AA“和△CP尸全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等

可得AE=CKPE=PF,全等三角形的面積相等求出S屈％AEPF=5〃1PC,然后解答即可.

解：'：AB=AC,N朋C=90。，.?.△ABC是等腰直角三角形.

???點(diǎn)P為8C的中點(diǎn)，.,.ZBAP=ZC=45O,AP=CP.

???ZEPF是直角，,ZAPE+ZAPF=ZCPF+ZAPF=90°,AZAPE=ZCPF.

Z/MP=ZC=45°

在和△CPF中，V'AP=PC,.-.△AEP^ACPF(ASA),：.AE=CFt

￡APE=KPF

PE=PF,S&APE=SQF,:?S四邊形AEPF=SMPC,:?S_AEPF=；S4BC,根據(jù)等腰直角

三角形的性質(zhì)，EF=^PE,所以，E尸隨著點(diǎn)E的變化而變化，只有當(dāng)點(diǎn)E為48的中點(diǎn)時(shí),

EF=&.PE=AP,此時(shí)，EF最短；故①②③④正確.

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與

性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出三角形全等是解題的關(guān)鍵.

6.D

【分析】

證得△CA/會(huì)AGAB(S4S),從而推得①正確；利用△及三角形內(nèi)角和

與對(duì)頂角，可判斷②正確；證明AAFM空△84。(A4S),得出FM=AZ),/琢M=/ABD,

則③正確，同理△ANG絲△CD4,得出NG=AD,則FM=NG,證明△FME公AGNEIAAS).可

得出結(jié)論④正確.

解：???NBAF=NG4G=90°,

AZBAF+ZBAC=ZCAG+ZBAC,即NCAQNG人4,

又???AB=AF=AC=4G,

：.4CAFm叢GAB(SAS),

：.BG=CF.故①正確：

VAMC^ABAG,

???NFCAMBGA,

又???BC與AG所交的對(duì)頂角相等，

???BG與尸C所交角等于/GAC,即等于90。，

C.BGLCF,故②正確；

過(guò)點(diǎn);/作戶于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)G作GN_LAE交HE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

???ZFMA=ZFAB=ZADB=90°,

：,ZFAM+ZBAD=9Q°,ZMM+ZAFM=90°,

???NBAD=NAFM,

又???■=",

：.4AFM9XBAO(AAS),

：.kM=AL),N/AM=NA〃),

故③正確，

同理△ANGQACDA,

：.NG=AD,

:,FM=NG,

?：FM上AE,NG1AE,

???/FME=/ENG=90。,

???ZAEF=ZNEG,

：.4FME仝/XGNE(AAS).

/.EF=EG.

故④正確.

故選：D.

【點(diǎn)撥】本撅綜合考杏了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的三線合一性質(zhì)與互

余、對(duì)頂角，三角形內(nèi)角和等兒何基礎(chǔ)知識(shí).熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

7.55°,60°,65°.

【分析】

通過(guò)旋轉(zhuǎn)△478至△C￡>8,可得△80。是等邊三角形，將04,08,。。放在一個(gè)三角形

中，進(jìn)而求出各角大小.

解：將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到

V?AO^CDB,是等邊三角形，且旋轉(zhuǎn)角相等，則08=。&ZOBD=60°

???△48是等邊三角形.則OB=DB=OD

又???△AO的.。為AZAOB=ZCDB=\\5°OA=DC

故以線段0AOB,OC三邊構(gòu)成的三角形為△OCD

所以ZODC=ZCDB-ZODB=115°-6()°=55°

ZCOD=ZBOC-ZBOD=125°-60°=65°

ZOCD=180°-NODC-COD=180°-65°-55°=60°

故答案為：55。,60。,65。.

【點(diǎn)撥】此題旨在考查圖形旋轉(zhuǎn)的特性和實(shí)際應(yīng)用，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握

圖形的旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【分析】

連接AC,AE,過(guò)點(diǎn)A作于尸，作于〃，可證四邊形A產(chǎn)CH是矩形，

可得A尸=C〃，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AO=A8=3,BC=DE=5,ZABC=ZADE,由“SAS'可

912

證凡可得AC=4￡由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可得8尸=不，AF=—,

JJ

由三角函數(shù)可求解.

解：如圖，連接AC,AE,過(guò)點(diǎn)A作/1尸_18。于凡作AH_LEC于"，

VCE±BC,AFLI3C,AHLEC,

二四邊形人尸C”是矩形，

：.AF=CH,

???將折線AB-BC繞點(diǎn)4按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到折線AD-DE,

：.AD=AB=3,BC=DE=5,ZABC=ZADE,

A(SAS),

：.AC=AE,

\*AC=AE,AB=AD,AFLBC,AHLEC,

：.BF=DF,CH=EH,

???A4=A盾+8產(chǎn)，DE2=DG+CE2,

???9=A/+8產(chǎn)，25=(5-28F)2+4AF2,

912

：.BF=-,AF=—,

55

2497

：.EC=2CH=2AF=—CD=5-2x-=-,

5f55

?\tanNEDC=——=—，

CD7

故答案為：-

【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，利用勾股定理求出8RAF的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵.

9.132

【分析】

先證明△BDCg^AEC,進(jìn)而得到角的關(guān)系，再由NEBD的度數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后利用三

角形的內(nèi)角和即可得到答案.

解：VZACfi=ZECD=90°,ZBCD=ZACE,

AC=BC

在^BDC和MEC中，?/BCD=NACE,

DC=EC

ABDC竺AAEC(SAS),ZDBC=ZEAC,

Z.EBD=Z.DBC+Z.EBC=42°，

ZEAC+ZEBC=42°，，ZABE+4EAB=90-420=48'，

???ZAEB=180°-(/ABE+NEAB)=180-48°=132°.

故答案為132

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問(wèn)題.

10.30

【分析】

設(shè)AO與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)G,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證^AOC^ABOD,進(jìn)而得出

△ABC是直角三角形，設(shè)AC=x,BC-x+7,由勾股定理求出x,再“算△A6C的面積即可.

解：設(shè)AO與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)G,

VZAOB=ZCOD=9UU,

.\ZAOC=ZDOB,

在^AOC和^BOD中，

OA=OB

-NAOC=NBOD,

OC=OD

AAAOC^ABOD(SAS),

???AC=BD,ZCAO=ZDBO,

VZDBO+ZOGB=90°,

VZOGB=ZAGC,

r.ZCAO4-ZAGC=90°,

AZACG=90°,

ACG1AC,

設(shè)AC=x,則BD=AC=x,BC=x+7,

VBDsCD在同一直線上，BD1AC,

???△ABC是直角三角形，

AAC2+BC2=AB2,

X2+(X+7)2=I3:,

解得x=5,即AC=5,BC=5+7=12,

在直角三角形ABC中，S=gx5xl2=30,

故答案為：30.

【點(diǎn)撥】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形

的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)譴是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題.

11.19.

解：：將aBCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△BAE

:.△BDCmABAE

：.BE=BD,NOBE=60。，AE=CD

???△O8E是等邊三角形

；?DE=BD=9

「?AAED的周^:=DE+AD+AE=DE+AC=19

故答案為：19

12.18

【分析】

根據(jù)四邊形ABFG、6CE。是正方形得到兩對(duì)邊相筆，一對(duì)直角相等，根據(jù)圖形利用等

式的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，利用SAS即可得到△ABZ運(yùn)△F8C；得到AQ=",ZBAD=

ZBFC,利用等式的性質(zhì)及垂直定義得到A。與CF垂直，由四邊形A2C面積=△AC。面

積+△4五。面積，求出即可.

解：連接尸D，設(shè)C尸與人。交于點(diǎn)M,CF與AB交于點(diǎn)、N,如圖：

???四邊形4BR7、8CE。是正方形,

：.AB=FB,CB=DB,ZABF=ZCBD=90°,

???NABF+NABC=NCBD+/ABC,

即ZABD=ZCBFf

在△48。和^FBC中,

AB=FB

NABD=NCBF,

DB=CB

:.△ABDWAFBC(SAS)；

：.AD=FC,ZBAD=ZBFC,

???ZAMF=1800-ZBAD-NCNA=180。-(^BFC+ZBNF)=\S00-90°=90°,

：.ADLCF,

VAD=6,

???FC=AO=6,

?'?四邊形ACDF的面積=S^ACD+S

=-xADxCM+-xADxFM

22

=-xADxCF

2

I//

=-x6x6

2

=18.

故答案為：18.

【點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，「角形、四邊形的面積，以及三角形的

三邊關(guān)系，屬于多知識(shí)點(diǎn)的四邊形綜合題.能求出“8。二力欣;并證明4)_LC/是解此題

的關(guān)鍵.

13.M

【分析】

過(guò)點(diǎn)B作3E_LC￡＞交DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,證明aAEB?△CFB(AAS)推出

BE=BF,S^ABE=SABFC?口J得S四邊形ABCD=S正方形BEDF=12,由此即可解決問(wèn)題:

解：過(guò)點(diǎn)B作交DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,如右圖所示，

VBFA.CD,BE±AD

/./BFC=/BEA=90

?.-NABC=/ADC=90

.?./ABE+/EBC=90,/EBC+/CBF=90

.?2ABE=NCBF

vAB=CB

/?△AEB^ACFB(AAS)

二.BE=BF?SAABE=SjjFC

S四邊形ABCD=S正方形BEDF=1°，

BExBF=10,

即BE2=10.

BE=V10,

故答案為

【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造

全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

14.(I)證明見(jiàn)分析；(2)BE=AD,理由見(jiàn)分析.

【分析】

(1)證出NBCE=/ACD,根據(jù)SAS推出△BCE絲AACD,即可得出結(jié)論；

(2)圖2、圖3、圖4同樣證出NBCE=NACD,艱據(jù)SAS推出△BCE絲AiACD,即

可得出結(jié)論.

解：(1)證明：VZBCA=ZECD,

AZBCA+ZECA=ZECD+ZECA,

AZBCE=ZACD,

在乙BCE和^ACD中，

BC=AC

<NBCE=ZACD,

CE=CD

AABCE^AACD(SAS),

???BE=AD：

(2)解：圖2、圖3、圖4中，BE=AD,以圖2為例，理由如下：

VZBCA=ZECD,

:.ZBCA-ZECA=ZECD-ZECA,

.*.ZBCE=ZACD,

BC=AC

在aBCE和^ACD中，，N8CE=/ACD,

CE=CD

AABCE^AACD(SAS),

.??BE=AD.

【點(diǎn)撥】本題考查三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵.

15.(1)見(jiàn)分析?：(2)ZCE4=a

【分析】

(1)根據(jù)“邊角邊”證AAOBZACEB,得到/4O8=NCE8=90。即小

(2)由(1)得，ZDAB=NECB,再根據(jù)三角形內(nèi)角和證明NCE4=a即可.

解：???線段3。繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角『得到線段跖，

BD-BE,Z.DBE=a.

???ZABC=a,/.ZABC=ZDBE.

VADIBC,

：.ZAO8=90°.

在AABD%ACBE中，

AB=CB、

,NABD=ZCBE,

BD=BE,

MDB^ACEB

ZADB=NCEB=90°.

:.BEICE.

(2)解：:AAOB且ACE8,

/DAB=￡ECB,

又ZADB=KDF,

4CFA=NCBA=a,

【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，解題

關(guān)鍵是熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明.

16.⑴①垂直；②BC=CD+CE；⑵位置關(guān)系：垂直，數(shù)量關(guān)系：CD=BC+CE,

證明見(jiàn)分析；

【分析】

(1)①先求證△ABDgZXACE,得到NA8C=NACE=45。，從而求得/8CE=90。，

即可求解：②根據(jù)①中的全等三角形，得到8O=CE,從而求得8C=C0+CE；

(2)先求證△ABDg/XACE,得到NACE=NA8O=135。，BD=CE,從而求得

NDC￡=90。，CD=BC+CE

解：⑴VAB=AC,ZfiAC=90°

???ZABC=ZACB=45°

???ADAE=ZBAC

JABAD=/CAE

又?；AB=AC,AD=AE

???/\ABD^/\ACE(SAS)

/.ZABC=ZACE=45°,BD=CE

①?,?NBCE=ZACB+ZACE=90°,?，.CE1BC

②：.BC=CD+BD=CD+CE

(2)位置關(guān)系：垂宜，數(shù)量關(guān)系：CD=BC+CE,證明如下：

VAB=AC,NBAC=90。

:.ZABC^ZACB=A50

???NAB。=135。

ZDAE=ZI3AC

JZBAZ)=ZG4￡

又?.?A3=4C,AD=AE

???△ABO空△ACE(SAS)

???ZACE=ZABD=135c,BD=CE

???/BCD=ZACE-ZACD=9QP

BCLCE

乂?：CD=BC+BD

：-CD=BC+CE

【點(diǎn)撥】此題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法及

有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.(I)AE=BD,AE±BD,見(jiàn)分析；(2)結(jié)論還成立，見(jiàn)分析

【分析】

(1)根據(jù)SAS推出AACEg^BCD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=BD,ZCAE=

ZDBC,根據(jù)NACB=90。求出NCAE+NAEC=90。，求出NDBC+NBEF=90。，根據(jù)三

角形內(nèi)角和定理求出NBFE=90。即可：

(2)根據(jù)SAS推出AACE也aBCD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=BD,ZCAE=

ZDBC,根據(jù)NACB=90。求出NCAE+NAOC=90。，求出NDBC+/BOE=90。，根據(jù)三

角形內(nèi)角和定理求出NBFO=90。即可.

解：(I)AE=BD,AEXBD.

???△AC3,△￡1口)都是等腰三角形，

AAC=BC,CE=CD,

在AACE和△BCD中

AC=BC

/ACE=/BCD

CE=CD

AAACE^ABCD(SAS),

AAE=BD,ZCAE=ZDBC,

VZACB=90°,

:.ZCAE+ZAEC=90°,

VZCAE=ZDBC,ZAEC=ZBEF,

.\ZDBC+ZBEF=90°,

/.ZBFE=180°-90°=90°,

AAE1BD；

(2)解：結(jié)論還成立，

理由是：VZACB=ZECD,

AZACB+ZBCE=ZECD+ZBCE,

即NACE=NBCD,

在△ACE和ABCD中

AC=BC

?NACE=/BCD

CE=CD

?.△ACE^ABCD（SAS）,

AAE=BD,ZCAE=ZDBC,

VZACB=90%

ZCAE+ZAOC=90°,

VZCAE=ZDBC,ZAOC=ZBOE,

/.ZDBC+ZBOE=90°,

/.ZBFO=1800-90。=90。，

AAE±BD.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用，以及等腰三角形性質(zhì)、內(nèi)角和

定理，解此題的關(guān)鍵是通過(guò)全等得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等.

18.（1）PM=PN,PMSN；（2）/MN是等腰直角三角形，理由見(jiàn)分析；（3）

98

【分析】

（I）根據(jù)題意可證得8O=CE,利用三角形的中位線定理得出PM=gcE,

PN=^BD,即可得出數(shù)量關(guān)系，|耳利用三角形的中位線定理得出產(chǎn)M〃CE,得出

ZDPM=ZDCA,通過(guò)角的轉(zhuǎn)換得出NDEW與NOPN互余，證得PM_L/W.

（2）先證明△A5Z注&4CE,得出BQ=CE,同（1）的方法得出PM=g8。.PN=；，

即可得出尸M=PN,同（1）的方法由NA//W=NQCE+Z￡>C6+N￡）8C=NACB+Z/3C,即可

得出結(jié)論.

（3）當(dāng)8。最大時(shí)，△尸的面積最大，而80最大值是48+AO=28,

SjM\，=gx（PM）2,計(jì)算得出結(jié)論.

解：（1）線段PM與PN的數(shù)顯關(guān)系是PM=/W,位置關(guān)系是尸

???等腰心△ABC中，44=90。，

.\AB=AC,

VAD=AE,

.\AB-AD=AC-AE,

.\BD=CE,

???點(diǎn)、M,P,N分別為OE,DC、AC的中點(diǎn)，

APM=-CE,PN=>BD,

22

???PM=PN、

*/PM//CE,

???0DPM=ZDC4,

???Z4=90°,

???ZADC+ZACD=90°,

VZADC=ZDPN（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等），

???4MPN=4DPM+ZDPN=NDC4+ZADC=90。,

/.PM1PN.

（2）是等腰直角三角形.

證明：由旋轉(zhuǎn)“J知，ZBAD=ZCAE,

?/AB=AC,AD=AE，

???^ABD^^ACE（SAS）,

:.ZABD=ZACE,BD=CE,

根據(jù)三角形的中位線定理可得，PNJBD,PM=GCE,

22

???PM=PN,

???△PMN是等腰三角形，

同（I）的方法可得，PM//CE,

???力PM=/DCE,

同（1）的方法得，PNHBD.

/PNC=NDBC，

ZDPN=4DCB+4PNC=4DCB+NDBC,

：.ZMPN=/DPM+4DPN=ZDCE+ZDCB+NDBC

=ZBCE+4DBC=ZAC8+ZACE+4DBC

=ZACB+ZABD+ADBC=ZACB+ZABC,

ABAC=9（）。，JZACB+ZABC=90°,

???ZA/PN=90°,

???△PMN是等腰直角三角形.

（3）由（2）知，JMN是等腰直角三角形，PM=PN=^BD,

???PM最大時(shí)，APMN面積最大,

???點(diǎn)D在K4的延長(zhǎng)線上，BD最大,

，BD=AB+AD=28,

PM=14,

???^?=-?2=-X142=98.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形中位線定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，全等三角

形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握中位線定理是解題關(guān)鍵.

19.（1）正確，理由見(jiàn)分析；（2）證明見(jiàn)分析；（3）成立，理由見(jiàn)分析

【分析】

（1）連接DM并延長(zhǎng)，作BN_LAB,與DM的延長(zhǎng)線交于N,連接CN,先證明

△EMD空△BMN,得至ljBN=DE=DA,再證明△CAD^^CNB,得至ljCD=CN,證明△DCM

是等腰直角三角形即可；

（2）探究一：延長(zhǎng)DM交BC于N,根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定推出NDEM二NMBC,

根據(jù)ASA推出△EMD絲z\BMN,證出BN=AD,證明△CMD為等腰直角三角形即可；

探究二：作BN〃DE交DM的延長(zhǎng)線于N,連接CN,根據(jù)平行線的性質(zhì)求出

NE=NNBM,根據(jù)ASA證△DCA絲△NCB,推出△DCN是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直

角三角形的性質(zhì)即可推出△CMD為等腰直角三角形.

解：（1）如圖一，連接DM并延長(zhǎng)，作BNJLAB,與DM的延長(zhǎng)線交于N,連接CN,

圖一

VZEDA=ZABN=90°,

???DE〃BN,

AZDEM=ZMBN,

???在△EMD和^BMN中,

/DEM=NNBM

<EM=13M,

/EMD=ZNMB

/.△EMD^ABMN(ASA),

ABN=DE=DA,MN=MD,

在^CAD和^CNB中，

AC=BC

,NA=NCBN=45°,

BN=DA

AACAD^ACNB,

ACD=CN,

???△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線,

ACM1DN,

???△DCM是等腰直角三角形，

DM=CM：

(2)探究一，

理由：如圖二，連接DM并延長(zhǎng)DM交BC于N,

VZEDA=ZACB=90°,

DE〃BC,

AZDEM=ZMBC,

???在△EMD和^BMN中,

NDEM=NNBM

EM=BM,

/EMD=/NMB

/.△EMD^ABMN(ASA),

???BN二DE=DA,MN=MD

VAC=BC,

/.CD=CN,

???△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線,

ACM±DM,ZDCM=yZDCN=45°=ZBCM,

???△CMD為等腰直角三角形.

.\DM=CM；

探究二，

理由：如圖三，連接DM,過(guò)點(diǎn)B作BN〃DE交DM的延長(zhǎng)線于N,連接CN,

AZE=ZMBN=45O.

???點(diǎn)M是BE的中點(diǎn)，

AEM=BM.

??,在aEMD和△BMN中，

4E=NMBN

<EM=BM

NDME=NNMB

AAEMD^ABMN(ASA),

.\BN=DE=DA,MN=MD,

〈ZDAE=ZBAC=ZABC=45°,

AZDAC=ZNBC=90°

???在△DCA和ANCB中

DA=BN

ADAC=/NBC,

CA=BC

AADCA^ANCB(SAS),

AZDCA=ZNCB,DC=CN,

AZDCN=ZACB=90°,

???△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線，

ACM1DM,ZDCM=^-ZDCN=45°=ZCDM,

???△CMD為等腰直角三角形.

ADM=CM

【點(diǎn)撥】本題綜合考杳了等腰直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和

判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，此題綜合性比較強(qiáng)，培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能

力，類(lèi)比思想的運(yùn)用，題型較好，難度較大.

20.(1)BD=DC+CE,見(jiàn)分析；(2)見(jiàn)分析

【分析】

(1)通過(guò)SAS證明△ABQgaACE,得CE=B。,即可得出結(jié)論；

(2)連接CE,同理證明△A4。絲△4CE,得CE=BD,ZACE=ZB,則

ZDCE=ZACB+ZACE=90°,WCIy+CE^DE2,進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可.

解：(1)???將線段人。繞點(diǎn)人逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,

AZZ)AE=9D°,AD=AE,

：.ZBAC=ZDAE,

???ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

:,/BAD=NCAE,

在△A3。和△ACE中，

AB=AC

，ABAD=ZCAE,

AD=AE

:.XABD@\ACE(SAS),

CE=BD,

：,BC=CD+BD=CD+CE；

故答案為：BC=CD+CE.

(2)CI^+B^IAD2,理由如下:

連接CE,

BD

VZDAE=90°,AD=AE,

：,DE=42AD,即。氏2心，

???ZBAC=ZDA￡=90°,

???ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDACf

：?NBAD=NCAE,

在△ABD和△ACE中，

AB=AC

</BAD=ZCAE,

AD=AE

???△/WOZzMCE,

ACE=BD,NACE=/B,

/.ZDCE=ZACB+ZACE=ZACB+ZB=90°,

：.C^CE2=DE2,

???C?+BD2=2AD2.

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾

股定理等知識(shí)，證明△人CE是解題的關(guān)鍵.

21.(I)①60：?AD=BE；(2)/+%2=/；(3)60?；?20°

【分析】

(1)由條件易證△ACOWZXBCE,從而得到：AD=BE,/ADC=/BEC.由點(diǎn)A,D,

E在同一直線上可求出NAOC,從而可以求出NAE8的度數(shù)；

(2)由“SAS'可證△可得NADC二NBEC,由勾股定理可求解;

(3)由(1)知△ACO且△BCE,得NC4O=NC4E,由NCA4=NA4C=60。，可知

ZEAB+ZA/法=12()。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知/AOE=60。.

解：(1)①如圖1,

???△4。3和4OCE均為等邊三角形，

???CA=C8,CD=CE,/4CB=NOCE=60°,

NACD=NBCE,

在△4。。和4BCE中,

AC=BC

ZACD=NBCE,

CD