專題01一次函數(shù)綜合題

壓軸題密押

通用的解題思路:

（1）一次函數(shù)與幾何圖形的面積問題

首先要根據(jù)題意畫出草圖，結(jié)合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積.

（2）一次函數(shù)的優(yōu)化問題

通常一次函數(shù)的最值問題首先由不等式找到工的取值范圍，進(jìn)而利用一次函數(shù)的增減性在前面范圍內(nèi)的前

提下求出最值.

（3）用函數(shù)圖象解決實際問題

從己知函數(shù)圖象中獲取信息，求四函數(shù)值、函數(shù)表達(dá)式，并解答相應(yīng)的問題.

壓軸電預(yù)窩

1.（2024?鼓樓區(qū)一模）如圖，直線y=-6x+6與0O相切，切點為P,與x軸y軸分別交于A、8兩點.0O

與天軸負(fù)半軸交于點C.

（1）求的半徑；

（2）求圖中陰影部分的面積.

2.(2023?宿豫區(qū)三模)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，直線4：,，=x+l與直線/2：犬=-2相交于點。，點A

是直線乙上的動點，過點A作于點8,點C的坐標(biāo)為(0,3),連接AC,8C.設(shè)點A的縱坐標(biāo)為/,

A48C的面積為s.

(1)當(dāng)1=2時，求點8的坐標(biāo)；

(2)$關(guān)于，的函數(shù)解析式為s=<K'+"'—K或'”)，其圖象如圖②所示，結(jié)合圖①，②的信息,

?(r+l)(r-5)(-l<r<5)

求出。與人的值；

(3)在直線4上是否存在點A,使得NAC8=90。，若存在，請求出此時點A的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由.

①②

3.（2023?漂陽市一模）如圖1,將矩形AO8C放在平面直角坐標(biāo)系中，點O是原點，點A坐標(biāo)為（0,4）,

點8坐標(biāo)為（5,0）,點P是x軸正半軸上的動點，連接”，A4QP是由AAOP沿AP翻折所得到的圖形.

（1）當(dāng)點Q落在對角線OC上時，OP=；

（2）當(dāng)直線PQ經(jīng)過點C時，求PQ所在的直線函數(shù)表達(dá)式；

（3）如圖2,點M是4C的中點，連接M。、MQ.

①的最小值為；

②當(dāng)APMQ是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出點P的義標(biāo).

yJk

圖1圖2

4.（2022?啟東市模擬）我們知道一次函數(shù)），=〃氏+〃與），=-如+〃（〃?工0）的圖象關(guān)于），軸對稱，所以我們

定義：函數(shù)y=nix+n與y=-nix-n（m工0）互為“M”函數(shù).

（1）請直接寫出函數(shù)），=2x+5的“M”函數(shù)；

（2）如果一對“M"函數(shù),，=〃“?+〃與），=-〃“+〃（〃2/0）的圖象交于點人，且與x軸交于B,C兩點，如

圖所示，若NB4c=90。，且AA8C的面積是8,求這對“M”函數(shù)的解析式；

（3）在（2）的條件下，若點。是），軸上的一個動點，當(dāng)AAM為等腰三角形時，請求出點。的坐標(biāo).

5.（2024?新北區(qū)校級模擬）如圖①，動點尸從矩形A8C。的頂點A出發(fā)，以匕的速度沿折線A-8-C向

終點C運動；同時，一動點Q從點。出發(fā)，以匕的速度沿DC向終點C運動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時，另一

個點也停止運動.點石為C/）的中點，連接PE,PQ,記AEPQ的面積為S,點P運動的時間為/,其函數(shù)

圖象為折線MN—N/和曲線AG（圖②），已知，ON=4,N”=l,點G的坐標(biāo)為（8,0）.

（1）點尸與點Q的速度之比上的值為—；組的值為—；

v2AD

（2）如果。"=15.

①求線段NF所在直線的函數(shù)表達(dá)式;

②求FG所在曲線的函數(shù)表達(dá)式；

③是否存在某個時刻/,使得工.&?若存在，求出f的取值范圍：若不存在，請說明理由.

4

圖①

6.（2024?梁溪區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xO），中，二次函數(shù)），=-。$+3依+4a的圖象與x軸交于A、

4兩點（點A在點8的左側(cè)），與），軸正半軸交于點C,直線）：=交于第一象限內(nèi)的。點，且AABC的

面積為10.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點E為上軸上一點，過點石作），軸的平行線交線段8于點/，交拋物線于點G,當(dāng)G"=石?！〞r，

求點G的坐標(biāo)；

（3）已知點尸（〃,0）是x軸上的點，若點?關(guān)于直線OD的對稱點Q恰好落在二次函數(shù)的圖象上，求〃的值.

（備用圖）

7.（2023?祁江區(qū)校級一模）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線/:），=-蟲X+4G分別與x軸、），軸交于

3

點A點和8點，過O點作ODJL43于。點，以。。為邊構(gòu)造等邊（廠點在x軸的正半軸上）.

（1）求4、〃點的坐標(biāo)，以及。。的長；

（2）將等邊從圖1的位置沿％軸的正方向以每秒1個單位的長度平移，移動的時間為，（s）,同時

點了從左出發(fā)，以母秒2個單位的速度沿著折線七尸運動（如圖2所示），當(dāng)〃點到〃點停止，及比卜

也隨之停止.

①t=（5）時，直線I恰好經(jīng)過等邊/SEDF其中一條邊的中點；

②當(dāng)點P在線段。石上運動，若DM=2PM,求/的值；

③當(dāng)點P在線段。尸上運動時，若APMN的面積為75,求出/的值.

圖1圖2

8.（2023?武進(jìn)區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意兩點［區(qū)，凹）與〃（%，必）的“非常距

離"，給出如下定義：

若I%—七1…ly—必1，則點6與點打的“非常距離”為|西一巧|;

若K1<1NfI，則點耳與點Pi的“非常距離”為ly-%I-

例如：點"（1,2）,點巴（3,5）,因為|1一3|<|2-5］,所以點點與點鳥的“非常距離”為|2-5|=3,也就是圖

1中線段［Q與線段鳥。長度的較大值（點Q為垂直于），軸的直線［Q與垂直于x軸的直線鳥。交點）.

（1）已知點A（-g,0）,8為），軸上的一個動點，

①若點A與點4的“非常距離”為2,寫出一個滿足條件的點△的坐標(biāo)；

②直接寫出點A與點3的“非常距離”的最小值；

（2）已知C是直線y=±x+3上的一個動點，

4

①如圖2,點。的坐標(biāo)是（0］），求點C與點。的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點。的坐標(biāo)：

②如圖3,后是以原點O為圓心，I為半徑的圓上的一個動點，求點C與點石的“非常距離”的最小值及相

應(yīng)的點石與點。的坐標(biāo).

圖1圖3

9.(2023?海安市一模)對于平面直角坐標(biāo)系xQy中的圖形W和點給出如下定義：尸為圖形W上任意

一點，將尸，小兩點間距離的最小值記為，〃，最大值記為M,稱歷與〃?的差為點P到圖形VV的''差距離"，

記作d(P,W),即=已知點A(2,l),仇一2,1)

(1)求d(O,AB)；

(2)點C為直線y=T上的一個動點，當(dāng)d(CA8)=l時，點C的橫坐標(biāo)是；

(3)點。為函數(shù)y=x+0(-2效k2)圖象上的任意一點，當(dāng)d(DA3),,2時，直接寫出力的取值范圍.

10.(2022?姑蘇區(qū)校級模擬)平面直角坐標(biāo)系xO)，中，對于任意的三個點A、B、C,給出如下定義：若

矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且A,B，C三點都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點A,

B,C的“三點矩形”.在點A,8,C的所有“三點矩形”中，若存在面積最小的矩形，則稱該矩形為

點4,B,C的“最佳三點矩形”.

如圖1,矩形DEFG,矩形〃C”都是點A,B,C的“三點矩形"，矩形〃C”是點A,B,C的“最佳

三點矩形”.

如圖2,已知2(4,1),N(-2,3),點

(1)①若，〃=2,〃=4,則點M,N,P的“最佳三點矩形”的周長為—，面積為一；

②若相=2,點"，N,P的“最佳三點矩形”的面積為24,求〃的值：

(2)若點P在直線y=2xi5上.

①求點/，N,。的“最佳三點矩形”面積的最小值及此時，〃的取值范圍；

②當(dāng)點N,0的“最佳三點矩形”為正方形時，求點尸的坐標(biāo)；

(3)若點尸(〃?,〃)在拋物線產(chǎn)加+Zu+c上，當(dāng)且僅當(dāng)點用，N,P的“最佳三點矩形”面積為12時,

-2冽〃-1或掇M3,直接寫出拋物線的解析式.

圖1圖2備用圖

II.（2022?太倉市模擬）如圖①，動點尸從矩形ABC7）的頂點A出發(fā)，以耳的速度沿折線A-8-C向終點

C運動；同時，一動點。從點。出發(fā)，以匕的速度沿/券向終點C運動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時，另一-個點

也停止運動.點E為C7）的中點，連接正，PQ,記AEPQ的面積為S,點Q運動的時間為/,其函數(shù)圖象

為折線MN-M*和曲線AG（圖②），已知，ON=3,M/=l,點G的坐標(biāo)為（6,0）.

（1）點P與點Q的速度之比上的值為____；的值為____；

v2

（2）如果OM=2.

①求線段所所在直線的函數(shù)表達(dá)式：

②是否存在某個時刻/,使得S…二？若存在，求出/的取值范圍；若不存在，請說明理由.

3

12.(2022?祁江區(qū)校級一模)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，對于點。和線段ST,我們定義點?關(guān)于線段ST的

&

仃(PS<PT)

線段比AW

方(PS..PT)

(1)已知點4(0.1),8(1,0).

①點g(2,0)關(guān)于線段AI3的線段比攵=；

②點C(0,c)關(guān)于線段AB的線段比k=0,求c的值.

(2)已知點例(私0),點N(/〃+2,0),直線y=x+2與坐標(biāo)軸分別交于石，尸兩點，若線段后上存在點

使得這一點關(guān)于線段MV的線段比公,，直接寫出機(jī)的取值范圍.

13.(2022-泰州)定義：對于一次函數(shù)y,=ax+b、y2=cx+cl,我們稱函數(shù)

y=m(ax+b)+n{cx+d)(ma+ncw0)為函數(shù)y、y2的“組合函數(shù)

(1)若帆=3,〃=1,試判斷函數(shù)y=5x+2是否為函數(shù)y=x+l、必=2'-1的“組合函數(shù)”，并說明理由：

(2)設(shè)函數(shù)x=工一〃一2與乃=-工+3〃的圖像相交于點P.

①若,〃+〃>1,點P在函數(shù),、B的“組合函數(shù)”圖像的上方，求〃的取值范圍；

②若函數(shù)X、％的“組合函數(shù)”圖像經(jīng)過點P.是否存在大小確定的/〃值，對于不等于1的任意

實數(shù)〃，都有“組合函數(shù)”圖像與工軸交點Q的位置不變？若存在，請求出，"的值及此時點。的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

14.(2024?鐘樓區(qū)校級模擬)在同一平面內(nèi)，具有一條公共邊且不完全重合的兩個全等三角形，我們稱這

兩個三角形叫做“共邊全等”.

(2)如圖1,在邊長為6的等邊三角形/WC中，點。在邊上，且點石、尸分別在AC'、BC

3

邊上，滿足ME尸和AEZW為“共邊全等”，求CV的長;

(3)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3x+12分別與直線y=x、x軸相交于A、B兩點，點C是OB

的中點，P、Q在AAO8的邊上，當(dāng)以尸、B、Q為頂點的三角形與AFC8“共邊全等”時，請直接寫出

點Q的坐標(biāo).

15.（2023?新北區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點A、點8的坐標(biāo)分別為（-2,0）、（0,8）.經(jīng)

過A、B、O三點的圓的圓心為M,過點”的直線與OM的公共點是。、E,與x軸交于點尸，與），軸

交于點N,連接AE、OD、BD.已知NOfm'=45。.

（1）OM的直徑為，點M的坐標(biāo)為；

（2）求直線。尸所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（3）若P是線段AF上的動點，NPE4與的一個內(nèi)角相等，求OP的長度.

16.（2023?梁溪區(qū)模擬）如圖,以4-9,0）、5（-2,0）為頂點作等邊A4BC,點C在第二象限.

（1）求直線3c所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

（2）過點。（1,0）作一條直線交AC于點交AC于點Q,且DP:PQ=3:2.

①求點P的坐標(biāo)與ZBPD的度數(shù);

②在）'軸上是否存在這樣的點M,使得點M到4叨的兩邊所在宣線的距國相等？若存在，清直接寫出所

以符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

17.(2023?海州區(qū)校級二模)問題提出:

(1)在學(xué)習(xí)幾何時，我們可以通過構(gòu)造基本圖形，將幾何“模型”化.例如在三角形全等與三角形的相似

的學(xué)習(xí)過程中，“■’字形是非常重要的基本圖形.如圖1，已知：ZADC=NBEC=ZACB=驕，D、C、

￡二點共線，AC=BC,由ASA易證AAZX;三AC&?;

如圖2,已知：ZADC=NBEC=ZACB=驕，D、C、E三點共線，若AC=6、BC=3、BE=l,則4)

的長為

圖1

圖2

圖5

問題探究:

(2)①如圖3,已知：ZADC=/BEC=ZACB，AC=BC,D、C、七三點共線，求證：AD=BE+DE；

②如圖4,已知點A(-3,1),點8在直線y=-2x+4上，若NAOB=90。，則此時點8的坐標(biāo)為

問題拓展;

（3）如圖5,正方形中，點G是3c邊上一點，8/JLAG,。石J_4G,垂足分別為尸、石,若AE=I,

四邊形ABED的面積等于10,求正方形從4c。的面積.

（4）如圖6,正方形ABC。中，點七、尸分別在4）、邊上，AE=BF,連接EF、DF,則空的最

DF

小值是

18.（2023?金壇區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系屹y中，對于點A,記線段OA的中點為若點4,M,P,

Q按逆時針方向排列構(gòu)成菱形AMPQ,其中AQAM=a°（0<a<180）,則把菱形AMPQ稱為點A的“a。菱

形"AMPQ,把菱形A"PQ邊上所有點都稱為點A的“&。菱點”.已知點40,4）.

（1）在圖I中，用直尺和圓規(guī)作出點A的“60。菱形"AMPQ,并直接寫出點尸的坐標(biāo)（不寫作法，保

留作圖痕跡）；

（2）若點5。,1）是點A的“a。菱點”,求a的值；

（3）若一次函數(shù)），=-等x+〃的圖象上存在點A的''0。菱點”，直接寫出匕的取值范圍.

19.（2022?吳中區(qū)模擬）探窕與應(yīng)用：在學(xué)習(xí)兒何時，我們可以通過分離和構(gòu)造基本圖形，將，何“模塊”

化.例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本圖形，可以建立如下的“模塊”（如圖①）：

⑴請就圖①證明上述“模塊”的合理性.已知：ZA=ZD=ZBCE=90°,求證：

（2）請直接利用上述“模塊”的結(jié)論解決下面兩個問題：

①如圖②，己知點八（2,1）,點3在直線2xi3上運動，若/AOB=90。，求此時點6的坐標(biāo)；

②如圖③，過點4（-2,1）作x軸與,，軸的平行線，交直線y=-2x+3于點C、D,求點A關(guān)于直線CQ的對

稱點E的坐標(biāo).

20.(2022?雨花臺區(qū)校級模擬)閱讀并解答下列問題；在學(xué)習(xí)完《中心對稱圖形》一章后，老師給出了以

下一個思考題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系屹y中，已知點A(0,3),8(5,1),C(?0),D(a+2,0),連接AC,

CD,DB,求AC+CQ+OA最小值.

【思考交流】小明：如圖2,先將點4向右平移2個單位長度到點A，作點/關(guān)于x軸的對稱點用,連接

交4軸于點。，將點。向左平移2個單位長度得到點C,連接AC.BD.此時AC+CD+OB的最小值等

于+co.

小穎：如圖3,先將點A向右平移2個單位長度到點A,作點A關(guān)于九軸的對稱點4,連接48可以求解.

小亮：對稱和平移還可以有不同的組合....

【嘗試解決】在圖2中，4C+CD+/M的最小值是.

【靈活應(yīng)用】如圖4,在平面直角坐標(biāo)系.心），中，已知點A（0,3）,4（5,1）,C（a,l）,0〃+2,0）,連接AC,

CD,DB,則AC+CD+力5的最小值是,此時a=,并請在圖5中用直尺和圓規(guī)作出AC+CD+DB

最小時8的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）.

【拓展提升】如圖6,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點4（）,3）,C是一次函數(shù)y=x圖象上一點，CO與），

軸垂直且C￡>=2（點。在點。右側(cè)），連接AC,CD,AD,直接寫出AC