圓（四）

一.填空題（共1小題）

1.如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，已知圓錐的底面半徑為2,則扇形的弧長是

二,解答題（共19小題）

2.（2025?江西）如圖，點A,B,。在上，ZACB=350,以BA,8C為邊作CJABCD.

（I）當AC經(jīng)過圓心。時（如圖I）,求N/J的度數(shù)；

（2）當人。與相切時（如圖2）,若O。的半徑為6,求充1的長.

3.（2025?蘇州）如圖，在四邊形/WC。中，BD=CD,NC=NBAD.以A4為直徑的。。經(jīng)過點。，且

與邊CD交于點E,連接BE.

（1）求證：為OO的切線；

4.（2025?德陽）在。。中直徑與弦CO交于點E,AC=2BD,連接A。，過點5作。。的切線與A。

的延長線相交于點F,CD的廷長線與BF的延長線相交于點G.

（1）若44m=70°,求NG的度數(shù)；

（2）連接C。，AC,再連接。。并延長交AC于點M,

①證明：DMLAC-,

②若CO?人產(chǎn)=16,求OO的直徑.

5.（2025?揚州）材料的疏水性

揚州寶應(yīng)是荷藕之鄉(xiāng).“微風(fēng)忽起吹蓮葉，青玉盤中瀉水銀”，蓮葉上的水滴來回滾動，不易滲入蓮葉內(nèi)

圖3

【概念理解】

材料疏水性的強弱通常用接觸角的大小來描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，經(jīng)過球

心的縱截面如圖1所示，接觸角是過固、液、氣三相接觸點（點M或點N）所作的氣-液界線的切線

與固-液界線的夾角，圖I中的NPMN就是水滴的一個接觸角.

（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圖2中水滴的一個接觸角，并用三個大寫字母表示接觸角；（保留作

圖痕跡，寫出必要的文字說明）

（2）材料的疏水性隨著接觸角的變大而（選填“變強”“不變”“變?nèi)酢保?

【實踐探索】

實踐中，可以通過測量水滴經(jīng)過球心的高度3c和底面圓的半徑AC（8CL4C）,求出的度數(shù)，

進而求出接觸角NC4O的度數(shù)（如圖3）.

（3）請?zhí)剿鲌D3中接觸角NC4。與NB4C之間的數(shù)量關(guān)系（用等式表示），并說明理由.

【創(chuàng)新思考】

（4）材料的疏水性除了用接觸角以及圖3中與△A8C相關(guān)的量描述外，還可以用什么量來描述，請你

提出一個合理的設(shè)想，并說明疏水性隨著此量的變化而如何變化.

6.（2025?眉山）如圖，為。。的直徑，點C為圓上一點，過點。作OO的切線，交48延長線于點。，

過點B作B七〃。C,交于點E,連接4石、AC.

（1）求證：CE=CB-,

（2）若N84E=60°,。0的半徑為2,求AC的長.

7.（2025?甘肅）如圖，四邊形力BCO的頂點A,B,C在。0上，NBAO=NBCO,直徑BE與弦AC相

交于點F，點。是E8延長線上的一點，/BCD=3/AOB.

（1）求證：co是OO的切線；

（2）若四邊形A8CO是平行四邊形，七尸=3,求（7）的長.

8.（2025?山東）如圖，在△OAB中，點A在0。上，邊。8交0。于點C,4O_LO8于點O.AC是N84O

的平分線.

（1）求證：A8為。。的切線；

（2）若。。的半徑為2,44。8=45°,求。的長.

12.（2025?遂寧）我們知道，如果一個四邊形的四個頂點在同一個圓上，那么這個四邊形叫這個圓的內(nèi)接

四邊形.我們規(guī)定：若圓的內(nèi)接四邊形有一組鄰邊相等，則稱這個四邊形是這個圓的“鄰等內(nèi)接四邊形”.

（1）請同學(xué)們判斷下列分別用含有30°和45°角的直角三角形紙板拼出如圖所示的4個四邊形.其中

是鄰等內(nèi)接四邊形的有（填序號）.

（2）如圖，四邊形ABC。是鄰等內(nèi)接四邊形，且NB4C=90°,AB=3,4c=4,AB=AD.求四邊形

ABCD的面積.

13.（2025?遂寧）如圖，AB是。。的直徑，。是上的一點，連結(jié)AC、BC,延長A4至點。，連結(jié)CQ,

使N8CO=NA.

（1）求證：CO是0。的切線.

（2）點E甩花的中點，連結(jié)〃K,交AC于點F,過點？作Z?〃_L/W交OO于點〃，交AU于點G,連

結(jié)BH,若80=2,CD=4,求8F?8”的值.

E

A

G0

H

14.（2025?連云港）已知A。是△A8C的高，。。是△?18c的外接圓.

（1）請你在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)，作△A/3C的外接圓（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）如圖2,若。。的半徑為上求證：R=繽等；

（3）如圖3,延長A。交。。于點E,過點E的切線交OC的延長線于點F.若BC=7,AD=3C,

NACB=60°,求。尸的長.

圖1

15.（2025?內(nèi)江）如圖，在△A8C中，ZC=90°,NABC的平分線B。交AC于點。，點。是邊A8上

一點，以點。為圓心、08長為半徑作圓，。0恰好經(jīng)過點D,交48于點E.

（1）求證：直線AC是OO的切線；

（2）若點￡為其。的中點，4）=3,求陰影部分的面積；

（3）連接OE,若求cosA的值.

16.（2025?南充）如圖，RtAMC中，N4C8=90°,CO_L/W于點O,以CO為直徑的。。交BC于點E,

交AC于點F,M為線段D8上一點，ME=MD.

（1）求證：ME是OO的切線.

（2）若C/=3,sinB=1求0M的長.

c

17.（2025?涼山州）如圖，AB是。。的直徑，附與。0相切于點A,連接P8交00于點C連接AC,

則/B4C=N艮理由如下：是。。的直徑

/.ZACB=90°

???NC48+NB=90°

???勿與OO相切于點人

：.PA1AB

.\ZB4B=90°

???NC48+N以C=90°

AZPAC=ZB

（1）小明根據(jù)以上結(jié)論，自主探究發(fā)現(xiàn)：如圖甲，當AB是非直徑的弦，而其他條件不變時，ZPAC

=/8仍然成立，請說明理由；

（2）小明進一步探窕發(fā)現(xiàn)：如圖乙，線段以與線段PC,尸8存在如下關(guān)系：PA2=PC-PB.請你替小

明證一證；

（3）拓展應(yīng)用：如圖丙，ZUBC是OO的內(nèi)接三角形，N3AC=45°,/人O“=150°,的延長線

與過點A的切線相交于P,若。。的半徑為I,請你利用小明的探究結(jié)論求尸C的長.

18.（2025?白云區(qū)校級三模）綜合與實踐

問題提出：探究圖形中線段之間的效量關(guān)系，通常將一個圖形分割成幾個圖形，根據(jù)面積不變，獲得線

段之間的數(shù)量關(guān)系.

探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△4/6C中，AC=BC,。是A/T邊上一點，過點夕作。。_LAC于。，PELBC于E,

過點4作AF±BC于F,連結(jié)CP,由圖形面積分割法得：S^ABC=S^APC+,則AF=

+;

實踐應(yīng)用：如圖2,△4AC是等邊三角形，AC=3,點G是4B邊上一點.連結(jié)CG,將線段CG繞點。

逆時針旋轉(zhuǎn)60°得CR連結(jié)GF交8c于P,過點P作PD_LGC于Q,PELCFfE,當4G=1時，

求PD+PE的值：

拓展延伸：如圖3,已知A3是半圓。的直徑，AC,BE是弦,AC=BE,P是A8上一點，PDLAC,

垂足為。，AB=\0,AQ=2,8。=4k，求S△幺的值.

19.(2025?自貢)如圖，等圓。。|和相交于A，B兩點,。0|經(jīng)過03的圓心。2，連接/W,作直

徑AC,延長QB到點。，使連接。C.

(1)ZABO2=度；

(2)求證：0c為OQ的切線；

(3)若QC=3V5,求03上油的長.

20.如圖.在OO中，48是弦，必是。0的切線，以=P8,點C,。,E分別是線段48,AP,8P上的

動點.連接CD,CE,/DCE=NP=a.

(1)試判斷尸8與。。的位置關(guān)系，并說明理由：

(2)若a=60°,CD：CE=\：2,試求4AO+班:與0。半徑r的數(shù)量關(guān)系.

圓（四）

參考答案與試題解析

一.填空題（共1小題）

I.如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形,己知圓錐的底面半徑為2,則扇形的弧長是4n

【考點】圓錐的計算；弧長的計算.

【專題】與圓有關(guān)的計算；空間觀念.

【答案】4n.

【分析】由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，所以只要計算出圓錐

的底面圓的周長即可.

【解答】解：???圓錐的底面半徑為2,

???扇形的弧長為2nX2=4n.

故答案為：4m

【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長,

扇形的半徑等于圓錐的母線長.也考查了弧長公式.

二,解答題（共19小題）

2.（2025?江西）如圖，點4,B,C在上，ZACB=35°,以BC為邊作口ABCD.

（1）當8c經(jīng)過圓心。時（如圖1）,求N。的度數(shù)；

（2）當人少與OO相切時（如圖2）,若OO的半徑為6,求死的長.

【考點】切線的性質(zhì)；弧長的計算；平行四邊形的性質(zhì)；圓周角定理：直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；

與圓有關(guān)的計算；運算能力；推理能力.

【答案】（1）NQ的度數(shù)是55°；

（2）祀的長為

3

【分析】（1）由4c是O。的直徑，得N84C=90°,而NAC8=35°,四邊形ABC。是平行四邊形,

則N￡）=N8=90°-NAC6=55°;

（2）連接04、0C,由切線的性質(zhì)得/。4。=90°,因為AO〃BC,所以NC4O=NACB=35°,則

ZOCA=ZOAC=ZOAD-ZCAD=55°,求得NAOC=70°,即可由弧長公式求得切；二等.

【解答】解：（1）經(jīng)過圓心。，

是00的直徑，

/.ZBAC=90°,

,：ZACB=35a,四邊形ABC。是平行四邊形，

???/。=/8=900-ZACB=55°,

???ND的度數(shù)是55°.

（2）連接04、OC,

???4。與。0相切于點4,。0的半徑為6,

：.AD±0A,0A=0C=6,

：.ZOAD=90°,

*：AD//BC,

???NC4Q=NAC4=35°,

：,ZOCA=ZOAC=ZOAD-ZCAD=55C,

，NAOC=I800-N0C4-N0AC=70°,

.._707Tx6_77r

=-L80-=~,

?,?正的長為三~.

圖2D

【點評】此題重點考查直徑所對的圓周角是直角、直角三角形的兩個銳角互余、平行四邊形的性質(zhì)、切

線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、弧長公式等知識，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.(2025?蘇州)如圖，在四邊形/WCO中，BD=CD,NC=/BAD.以為直徑的經(jīng)過點。，且

與邊C。交于點E,連接AE,BE.

(1)求證：8C為。。的切線;

,求AE的長.

【考點】切線的判定與性質(zhì)：解直角三角形；圓周角定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)：與圓有關(guān)的位置關(guān)系；解直角三角形及其應(yīng)

用；運算能力：推理能力.

【答案】(1)證明見解答；

(2)BE的長是

【分析】(1)由人“是0。的直徑，得NAQA=90°,由“O=C。，得NC=/D"C,而

則/。8。=/氏4￡),所以/。8。=乙48。+/039=乙48。+/34/)=90°,即可證明BC為0。的切線；

,-AD

(2)作。F_L8C于點F,貝IJ8/=CRDF//AB,由NABO=N4E。，4B=VTU,得一二sin/ABQ=

AB

「1nBF

s\nZAED=求得4O=l,則BD=y/AB2-AD2=3,由N8OF=NA8O,W—=sinZBDF=sin

NA8O=續(xù)，則8/=縹&＞筆2,再證明N8EC=/C,則的=8C=2BF=當黑.

JLUJLUJLUJ

【解答】(I)證明；:/仍是OO的直徑，

AZADB=90°,

?:BD=CD,

：?/C=/DBC,

?：/C=NBAD,

:?NDBC=NBAD,

/.ZOBC=ZABD+ZDBC=N44Q+NZMO=90°,

???。4是O。的半徑，且BC_L04,

為OO的切線.

(2)解：作。/_LBC于點F,則NB/。=NC/7)=N4BC=90°，BF=CF,

.DF//AB,

?/ABO=NAE。，AB=Vlo,

ADJio

.—=sinZABD=sinZAED=

AB10

?AD=^^AB=xV^0=1*

.BD=yjAB2-AD2=-I2=3,

*4BDF=NABD,

BFTio

?----=sinBDF=sin^ADD="市，

BD10

7103VGL0

?BF=

?N8EC=NRAO=I80°-/BED,NC=NBAD,

?/BEC=NC,

.BE=BC=2BF=2x2^2=2^2,

JLUO

3\/10

’?BE的長是一--.

E

D

AB

【點評】此題重點考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定、勾股定理、解直角三角形等知識,

正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2025?德陽）在00中直徑44與弦CO交于點E,AC=2BD,連接AO,過點5作。。的切線與A。

的延長線相交于點F,CD的廷長線與BF的延長線相交于點G.

（1）若NAFB=70。，求NG的度數(shù)；

（2）連接CO,AC,再連接DO并延長交4c于點M,

①證明：DMLAC；

②若CQ?4b=16,求OO的直徑.

【考點】圓的綜合題.

【專題】幾何綜合題；壓軸題.

【答案】(1)30°；(2)①見解析；②4.

【分析】(1)先由切線的性質(zhì)可得N48尸=90°,則/84/=20°,又京=2圻),所以乙4。。=2/84/

=40°,最后通過三角形外角性質(zhì)即可求解.：

(2)①由即=2皿，則N4QC=2N4AO,因為OA=OD,故有NOAQ=N4。。，則N4QC=2NA。。，

得到/OOC=NOD4,通過等腰三角形的性質(zhì)可證明(A4S),再根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)可得NS4MD=/CMD==90。，從而求證；

4DAB

②連接4。，證明則有一=—,所以A/￥=AO?AP,由①知NC4Q=N4C。，故有

ABAF

AD=CD,即AB2=CD?4F,然后代入求解即可.

【解答】解：(1);AB是。0直徑，8G是。。的切線，

AZABF=90°,

VZAFB=70°,

：.ZBAF=20°,

\*AC=2BD,

/.ZADC=2ZBAF=40°,

：,ZGDF=ZADC=40°,

:.NG=NAFB-NGDF=700-40°=30°；

(2)&*：AC=2BD,

/.ZADC=2ZBAD,

?：OA=OD,

：.ZOAD=ZADO,

ZADC=2ZADO,

:.NODC=NODA,

，：OC=OD,

：?/OCD=/ODC,

：?40CD=40AD,

又???OC=OA,

：.ZOCA=ZOAC,

：,ZCAD=ZACD,

又???//)=MD,

1?△CM。g△AMO(/L45),

:./AMD=NCMD=喏=90°,

/.DM±ACi

②連接BD,

TAB是0。直徑,

/.ZADB=90°,

/.NADB=NABF,

又?：/BAD=NBAD,

：.XABDs△MB,

?_ADAR

?■=9

ABAF

：.AB2=AD^AF,

由①知，ZCAD=Z4CD,

：,AD=CD,

：.AB2=CD*AF,

VCD*AF=16,

???A8=4.

【點評】本題考杳了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定廿性質(zhì)，相似三

角形的判定與性質(zhì)，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

5.（2025?揚州）材料的疏水性

揚州寶應(yīng)是荷藕之鄉(xiāng).“微風(fēng)忽起吹蓮葉，青玉盤中瀉水銀”，蓮葉上的水滴來回I滾動，不易滲入蓮葉內(nèi)

部，這說明蓮葉具有較強的疏水性.疏水性是指材料與水相互排斥的一種性質(zhì).

A空氣（氣相）

液界線

水滴（液相）

固液界線

材料（固相）

圖1圖2

圖3

【概念理解】

材料疏水性的強弱通常用接觸角的大小來描述.材料上的水流可以近似地看成球或球的一部分，經(jīng)過球

心的縱截面如圖I所示，接觸角是過固、液、氣三相接觸點（點M或點N）所作的氣-液界線的切線

與固-液界線的夾角，圖I中的NPMN就是水滴的一個接觸角.

（I）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圖2中水滴的一個接觸角，并用三個大寫字母表示接觸角；（保留作

圖痕跡，寫出必要的文字說明）

（2）材料的疏水性隨著接觸角的變大而變強（選填“變強”“不變”“變?nèi)酢保?

【實踐探索】

實踐中，可以通過測量水滴經(jīng)過球心的高度3C和底面圓的半徑AC⑺CL4C）,求出N/MC的度數(shù)，

進而求出接觸角NC4O的度數(shù)（如圖3）.

（3）請?zhí)剿鲌D3中接觸角/。。與NB4C之間的數(shù)量關(guān)系（用等式表示），并說明理由.

【創(chuàng)新思考】

（4）材料的疏水性除了用接觸角以及圖3中與△ABC相關(guān)的量描述外，還可以用什么量來描述，請你

提出一個合理的設(shè)想，并說明疏水性隨著此量的變化而如何變化.

【考點】圓的綜合題.

【專題】幾何綜合題：壓軸題.

【答案】（1）圖見解析；（2）ZCAD=2ZBAC,理由見解析；（3）變強；（4）可以根據(jù)2的大小，進行

r

判斷，!越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強（答案不唯一）.

v

【分析1（1）圓弧上取一點C交界面與圓弧的交點為M,N,連接MC,NC,分別作MCNC的中垂

線，交于點0，則點。為圓弧的圓心，連接OM,過點M作P例_L0M,則尸例為圓。的切線，NPMN

即為所求；

（2）根據(jù)題意，可知，接觸角越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強，進行作答即可；

（3）連接0A,等邊對等角，得到NA8C=NQ48,切線的性質(zhì)，結(jié)合等角的余角相等，得到

ABAC,進而得到NCAO=NBAD+/8AC=2NBAC即可；

（4）可以根據(jù)」二三九進行判斷，根據(jù)」越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強進行作答即可.

r180r

【解答】解：（1）①圓弧上取一點C,交界面與圓弧的交點為N,連接MC,NC；

②分別作MC,NC的中垂線，交于點O,則點。為圓弧的圓心；

③連接OM,過點M作則。例為圓O的切線，故NPM/V即為所求；

（2）由題意和圖，可知，接觸角越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強,

故材料的疏水性隨著接觸角的變大而變強，

故答案為：變強：

（3）ZCAD=2ZBAC,理由如下：

連接04,則：OA=OB,

ANABC=N()AB,

:人。為切線，

.\OA±AD,

：.ZOAB+ZBAD=90°,

yBCIAC,

/.ZABC+ZBAC=90°,

NABC=NOAB,

：,ZBAD=ZBAC.

:、NCA/)=N/M/HN8AC=2NH4C；

（4）???水滴弧的長度為：Z=黑，

In

=-n,

r180

???可以根據(jù)」的大小，進行判斷，!越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強（答案不唯一）.

rr

【點評】本題考查尺規(guī)作圖一復(fù)雜作圖，切線的判定和性質(zhì)，熟練掌握新定義，切線的判定和性質(zhì)，是

解題的關(guān)鍵.

6.（2025?眉山）如圖，人8為。0的直徑，點C為圓上一點，過點。作的切線，交48延長線于點。，

過點B作BE〃DC,交OO于點E,連接AE、AC.

（1）求證：CE=CB,

（2）若NBAE=60°,。0的半徑為2,求AC的長.

【考點】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】（1）證明見解析；

(2)2V3.

【分析】(1)連接0C,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OCJ_CO,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到。C_L/3￡,再根據(jù)垂徑

定理證明；

(2)過點0作OH_LAC于從根據(jù)垂徑定理得到A斤=7/C,根據(jù)圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)求出

NABE,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出N40C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出NQ4C,

根據(jù)余弦的定義求出4”，進而求出AC.

【解答】(1)證明：如圖，連接OC，

〈CO是。。的切線，

*：BE//DC,

OCA.BE,

：,CE=CB,

(2)解：如圖，過點。作。乩LAC于"，

則AH=HC,

???/W為OO的直徑，

AZAEB=90°,

AZABE=900-N8A￡=9(T-60°=30°,

'：BE//DC,

???NO=N4BE=30°,

???NAOC=NOCD+NO=120°,

'：OA=OC,

：.ZOAC=\x(180°-120°)=30°,

?"〃=CM?cosNCMC=2x字=V5,

：.AC=2AH=2V3.

A\OD

【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵.

7.(2025?甘肅)如圖，四邊形HBCO的頂點A,B,。在上，ZBAO=ZBCOt直徑BE與弦AC相

1

交于點F,點。是所延長線上的一點，ZBCD=^AOB.

(I)求證：CD是O。的切線：

(2)若四邊形A8co是平行四邊形，EF=3,求CQ的長.

【考點】圓的綜合題.

【專題】幾何綜合題；運算能力；推理能力.

【答案】(I)見解析；

(2)2V3.

【分析】(I)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N0A8=N08A,ZOBC=ZOCB,求得彳B=沈，連接CE,

根據(jù)圓周角定理得到NOC￡+NOC8=90°,求得N8CO=NECO,得到NQC0=NDCB+/3co=90°,

根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論：

(2)根據(jù)菱形的判定定理得到四邊形A8C。是菱形，求得8c=OC=OB,AC_L08,OF=2OB=*)E,

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到N8OC=60°,求得/七=2/8。。=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得

到結(jié)論.

【解答】(I)證明：???OA=OC=O/3,

：.40AB=40BA,40BC=40CB,

r：ZBAO=ZBCO,

???NOAB=NOBA=ZOBC=ZOCB,

JNAOB=NCOB,

：.AB=BC,

連接CE，

A

DC

??WE是。。的直徑,

，NOC￡+NOC8=90°，

?：OE=OC,

:?/E=/OCE,

;NE=QOB,ZBCD=

:?NBCD=NECO,

???NQCO=NOCB+NBCO=90°,

???0C是OO的半徑，

，a）是oo的切線：

（2）解：；四邊形43co是平行四邊形，OA=OC

???四邊形4BC0是菱形，

:?BC=OC=OB,ACVOB.OF=』OB=goE,

??.△OBC是等邊三角形，

，/80C=60°,

：.ZE=^ZBOC=30°,

VEF=3,

，。尸=1,OE=2,

：.OC=2,

VZDOC=GO0,

/.CD=OC-tan600=2xV3=2A/3.

【點評】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，

圓周角定理，菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵.

8.（2025?山東）如圖，在△QAB中，點A在00上，邊OB交0。于點C,于點。.AC是N84O

的平分線.

(I)求證：AB為OO的切線：

(2)若。。的半徑為2,NAO8=45°,求C4的長.

【考點】切線的判定與性質(zhì)：勾股定理；垂徑定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運算能力；推理能力.

【答案】(1)證明見解答；

(2)C8的長是2或一2.

【分析】(1)由AD1.OB于點D,得N4D8=90°,由NZMC=NBAC,NOAC=NOCA,且NO4C

=ZOAD+ZDAC=ZOAD+ZBAC,ZOCA=ZB+ZBAC,得NOAO+N8AC=N8+N84C,則NOAD

=ZB,所以/。48=/。4//84。=/8+/84。=90°,即可證明A8為。。的切線；

(2)由NOA8=90°,NAOB=45°,得N8=NAO4=45°,則A3=0A,因為。。的半徑為2,所

以A8=OA=OC=2,求得OB=&OA=2a,則C8=O8?OC=2左-2.

【解答】(1)證明：???4。_1_08于點。，

???NAOB=90°,

TAC是NB4O的平分線，

：.ZDAC=ZBAC,

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

VZOAC=ZOAD+ZDAC=ZOAD+ZBAC,N0C4=NB+N84C,

ZOAD+ZBAC=NB+NBAC,

：.ZOAD=ZD,

???NO48=/O4O+NBAO=/B+NBAO=90°,

T04是OO的半徑，且A8_LQ4,

???A8為。。的切線.

(2)解：*：ZOAB=90°,ZAOB=45°,

，N8=N404=45",

：.AB=OA,

:。。的半徑為2,

：.AB=OA=OC=2,

：，OB=>]AB2+OA2=V2OA=2V2,

：.CB=OB-OC=2\[2-2,

的長是2迎-2.

【點評】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余、三角形的一個外角等于與它不

相鄰的兩個內(nèi)角的和、切的的判定、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，推導(dǎo)出NOA。

=/8是解題的關(guān)鍵.

9.（2025?安徽）如圖，四邊形"CO的頂點都在半圓。上，相是半圓。的直徑，連接。C,NDA4+2

NABC=I8O°.

（1）求證：OC〃A。；

【考點】圓周角定理;平行線的性質(zhì);勾股定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運算能力；推理能力.

【答案】（I）證明過程見解答；

（2）6.

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得N4OC=2/A8C,從而可得ND4B+NAOC=180°,然后利用同旁

內(nèi)角互補，兩直線平行即可解答：

（2）連接8。，交OC于點￡根據(jù)直徑所對的I員I周角是直角可得NAO8=90°,再利用平行線分線段

成比例可得磯=。￡從而可得OCL3D,且OE是△A8O的中位線，然后利用三角形的中位線定理可

得0￡=2力。=1,最后設(shè)半圓的半徑為小則CE=r-l,分別在RtZXOEB和RtZ\CE8中，利用勾股

定理列出關(guān)于X的方程，進行計算即可解答.

【解答】（1）證明：VZAOC=2ZABC,N。4B+2N48C=180°.

：,ZDAB+ZAOC=\SOQ,

J.OC//AD.

(2)解：連接30,交OC于點E,

TAB是半圓。的直徑，

AZ/A0^=90°,

VOC//AD,

OBEB

?*?9

OADE

?；OA=OB,

:?EB=DE,

/.OCLBD,且OE是△ABO的中位線，

1

：.0E=^AD=1,

乙

設(shè)半圓的半徑為r,則CE=r?l,

在RlZ\O迎中，BE1=OB1-0^=^-1,

在RtZXCEB中，CF=12-(r-1)2,

即尸?1=12-(r-1)2,

解得力=3,。=-2(舍去)，

故AB=2r=6.

【點評】本題考查了圓周角定理.，勾股定理，平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當

的輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.(2025?廣安)如圖，。。是△43C的外接圓，4c是。。的直徑，點E在8C的延長線上，連接AE,

NABE=/CAE.

(1)求證；AK是OO的切線.

(2)過點。作COJ_AE,垂足為。，若△ABC的面積是△4)。的面積的3倍，CE=12,求AE的長.

【考點】切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；三角形的外接圓與外

心.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系：圖形的相似；運算能

力；推理能力.

【答案】(1)證明見解答；

(2)AE的長為12VL

【分析】(1)連接04,則0A=0C,由BC是O。的直徑，得NB4C=90°,由NABE=NCAE,Z

OCA=ZOAC,得/。八七=/?！?/04。=/八8￡：+/004=90°,即可證明AE是。。的切線；

(2)由得^^=3,由N8AC=NAQC=90°,ZABC=ZDAC,證明△ABCs4

SBcRc

ADC,則=(一)2=3,求得一=A/3,則BC=V3AC,所以BA=y/BC2-AC2=J2AC,由/

S^ADCWAC

AEBAl

ABE=NCAE,NE=NE,證明△ABEs/XCAE,則一=—=y/2,求得4E=魚。七=12&.

CEAC

【解答】(1)證明：連接04,則。人=OC,

???8C是。。的直徑，

???N84C=90°,

VZABE=ZCAE,N0CA=/0AC,

AZOAE=ZCAE+ZOAC=ZABE+ZOCA=90a,

：0A是。。的半徑，且AE_L0A,

???AE是OO的切線.

(2)解：IS^BC=3s△其。。，

.S^ABCc

..-------=3?

S^ADC

???。。_1_4七于點。，

：.ZBAC=ZADC=9Qa,

*/ZABC=ZDAC,

???△ABCs%。。，

^△/IDCAC

,?登=次或嬰=-A/3(不符合題意，舍去),

ACAC

??BC=MAC,

ZABE=ZCAE,ZE=ZE,CE=\2,

丁?XABEs4CAE,

AEBAy[2ACr-

，一=—=--=72,

CEACAC

：,AE=V2CE=\2>/2,

?ME的長為12V2.

【點評】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、直徑所對的圓周角是直角、切線的判定、相似三角形的判定

與性質(zhì)、勾股定理等知以，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

II.(2025?云南)如圖，。0是五邊形人BCDE的外接圓，8。是OO的直徑.連接AC,BE,CE,ZAEC

=ZACF.

(1)若CE=CB,且NC8E=60°,求NBCE的度數(shù)；

(2)求證：直線C尸是。。的切線；

(3)探究，發(fā)現(xiàn)與證明：

已知AC平分/8AE,是否存在常數(shù)小。，使等式成立？若存在，請直接寫出

一個。的值和一個。的值，并證明你寫出的。的值和。的值，使等式Ad=aBC?CE+必B?AE成立；若

不存在，請說明理由.

CF

【考點】圓的綜合題.

【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位

置關(guān)系：圖形的相似；運算能力；推理能力.

【答案】(1)ZBCE=60°；(2)證明見解析；(3)存在常數(shù)〃=1,〃=1,使等式AC2=Q8C?CE+必8

?AE成立；理由見解析.

【分析】(1)證明△CBE是等邊三角形即可；

(2)延長CO交。。于點M,連接EM,由圓周角定理可得NCEM=90°,即NAEC+NAEM=90°,

乂/AEM=NACM,NAEC=NACF,所以NAC”+NACM=90°然后由切線的判定方法即可求證；

(3)設(shè)AC與BE交于點MilAC平分NZME,可得NEAC=NBAC,CE=CB,通過圓周角定理可得

BCCNAEAN

ZEAC=ZEBC=ZBAC,證明△8CNS\AC8,AAEN^AACB,故有==二，一=—,即有

ZACCBACAB

Bd=AC?CN①,AE?AB=AC?AN?,然后通過①度即可求解.

【解答】解：(1)?：CE=CB，且NC8￡=60°,

???△C4E是等邊三角形，

/.ZfiCE=60°；

(2)證明：延長CO交。。于點M,連接EM,如圖，

CF

〈CM是。。的直徑，

AZCEA/=90°,

???NAEC+NAEM=90",

/AEM=/ACM,ZAEC=ZACF,

ZACF+ZAGW=90°,

AZMCF=90°,

???OC_LC凡

?；OC是o。的半徑，

工直線c廠是oo的切線；

(3)解：存在常數(shù)。=1,b=1,使等式AC2=Q3C?CE+碗8?AE成立：理由如下:

如圖，設(shè)4c與BE交于點N,

CF

?「AC平分N8AE,

：,ZEAC=ZBAC,

ZEAC=NEBC,/BEC=NBAC,

，ZEAC=/EBC=ZBAC=ZBEC,

:?CE=CB,

'：4BCN=/ACB,/CBE=/BAC,

:.XBCNSMACB,

BCCN

??一f

ACCB

:.BC2=AC*CN?,

?：/AEN=/BEA,NEAC=NBAC,

/.△AENs/XACB,

?_A_E_A_N

?■=9

ACAB

，AE?A8=4C?AMg）,

①+②得：BC2+AE*AB=AC^CN+AC^AN=AC（CN+AN）=AC1,

?；CE=CB,

：,ACl=BC^CE^AB*AE,

:.此時a—1,b=I.

，存在常數(shù)a=l,b=l,使等式AC2=〃8C?CE+mW?AE成立.

【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，切線的判定等

知識，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

12.（2025?遂寧）我們知道，如果一個四邊形的四個頂點在同一個圓上，那么這個四邊形叫這個圓的內(nèi)接

四邊形.我們規(guī)定：若圓的內(nèi)接四邊形有一組鄰邊相等，則稱這個四邊形是這個圓的“鄰等內(nèi)接四邊形”.

（1）請同學(xué)們判斷下列分別用含有30°和45°角的直角三角形紙板拼出如圖所示的4個四邊形.其中

是鄰等內(nèi)接四邊形的有（填序號）.

（2）如圖，四邊形ABCO是鄰等內(nèi)接四邊形，且N84C=90°,AB=3,AC=4,AB=AD.求四邊形

ABCD的面積.

④

①②③

【考點】點與圓的位置關(guān)系；勾股定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系.

【答案】(1)③;(2)7.68.

【分析】(1)根據(jù)鄰等對補四邊形的定義進行逐個分析，即可作答；

(2)先根據(jù)勾股定理算出BC='AB?+4C2=5,設(shè)。〃=心AH=1-x,結(jié)合勾股定理整理得8O2

-OH2=AB2-AH2,代入數(shù)值得x=0.7,再證明?！ㄊ恰?DC的中位線，則QC=2〃O=1.4,分別算

出S&BDC和SaBDA，即可作答.

【解答】解：(1)依題意，圖①、圖②和圖④沒有對角互補，不是鄰等對補四邊形，

圖③對角互補且有一組鄰邊相等，是鄰等對補四邊形，

故答案為：③；

(2)VZZ?AC=90°,AC=4,

：.BC=y/AB2+AC2=5,

???四邊形ABC。是鄰等內(nèi)接四邊形，NB4c=90°,

B,C,。四點共圓，且BC為直徑，

把8C的中點記為點O,即A,B,C,。四點在。。上，

連接8。，AO,相交于點〃，

A

?:BC=5,

:,B0=OA=L

乙

設(shè)OH=x,AH=—x,

\'AB=AD,

???A0_L8。，BH=DH,

222

則在R【ZXAM中，BH=AB-AHf

在RtABOH中，BH2=BO1-OH2,

,'.BO1-OH2=AB2-AH2,

即6)2-/=32一啟一工)2,

解得文=0.7,

?"〃=2.5-0.7=1.8,

則8,="32-1.82=2.4,

即80=2.4X2=4.8,

TBC是直徑,

AZBDC=90°,

，：BH=DH,130=OC,

???0”是△8OC的中位線，

：,DC=2H0=\A,

則=；xBDxDC=x4.8x1.4=3.36,

S4BDA=5xBDxAH=ix4.8x1.8=4.32,

，四邊形ABCD的面積=S//〃C+SAB。八=3.36+4.32=7.68.

【點評】本題考查了新定義，勾股定理，垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形，中位線的判定與性質(zhì)，正確掌握相

關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

13.(2025?遂寧)如圖，人8是。。的直徑，。是上的一點，連結(jié)AC、BC,延長至點。，連結(jié)C。,

使NBCO=NA.

(1)求證：C。是OO的切線.

(2)點E是配的中點，連結(jié)8E,交AC于點尸,過點E作E從LA8交。。于點兒交AB于點G,連

【考點】切線的判定與性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】(1)見解析；

【分析】(1)連接OC,由圓周角定理得Nl+/2=90°,又由等腰三角形的性質(zhì)及已知可得/月。)=

Z1,即得NBCD+N2=90°,進而即可求證；

4BC2BC1

(2)連接EC,由△3COs/\C4。得一=—=即得AZ)=8,—=即得至ljAB=AQ-BZ)=6,

ADAC4AC2

A工BEBC

設(shè)8c=m則AC=2“，由勾股定理得(2a戶+/=62,解得孔=哈，再證明△CEBs△以&得一=一,

5ABBF

即得進而由得BE?8尸代入計算即可求解.

〈AB是直徑,

???N4C8=90°,即Nl+N2=90",

*：OA=OB,

ANA=NI,

VZBCD=Z4,

AZBCD=Z1,

/.ZBCD+Z2=90°,即NOCO=90°,

C.OCA.CD,

???C。是oo的切線；

(2)解：連接EC,

???N8CO=A,ND=ND,

.CDBCBD

,,布=~AC=布’

°：BD=2,CD=4,

?_4BC2

ADAC4

BC1

，人。=8,—=—?

AC2

；?AB=AD-BD=8-2=6,

設(shè)AC=a,貝U4c=2〃，

,:AC2+BC2=AB2,

:.(2a)2+a2=62,

.6、房

,,Q二丁’

???BC=華，

J

丁點E是衣的中點，

*?AE=EC,

AZ3=Z4,

■:/CE