無理數(shù)與實數(shù)（一）

一.選擇題（共11小題）

1.（2025?北京）實數(shù)人在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）

-2a-10b12

A.a>-1B.a+b=0C.a-b>0D.\a\>\h\

2.（2025?入津）估計1十?的值在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

3.（2025?天津）￡。〃45°—&cos45。的值等于）

A.0B.IC.D.1-V2

4.（2025?湖南）下列四個數(shù)中，最大的數(shù)是）

A.3.5B.V2C.0D.-1

5.（2025?福建）下列實數(shù)中,最小的數(shù)是（

A.B.0C.V2D.2

6.（2025?蘇州）下列實數(shù)中,比2小的數(shù)是）

A.5B.4C.3D.-i

7.（2025?江西）下列各數(shù)中,是無理數(shù)的是）

2

A.0B.V2C.3.14D.

3

8.（2025?揚州）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)可能是（）

A

-1012345

A.V2B.V3C.V7D.Vio

9.（2025?廣安）公元前5世紀，畢達哥拉斯學(xué)派的一個成員發(fā)現(xiàn)了一個新數(shù)--無理數(shù)企.他的發(fā)現(xiàn),

在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界掀起了一場巨大風(fēng)暴，導(dǎo)致西方數(shù)學(xué)史上的“笫一次數(shù)學(xué)危機”.請估計我的值在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

10.（2025?南充）如圖，把直徑為1個單位長度的圓從點A沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上點A到達點A',

點小對應(yīng)的數(shù)是2,則滾動前點人對應(yīng)的數(shù)是（）

A.2-2TTB.n-2C.5-2nD.2-TT

11.（2025?臺灣）如圖，數(shù)線上由左至右有A（〃）、B（b）、C（c）、D（d）、E（e）五點，且AB=BC=

CD=DE.若原點在AE上，且同+族|=同，則下列關(guān)于原點位置的敘述，何者正確？（）

A,」」？」/

abcde

A.在BC上且較接近B點B.在BC上且較接近C點

C.在CD上且較接近。點D.在CD上且較接近。點

二,填空題（共4小題）

12.（2025?廣東）計算20-2sin30°的結(jié)果是.

13.（2025?眉山）?27的立方根是.

14.（2025?陜西）滿足療Va<5的整數(shù)?？梢允牵▽懗鲆粋€符合題意的數(shù)即可）.

15.（2025?浙江）|-5|+機節(jié)=.

三.解答題（共1小題）

16.（2025?長沙）計算：|2尤-1|+&）T-（V5）2-（『2028）°.

無理數(shù)與實數(shù)（一）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共11小題）

題號1234567891011

答案DCAAA.D.BCADB

一.選擇題（共11小題）

1.（2025?北京）實數(shù)〃，匕在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）

-2a-16~~C2^

A.a>-1B.a+b=0C.a-b>0D.間>|目

【考點】實數(shù)與數(shù)軸；絕對值.

【專題】實數(shù)：符號意識.

【答案】D

【分析】觀察數(shù)軸可知：?2V〃V?1,OVbVl,\a\>\h\,然后根據(jù)有理數(shù)的加減法則判斷8,。選項

的掌握，從而解答即可.

【解答】解：觀察數(shù)軸可知：0<^<1,同>例，

：,a+b<0,a-b<0,

???A、B、C選項的結(jié)論錯誤，。選項的結(jié)論止確，

故選：D.

【點評】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，解題關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小和有理數(shù)的

加減法則.

2.（2025?天津）估計1+n的值在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

【考點】估算無理數(shù)的大小.

【專題】實數(shù)；運算能力.

【答案】C

【分析】先估算遍的取值范圍，即可估算出1+遍的取值范圍.

【解答】解：???〃<乃<眄，

A2<V6<3,

【專題】數(shù)形結(jié)合；實數(shù)；運算能力.

【答案】A.

【分析】利用實數(shù)大小的比較方法：1、在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大.2、正數(shù)都大

于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)大于負數(shù).3、兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大；兩個負數(shù)比較大小，

絕對值大的數(shù)反而小.按照從小到大的順序排列找出結(jié)論即可.

【解答】解：???-1V0V我V2,

???最小的數(shù)是：?1.

故選：A.

【點評】本題考查了實數(shù)的大小比較，掌握正數(shù)都大于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)大于負數(shù)，兩個正數(shù)比

較大小，絕對值大的數(shù)大，兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而小是解答本題的關(guān)鍵.

6.（2025?蘇州）下列實數(shù)中，比2小的數(shù)是（）

A.5B.4C.3D.-I

【考點】實數(shù)大小比較.

【專題】實數(shù)：運算能力.

【答案】D.

【分析】利用有理數(shù)大小的比較方法：1、在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大.2、正數(shù)都

大于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)大于負數(shù).3、兩個正數(shù)比較大小，絕而值大的數(shù)大；兩個負數(shù)比較大小，

絕對值大的數(shù)反而小.按照從小到大的順序排列找出結(jié)論即可.

【解答】解：A.5>2,故不符合題意；

B.4>2,故不符合題意；

C.3>2,故不符合題意；

D.-1<2,故符合題意；

故選：D

【點評】本題考杳了有理數(shù)的大小比較，掌握正數(shù)都大于零；負數(shù)都小丁零；正數(shù)大F負數(shù)；兩個正數(shù)

比較大小，絕對值大的數(shù)大；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而小是解答本題的關(guān)鍵.

7.（2025?江西）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）

L2

A.0B.V2C.3.14D.-

3

【考點】無理數(shù)；算術(shù)平方根.

【專題】實數(shù)：數(shù)感.

【答案】8

【分析】無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，據(jù)此進行判斷即可.

【解答】解：。是整數(shù)，3.14是有限小數(shù)，，是分數(shù)，它們不是無理數(shù)，

企是無限不循環(huán)小數(shù)，它是無理數(shù)，

故選：艮

【點評】本題考查無理數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵.

8.（2025?揚州）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)可能是（）

A

-16i~2345*

A.V2B.V3C.V7D.VTO

【考點】估算無理數(shù)的大??；實數(shù)與數(shù)軸.

【專題】實數(shù)：數(shù)感.

【答案】C

【分析】利用夾逼法估算各數(shù)的大小后進行判斷即可.

【解答】解：???1V2V3V4V7V9V10,

Al<V2<V3<2<V7<3<V10,

則數(shù)軸上點A表示的數(shù)可能是近，

故選：C.

【點評】本題考查估算無理數(shù)的大小，實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵.

9.（2025?廣安）公元前5世紀，畢達哥拉斯學(xué)派的一個成員發(fā)現(xiàn)了一個新數(shù)一■無理數(shù)或.他的發(fā)現(xiàn)，

在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界撅起了一場巨大風(fēng)暴，導(dǎo)致西方數(shù)學(xué)史上的“第一次數(shù)學(xué)危機”.請估計魚的值在（）

A.I和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

【考點】估算無理數(shù)的大小.

【專題】實數(shù)；數(shù)感.

【答案】A

【分析】利用夾逼法將魚進行估算即可.

【解答】解：???IV2V4,

Al<V2<2,

即企的值在1和2之間，

故選：A.

【點評】本題考查估算無理數(shù)的大小，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵.

10.（2025?南充）如圖，把直徑為1個單位長度的圓從點A沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上點A到達點A',

點川對應(yīng)的數(shù)是2,則滾動前點A對應(yīng)的數(shù)是（）

A.2-2nB.TT-2C.5-2TTD.2-TT

【考點】實數(shù)與數(shù)軸；圓的周長.

【專題】實數(shù)；符號意識.

【答案】。

【分析】根據(jù)題意求出A4'，然后設(shè)滾動前點A對應(yīng)的數(shù)為x,根據(jù)兩點間的距離公式列出關(guān)于x的

方程，解方程求出x即可.

【解答】解：由題意可知：AAf=TrXl=n,

設(shè)滾動前點人對應(yīng)的數(shù)為X,

2-x=n,

X=2-TT,

???滾動前點A對應(yīng)的數(shù)是2?n,

故選：

【點評】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，解題關(guān)鍵是熟練掌握兩點間的距離公式.

II.（2025?臺灣）如圖，數(shù)線上由左至右有4（。）、B（匕）、C（c）、D（d）、E（e）五點，且AB=BC=

CD=DE.若原點在AE上，且|〃|+|"=|e|,則下列關(guān)于原點位置的敘述，何者正確？（）

A,」」？」立

abcde

A.在“。上且較接近。點D.在。。上且較接近C點

C.在C。上且較接近C點D.在C。上且較接近。點

【考點】實數(shù)與數(shù)軸；絕對值.

【專題】實數(shù)：運算能力.

【答案】B

【分析】假設(shè)原點的位置，根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系表示〃、〃、e的絕對值，進而判斷是否成立，得出結(jié)

論.

【解答】解：設(shè)AB=BC=CO=QE=A,

若原點在C/）上，

則2&V|〃|V3匕k<\b\<2k,k<\e\<2k,

與|。|+步|=期不符,

，原點不可能在C。上；

若原點在3C上，且較接近4點，

則OVIMV%|史<同〈3億

：.k<\a\+\b\<2k,

與同+|例=同不符，

，原點不可能在上，且較裝近％點：

若原點在BC上，且較接近。點，

則梟VIHV2鼠-k<\b\<k,2k<\e\<^k,

22,

：.2k<\a\+\b\<3k,

可能與13+依=|e|相符，

???原點可能在8c上，且較接近。點.

故選：B.

【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，絕對值，熟練掌握實數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

二,填空題（共4小題）

12.（2025?廣東）計算20?2sin30°的結(jié)果是一0.

【考點】實數(shù)的運算.

【專題】實數(shù)：運算能力.

【答案】0.

【分析】利用零指數(shù)暴，特殊銳角三角函數(shù)值計算后再算減法即可.

【解答】解：原式=1-2x：

=1-1

=0,

故答案為：0.

【點評】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵.

13.（2025?眉山）-27的立方根是-3.

【考點】立方根.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)立方根的定義求解即可.

【解答】解：???（-3）3=-27,

/.V^27=-3

故答案為：-3.

【點評】此題主要考查了立方根的定義，求一個數(shù)的立方根，應(yīng)先找出所要求的這個數(shù)是哪一個數(shù)的立

方.由開立方和立方是互逆運算，用立方的方法求這個數(shù)的立方根.注意一個數(shù)的立方根與原數(shù)的符號

相同.

14.（2025?映西）滿足遮Va<5的整數(shù)?？梢允?（答案不唯一）（寫出一個符合題意的數(shù)即可）.

【考點】估算無理數(shù)的大小.

【專題】實數(shù)；運算能力.

【答案】3（答案不唯一）.

【分析】先估算&的取值范圍，即可找出一個符合條件的整數(shù)〃的值即可.

【解答】解：?.??<\反<\/5,

???1<V2<2,

vV2<a<5,“為整數(shù)，

???〃可以是3（答案不唯一），

故答案為：3（答案不唯一）.

【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握夾逼法是解題的關(guān)鍵.

15.（2025?浙江）|-51+如彷一2.

【考點】實數(shù)的運算.

【專題】實數(shù)；運算能力.

【答案】2.

【分析】利用絕對值的性質(zhì)，立方根的定義計算后再算加法即可;

【解答】解：原式=5-3=2,

故答案為：2.

【點評】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵.

三,解答題（共1小題）

16.（2025?長沙）計算：|2或一1|+（》-1一（75）2-（『2028）°.

【考點】實數(shù)的運算.

【專題】實數(shù)；運算能力.

【答案】2V2.

【分析】利用絕對值的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)爆，負整數(shù)指數(shù)塞計算后再算加減即可.

【解答】解：原式=2V2-1+5-3-1

=2Vs.

【點評】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵.

考點卡片

1,絕對值

（I）概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；

②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負數(shù)的數(shù).

③有理數(shù)的絕對俏都是加負數(shù).

（2）如果用字母。表示有理數(shù)，則數(shù)。絕對值要由字母〃本身的取值來確定：

①當(dāng)4是正有理數(shù)時，。的絕對值是它本身出

②當(dāng)4是負有理數(shù)時，。的絕對值是它的相反數(shù)-4；

③當(dāng)。是零時，。的絕對值是零.

即心|=｛。（?>0）0（4=0）-a（?<0）

2.算術(shù)平方根

（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于小即/=〃，那么這個正數(shù)x叫做。的算

術(shù)平方根.記為6.

（2）非負數(shù)。的算術(shù)平方根。有雙重非負性：①被開方數(shù)。是非負數(shù)；②算術(shù)平方根〃本身是非負數(shù).

（3）求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運算，在求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根時，可以

借助乘方運算來尋找.

3.立方根

（I）定義：如果一個數(shù)的立方等于那么這個數(shù)叫做。的立方根或三次方根.這就是說，如果

那么x叫做。的立方根.記作：VH.

（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)，。的立方根是0,負數(shù)的立方根是負數(shù).即任意數(shù)都有立方根.

（3）求一個數(shù)”的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù).

注意：符號中的根指數(shù)“3”不能省略；對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負數(shù)都有唯一一

個立方根.

【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質(zhì)

I.平方根的性質(zhì)：正數(shù)。有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根.

2.立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是

0.

4.無理數(shù)

（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

說明：無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù).如圓周率、2的平方根

等.

（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：

①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，

比如4=4.0,=0.33333…幣無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如e=1.414213562.

②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比；而無理數(shù)不能.

（3）學(xué)習(xí)要求：會判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有1T

7T

的數(shù)，如分數(shù)i是無理數(shù)，因為r是無理數(shù).

無理數(shù)常見的三種類型

（1）開不盡的方根，如加，百，衿等.

（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小戮，

如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）.

（3）含有ir的絕大部分數(shù)，如2m

注意：判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果.如舊是有理數(shù)，而不是無理數(shù).

5.實數(shù)與數(shù)軸

（I）實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系.

任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示：反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù).數(shù)軸上的任一點表

示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù).

（2）在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數(shù)。的絕對值就是

在數(shù)