預(yù)習(xí)07數(shù)列基礎(chǔ)

模塊導(dǎo)航y(tǒng)素養(yǎng)目標(biāo)。

模塊

一思維導(dǎo)圖串知識(shí)i.通過(guò)實(shí)例了解數(shù)列的概念，明確數(shù)列與數(shù)集的

模塊

二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理區(qū)別，理解數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的含義，理解數(shù)列的函

模塊

三核心考點(diǎn)舉一反三數(shù)特征；

模塊

四

小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)2.根據(jù)給定的項(xiàng)數(shù)，求出相應(yīng)數(shù)列的通項(xiàng)公式，

并理解通項(xiàng)公式的含義：

3.通過(guò)觀察、歸納、猜想等方法，探索數(shù)列的規(guī)

律；

4.通過(guò)數(shù)列遞推公式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)邏輯推理的素

養(yǎng)

6模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)-------------------------------

數(shù)列的概念及一般形式

數(shù)列的概念/數(shù)列的分類及表示

數(shù)列的通項(xiàng)公式

數(shù)列基礎(chǔ)

數(shù)列的遞推關(guān)系

數(shù)列的前n項(xiàng)和

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理-------------------------------

知識(shí)點(diǎn)一、數(shù)列的概念與表示

1.數(shù)列的概念

（I）定義:按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.

（2）項(xiàng):數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號(hào)力

表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，用生表示,……，第〃個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第〃項(xiàng)，用

勺表示.其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng).

（3）分類:

若數(shù)列的項(xiàng)數(shù)有限，則該數(shù)列為有窮數(shù)列；若數(shù)列的項(xiàng)數(shù)無(wú)限，則該數(shù)列為無(wú)窮數(shù)列

2.教列的表示方法

（1）一般形式:數(shù)列的一般形式是生，…，?！?，…，簡(jiǎn)記為{q}.

（2）其他方法:解析式法、表格法、圖象法.

3.數(shù)列的通項(xiàng)公式

（1）如果數(shù)列｛〃“｝的第〃項(xiàng)氏與它的序號(hào)〃之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,那么這個(gè)式子叫做這

個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系：

數(shù)列是離散型函數(shù)，自變量是正整數(shù)，定義域是正整數(shù)集及其子集，圖象是一些離散的點(diǎn)；

函數(shù)多是連續(xù)型，自變量是實(shí)數(shù)，圖象（除有間斷點(diǎn)的）一般為不間斷的曲線.

4.數(shù)列的單調(diào)性

與函數(shù)的單調(diào)性類似，項(xiàng)數(shù)〃相當(dāng)于自變量.%項(xiàng)凡相當(dāng)于函數(shù)值/'（X）.

類別含義

遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列

知識(shí)點(diǎn)二、數(shù)列的遞推公式

1.數(shù)列的遞推公式

如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公

式.

數(shù)列的遞推公式與其通項(xiàng)公式的異同：

相同點(diǎn)不同點(diǎn)

通項(xiàng)公式給出〃的值，可求出數(shù)列中的第〃項(xiàng)氏

均可確定一個(gè)數(shù)列，求

由前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），通過(guò)一次（或多次）運(yùn)算,可求出第〃項(xiàng)

遞推公式出數(shù)列中的任意一項(xiàng)

%

2.數(shù)列的前〃項(xiàng)和

（1）數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和:把數(shù)列｛q｝從第1項(xiàng)起到第〃項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列｛外｝的前n灰和，記作S”,

即Sa=（71+4〉+…+4”.

（2）數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式:如果數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S”與它的序號(hào)〃之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表

示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式.

[S,,/?=1,

3?%與S”的關(guān)系式：（二；

①當(dāng)〃=1時(shí)，4若適合5”-51_],則〃=1的情況可并入〃22時(shí)的通項(xiàng)外

②當(dāng)〃=1時(shí)，q若不適合S.—Si，則用分段函數(shù)的形式表示.

6模塊三核心考點(diǎn)舉一反三-----------------------------

考點(diǎn)一：數(shù)列的概念及分類

1.下列結(jié)論中，正確的是（）

A.數(shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集｛1,2,%：〃｝）上的函數(shù)

B.數(shù)列的項(xiàng)數(shù)一定是無(wú)限的

C.數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式是唯?的

D.數(shù)列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15,…不存在通項(xiàng)公式

【答案】A

【詳解】對(duì)于A,由數(shù)列定義知，A正確；

對(duì)干B,數(shù)列1,2,3,4,5只有5項(xiàng)，該數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限，B錯(cuò)誤：

對(duì)于C,數(shù)列1」,…的通項(xiàng)公式可以為勺=（-1）電，

也可以為凡=〈?該數(shù)列通項(xiàng)公式不唯一，C錯(cuò)誤:

=2k

7

對(duì)于D,該數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為"，"￡N?，D錯(cuò)誤.

萬(wàn)，"=2%

故選：A

變式1-1.數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是+則它的圖象是（）

A.直線B.直線上孤立的點(diǎn)

C.拋物線D.拋物線上孤立的點(diǎn)

【答案】B

【詳解】數(shù)列4對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（1,2）,（23）,（3,4）,…,

所以圖象是直線y=x+1上孤立的點(diǎn).

故選：B

變式1-2.（多選）下列說(shuō)法中，不正確的是（）

A.數(shù)列135,7可表示為｛1,3,5,7｝

B.數(shù)列1,。,—-2與數(shù)列-2,-1,0,1是相同的數(shù)列

C.數(shù)列的項(xiàng)可以相等

D.數(shù)列。八。和數(shù)列cj"一定不是同一數(shù)列

【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A,｛135,7｝不表示數(shù)列,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,數(shù)列具有有序性，故B鐺?誤；

■、"外門■皿ec3456_.1+12+13+14+15+1

【詳解】由題屈，數(shù)列一2,屋-3,而，一石，…，可rz化為一丁'7-‘一丁‘記'一行’…，

所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為%=(-1)"二，所以該數(shù)列的第10項(xiàng)是6。=工.

n10()

故選：D.

變式2-3.根據(jù)下列數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空：1,6，,2,行，,V7.

【答案】V3顯

【詳解】由于數(shù)列的前幾項(xiàng)中根號(hào)下的數(shù)都是由小到大的正整數(shù)，所以第一空需要填百，笫二空需要填6,

故答案為：百，R.

考點(diǎn)三：根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)

A.%=1-(-1)”B.勺=1+(-1)”

C.an=COS/77T-1D.an=sin/771+1

【答案】B

234

【詳解】對(duì)于A,t7,=1-(-1)'=2,?2=1-(-1)=0,?3=1-(-1)=2,^4=1-(-I)=0,不合題意：

234

對(duì)于B,a{=1+(-1)'=0,a2=1+(-1)=2,a3=1+(-1)=0,a4=1+(-1)=2,符合題意;

對(duì)于C,<z)=COSTI-1=-2,a2=cos27i-l=0,a3=COS3TC-1=-2,a4=COS4K-1=0,不合題意;對(duì)于D,

a}=sinn+1=},a2=sin2?r+1=1,%=sin37r+l=1,%=sin4n+1=1,不合題意.

故選：B

變式3?1.數(shù)列{〃”}的前4項(xiàng)為:，：，:,上，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式是()

/5o11

11II

A.B.-------C.-------D.-------

【答案】C

【詳解】將+，2，7r可以寫成成

o1I3x2-13x4-1

所以｛4｝的通項(xiàng)公式為丁二.

3/7—1

故選：C

變式32(多選)已知〃eN"下列選項(xiàng)能正確表示數(shù)列0J0,…的公式有()

?=B.%=1q+%+產(chǎn)1

是奇數(shù)

C.a=cos

n20,〃是偶數(shù)

【答案】BD

1-1

【詳解】對(duì)A,當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，2=三=0,不符合數(shù)列1,0,1,0,1,0,…,故A錯(cuò)誤;

對(duì)B,由4=1,/+?！?|=1,可得。2=1=0,

由4+=1可得，+%=1，故%=限，

由4=1,可知當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，4=1；由%=0,可知當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，見=0.

故該遞推公式4=1,例+%1=1符合數(shù)列1,0,0,1,0」\故B正確:

對(duì)C,當(dāng)〃=3時(shí)，=cos71=-1,不符合數(shù)列1,0,1,0,1,0,…,故C錯(cuò)誤;

對(duì)D,當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，4=1,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，氏=0,

符合數(shù)列1,0』,0,1,0,…的通項(xiàng)公式，故D正確.

故選：BD.

變式3-3.寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

小1371531

⑴2'4'8'16'32''

(2)6,66>666,6666?...；

…31313

⑶七二彳"/

379

⑷丁喘方…

【答案】⑴?！?蘆

⑵%=§(10”-1)

—,n=2k-\,kGN"

(3)"；

士,〃=2女,女eN”

n

2w+l

⑷見工

【詳解】(1)這個(gè)數(shù)列前5項(xiàng)中，每?項(xiàng)的分了比分母少1,且分母依次為0,22,23,2:25,

所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為%=二二.

〃2”

(2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可寫為的10-畤(IO?-1),|(103-1),1(104-1),

所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為4=：(10"-1)=：(10"-1).

(3)這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為止，前6項(xiàng)的絕對(duì)值可看作分母依次為1,2,3,4,5,6,

分子依次為1,3,1,3,1,3,

—,〃=2k-l,keN*

n

所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為例

-j

。=2攵入1<

n

3579

（4）將數(shù)列變形為獲,白,看,…對(duì)于分子3,5,7,9,…可得分子的通項(xiàng)公式為"=2〃+1,

對(duì)于分母2,5,10,17,…聯(lián)想到數(shù)列1,4,9,16,…可得分母的通項(xiàng)公式為％="+1,

所以原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為勺=苦.

考點(diǎn)四：根據(jù)通項(xiàng)公式求值

已知數(shù)列｛（｝的通項(xiàng)公式為?！?2”+1,則257是這個(gè)數(shù)列的（)

A.第7項(xiàng)B.第8項(xiàng)C.第9項(xiàng)D.第10項(xiàng)

【答案】B

【詳解】氏=2"+1,令（=2"+1=257,解得〃=8.

故選：B.

變式4」.已知數(shù)列-22-￡…1）”?岑，…，則它的第8項(xiàng)為（）

49，廣

、9「8「8卜9

A.-B.——C.—D.—

64494964

【答案】D

【詳解】由題意知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為%=（-1）"?巴?，

所以它的第8項(xiàng)的值為5等

故選：D.

變式4?2.（多選）若數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為%=〃2-4〃，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.該數(shù)列有3個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)

R.該數(shù)列有無(wú)限多個(gè)正數(shù)項(xiàng)

C.該數(shù)列的最小項(xiàng)大于函數(shù)/（x）=Y-4x的最小值

D.該數(shù)列中的所有項(xiàng)均為奇數(shù)或4的倍數(shù)

【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A和B,令_4〃<0,解得（）<〃<4,

所以數(shù)列｛/｝前3項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng)，從第5項(xiàng)開始后面的項(xiàng)均為正數(shù)項(xiàng)，故A正確，B正確;

對(duì)于C,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知（*）1?1n=%=-4,/（切.=/（2）=-4,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,-3〃=〃(〃-4),也與“-4同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，故D正確;

故選：ABD

變式4-3.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為?！?"1+2)(〃eN)?

⑴計(jì)算%+%的值;

(2)高是不是該數(shù)列中的項(xiàng)？若是，應(yīng)為第幾項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由.

【答案】(瑞

(2)擊是數(shù)列｛%｝的第10項(xiàng).

]_1_1_1_1

【詳解】(1)數(shù)列｛%｝中，

1113

所以—IT才面

(2)若意為數(shù)列｛%｝中的項(xiàng),11

則〃(〃+2廠而

即〃(“+2)=120,整理得〃2+2〃-120=0，而解得〃=10,

所以卷是數(shù)列｛/｝的第10項(xiàng).

考點(diǎn)五：由遞推關(guān)系求數(shù)列的項(xiàng)

5.已知數(shù)歹ij{%}滿足=%+〃+1("eN),且％=2,則.0=()

A.54B.55C.56D.57

【答案】C

【詳解】由題意可知，。”+|-/=〃+1，

所以。2-《=2,%-。2=3,。4一%=4,須-%=10,

所以上面9個(gè)式子相加得%-可=2+3+4+...+10=54,

所以60-56.

故選：C

2

變式5-1.已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)4=1,且。向二一+1,則這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是()

11

A.—D.6

7CTF

【答案】B

2225211

［詳解］由。〃+1=—+1,4=1得，ai=—+1=3,4=一+1=彳，&=一+1=—.

4%的3%5

故選：B.

變式5-2.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，q=l,2=1，a"="”-i+初-2，(〃之3),則§9=()

A.341B.340C.61D.60

【答案】A

【詳解】因?yàn)?=1,。，=1,an=a?_,+2a?_,,

所以％=%+2q=1+2=3,&=%+2%=3+2=5,%=4+2%=5+6=11,

a6~%+24=11+10=21,%=%+2a5=21+22=43,aK=ay+2ab=43+2x21=85,

%=%+2a7=85+2x43=171,

所以Sg=1+1+3+5+11+21+43+85+171=341,

故選:A.

變式5-3.數(shù)列｛〃“｝滿足。,,T=J—,%=2,貝ij%=

■a”

【答案】2

1,1,11,111c

［詳解］V------,???%=1--------,???/=1__=-,4=1__=-1,生=1__=2,???

1一。"+12%。6

故答案為：2.

考點(diǎn)六：數(shù)列的周期性及應(yīng)用

2

6.在數(shù)列｛(｝中，若4=3,。向=2-丁，則下列數(shù)不是｛/｝中的項(xiàng)的是（)

A.-1B.1C.yD.-2

【答案】A

.2

【詳解】因?yàn)閝=3,%=2-一，

,24-21?2c-2、

所以%=2-一=-,%=2=-,%=2=-2,a5=2一一=3,

%3出2%%

所以數(shù)列｛〃“｝是以4為周期的數(shù)列，故-1不是｛〃“｝中的項(xiàng).

故選：A.

變式6-1.已知數(shù)列｛"”｝滿足q=2,做=3,勺.2等于。川??！钡膫€(gè)位數(shù)，則出024=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【詳解】因?yàn)?。?6,故%=6;因?yàn)?。3=18,故4=8：

因?yàn)?a=48,故?！?8：因?yàn)?。必?4，故4=4：

因?yàn)殛?=32,故%=2；因?yàn)榉驳?8,故4=8；

因?yàn)椤?仆=6,故。9=6；因?yàn)?48,故40=8；

故前10項(xiàng)為:2,3,6,884,2,8,6,8,

故數(shù)列｛4｝從第3項(xiàng)開始項(xiàng)的大小周期性出現(xiàn)，且周期為6,

故。2024=a336x6+8=%=8,

故選：D.

4+1，4,<4

變式6-2.已知數(shù)列｛%｝滿足凡“=2>,設(shè)｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S”，若6=1,則S，o=

了，“"-4

【答案】123

【詳解】由題意可知：4=1,生=4+1=2,6t3=tz,+1=3,a4=a3+l=4,

%=宗=1,4=%+1=2,...

由此可得｛%｝是一個(gè)周期為4的周期數(shù)列

/.S5o=%+a2+/+4+牝+,,,+f7J0=12(%+a2+ay+a4)+a49+at()=12(1+2+3+4)+q+a2=123.

故答案為：123.

變式6-3.已知數(shù)列"｝滿足q=JL1ei(〃eN)則。2024=________.

一,u<VI

〔可

【答案】V2-1

【詳解】/=%T=&7，

%=%-1=夜，故數(shù)列｛q｝是以3為周期的周期數(shù)列,

貝U“2024=々3x674+2=%=五一1?

故答案為：V2-1.

考點(diǎn)七：已知Sn求通項(xiàng)公式an

7.已知數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和S”滿足SL〃2+〃(〃CN"),則％=.

【答案】10

【詳解】由題得牝=&—邑=52+5—(42+4)=30—20=10.

故答案為：10.

變式7-1.數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“=〃2+3〃，則它的通項(xiàng)公式為.

【答案】=2n+2

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，4=3=4,

〃N2時(shí)，q0=S"-Si=2/?+2,

驗(yàn)證，當(dāng)〃=1時(shí)，=2xl+2=4,成立.

故答案為：（=2〃+2

變式72已知數(shù)列｛勺｝的前〃項(xiàng)和2=22-2.則數(shù)列勺=.

【答案】2"

2

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，a,=S1=2-2=2,

當(dāng)尸N2時(shí),%=S.—S,i=2"J2"=2",

驗(yàn)證當(dāng)〃=1時(shí)，q=2i=2成立，

所以%=2".

故答案為：T

變式7?3.在數(shù)列｛%｝中，…+善二=￡，則｛?！ǎ耐?xiàng)公式為____________.

352n-\3

【答案】4=M（〃CN+）

【詳解】數(shù)列｛%｝中，%+?+§+

352n-\3

〃=1時(shí)，有q=g,

?時(shí)，由「？+?+…含g得q+等好一缶="

兩式相減得小二=；,即g=氣」,

2〃—1

n=1時(shí)，也滿足%=---.

所以（=V（〃wN,）.

故答案為：4=等（〃€電）

考點(diǎn)八：累加法求數(shù)列的通項(xiàng)

、1例8.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”?“三

角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛4｝,則即=<）

A.58B.225C.210D.231

【答案】D

【詳解】由題意可知《「J=〃(〃22),

所以%-a?_2=〃-1,4_2一冊(cè)-3="-2,-q=2，

所以4_4”_]+4小_%_2+.一+〃2_卬=〃+(〃_1)+一.+2,

(〃+2)(〃-1)n2+n-2.〃(〃+1)

所以a”—q=^----F----J所以卷二——-——+]=12，

當(dāng)〃=1時(shí)，q=1符合〃之2的情況，

mi+.八]22x21__,

所以cin——?所以%=2=231,

故選：D.

變式8-1.在數(shù)列｛qJ中，q=3,am=%+lg(l+[),則/。等于()

A.4B.3+l()lg3C.13D.12+21g3

【答案】A

【詳解】依題意，在數(shù)列｛4｝中，q=3,%“=勺+愴(1+》，

即知+=愴卓=lg(n+l)-lgn,

所以q0=%+(%-%)+(。3-%)+…+(%0一%)

=3+1g2-lg1+1g3-1g2+???+lg10-Ig9

=3-lgl+lgl0=3+l=4.

故選：A

變式8-2.若在數(shù)列｛4｝中，4=1,4+i=a”+〃2,求通項(xiàng)例.

2n'-3〃2+774-6

【答案】an=

6

2

a2-a1=1,

。「廿吩，

【詳解】由。加=?！?〃2,得?

凡-%7=("1)二

以二個(gè)式子相加，乂/+2?+32+...+〃2=〃（〃"）（2〃2）

6

所以a”=1+1?+2?+3?+???+(〃-(/=i+_2〃3一3耳2+〃+6

66

變式83在數(shù)列｛%｝中，4=1,當(dāng)〃>1且〃cZ時(shí)，勺-*_產(chǎn)2〃，求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式.

【答案】（"N）

【詳解】當(dāng)〃22時(shí)，。小=2〃，

%—%=2%

“一:2)+…+(%一q)=4+6+8+…+2〃

(4十2〃)(〃-1)

=+〃-2,又q=1,

2

a?=+〃-1.乂q=1符合上式,

2

an=n+n-\(〃wN)

考點(diǎn)九：累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)

已知數(shù)列｛q｝的項(xiàng)滿足“向■^a”，而《二1，則。”=（)

2]

C.￡D.

A.畫2〃一1

【答案】B

九二〃

【詳解】由已知qH即

凡〃+2

an-\a?.n-2〃一3

則時(shí)，-n=—7,-=—”二

%〃+1%〃/?-1%43

等式左右分別相乘可得"二/7-in-2〃一32\2

a\n+1nn-143〃W+1)'

又4=1,適合上式,

2

所以4=而用,

故選：B.

變式9-1.已知數(shù)列｛磯｝滿足：4=1旦人=￡卜合2,〃eN）則數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式為

《1-1

【答案】牝=〃

【詳解】因?yàn)?=」4(〃22,〃WN),

4T〃一1'7

所吟［緇

一，%/a,a?234n

累乘可得——----=TXTX7X-X—7

卬%4*T123n-1

即子■=〃，所以q,=〃(〃N2),

當(dāng)八=1時(shí)，q=1也成立，

所以<二〃.

故答案為：4=〃

變式9-2.在數(shù)列｛%｝中，%=底臉=\穿,則%4=.

【答案】6

【詳解】由行庭岳故噴冷含奇”,修得翁A

即得詈=楞，所以生4=店q=6.

故答案為：6.

變式9-3.已知數(shù)列"｝的前〃項(xiàng)和為S”嗎=1,(〃+3)2=〃5-(，?€1<).求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式：

【答案】為=」——L

”2

S〃+3

【詳解】因?yàn)?〃+3)S”=〃S'+1,顯然S.>0,所以年二與一，

，〃

小s,&S,S.4567〃+2

當(dāng)"之2時(shí)，由累乘法得WWW……麻=丁5丁屋…不？

則苓=〃5+?〃+2),又所以工=〃(〃+雙〃+2),

瓦6"6

所以當(dāng)“N2時(shí)，%=S〃_S"T="；”),〃=1時(shí)，4=1也符合,

匕一?〃(〃+1)

所以q=-1——L.

"2

3模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)

一、單選題

2

1.在數(shù)列｛%｝中，若q=3,%+：=2-7，則下列數(shù)不是｛凡｝中的項(xiàng)的是（）

Z1

I4

A.—1B.—C.-D.—2

【答案】A

2

【詳解】因?yàn)?=3,%+]=2---,

3n

41

所以外=]，/=5，%=-2,%=3,...?

故｛/｝是以4為周期的周期數(shù)列，-1不是數(shù)列中的項(xiàng)，

故選：A.

2.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為?！?5二三，則｛6｝中的項(xiàng)最大為（）

2〃一7

B.0C.-1D.2

【答案】D

n-213

【詳解】牝=-----=一+------

2〃一724/2-14

當(dāng)〃之4時(shí)‘函數(shù)、=高單調(diào)遞減'

則當(dāng)〃之4時(shí)，數(shù)列｛（｝單調(diào)遞減，

所以｛%｝中的項(xiàng)最大為4=2.

故選：D.

3,已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是可邛""7ND

若數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)。的取

a,〃＞7

值范圍是()

(91「9)

A.-,3B.-,3

14)L4

C.(2,3)D.[2,3)

【答案】C

..3-a>0

【詳解】/〃"7為單調(diào)遞增的數(shù)列,故卜>1

r/c、cX6

a,n>/l7(3-aj-3<a8-6

解得2＜。＜3,

故選：C

4.數(shù)列-2,4,-y,20..........的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是()

24-1

A.%=(-1廠?2〃B.c1n=(-1/----

n

c?a=(-\y----------D.6F=(-ir.—

n〃nn

【答案】B

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)〃-3B寸，/=-6,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)〃=1時(shí)，《=一2,當(dāng)〃=2時(shí)，%=4.

當(dāng)〃=3時(shí)，4=一彳，當(dāng)〃=4時(shí)，4=20,故B1E確；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)〃=2時(shí)，%=3,故C錯(cuò)誤；

7

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)〃=2時(shí)，d=-，故D錯(cuò)誤.

-2

故詵：B.

5.已知數(shù)列｛凡｝滿足力〃+2'”8,〃WN?，若對(duì)于任意〃cN都有%＞%”，則實(shí)數(shù)。的取值范

尸，三8

圍是()

【答案】C

【詳解】由對(duì)于任意〃wN"都有4由，數(shù)列｛6｝為遞減數(shù)列,

所以只需滿足，0＜。＜1,解得

故選:C

6.已知數(shù)列㈤｝滿足％=33“討-q=2〃，則區(qū)的最小值為()

n

21__5333

A.—B.2\/33-1C.—D.—

/J，

【答案】A

【詳解】因?yàn)?。?凡=2〃，所以由遞推公式可得

%+一/=2〃,為_/_]=2(〃_1),為_]_%_2=2(〃-2),.......6一。2=2x2,4-q=2x1

當(dāng)〃N2時(shí)，等式兩邊分別相加，得

2

-a1=2x1+2x2+???+2(/7-2)+2(/?-1)=2(1+2+3+---+/7-2+/7-1)=/?-/?,

因?yàn)椋?33,則a“=〃2-〃+33,而卬滿足上式，所以_〃+33,

即：="2-；+33=〃+/T〃WN,,函數(shù)g(x)=x+?—1在(0,月)上單調(diào)遞減，在(后,+8)上單調(diào)遞增,

又因?yàn)椤╡N",5<V55<6,當(dāng)〃=5時(shí)，—=5+-^--1=-^,

〃55

當(dāng)〃=6時(shí)，％=6+胃-1=斗，因?yàn)槎?lt;F，所以％的最小值為

n6225n2

故選：A.

二、多選題

7.下列結(jié)論中正確的是()

A.數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的

B.數(shù)列通項(xiàng)公式的表達(dá)式不是唯一的

C.數(shù)列1,3,5,7可表示為｛135,7｝

D.數(shù)列I,3,5,7與數(shù)列7,5,3,1不是同?數(shù)列

【答案】BD

【詳解】數(shù)列按項(xiàng)數(shù)分類可分為有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列，即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以是有限的，也可以是無(wú)限的，故A

錯(cuò)誤;

數(shù)列通項(xiàng)公式的表達(dá)式不是唯一的，

例如，數(shù)列1,-1,1,-1,…的通項(xiàng)公式可以是％=(-1嚴(yán)，也可以是%=COS(/L1)兀，故B正確；

構(gòu)成數(shù)列的數(shù)是有順序的，而集合中的元素是無(wú)序的，故C錯(cuò)誤；

根據(jù)數(shù)列定義，兩數(shù)列的數(shù)排列次序不相同，不是相同的數(shù)列，故D正確.

故選：BD.

8.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=［；〃:'笠震，則下列正確的是()

2-2〃,〃為偶數(shù)

A.?6=I9B.%C.S5=22D.$6咨

【答案】BC

【詳解】對(duì)于A,6是偶數(shù)，則々=2-12=-1(),A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,%=22>4,B正確；

對(duì)于C,邑=4+(-2)+10+(-6)+16=22,C正確;

對(duì)于D,56=S5+a6=12,S8=+a7+as=12+22+(-14)=20,

S6<1,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

三、填空題

9.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S〃滿足S“=〃2+〃(〃CN.),則%=.

【答案】6

【詳解】由S,=，+〃(〃eN?),則%=$3-52=9+3—(4+2)=6.

故答案為：6.

10.在數(shù)列｛4｝中，%=2,且a“=q”_|+lg/~N〃Z2),則《儂=.

【答案】5

【詳解】在數(shù)列｛%｝中，《=2,且a,=〃“T+lg——(〃22),

n-1

/.%=2+Ig2,

i73=2+lg2+lg|=2+lg3,

4

6r4=2+Ig3+Igy=2+lg4,

由此猜想。“=2+3.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①％=2+lgl=2,成立，

②假設(shè)4=2+1耿成立，

k+1

則％+1=2+lg4+lg—=2+愴(4+1)成立，

K

由①?得=2+3,

則“woo=2+30()0="

故答案為：5.

11.若數(shù)列｛4｝(〃€N?)的