專(zhuān)題3?2立體幾何中的體積表面積范圍與最值?不建系

三元均值不等式：xyz^，x+y+z>ifxyz

\3J

2

應(yīng)用：（1）若x>0,求一的最小值；（2）求（6-3刈2丁的最小值

x

,2.11/?11/、7「（6-2X）+X+XT

（1）x2+-=x2+-+->{x2——=1；（2）（6-2X）X2^X-------L------=8

xxxNxx3

高考真題?回顧

2022新高考1卷第8題

1.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36不，且34/K36,則該正四

棱錐體積的取值范圍是（）

\811「2781]「27641門(mén)。皿

A.1o8,—B.—，—C.—,—D.[18,27]

4J144」143」

2022年全國(guó)乙卷?文12?理9

2.已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為。，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最

大時(shí)，其高為（）

A.-B.；C.3I）.—

3232

1/8

2024屆?江蘇省南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校階段測(cè)（10月）

1.已知三棱錐P-/WC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其外接球半徑為2,則S.s+Smc+Sj8c的最大值

為.

2.已知矩形A8CQ的周長(zhǎng)為18,把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當(dāng)這個(gè)正六棱柱的體積最大時(shí)，它的

外接球的表面積為.

D\....................f

力B

廣東省六校2023屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

3.足球起源于中國(guó)占代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米棣的球，因而

“蹴鞠''就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，如圖所示.已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)P.A，&C,滿(mǎn)足

2

PA=1,PA_L面"C,AC1HC,若匕1X=可，則該“鞠”的體積的最小值為（）

99

不4

2-D.8-

4.

5.已知長(zhǎng)方體ABC。-的外接球。的體積為苧，其中=2,則二棱錐O-/WC的體積的最大

值為（）

A.1B.3C.2D.4

6.將一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓錐形工件切割成一個(gè)圓柱體，能切割出的圓柱最大體枳為（）

2/8

7.已知三棱錐P-ABC各頂點(diǎn)均在以P4為直徑的球面上，尸A=4,“18。是以AC為斜邊的直角三角形,

則當(dāng)△PAC面積最大時(shí)，該三棱錐體積的最大值為（）

A.g夜B.-V2C.45/2D.8近

S由幾何性質(zhì)得出最值

8.已知三棱錐S-ABC的頂點(diǎn)都在球〃的表面上,若球。的表面積為36萬(wàn)，相=6,AC=26，NAC8=30°,

則當(dāng)三棱錐S-A8C的體積最大時(shí)，BS=（）

A.4B.2石C.5D.同

9.三棱錐產(chǎn)一力比中，為_(kāi)L底面四￡*=2,底面力斷是邊長(zhǎng)為26的正三角形，"為〃'的中點(diǎn)，球。是

三棱錐〃一力笈必的外接球.若〃是球0上一點(diǎn)，則三棱錐北刃。的體積的最大值是（）

A.2B.2百

86

V?---

3"V

10.已知圓錐AO,底面的面積為4兀，母線與底面所成角的余強(qiáng)值為苧，點(diǎn)/）在底面圓周上，當(dāng)三棱錐

A-8C。的體積最大時(shí)，圓錐的外接球的球心到平面的距離為（）

11.設(shè)4&C,。是同一個(gè)直徑為8的球的球面上四點(diǎn)，△/8C為等邊三角形且其面積為9石，則三棱

錐4BC體積的最大值為（）

A.186B.24x/3C.36垂＞D.54百

3/8

題I型S結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值

12.（2023?深圳?高二期末）如圖，已知一個(gè)圓錐的底面半徑為klm,高為3dm,它的內(nèi)部有一個(gè)正三

棱柱，且該正三棱柱的下底面在圓錐的底面上，則這個(gè)正三棱柱的體積的最大值為dm'

2023屆?廣東省汕頭市三模

13.將一個(gè)體積為36兀的鐵球切割成正三棱錐的機(jī)床零件，則該零件體積的最大值為（）

A.16亞B.16瓜C.8五D.86

鹽田高級(jí)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期11月月考

14.已知正四棱錐的高為〃，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36汗，且/亞3,則該正四棱錐體積

的最大值是（）

A.—B.18C.—D.27

43

15.已知某圓錐的母線長(zhǎng)為3,則當(dāng)該圓錐的體積最大時(shí)，其側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的弧度數(shù)為（）

2>/6V6「2g門(mén)行

AR1

A?------j[D?jtU?itU?7C

3333

2023屆?湖北省高中名校聯(lián)盟（圓創(chuàng)）高三下學(xué)期第三次聯(lián)合測(cè)試

16.已知正三楂錐的各頂點(diǎn)都在表面積為64江球面上，正三棱錐體積最大時(shí)該正三棱錐的高為.

云南三校2023屆高三高考備考實(shí)用性聯(lián)考卷（八）

17.已知正四棱錐的高為〃，其頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的體積為36兀，且3=￡/?9￡=，則當(dāng)該正四棱錐

22

體積最大時(shí)，高力的值為（）

39

A.2B.-C.4D.-

22

2023屆-南京師范大學(xué)附屬中學(xué)5月模擬

18.在三棱錐尸-ABC中，PA=PB=PC=1,AB=BC=CA=4i，圓柱體0a在三棱錐P-MC內(nèi)部（包

含邊界），且該圓柱體的底面圓。在平面PBC內(nèi)，則當(dāng)該圓柱體。。的體積最大時(shí)，圓柱體。?的

高為（）

A,-B,&C.|I）.1

3923

19.已知某幾何體由兩個(gè)有公共底面的圓錐組成，兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)分別為A,8,底面半徑為R.若

A3+3R=9,則該幾何體的體積最大時(shí)，以R為半徑的球的體積為（）

327r

A.4兀B.8兀C.二D.16n

3

20.直六棱柱的底面是正六邊形，其體積是66，則該六棱柱的外接球的表面積的最小值是.

21.設(shè)/<4〃、。、〃是表面積為36州的球的球面上五點(diǎn)，四邊形A8CO為正方形，則四棱錐P-A8C。體積的

最大值為（）

5（）64

A.—B.18C.20D.——

33

22.某四棱錐的底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形中心，該四棱錐所有頂點(diǎn)都在半徑為3的球。上,

當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，底面正方形所在平面截球。的截面面積是（）

A.冗B.4”C.8萬(wàn)D.94

23.如圖，某款酒杯的容器部分為圓錐，且該圓錐的軸截面為面積是16瓜m?的正三角形.若在該酒杯內(nèi)放

置一個(gè)圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過(guò)酒杯口高度，則酒杯可放置圓柱形冰塊的最大體積為

（）

5/8

c.空如兀G

D.9\/3rtcm3

27

2023屆-湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)第一次月考

4

24.在AABC中，AB=5,4C=3,iaM=§,點(diǎn)M、N分別在邊4A8c上移動(dòng)，且MN=8N,沿MN將4BMN

折起來(lái)得到棱錐3-/U7NC,則該棱錐的體枳的最大值是（）

A16立口16x/3R16N/6309

A.D.C.

151515T28

25.已知球體的半徑為3,當(dāng)球內(nèi)接正四棱錐的體積最大時(shí)，正匹棱錐的高和底面邊長(zhǎng)的比值是（）

A.1B.V2C.6D.2

云南省昆明市2023屆“三診一?！备呷|(zhì)量檢測(cè)

26.某機(jī)床廠工人利用實(shí)心的圓錐舊零件改造成?個(gè)正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圓錐的軸上,

卜底面在圓錐的底面內(nèi).已知該圓錐的底面圓半徑為3cm,高為3cm,則該正四棱柱體積（單位：cm3）

的最大值為（）

27

A.54（10-7V2）B.8C.—D.9

4

27.在外接球半徑為4的正三棱錐中，體積最大的正三棱錐的高人=

14C13C.2D.3

A.—B.——

3423

河北省衡水市第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期一模

28.某正六棱錐外接球的表面枳為16冗，且外接球的球心在正六棱錐內(nèi)部或底面上，底面正六邊形邊長(zhǎng)

/e[G,2],則其體積的取值范圍是（）

A?0△華]B」4①萼]

227

6/8

9>/31286”46

2727

29.如圖，四棱錐A-8COE內(nèi)接于圓柱，。為A8的中點(diǎn)，CO和6E為圓柱的兩條母線，AC+BC=2,

四邊形8CDK為正方形，平面￡4。與平面A3C的交線/工平面AC。，當(dāng)四棱錐A-8COE的體積最大

時(shí)，異面直線AE與CO所成角的余弦值為.

30.已知是半徑為2的球面上的點(diǎn)，PA=PB=PC=2,/ABC=90。，點(diǎn)B在AC上的射影為I),則三棱

錐八8力體積的最大值為

3百B./「x/3

</?------D.當(dāng)

48

7/8

專(zhuān)題3?2立體幾何中的體積表面積范圍與最值?不建系

三元均值不等式：xyz^，x+y+z>ifxyz

\3J

2

應(yīng)用：（1）若x>0,求d+一的最小值；（2）求（6-3x）21的最小值

x

2,1111/、1（6-2x）+x+x

（1）x92+-=x2+-+->{x92——=1；（2）（6-2X）X2^X-------L------=8

xXXVxx3

可以跳過(guò)求導(dǎo)的操作得出最值

高考真題?回顧

2022新高考1卷第8題

1.一知止四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體枳為36萬(wàn)，且3W/43G，則該止四

棱錐體積的取值范圍是（）

A.[18,^1B.佟,斗C.佟片]D,118,27]

【答案】C

【詳解】???球的體積為36乃，所以球的半徑R=3,

1/28

［方法一］:導(dǎo)數(shù)法

設(shè)正四棱鎮(zhèn)的底面邊長(zhǎng)為2”，高為力,

222

則尸=2/+/九3=2a+（3-h）t

所以6/?=/2,2a2=l2-h2

ii7/412\（/6

所以正四棱錐的體積V=-Sh=-x4（rxh=—x（l2---）x—=—八----

333366936

匕⑺1,3（24-r）

所以V=—4/---=—/'------,

外6）9I6廣

當(dāng)3K/K2指時(shí)，V>0,當(dāng)26</<36時(shí)，V'<0,

所以當(dāng)/=2后時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為7，

7721

又/=3時(shí)，V=—,/=36時(shí)，V=-,

44

27

所以正四棱錐的體積V的最小值為一，

所以該正四棱錐體積的取值范圍是—.

L43J

［方法二］:基本不等式法（3元）

「-13

由方法一故所以丫=3a，=2（6/?-/?2）/?二1（12—2〃）〃x//Lx（12-2/?）+〃+〃=竺（當(dāng)且僅當(dāng)4取到），

333333

?.3.々3&?IT,3&327

當(dāng)力=5■時(shí)，得。=跖，?'］Vinin=-fl-/i=-（_）-x-=—;

l39

當(dāng)/=3后時(shí)，球心在正四棱錐高戰(zhàn)上，此時(shí)力=耳+3=/,

&二巫=a二啤,正四棱錐體積匕=!。2人=」（挈）2乂2=@<竺，故該正四棱錐體積的取值范圍是［三,?）.

22V233&24343

2022年全國(guó)乙卷?文12?理9

2.已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最

大時(shí)，其高為（）

A.1B.yC.—D.—

3232

【答案】C

2/28

【詳解】［方法一］:【最優(yōu)解】基本不等式

設(shè)該四棱錐底面為四邊形力4CQ,四邊形/出CQ所在小圓半徑為r,

設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線夾角為a,

則S*?c/）=LAC8。sina2廣2/=2/

ArfLIJ222

（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形為正方形時(shí)等號(hào)成立）

即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)。到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為2,

又設(shè)四棱錐的高為3則/+/=/,

46

V

VO-ABCD

當(dāng)且僅當(dāng)r2=2h2即h/時(shí)等號(hào)成立.

故選：C

［方法二］：統(tǒng)一變量+基本不等式

由題意可知，當(dāng)四棱鋒為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為"，底面所在圓的半徑為心則r=也〃，

2

所以該四棱錐的高〃=1,

（當(dāng)且僅當(dāng)!=”］,即/=、時(shí)，等號(hào)成立）

所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高h(yuǎn)=「^=R=當(dāng)

故選：C.

［方法三］:利用導(dǎo)數(shù)求最值

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為〃，底面所在圓的半徑為乙則/?二正〃，

2

所以該四棱錐的高八,令。2=，（0</<2）,y=1^7Z,設(shè)/（/）=/-］,則

0</<4，/'（，）>（）,單調(diào)遞增，:</<2,/“（/）<（）,單調(diào)遞減,

JJ

所以當(dāng)f=g時(shí)，丫最大，此時(shí)力=/^=理.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解：

方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問(wèn)題的常用解法，操作簡(jiǎn)便，是通性通法.

3/28

2024屆?江蘇省南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校階段測(cè)（10月）

1.已知三棱錐尸-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其外接球半徑為2,則Sv+S.c+Sj8c的最大值

為.

【答案】8

【分析】由長(zhǎng)方體模型得出/+6+。2=16,再由基本不等式得出最值.

【詳解】設(shè)PA=a,PB=b.PC=c,因?yàn)槿忮FP-A8C的三條側(cè)棱兩兩垂直，

所以由長(zhǎng)方體模型可知，=2,即/+6+/=16.

2

“小，.+工.=；（岫+如+兒）4［（/+6）+（/+。2）+伊+。2）］=1x32=8,當(dāng)且僅當(dāng)

a=〃=c=土叵時(shí)，取等號(hào).

3

即S4PAB+S^PAC+S/BC的最大值為8

2.已知矩形A8CO的周長(zhǎng)為18,把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當(dāng)這個(gè)正六棱柱的體積最大時(shí)，它的

外接球的表面積為.

DC

【答案】13萬(wàn)

【詳解】試題分析：設(shè)正六棱柱的底而邊長(zhǎng)為x,高為）'，則6v+y=9,0<:x<1.5,正六棱柱的體積

V=6x如尸6.3x.3"9?6小叩》3?（9一6叩9百

,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立,

此時(shí)y=3,可知正六棱柱的外接球的球心在是其上下點(diǎn)中心的連線的中點(diǎn)

以外接球的表面積為47rx—=13乃.

4

廣東省六校2023屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

3.足球起源于中國(guó)古代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糕的球，因而

“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，如圖所示.已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)P48,C,滿(mǎn)足

4/28

2

P4=l,尸41面"C,ACIBC,若％一布二:，貝I該"鞠''的體積的最小值為（）

9

D.8-乃

【分析】根據(jù)三棱錐的外接球的球心到所有頂點(diǎn)距離相等，且都為球半徑，即可找到球心的位置，然后在

直角三角形A8C中，根據(jù)基本不等式即可求解48最小值，進(jìn)而可得球半徑的最小值.

【詳解】取/W中點(diǎn)為。、過(guò)。作。。//幺,且。。='PA=L,因?yàn)镻A_L平面A8C,所以0。1平面A3C.由于

22

AC18C,故。4=。8=。。，進(jìn)而可知。4=08=0。=0戶(hù),所以0是球心,。4為球的半徑.

I]?

由匕，一人灰=-x-ACSP4=-=ACC8=4,又AZf=AC2+BCZN24c?8C=8,當(dāng)且僅當(dāng)AC=8C=2、等

323

號(hào)戌立，故此時(shí)4B=2&,所以球半徑R=OA=JOQ2+(J_AB]>二士3，故%亞=大3?體積最小值

V(2)22

為士9

TIN==—71

32

故選:C

4.已知長(zhǎng)方體ABCO-ABQA的外接球。的體積為學(xué)，其中8B1=2,則三棱錐O-ABC的體積的最大

值為（）

A.1B.3C.2D.4

【答案】A

【分析】設(shè)A8=a,AO=A,根據(jù)長(zhǎng)方體力灰刀―的外接球。的體積和34=2,可求得外接球的半

5/28

徑R=2,根據(jù)基本不等式求得S/友?的最大值，再代入三棱錐的體積公式，即可得到答案;

【詳解】設(shè)48=a,AO=b,

???長(zhǎng)方體A8CO-AgCQ的外接球。的體積為2|三，BB1=2,

???外接球0的半徑R=2,

，a?+〃+4=16,

a2+Z?2=12,

..ab?------=6,

2

到平面ABC的距離d=1,

S"=；abW3,

???三棱錐O—ABC的體積V=lxS.?rxt/<-!-x3xl=l.

33

???三棱錐O-ABC的體積的最大值為1.

5.將一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓錐形工件切割成一個(gè)圓柱體，能切割出的圓柱最大體積為()

【答案】C

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為「，高為X,利用三角形相似求得「與X的關(guān)系式，寫(xiě)出圓柱的體積，利用不

等式,即可求解.

【詳解】解：設(shè)圓柱的底而半徑為r,高為X,體積為V，由4尸0必與APOA相似，可得：=言，則X=2-2人

8“2

所以圓柱的體積為V=兀/x=兀/(2—2r)V冗?(；'r——/=—,所以圓柱的最大體積為力，此時(shí)r=§.

6.已知三棱錐A4C各頂點(diǎn)均在以PA為直徑的球面上,PA=4,△ABC是以4。為斜邊的直角三角形,

則當(dāng)△PAC面積最大時(shí)，該三棱錐體積的最大值為()

A.—V2B.—V2C.4\/2I).8應(yīng)

6/28

【答案】A

【分析】由基本不等式，△E4C面積最大時(shí)的外接圓半徑為〃=JI,△A3C中AC邊上的高為力，力的

最大值等于,，可求三棱錐體積的最大值.

【詳解】如困，設(shè)01為AABC的外心，則01為AC的中點(diǎn)，又設(shè)4。=/，AAAC中AC邊上的高為力.

2

由已知，OOt=5/4—r,SAPAC=5x2rx2^4-廠=2J廣(4-廣|《廠+4—廠=4,

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)=4-產(chǎn)等號(hào)成立，即當(dāng)廠=后時(shí)，△抬C面積取得最大值4.

=^

此時(shí),%-ABCABCxPC=-xrx/?xPC=-xV2x/ix2\/2=—/?.

333

顯然，h的最大值等于、故力逑，即三棱錐體積的最大值為逑.

…33

S由幾何性質(zhì)得出最值

7.已知三棱錐S-ABC的頂點(diǎn)都在球。的表面上，若球。的表面積為36萬(wàn)，AB=君，AC=2百，ZACB=30。,

則當(dāng)二棱錐3-八"’的體枳最大時(shí)，HS=()

A.4B.26C.5D.同

【答案】D

【分析】設(shè)。1是“IBC的外心，即可得到。產(chǎn)=6,再根據(jù)球的表面積求出球的半徑R,即可得001,當(dāng)且

僅當(dāng)S、O、01三點(diǎn)共線且平面SA區(qū)和點(diǎn)S位于點(diǎn)O異側(cè)時(shí)，三棱錐S-A8C的體積最大，再由勾股定理計(jì)

算可得AS.

【詳解】在AABC中，根據(jù)正弦定理，可得sinZ48C二ACsin乙ACB二1,所以/ABC=90。.

AB

7/28

s

如國(guó)，設(shè)01為△月BC的外心，則0]為AC的中點(diǎn)，且Q8=；AC=K,由于球。的表面積為36萬(wàn)，所以球

。的半徑火=3,CQ=，夫2一。用2=2,當(dāng)s,O,01三點(diǎn)共線且平面C4B和點(diǎn)S位于點(diǎn)。的異側(cè)時(shí),

三棱錐S—A8C的體積最大.此時(shí)3S=JSO；+（）B=而

8.三棱錐〃一月比中，處J_底面"C,PA=2,底面被7是邊長(zhǎng)為的正三角形，材為〃'的中點(diǎn)，球。是

三棱錐產(chǎn)一力AV的外接球.若〃是球0上一點(diǎn)，則三棱錐〃一川。的體積的最大值是（）

A.2B.273

8x/3

Vr?----

3

【答案】C

【分析】設(shè)A8的中點(diǎn)為E,則的外接圓的直徑為AB,園心為E,半徑為瓜，設(shè)三棱維P-A8M的

外接球的半徑為R,球心為O.利用勾股定理求出R,再求出O到平面B4C的距離，即可求出。到平面PAC

的距離最大值，最后算出SdAc，印可求出（匕）-詠）四；

【詳解】解：因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，M為AC的中點(diǎn)，所以8M_LAC,即△A8M為直角三角形，設(shè)A8

的中點(diǎn)為E,則AABM的外接圓的直徑為A8,圓心為E,半徑為虧=J5,設(shè)三棱錐P-4BM的外接球

OE2+3=R2

的半徑為R,球心為O,則，、，一解得R=2,又PA_L平面人BC,AMu平面4BC,所以

（2-OE）~+3=R2

PA1AM,所以△PAM的外接圓是以PM為直徑的圓，設(shè)PM的中點(diǎn)為"，?'）OF1PFt所以

0F=.IR^-^PM2=-,即O到平面24。的距離為3,所以。到平面B4C的距離最大值為，2=2,又

V42222

其.=92x26=2石，所以（b.L=9x[=半：

8/28

9.已知圓錐AO,底面的面積為4兀，母線與底面所成角的余弦值為孚，點(diǎn)。在底面圓周上，當(dāng)三棱錐

A-48的體積最大時(shí)，圓錐的外接球的球心到平面48。的距離為（)

_5C.竽D-t

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得要使三棱錐A-8CO的體積最大，則點(diǎn)。到8C的距離最大，由余弦定理可得

4

cosZBAD=-,再由正弦定理可得△A8。的外接圓半徑，再由勾股定理即可得到結(jié)果.

5

OC=2,因?yàn)槟妇€與底面所成角的余弦值為李，所以

----------,所以圓錐的高0A=4,

JOT+225

9/28

因?yàn)辄c(diǎn)。在底面圓周上，所以A8二AC=A0=26,要使三棱錐A-4C。的體積最大，則點(diǎn)Z）到4C的距

離最大，即00=2,此時(shí)80二2上?

在△4BZ)中，由余弦定理得cos/84￡)=20+￡。8所以sin/BAZ)=一,

2x2j5x2j555

_272_5>/2萬(wàn)

由正弦定理得△人AD的外援圓辛在/一二至一不一，設(shè)△人的外按圓的圓心為尸，Pp=2X￡,設(shè)圓

2x-3BF

5）

錐的外接球的球心為E,半徑為R,連接AO,依題意，E在AO上，在Rt^BOE中，（4-R）2+4=R：解

得R=3,即=

22

在RtABEF中,BE1=BF2+EF2,所以￡/=，?—,=!，所以當(dāng)三棱維A-8CO的體積最大時(shí)，圓錐

的外接球的球心到平面ABD的距離為三.

10.設(shè)4,B,C,。是同一個(gè)直徑為8的球的球面上四點(diǎn)，△48C為等邊三角形且其面積為96，則三棱

錐力-4BC體積的最大值為（）

A.18&B.24&C.366D.546

【答案】A

【分析】設(shè)點(diǎn)M為三角形A3c的中心，。為球心，當(dāng)。為M0與球的交點(diǎn)，判斷出當(dāng)DM上平面A8C,

此時(shí)三棱錐。-八8。體積最大，然后進(jìn)行計(jì)笄可得.

【詳解】如圖所示，

設(shè)點(diǎn)M為三角形4BC的中心，O為球心，E為AC中點(diǎn),

10/28

當(dāng)平面/WC時(shí)，三棱錐Q-/WC體積最大

此時(shí)，OD=OB=R=4

則S,,ABC=^A82=9>/5,所以A8=6,

所以點(diǎn)M為三角形ABC的中心，所以3M=-BE=2y/3,

Rt^OMBt,有OM=40片-BM2=2,

DM=OD+OM=4+2=6f

??(^CL=1X9>/3X6=18>/3.

J

題I型s結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值

11.（2023?深圳?高二期末）如圖，已知一個(gè)圓錐的底面半徑為klm,高為3dm,它的內(nèi)部有一個(gè)正三

棱柱，且該正三棱柱的下底面在圓錐的底面上，則這個(gè)正三棱柱的體積的最大值為d".

【答案】B

3

【分析】設(shè)正三棱柱上底面三角形的外接圓半徑為〃（。＜廠＜1）,高為h,利用相似關(guān)系可知/z=3-3r,由此

可將正三極柱體積表示為關(guān)于「的函數(shù)的形式，利用導(dǎo)數(shù)可求得體積的最大值.

【詳解】過(guò)三棱柱的上底面的平面平行于圓錐的底面，則該平面極圓錐所得的截面為一個(gè)小圓；

要使正三棱柱體積最大，則正三棱柱的上底面三角形內(nèi)接于該小圓；

設(shè)小圓的半徑為，正三棱柱的高為

——=-,解得：/?=3-3r；又正三棱柱的底面三角形面積S=，x＞/5rxJ5rx立=豆3二，

31224

二王三棱柱的體積丫=5/?=哼/（3—3-）=竽（戶(hù)一，），則V、券,?（2—3r）;

11/28

f2]3，"時(shí)，V*<0：

二當(dāng)90旬時(shí)，V，>0；當(dāng)r

2023屆?廣東省汕頭市三模

12.將一個(gè)體積為36兀的鐵球切割成正三楂錐的機(jī)床零件，則該零件體積的最大值為()

A.16后B.16>/3C.872D.8G

【答案】D

【分析】設(shè)正三棱維的底面邊長(zhǎng)為。，高為〃，球半徑為/?,由球體積求得球半徑R=3,根據(jù)邊長(zhǎng)、高、外

接球半徑關(guān)系及棱錐體積公式得到零件體積關(guān)于〃的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求體積最大值.

【詳解】設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為。，高為h,球半徑為R.

由球的體積為36兀，則\兀尺'=36禮，解得R=3,

22

+(〃—3-=9,^^a+h-6h=O古攵=-3//+18〃，

.??三三棱錐的體積為：Y邛園咯h

-3h2+18/z)A=昔(一3〃3+18/i2),

.?.2=訝-9//+364),

由丫'>0得:0<〃<4,此時(shí)函數(shù)V單調(diào)遞增,

由丫'<0得：4</?<6,此時(shí)函數(shù)V單調(diào)遞減,

.?.當(dāng)/?=4時(shí)，丫取得最大值，且最大值為*(-3x43+18x42)=875.

鹽田高級(jí)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期11月月考

13.已知正四棱錐的高為力，其各頂點(diǎn)都在同??球面上.若該球的體積為36乃，且/?23,則該正四棱錐體積

的最大值是()

A.—B.18C.—D.27

43

【答案】C

【分析】根據(jù)正四棱維的幾何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可得32=2/-(/?-3『，進(jìn)

而由體積公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于〃的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值..

【詳解】如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)A8=2”，高PO為h,外接球的球心為M,

則。。二缶，

4

???球的體積為§冗卡=36兀，所以球的半徑R=3,

在RlZXMOD中，32=2?2+(/?-3)2,

所以正四楂錐的體積V=gs/7=gx442x/?=：[9-(/7-3)1x/7,

12/28

2

整理為曠=一（"+4肥，（//>3）

V,=-2//2+8/Z=-2A（/Z-4）,

當(dāng)力43,4）時(shí)，Vf>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)丘（4,+oo）時(shí)，S<0,函數(shù)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)力=4時(shí)，函數(shù)取得最大值，--x43+4x42=—.

14.已知某圓錐的母線長(zhǎng)為3,則當(dāng)該圓錐的體積最大時(shí)，其側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的弧度數(shù)為（）

A2>/6RV6r2>/3門(mén)6

A.-------jtD.-----nC.-------nD.——n

3333

【答案】A

【分析】表達(dá)出圓錐的體積，通過(guò)求導(dǎo)得出其單調(diào)性，即可求出當(dāng)該圓錐的體積最大時(shí)，其側(cè)面展開(kāi)圖的

圓心角的弧度數(shù).

【詳解】由題意，圓錐的母線長(zhǎng)為3,

設(shè)圓錐的底面半徑為廣，高為h,則/+川=9,0<A<3,

Ar=9-//2

體積：V=；兀「嘖=；冗（9_）h=；兀（9h_"）,

.?.丫'="2=兀（3—〃2）=兀（6