一定是直角三角形嗎

01

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.經(jīng)歷勾股定理的逆定理的探索過程，知道勾股定理與逆

定理的聯(lián)系與區(qū)別；

①理解勾股定理逆定理；

2.能用勾股定理的逆定理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；

②掌握勾股數(shù)。

3.初步認(rèn)識(shí)勾股定理的逆定理的重要意義，會(huì)用勾股定理

就解決一些幾何問題.

勾股定理逆定理

知識(shí)點(diǎn)

勾股數(shù)

一定是直角三角形嗎題型一勾股數(shù)的判斷

題型二判斷能否構(gòu)成直角三角形

題型三在網(wǎng)格中判斷直角三角形

題型

題型四利用勾股定理的逆定理求解

題型五勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用

題型六勾股定理逆定理的拓展問題

10

03知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01勾股定理逆定理

1.定義：如果三角形的三條邊長(zhǎng)“b,C,滿足。2+〃=°2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.

2.如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形

（1）首先確定最大邊（如c）.

（2）驗(yàn)證與/+〃是否具有相等關(guān)系若。2=/+廿，則A4BC是NC=90°的直角三角形：若

c2^a2+b2,則△ABC不是直角三角形.

注意：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)"+/＞仁2時(shí)，此三角形為銳角三角形.其中C為三

角形的最大邊.

【即學(xué)即練I】

1.已知△48C的三邊分別為a,b,c,下列條件不能判定“BC為直角三角形的是（）

A.ZA:ZS:ZC=3:4:5B./A=/B+/C

C.5=出一&D,a2：li2'.c2=\：2'3

2.如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,

⑴求網(wǎng)格上的aABC的周長(zhǎng).

⑵請(qǐng)判斷△MC是不是直角三角形，并說(shuō)明理由.

⑶點(diǎn)P是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段的最小值為

知識(shí)點(diǎn)02勾股數(shù)

像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

勾股數(shù)滿足兩個(gè)條件：①滿足勾股定理②三個(gè)正整數(shù)

【即學(xué)即練1】

1.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.4,5,6B.6,8,10C.32,42，52D.7,12,13

題型一勾股數(shù)的判斷

【典例1】下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.5,12,13B.4,5,6C.2,5,6D.1,2,3

【變式I】我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.下

列各組數(shù)中，是"勾股數(shù)”的是（）

A.7,8,9B.5,12,13C.4,5,6D.2,3,4

【變式2】下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.13J4J5B.4,5,6C.0.3,040.5D.9,40,41

【變式3】下列各組數(shù)中，為勾股數(shù)的是（)

35

A.9,40,41B.5,6,7C.—,2?—D.73?\/4?x/5

題型二判斷能否構(gòu)成直角三角形

【典例I】在AABC中，NA,/B,NC的對(duì)邊分別是a,b,c.下列條件不能說(shuō)明448C是直角三角形

的是（）

A.ZA=ZC-ZBB.?:/?:c=5:12:13

C.（b+c）（b-c）=a2D.a=3+k,〃=4+攵，c=5+k(k>0)

【變式1】滿足下列條件的△AOC，其中是直角二角形的為（）

A.ZA：ZB:ZC=3:4:5B.AB：BC：AC=3:4:5

C.AB=1,BC=4,AC=5D.ZA=30°,NB=75。

【變式2】下列條件中，不能判斷“BC為直角三角形的是（）

A.々2=2,方2=3,c2=5B.a:b:c=5：12:13

C.ZA+ZB=ZCD.ZA:Z5:ZC=3:4:5

【變式3］中，NA、NB、-C的對(duì)邊分別為。、b、c,下列條件中，不能判定△抽。是直角三

角形的是（）

A.ZA:NB:NC=3:4:5B.（a+b）（a-b）=c2

C.ZA+ZB=ZCD.a:b:c=\:\/3:2

題型三在網(wǎng)格中判斷直角三角形

【典例1】如圖，aABC在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為1的網(wǎng)格圖中，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，下列結(jié)論不正確的是（）

A.BC=5B.“IBC的面積為5

C.ZA=90°。.點(diǎn)A到BC的距離為g

【變式1】如圖，在四個(gè)均由十六個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，各有一個(gè)三角形，那么這四個(gè)三角形

中，不是直角三角形的是()

【變式2】如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1.

⑴求"8C的周長(zhǎng)；

(2)若點(diǎn)尸為直線AC上任意一點(diǎn)，則線段4P的最小值為

【變式3】如圖，四邊形A8CD的四個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格上，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1.

⑴求四邊形A8CO的面積；

⑵判斷線段和的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

題型四利用勾股定理的逆定理求解

【典例1】在四邊形A8c。中，已知A8=AO=8,ZA=60°,8c=10,CD=6.

⑴連接B。，試判斷△48。的形狀，并說(shuō)明理由;

⑵求—AZX?的度數(shù).

【變式1】如圖，在AABC中，AD1BC,垂足為僅8D=9,AQ=12,8=16.

⑴求AC的長(zhǎng)；

(2)判斷的形狀，并說(shuō)明理由.

【變式2】如圖，在四邊形48CD中，已知？490?,ZACB=30°,AB=3,AO=10,6=8.

⑴求線段的長(zhǎng)；

(2)求證：△ACO是直角三角形.

【變式3】如圖，四邊形ABC。中，?B90?,AC為對(duì)角線，DEJ.AC于E,

AB=&BC=6,CD=2715,AD=2加.

⑴魂定/AQC的度數(shù);

⑵求線段DE的長(zhǎng).

題型五勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用

【典例1】如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A,B,由于某種原因，由

C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)”(A,H,8)在同一條直

線上)，并新修一條路測(cè)得。8=1.5千米，C”=1.2千米，〃3=0.9千米.問C”是否為從村莊C至IJ河

邊最近的路？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式1】如圖，陽(yáng)光中學(xué)有一塊四邊形的空地A8C。，為了綠化環(huán)境，學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮.經(jīng)

測(cè)量4=90。，人A=9m,DA=\2mfAC=8m,CD=l7m,若每平方米草皮需要100元，種植這塊草皮需

要投入多少資金？(其他費(fèi)用不計(jì))

【變式2】如圖，在筆直的公路A8旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的?？空続的距離為AC=15km,

與公路上另一?？空?的距離為8c=20km,?？空?8之間的距離為A8=25km,為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要

從公路人8上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，且CO_LAB.

(1)求證：Z4CT=90°;

(2)求修建的公路的長(zhǎng).

【變式3］如圖，某社區(qū)有一塊四邊形空地A86,A8=15m,CQ=8/〃，AO=17m.從點(diǎn)八修了一條垂

直BC的小路從石(垂足為E),E恰好是BC的中點(diǎn)，且A￡=l2m.

⑴求邊/3C的長(zhǎng)；

⑵連接AC,判斷“戈：的形狀;

(3)求這塊空地的面枳.

題型六勾股定理逆定理的拓展問題

【典例1】在中，BC=a,AC=b,AB=c,設(shè)c?為最長(zhǎng)邊，當(dāng)/十加二^時(shí)，是直角三角形；

當(dāng)/+〃工C2時(shí)，利用代數(shù)式/+/和d的大小關(guān)系，探究△A5C的形狀（按角分類）.

⑴當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、9時(shí)，&ABC為三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時(shí)，聞優(yōu)為

________三角形；

（2）猜想：當(dāng)/+A?d時(shí)，"BC為銳角三角形；當(dāng)/+/d時(shí)，AABC為鈍角三角形；（填

?！ɑ蚧?="）

⑶判斷：當(dāng)。=5,〃=12時(shí)，

當(dāng)AA4C為直角三角形時(shí)，則c的取值為：

當(dāng)M3C為銳角三角形時(shí)，則c的取值范圍；

當(dāng)AA8C為鈍角三角形時(shí)，則c的取值范圍.

【變式1】定義：如圖，點(diǎn)M,N（點(diǎn)M在N的左側(cè)）把線段AB分割成AM,MMNB.若從AM,MN,

NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段A8的購(gòu)股分割.

AMNB

⑴已知M、N把線段A8分割成AM,MN,BN,若AA/=L5,MN=25,8V=2.0,則點(diǎn)M、N是線段AB

的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑵已知點(diǎn)M、N是線段A8的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若A8=30,AM=5,求8N的長(zhǎng).

【變式2】閱讀下列內(nèi)容：設(shè)小b,。是一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，且。是最長(zhǎng)邊，我們可以利用小b,c

三條邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系來(lái)判斷這個(gè)三角形的形狀：①若/=/+。2,則該三角形是直角三角形；②若

a2>b2+c\則該三角形是鈍角三角形；③若則該三角形是銳角三角形.例如：若一個(gè)三角

形的三邊長(zhǎng)分別是4,5,6,則最長(zhǎng)邊是6,62=36<42+52,故由③可知該三角形是銳角三角形，請(qǐng)解答

以下問題：

（1）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是7,8,9,則該三角形是三角形.

（2）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5,12,K且這個(gè)三角形是直角三角形，求爐的值.

（3）當(dāng)。=2,〃=4時(shí)，判斷小8。的形狀，并求出對(duì)應(yīng)的°?的取值范圍.

【變式3】定義：若〃，〃，。是的三邊，且/+從=勿2,則稱為“方倍三角形

⑴對(duì)于①等邊三角形②直角三憑形，下列說(shuō)法一定正確的是.

A.①一定是"方倍三角形"B.②一定是“方倍三角形"

C.①②都一定是“方倍三角形"D.①②都一定不是“方倍三角形”

（2）如圖，△ABC中，ZABC=mc,ZACB=45°,P為AC邊上一點(diǎn),將沿直線8尸進(jìn)行折疊，點(diǎn)A

落在點(diǎn)。處，連接。，AD.若△48。為“方倍三角形〃，且AP=&,求的面積.

05強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.下列是勾股數(shù)的是（）

A.1.5,2,2.5B.11,12,23C.9,40,41D.6,7,8

2.在&A8。中，N4,/B,NC的對(duì)邊分別為q,/2,c,下列條件中，不能判定是直角三角形的是（）

A.ZA:Z?:ZC=I:3:2B.a=5tb=\3,c=12

C.a:b:c=2:2:3D.ZA+ZB=90°

3.如圖，小正方形組成的3x2網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).點(diǎn)A,B,C,D,M,N均在格點(diǎn)

上，其中點(diǎn)4,B,C,。能與點(diǎn)M,N構(gòu)成一個(gè)直角三角形的是（）

N

?--------

I

I

I

?C

II

I

I

^

BD

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)CD.點(diǎn)D

4.如圖，某港口”位于東西方向的海岸線上，勝利號(hào)，智能號(hào)兩輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航

行，勝利號(hào)、智能號(hào)兩輪船每小時(shí)分別航行12海里和16海里，1小時(shí)后勝利號(hào)、智能號(hào)兩輪船分別位于點(diǎn)

A,B處，且相距20海里，如果知道勝利號(hào)輪船沿北偏西40。方向航行，則智能號(hào)輪船的航行方向是（）

A.北偏東50。B.北偏西50。C.北偏東40。D.北偏西40。

5.如圖，在8x5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,且點(diǎn)4,B,。均在格點(diǎn)上，則點(diǎn)B到線段

二、填空題

6.若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)之比為8即5即7,則它為三角形.

7.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形組成的方格網(wǎng)中，A、B、C都在格點(diǎn)上，則/ABC的度數(shù)為

8.在中，N4、N8、/C的對(duì)邊分別為。、b、。，且/=/,若=70。，則NC的大小是.

9.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題目：“問有沙田一塊，有三斜，其中

小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？''這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長(zhǎng)分別

為5里，12里.，13里，問這塊沙田面積有多大？題中的“里〃是我國(guó)市制長(zhǎng)度單位，1里=500m,則該沙田

的面積為km2.

10.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格，其中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，ADJ.BC于

點(diǎn)D,則A。的長(zhǎng)為.

三、解答題

11.如圖，在“3C中選一點(diǎn)。，連接CDA。，使CO_LAZ).已知A4=24,BC=26,CD=8,AD=6.

⑴求/8AC的度數(shù).

⑵求陰影部分的血積.

12.如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求完成下列各題:

⑴判斷J8C的形狀,并說(shuō)明理由;

⑵求8c邊上的高.

13.如圖，網(wǎng)格是由小正方形拼成的，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為I,四邊形ABCO的四個(gè)點(diǎn)都在格點(diǎn)上.

⑴四邊形A8C。的周長(zhǎng)為,面積為

(2)求證：/物。是直角.

14.臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，在周圍200千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞

力.如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心由西向東，從A移動(dòng)到8,已知點(diǎn)C是一個(gè)海港，且點(diǎn)C與48兩點(diǎn)的距離分別為

4c=3(X)km,8c=4(X)km,A3兩點(diǎn)的距離為：=500km.

⑴求/4C8的度數(shù)；

(2)海港C會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

15.有一段關(guān)于古代藏寶圖的記載(如圖)：“從赤石(點(diǎn)A)向一棵杉樹(點(diǎn)B)筆直走去，在其連線上的

點(diǎn)D處向右轉(zhuǎn)90。前進(jìn)，到達(dá)唐伽山山腳下的一個(gè)洞穴(點(diǎn)C),寶物就在洞穴中.〃若A8=250米，AC=200

米，BC=150米.

杉樹8、

ok——唐伽山

赤石力,

⑴到斷赤石、杉樹、唐伽山形成的的形狀，并說(shuō)明理由;

(2)求出洞穴到點(diǎn)。的距離CO.

16.邊長(zhǎng)為I的正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，如圖I,圖2中點(diǎn)A,B,C,。，E均為格點(diǎn).

⑵如圖I,請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺作圖，在上取一點(diǎn)M,使NACM=45。；

(3)在圖2中，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺作圖，作=&，EF=M，并直接寫出ADE/的面積為

17.綜合與實(shí)踐

主題：檢測(cè)雕塑(下圖)底座正面的邊AO和邊8c是否分別垂直于底邊A8.

素材：一個(gè)雕塑，一把卷尺.

步驟1：利用卷尺測(cè)量邊AO,邊8C和底邊A8的長(zhǎng)度，并測(cè)量出點(diǎn)注。之間的距離;

步驟2*：通過計(jì)算驗(yàn)證底座正面的邊A。和邊8C是否分別垂直于底邊AB.

解決問題：

⑴通過測(cè)量得到邊A。的長(zhǎng)是60匣米，邊AB的長(zhǎng)是80匣米，8D的長(zhǎng)是10()座米，邊A。垂直于邊AB嗎?

為什么？

(2)如果你隨身只有一個(gè)長(zhǎng)度為30cm的刻度尺，你能有辦法檢驗(yàn)邊A。是否垂直于邊4B嗎？如果能，請(qǐng)寫

出你的方法，并證明.

18.綜合與實(shí)踐

【提出問題】學(xué)習(xí)完勾股定理后，思考它的逆命題：兩邊平方和等于第三邊的平方的三角形是直角三角形，

這個(gè)命題正確嗎？教材是沒有證明的.

【先賢智慧】相傳我國(guó)古代大禹在治水測(cè)量工程時(shí)，曾用下列的方法確定直角：把一根長(zhǎng)繩打上等距離的

13個(gè)結(jié)，然后以3、4、5個(gè)結(jié)間距的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角.

【動(dòng)手操作】如圖，三條線段。、力、c的長(zhǎng)度比滿足a/:c=3:4:5,某數(shù)學(xué)小組利用這三條線段，設(shè)計(jì)

了如下作圖步驟對(duì)上述問題開展了驗(yàn)證：

①作線段48=c；

②以點(diǎn)A為圓心，。為半徑畫弧.以點(diǎn)B為圓心，〃為半徑畫弧.兩弧相交于C點(diǎn)：

③連接AC,BC,得到"BC.

⑴根據(jù)作圖步驟，完成作圖（要求：保留作圖痕跡）.

【問題解決】

⑵由三線段的長(zhǎng)度比可知，（1）中的aABC三邊滿足AB2=AC?+BC2.請(qǐng)你證明：邊長(zhǎng)滿足A序=AC?+改丁的

△ABC是直角三角形.

參考答案與試題解析

一定是直角三角形嗎

01eMm正

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

I.經(jīng)歷勾股定理的逆定理的探索過程，知道勾股定理與逆

定理的聯(lián)系與區(qū)別；

①理解勾股定理逆定理；

2.能用勾股定理的逆定理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；

②掌握勾股數(shù)。

3.初步認(rèn)識(shí)勾股定理的逆定理的重要意義，會(huì)用勾股定理

就解決一些兒何問.題.

02思維導(dǎo)圖

勾股定理逆定理

知識(shí)點(diǎn)

V.勾股數(shù)

一定是直角三角形嗎題型一勾股數(shù)的判斷

題型二判斷能否構(gòu)成直角三角形

題型三在網(wǎng)格中判斷直角三角形

題型

題型四利用勾股定理的逆定理求解

題型五勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用

題型六勾股定理逆定理的拓展問題

03知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01勾股定理逆定理

1.定義：如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b,c,滿足那么這個(gè)三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某?個(gè)三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.

2.如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形

（1）首先確定最大邊（如c）.

（2）驗(yàn)證/與是否具有相等關(guān)系.若02=〃2+從，則4ABC是NC=90°的直角三角形；若

c2^a2+b\則△ABC不是直角三角形.

注意：當(dāng)/+從＜02時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中C,為

三角形的最大邊.

【即學(xué)即練1】

1.（23-24八年級(jí)下?河南洛陽(yáng)?期中）已知AABC的三邊分別為a,b,c,下列條件不能判定為直角三

角形的是（）

A.ZA:N3:NC=3:4:5B.NA=NB+NC

C.l^=a2-c2D.a2：b2：c2=l：23

【答案】A

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形的性質(zhì)，本題屬

于基礎(chǔ)題型.

【詳解】A、團(tuán)ZA=3x,ZB=4x,NC=5x,Z4+Zfi+ZC=12x=180°,則x=15。

(3Z4=45°,/B=60。，ZC=70°,

團(tuán)△ABC不是直角三角形，故符合題意；

B、N4+N4=NC,ZA+Z/?+ZC=180°,

(azc=90°,

團(tuán)△ABC是直角三角形，故不符合題意；

C>^b2=a2-c2，即/+/=/,

團(tuán)△ABC是直角三角形，故不符合題意；

D、團(tuán)廬〃：〃=1：2：3,

0a:+Z?2=c2,

團(tuán)是直角三角形，故不符合題意；

故選:A.

2.(23-24八年級(jí)下?四川瀘州?期中)如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,

⑴求網(wǎng)格上的△A/C的周長(zhǎng).

(2)請(qǐng)判斷△A8C是不是直角三角形，并說(shuō)明理由.

⑶點(diǎn)。是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段30的最小值為.

【答案】⑴10+6石

⑵是直角三角形，理由見解析；

⑶上

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，以及垂線段最短.先根據(jù)勾股定理求出的三條邊長(zhǎng)，再根據(jù)勾

股定理的逆定理判定即可，靈活運(yùn)用勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵.

(1)利用勾股定理求出aABC的三邊長(zhǎng)，即可求出周長(zhǎng)：

(2)利用勾股定理逆定理判定即可；

(3)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短即可求解；

【詳解】(I)利用勾股定理可得，

AC=V62+82=10?BC=g+42=2后,AB=>/82+42=475?

△八8c的周長(zhǎng)為AC+BC+AB=10+2A/^+4K=10+66.

（2），?叱+.=20+80=100=402,

.“IBC是直角三角形.

（3）過點(diǎn)9作W>_LAC于點(diǎn)尸，

則此時(shí)線段所取得最小值，

???S△.《A8.8C.ACM

.a。ABBC4石x2石.

…Br=-----------=----------------=4.

AC10

知識(shí)點(diǎn)02勾股數(shù)

像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

勾股數(shù)滿足兩個(gè)條件：①滿足勾股定理②三個(gè)正整數(shù)

【即學(xué)即練1】

I.（23-24八年級(jí)下?廣西桂林?期中）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是1）

A.4,5,6B.6,8,10C.32，42?52D.7,12,13

【答案】R

【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義、勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股數(shù)的定義"凡是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形

三邊的?組正整數(shù)，稱之為勾股數(shù)〃，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可，掌握勾股數(shù)的定義、計(jì)算判斷是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：4、4?+52=41工62,故該組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意；

8、62+82=100=102,故該組數(shù)是勾股數(shù)，符合題意；

C、（32『+（42y=337工（52）2,故該組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意；

D、72+122=193^132,故該組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意；

故選：B.

04，壟”沈

題型一勾股數(shù)的判斷

【典例I］（23?24八年級(jí)下?廣東湛江?階段練習(xí)）下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.5,12,13B.4,5,6C.2,5,6D.I,2,3

【答案】A

【分析】本題考查了勾股數(shù).解題的關(guān)鍵是理解勾股數(shù)的定義：有mb,c三個(gè)正整數(shù)，滿足/+從=。2,

稱為勾股數(shù).想要判定是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩條較短邊的平方和是否

等于最長(zhǎng)邊的平方.

【詳解】解：A.52+122=169=132,能構(gòu)成勾股數(shù)，故該選項(xiàng)正確：

B.4?+5?=41工6?,不能構(gòu)成勾股數(shù)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.22+52=29^62,不能構(gòu)成勾股數(shù)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.12+22=5^32,不能構(gòu)成勾股數(shù)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選A.

【變式1】（23-24七年級(jí)卜.?陜西西安?階段練習(xí)）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)占

代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.下列各組數(shù)中，是〃勾股數(shù)〃的是（）

A.7,8,9B.5,12,13C.4,5,6D.2,3,4

【答案】B

【分析】本題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義：若三個(gè)正整數(shù)b、。滿足則

稱。、b、c為勾股數(shù).根據(jù)“勾股數(shù)”的定義，逐項(xiàng)判斷，即可求解.

【詳解】解：A、72+82^92,不是“勾股數(shù)"，不符合題意；

B52+122=132,是“勾股數(shù)”,符合題意;

。、42+52^62,不是“勾股數(shù)"，不符合題意；

。、22+32^42,不是“勾股數(shù)”，不符合題意；

故選：B.

【變式2】（23-24八年級(jí)下?廣西來(lái)賓?期中）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.13,14,15B.4,5,6C.0.3,0.4,0.5D.9,40,41

【答案】。

【分析】本題考查勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)是滿足/+〃=Cz的三個(gè)正整數(shù)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、0132+142^152.1313,14,15不是勾股數(shù),不符合題意;

B、042+52^62,04,5,6不是勾股數(shù)，不符合題意；

C、團(tuán)0.3,0.4,0.5部不是整數(shù)，團(tuán)030.4,0.5不是勾股數(shù)，不符合題意；

D、092+402=412,139,40,41是勾股數(shù)，符合題意：

故選：D.

【變式3］（23-24八年級(jí)下?江西新余?期中）下列各組數(shù)中，為勾股數(shù)的是（）

35

A.9,40,41B.5,6,7C.p2,6，石，石

【答案】A

【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)

的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解:4、Q92+402=81+1600=1681=412,-9,40,41是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；

B、Q52+62=25+36^72,.-.5,6,7不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意：

。、3三5不是正整數(shù)3，「.彳，52,:不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

2222

。、白，4，6不是正整數(shù)，C，君不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

題型二判斷能否構(gòu)成直角三角形

【典例1】(23-24八年級(jí)下?安徽淮北?期中)在“8C中，NA,NB,/C的對(duì)邊分別是〃，6c.下列條

件不能說(shuō)明是直角三角形的是()

A.NA=NC-N8B.?:/>:c=5:12:13

C.(b+c)(b-c)=a2D.a=3+&,b=4+k,c=5+A(A>0)

【答案】D

【分析】本題考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，正確理解勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.判

斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

【詳解】A.vZA=ZC-ZB,

.-.Z4+ZB=ZC,

VZ4+ZB+ZC=18O°,

\2?C180?,

/.ZC=90°,

是直角二角形，

故此選項(xiàng)正確，不符合題意；

B、設(shè)a=5x,則Z?=12x,c=\3x,

\/+〃=(5x)2+(]2幻2=169/=c2,

「.△ABC是直角三角形，

故此選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、?.,(〃+<?)(〃-<?)=/,

:.b2-c2=a2,

..a2+c2=b2，

「.△ABC是直角三角形，

故此選項(xiàng)正確，不符合題意；

￡)、,.,a=3+Z,b=4+k,c=5+k(k>0),

：.a2+b2^c2，

「.△ABC不是直角三角形，

故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意.

故選。.

【變式I】（23-24八年級(jí)上?四川成都?期中）滿足下列條件的J8C,其中是直角三角形的為（）

A.ZA：ZB:ZC=3：4：5B.AB：BC：AC=3：4：5

C.A8=l,BC=4,AC=5D.ZA=30°,NB=75。

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和定理，能理解勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題

的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：A、NA：N8：NC=3：4:5,ZC+Z?+ZA=180°,

團(tuán)最大角為NC=h，xl8（P=75。，

「.△ABC不是直角三角形，

故該選項(xiàng)不符合題意；

B、設(shè)AB、BC、AC分別為我,42品,

?.?（3&）2+（4%）2=25&2=（5A『，

:.AB2^BC2=AC2,

「.△ABC是直角三角形，

故本選項(xiàng)符合題意；

C、?「A8=l,BC=4,AC=5,1+4=5,

13不符合二角形二邊關(guān)系，

故本選項(xiàng)不符合題意；

D.vZA=30°,N4=75。，ZC+Z^+ZA=180°,

/.ZC=75°,

「.△ABC不是直角三角形，

故該選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【變式2］（23-24八年級(jí)下?云南昭通?期中）下列條件中，不能判斷為直角三角形的是（）

A./=2,"=3,c2=5B.?:/?:c=5:12:13

C.ZA+ZB=ZCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5

【答案】。

【分析】本題主要考查勾股定理和三角形內(nèi)角和定理，掌握判定直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵，

A、根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判定即可，

8、根據(jù)比值并結(jié)合勾股定理的逆定理即可判斷出三角形的形狀，

C、根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180度，即可計(jì)算出NC的值，

。、根據(jù)角的比值求出各角的度數(shù)，便可判斷出三角形的形狀.

【詳解】A、當(dāng)"=i,拄=2,?=3，

...02+從=5=。2,故A4BC是直角三角形;

B、當(dāng)〃:/?:c=5:12:13時(shí)，設(shè)a=5x,b=\2x,c=\3x,

則/+y=（5x）2+（12x）2=03x）2=/,故是直角三角形，

C、當(dāng)ZA+N3=NC時(shí)，

團(tuán)ZA+/B+NC=180°,

0ZC+ZC=18O°,則NC=90。，故AABC是直角三角形，

D、當(dāng)NA:N8:NC=3:4:5時(shí)，

團(tuán)ZA+/8+NC=180°,

則最大角為NC=18（rx「￡=75。，故不是直角三角形，

故選：D.

【變式3］（23-24八年級(jí)下?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）中，/A、NB、NC的對(duì)邊分別為。、b、c,

下列條件中，不能判定dBC是直角三角形的是（）

A.ZA:Z^:ZC=3:4:5B.(a+b)(a-b)=c2

C.ZA+N8=NCD.6/:Z?:c=1:5/3:2

【答案】A

【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可判斷4、C；

如果三角形的三邊長(zhǎng)。，b,。滿足/+〃=/,那么這個(gè)三角形就是直角三角形，據(jù)此可判斷8、D.

【詳解】解：A、0ZA+ZB+ZC=18O°,ZA:ZB:ZC=3:4:5.

345

0ZA=18O°x一：一=45°,ZA=180°x-------=60°,ZA=180°x---=75°,

3+4+53+4+53+4+5

（^△ABC不是直角三角形，符合題意;

B、^(a+b)(a-b)=c2

Ba:-b2=c2

團(tuán)a'=c2+b2,

團(tuán)aABC是直角三角形，不符合題意;

C、0ZA+ZB=ZC,且NA+NB+NC=180。，

0ZC=9O°,

團(tuán)△A8C是直角三角形，不符合題意;

D、團(tuán)a:b:c=l:JJ:2,

222

團(tuán)設(shè)a=%,b=-J3x>c=2xt且工？+（6x）=x+3x=4x=（2x）",

團(tuán)AABC是直角三角形，不符合題意；

故選：A.

題型三在網(wǎng)格中判斷直角三角形

【典例I】（23-24八年級(jí)下?云南昭通?期中）如圖，aABC在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為I的網(wǎng)格圖中，頂點(diǎn)

都在格點(diǎn)上，下列結(jié)論不正確的是（）

A.BC=5B.AABC的面積為5

C.ZA=90°。.點(diǎn)A到8C的距離為g

【答案】。

【分析】本題考查的是勾股定理及其逆定理，利用網(wǎng)格圖計(jì)算三角形的面積，點(diǎn)到直線的距離.熟練掌握

勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵.

利用勾股定理求出8c長(zhǎng)川一判定A,利用網(wǎng)格圖計(jì)算三角形的面積可判定B,利用勾股定理及其逆定理判定

C；利用面積公式求出邊8c的高，即可利用點(diǎn)到直線的距離判定。.

【詳解】解：A.0BC2=32+42=25,

團(tuán)SC=5,本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；

B.5,BC=4x4-^xlx2-lx2x4-ix3x4=5,本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；

C.v4C2=l2+22=5,八*=22+才=20,BC2=32+42=25,

/.AC2+AB2=BC2，

.-.ABAC=900,本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；

。.點(diǎn)A到8C的距離=2S、.板+"C=2x5+5=2,本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；

故答案為；D

【變式1］（2024八年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在四個(gè)均由十六個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，各有

一個(gè)三角形，那么這四個(gè)三角形中，不是直角三角形的是（）

【答案】A

【分析】本題考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足"+y=02,那么這

個(gè)三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理及其逆定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：A、如圖：

VAC2=I2+32=10>BC2=\2+2-=5,Afi2=l2+42=i7,

.?.△ABC不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；

B、如圖：

VAC2=22+42=20,?C2=12+22=5,A8?=3?+4?=25，

.二△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

V>4^=22+22=8,AC2=22+22=8，BC2=16,

.?.△A3C是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、如圖:

vAC2=12+32=10,BC2=l2+3-=10?八加=22+42=20,

.二△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

【變式2］（23-24八年級(jí)下?遼寧鞍山,期中）如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1.

⑴求“IBC的周長(zhǎng)；

(2)若點(diǎn)P為直線AC上任意一點(diǎn)，則線段8P的最小值為.

【答案】(1)375+5

(2)2

【分析】此題考查了勾股定理與網(wǎng)格、勾股定理逆定理等知識(shí)，準(zhǔn)確掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)

鍵.

(1)利用勾股定理求出各邊的長(zhǎng)，求和即可得到“8。的周長(zhǎng)；

(2)過8作證明△A8C是直角三角形，AC為斜邊，利用等積法即可求出答案.

【詳解】(1)解：A8=“2+2?=2不，8C=亞喬=石，"?="+42=5,

△ABC的周長(zhǎng)=2百+百+5=3石+5；

(2)過3作8P_LAC,

團(tuán)AB?+對(duì)=(2扃+(灼2=25=AC?,

團(tuán)是直角三角形，4c為斜邊，

???△/^0的面積=1人4?8。=!八0片/\

22

BP-x2x/5x>/5=-x5-?P,

22

解得8P=2,

即線段8尸的最小值為2.

【變式3】(23-24八年級(jí)下?廣東珠海?期中)如圖，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格上，且每個(gè)小正方形

的邊長(zhǎng)都為1.

⑴求四邊形ABC。的面積；

⑵判斷線段BC和C。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)17.5

(2)BC1CD,理由見解析

【分析】本題考查了四邊形的面積，三角形的面積，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解

題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)四邊形A8C。的面積等于長(zhǎng)方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積和一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積計(jì)算即

可；

(2)根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可.

【詳解】(1)解：四邊形48C。的面積為：

7x5——x4x2——xlx7--x4x3——xlx2-lx3

2222

=35-4-3.5-6-1-3

=17.5;

(2)解：BC1CD,

理由：如圖，連接8。，

222222

VBC2=42+22=20,CD=2+1=5,BD=3+4=25,

BC2+CD2=BD2,

.△BCD是直角三角形且/BCD=90°,

即BCJLCO.

題型四利用勾股定理的逆定理求解

【典例1](23-24八年級(jí)下?江西吉安?階段練習(xí))在四邊形A8CO中，已知A8=AO=8,ZA=60L8C=10,

CD=6.

C

D

A-----------B

⑴連接8D,試判斷△ABO的形狀，并說(shuō)明理由；

⑵求/ADC的度數(shù).

【答案】為等邊三角形，理由見解析.

(2)ZADC=150°.

【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì).

(1)連接80,根據(jù)A8=AO=8,ZA=60°,得出△ABO是等邊三角形即可；

(2)根據(jù)勾股定理的逆定理判斷三角形8OC是直角三角形，從而求得NAZX?=150。.

【詳解】(1)解：是等邊三角形.

-：AB=AD,N8AO=60°,

:AABD是等邊三角形；

(2)解：?.?△A5D是等邊三角形，

.?.4408=60。，BD=AB=S,

在4的。中，CD2+?D2=62+82=IOO,8C?=1()2=100,

:.CD?+BD2=BC2,

；.NBDC—

：.ZADC=NBDC+ZADB=9(F+6(F=I5(F.

【變式1)(23-24八年級(jí)下?云南昭通?期中)如圖，在“IBC中,AD工BC,垂足為。，比＞=9,AO=12,CD=1如

⑴求AC的長(zhǎng)；

⑵判斷“IBC的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴20

⑵MRC是直角三角形，理由見解析

【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正確理解定理是關(guān)鍵.

(1)在直角△ADC中利用勾股定理即可求解.

(2)利用勾股定理的逆定理即可判斷.

【詳解】(1)解：?.?AO_L8C,

.?△4力。是直角三角形，ZADC=90°.

.\AC=ylAD1+CD1=V122+162=20-

（2）4ABC是直角三角形，理由如下：

AD_LBC?

.?.△A/兄是直角三角形，ZA￡>B=90°.

AB=\IAD2+BD1=7122+92=15?

.-.BC=/?D+CD=9+16=25.

?.?15’十20'=25',

「.△ABC是直角三角形，。是直角.

【變式2】（23-24八年級(jí)下?重慶長(zhǎng)壽?期中）如圖，在四邊形相CD中，已知？B90?,4CB=30。，A8=3,

⑴求線段的長(zhǎng)；

⑵求證：△ACZ）是直角三角形.

【答案】⑴地

⑵見解析

【分析】本題考查勾股定理，勾股定理的逆定理：

（1）先根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出AC=2A8=6,再根據(jù)勾股定理得出答案即H；

（2）得出62+82=102,gpAC2+CD2=AD2,即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：團(tuán)？B90?,Z4CB=30°,AB=3,

0AC=2AB=6,

團(tuán)JAC-B2=3>/5；

（2）證明：（3AD=10,CD=8,AC=6,

1362+82=1O2,AC2+CD2=AD2,

回N4CD=90°,

（a^Ac4是直角三角形.

【變式3】（23-24八年級(jí)下?湖北黃石?期中）如圖，四邊形48CD中，?B90?,AC為對(duì)角線，DE1AC

于E,AB=S,BC=6,CD=2>/l5,AD=2>/1（）.

D

⑴魂定/ADC的度數(shù)；

⑵求線段力E的長(zhǎng).

【答案】⑴90。；（2）2卡.

【分析】（1）由勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理即可作出判斷;

（2）利用等面積法即可求解.

本題考查了勾股定理及其逆定理，掌握等積法是