2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編之募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

數(shù)（一）

一.選擇題（共16小題）

I.（2025?新高考I）若實數(shù)X,y,z滿足2+logix=3+log3y=5+logsz,則y,z的大小關(guān)系不可能是（）

A.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x

2.（2025?北京）在一定條件下，某人工智能大語言模型訓(xùn)練N個單位的數(shù)據(jù)量所需要時間7=klog2N（單

位：小時），其中攵為常數(shù).在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從1。6個單位增力□至ij1.024X1（）9個單位時，

訓(xùn)練時間增加20小時：當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從1.024X1（）9個單位增加到4.096X1（）9個單位時，訓(xùn)練時間增

加（單位：小時）（）

A.2B.4C.20D.40

3.（2025?上海）設(shè)40,sER.下列各項中，能推出的一項是（）

A.a>\,且s>0B.a>\,且sVO

C.OVaVl,且s>0D.且sVO

4.（2025?上海）粒函數(shù)y=它在（0,+8）上是嚴(yán)格減函數(shù)，且經(jīng)過（?1,-1）,則。的值可能是（）

211

A..gB.-4C.-D.3

333

5.（2024?北京）已知（川，），]）,（數(shù)，”）是函數(shù)的圖象上兩個不同的點(diǎn)，則（）

A.的2堂〈中

B.領(lǐng)空>空

C.log?/?丫2+x2

D.log2丫1；及>x1+x2

6.（2024?天津）設(shè)a=4.2>2,/>=4.202,c=log4.20.2,則6c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

7.（2023?新高考I）設(shè)函數(shù)/G）=2、*加在區(qū)間（0,1）單調(diào)遞減，則。的取值范闈是（）

A.（-8,-2JB.1-2,0）C.（0,2JD.[2,+?>）

8.（2023?天津）設(shè)an.OiV\=1.01。.6,c=0.6°$,則”,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

9.(2023?全國)若，0比。2+2%+1)=4,且1>0,則x=()

A.2B.3C.4D.5

10.(2022?北京)己知函數(shù)/(■=』，則對任意實數(shù)x，有()

A./(-x)V(x)=0B./(-x)-f(x)=0

C./(-x)V(x)=1D./(-x)-f(x)=1

II.(2022?新高考I)設(shè)。=0.12」，〃=4，c=-/〃0.9,則(

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

12.(2022?浙江)已知2"=5,lcg83=4則4"f>=()

25

A.25B.5C.—

9

13.(2022?天津)化簡(21og43+logs3)(Iog32+log92)=()

55

A.1B.-C.2D.

42

11

14.(2022?天津)設(shè)白二2。)，b=(-)°-7,c=log2-,貝ij4,b,c的大小關(guān)系為()

33

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

15.(2022?甲卷)已知9"=10,a=W,-II,b=S,n-9,則()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

1

16.(2022?全國)函數(shù)）=2丁（x>0）的反函數(shù)是（）

1

A.產(chǎn)康a>i）B.>'=log2-Cx>I)

1

c尸康（?！叮〥.J=log2-(0<x<1)

X

二,填空題（共4小題）

115

17.(2024?甲卷)已知-------------=則4=_________

log8aloga42

18.(2024?上海)log”的定義域.

115

19.(2024?甲卷)己知〃>1,-----------------=則4=_________.

1098aloga42

20.(2022?上海)設(shè)函數(shù)/(x)=?的反函數(shù)為fl(x),則尸］(27)=

2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編之募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

數(shù)（一）

參考答案與試題解析

一,選擇題（共16小題）

題號I234567891011

答案BBDBBDDDBCC

題號1213141516

答案CCDAA

一.選擇題（共16小題）

I.（2025?新高考I）若實數(shù)K,滿足2+log>=3+log3y=5+logsz,則k,y,z的大小美系不可能是（）

A.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x

【考點(diǎn)】對數(shù)值大小的比較.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】利用特殊值驗證法，求解判斷即可.

【解答】解：令x=2,則3=2+log22=3+log3y=5+log5z,

可得y=l,z=*，

所以x>y>z.A可能正確；

當(dāng)z=l時，y=9,x=8,所以y>x>z,所以C可能正確;

z=l25時，y=243,此時x=64,滿足）>z>x,所以?？赡苷_.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考資對數(shù)值的大小比較，特殊值方法的應(yīng)用，是中檔題.

2.（2025?北京）在一定條件下，某人工智能大語言模型訓(xùn)練N個單位的數(shù)據(jù)量所需要時間T^hogz/V（單

位：小時），其中人為常數(shù).在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從1（）6個單位增加到1.024X1（）9個單位時，

訓(xùn)練時間增加20小時；當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從1.024XI（）9個單位增加到4.096X1（）9個單位時，訓(xùn)練時間增

加（單位：小時）（）

A.2B.4C.20D.40

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用.

【專題】應(yīng)用題；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用：運(yùn)算求解..

【答案】B

96

【分析】由題意知,^log2（1.024X10）-Jllog210=20,求出匕再代入計算函數(shù)求值即可.

1024X109

【解答】解：由題意知，Jtlog：（1.024X109）-A:log2106=20,即&log2-—=20,

702n

所以Alog21024=20,解得仁麗黃兩=而=2，

LL,qQ4.096X109

=21

所以210g2（4.096X10））-21og2（1.024X1（?）°g\Q24xl09=21og24=2X2=4.

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題.

3.（2025?上海）設(shè)a>0,sWR.下列各項中，能推出的一項是（）

A.?>1,且s>0B.?>1,且$<0

C.0<?<1,且s>0D.0<?<1,且sVO

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)圖象特征與底數(shù)的關(guān)系.

【專題】函數(shù)思想：定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】利用特殊值法判斷ABC：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷D

【解答】解：對于A,取a=2,$=0.1,則"=2°」Ua=2,故4錯誤；

對于8,取a=2,s=-1,則/=2一1<2,故B錯誤；

對于C,取。=0.1,s=2,則"=（）.12VO.1,故C錯誤；

對于。，當(dāng)0V〃VI時，y="是減函數(shù)，

s

.,.5<0時，ci>af故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查指數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

4.（2025?上海）轅函數(shù)）=/在10,+8）上是嚴(yán)格減函數(shù)，且經(jīng)過（?1,-1）,則。的值可能是（）

211

A.-4B.-4C.-D.3

333

【考點(diǎn)】求幕函數(shù)的解析式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】根據(jù)轅函數(shù)的單調(diào)性可排除C和6根據(jù)某函數(shù)過點(diǎn)（?1,-1）,可排除A.

221

當(dāng)

一

【解答】解：對于4,若Q=4則yX3X-y3一

2-

爐

2

所以幕函數(shù)y=》飛過點(diǎn)（-1,1）,故A錯誤；

1111

對于若。=一司，則y=%-3,當(dāng)x=-l時，y=（-1）-3=-------=-1,

（-1”

所以基函數(shù)y=%」過點(diǎn)（-1,-I）,故B正確，

因為尋函數(shù)y=K在（0,+8）上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以〃V0,故C錯誤，。錯誤.

故選:B.

【點(diǎn)評】本題主要考查基函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2024?北京）已知（xi,yi）,（小”）是函數(shù)y=2"的圖象上兩個不同的點(diǎn),則（)

A」。必生〈中

B.log2^>^

C.log2<%t+x2

D.log2，q，Z+x2

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值；對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】根據(jù)己知條件，結(jié)合基本不等式的公式，以及對數(shù)為運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：（XI,戶），（X2,>,2）是丁=2、上的點(diǎn),

則%=23，y2=2外,

2八+2必之25?2冬=2停F當(dāng)且僅當(dāng)xi=x2時，等號成立,

yi+y肛+*2

故d>222,

2

兩邊同時取對數(shù)可得，/92竺及>直攔.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)與不等式的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

6.（2024?天津）設(shè)a=4.2<2,Q4.2%c=log4.20.2,則a,b,c的大小關(guān)系為（)

A.a<Z?<cB.C.（?</?<?D.c<a<b

【考點(diǎn)】對數(shù)值大小的比較.

【專題】計算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用：運(yùn)算求解..

【答案】D

【分析】判斷三者的范圍，推出結(jié)果即可.

【解答】解：)，=4.2、在R上遞增，且-0.2V0V0.2,

所以0V4.2Sv4.2°V4.2°V所以0<4.2-0-2<1<4,20-2,即OVaVIVb,

因為y=】og4.2x在(0,+8)上遞增，且0V0.2V1,

所以Iog4.20.2<log4.2l=0,

即c<0>所以c<.a<.bt

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查指數(shù)與對數(shù)值的大小比較，是基礎(chǔ)題.

7.(2023?新高考I)設(shè)函數(shù)/(1)=2"廣加在區(qū)間(0,I)單調(diào)遞減，則。的取值范圍是()

A.(-8,-2]B.[-2,0)C.(0,21D.[2,+~)

【考點(diǎn)】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)；復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】函數(shù)思想：轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】。

【分析】利用換元法轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【解答】解：設(shè)r-x(x-a)對稱軸為尸品拋物線開口向JL,

??j=2,是，的增函數(shù)，

???要使/(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，

則/=/-依在區(qū)間(0,1)亙調(diào)遞減，

即一>1?即

2

故實數(shù)。的取值范圍是[2,+8).

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解

是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

8.(2023?天津)設(shè)〃=1.0科5,^=1.O10-6,C=0.6°5,則①&c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<h<aD.c<a<b

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值；哥函數(shù)的單調(diào)性與最值.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的單調(diào)性，卻可求解.

【解答】解：y=1.01\在R上單調(diào)遞增，

0.6>0.5,

故1.01°-6>1.01°-5,

所以b>a,

y=A0-5,在［0,+8)上單調(diào)遞增，

1.01>0.6,

故1.01°5>0.6°5,即心c,

所以c<a<b.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9.(2023?全國)若，。92(/+2%+1)=4,且總>0,則x=()

A.2B.3C.4D.5

【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】R

【分析】根據(jù)對數(shù)式和指數(shù)式的互化可得出/+2x-15=0,然后根據(jù)x>0解出工的值即可.

【解答】解：??,|。,(%2+2—+1)=4,

，/+2x+I=16,且Q0,解得x=3.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)式和對數(shù)式的互化，一元二次方程的解法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.(2022?北京)已知函數(shù)e二不￡，則對任意實數(shù)達(dá)有()

A./(-x)V(x)=0B.f(-x)-f(x)=0

C./(-x)+f(x)=1D./(-x)-f(x)=《

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象.

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意計算/(幻V<-X)的值即可.

【解答】解:因為函數(shù)/(幻=壺，所以/(?x)=/？=號，

14.7X

所以f(?x)V(A)=港=1?

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)的運(yùn)算與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

11.(2022?新高考I)設(shè)q=0.1e°」，b=c=一加0.9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【考點(diǎn)】對數(shù)值大小的比較.

【專題】函數(shù)思想：定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】C

11

【分析】構(gòu)造函數(shù)/<A')=//:A+-,x>0?設(shè)g(jv)=jv/i/〃(I-x)(0<x<1)>則g(x)=(x4-l)exH—二y

ZJL

(%2;令h(x)="(，_])+|,h>J)="(/+2A利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)由此能求出結(jié)果.

X-1

【解答】解：構(gòu)造函數(shù)f(x)=/m+i,x>0,

則/(x)x>0,

當(dāng)f(x)=0時，x=l,

0<x<l時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

x>l時，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

.V(%)在x=\處取最小值/(I)=1,

.*.Z?ix>l-(x>0且xN1),

X

.*.M0.9>l-^=-1,A-M0.9:?c〈b；

?.?5.9=/『1中=卷，??行一明

/.O.IeOJ<i,：?a〈b；

設(shè)g(x)=xex+ln(1-x)(OWxVI),

則g'0)=0+1)靖+告=

令人(x)=eY(?-I)+1,h'(x)(?+2x-1),

當(dāng)。<x〈V2-l時，h'(x)<0,函數(shù)力(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)企一IVxVl時，h'(x)>0,函數(shù)/?(x)單調(diào)遞增，

,:h(0)=0,,??當(dāng)OVxV迎一1時，h(x)<0,

當(dāng)0<X<式一1時，屋(.1)>0,g(x)=xex+ln(I-x)單調(diào)遞增,

(0.1)>g(0)=0,???0.1e°」>?009,???a>c，

>\c<a<b.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查構(gòu)造法、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是難

題.

12.(2022?浙江)已知2"=5,lcg83=b,則4c=()

255

A.25B.5C.—D.-

93

【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】直接利用指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.

【解答】解：由2a=5,log83=h,

可得a=23〃=3,

川4a一3屋4a_(2?)2_52_25

則4一萍一談呼一/一百'

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.(2022?天津)化簡(21og43+log83)(Iog32+log92)=()

5

A.1C.2D.

2

【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】利用對數(shù)的換底公式計算即可.

【解答】解：(21og43+log83)Uog32+log92)=(翌3+

lg4lg8lg3lg9

蛆

，

3勤LJg2g2

z++-

\1一-

⑨V/g2伍

73

3z2-

4俳3vg3

?

2-一-

-22g3

2

=2.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)的換底公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

7

14.（2022?天津）設(shè)。=207,h=（1）°,c=log2^則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<h<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<h<a

【考點(diǎn)】對數(shù)值大小的比較.

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維.

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，判斷。>1>方>0>c.

【解答】解：因為尸2工是定義域R上的單調(diào)增函數(shù)，所以2°7>2°=1,即〃=2°-7>1；

因為尸是定義域R上的單調(diào)減函數(shù)，所以（）。,7<《）。=1,且6=（I）°7,所以0VAV1；

因為），=log2A?是定義域（0,+8）上的單調(diào)增函數(shù)，所以log2：<log21=0，即C=log2?<0；

所以c<b<a.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷函數(shù)值大小的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

15.（2022?甲卷）已知9"=10,a=\（yn-II,力=8'”?9,則（）

A.。>0>〃B.C.b'>a->0D.人>0>〃

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】首先由9加=10得到〃?=log910,可大致計算〃？的范圍，觀察小方的形式從而構(gòu)造函數(shù)/（3

=yw-x-1（x>l）,利用/（x）的單調(diào)性比較/（10）與/（8）大小關(guān)系即可.

【解答】解：V9w=io,?1〃=1。8910,

VI=log^<log910<log9V729=1

1<mV,,

a=\0m-11=IOn,-10-1,b=8'"-9=8"-8-1，

構(gòu)造函數(shù)/a）=yn-x-1（.v>i）,

:,f（x）=/^r,-1,

%>1,：.f(x)=〃〃〃"-l>0,

：.f(x)=f7-1在(1,+8)單調(diào)遞增，

.V(10)>/(8),又因為f(9)=93g9iO-9-l=0,

故a>0>〃，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查構(gòu)造函數(shù)比較大小，屬丁較難題目.

1

16.（2022?全國）函數(shù)）=27（x>0）的反函數(shù)是（）

1

A.v=j——(x>1)B.>'=log2-(x>1)

-log2x

1,

C,產(chǎn)康(OVE)D.y=log2-(OVxVl)

【考點(diǎn)】反函數(shù).

【專題】計算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用：邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】根據(jù)x的范圍求出），的范圍，再反解出x，然后根據(jù)反函數(shù)的定義即可求解.

11

【解答］解：由>=27（x>0）可得：-=log2.v,

X

因為x>0,所以工K）,則y>l,

x

所以原函數(shù)的反函數(shù)為，一萬為<A>I）-

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了求解函數(shù)的反函數(shù)的問題，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬「基礎(chǔ)題.

二.填空題（共4小題）

115

17.（2024?甲卷）已知-------------=則〃=64.

log8a2

【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解，

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由已知結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

11315

【解答】解：因為-----------=-----------log.,a=-一,

22

2008aloga4----log2a--2

所以(log2?+1)(log2?-6)=0,而。>1,

故log24=6,up4=64.

故答案為：64.

【點(diǎn)評】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

18.（2024?上海）log次的定義域（0,+8）.

【考點(diǎn)】求對數(shù)函數(shù)的定義域.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】（0,+8）.

【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)真數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：10gM的定義域為（0,+OQ）.

故答案為：（0,+8）.

【點(diǎn)評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.

115

19.（2024?甲卷）已知-------------=則。=64.

logQaloga42

【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)葬性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.

11315

【解答】解：因為;------------=1------~=-T?

log#2

logQaloga4log2a22

所以（log2〃+l）（log2?-6）=0,而

故log2t/=6,解得a=64.

故答案為：64.

【點(diǎn)評】本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

20.（2022?上海）設(shè)函數(shù)/（.r）=/的反函數(shù)為（1），則/I（27）=3

【考點(diǎn)】反函數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】3.

【分析】直接利用反函數(shù)的定義求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出函數(shù)的值.

【解答】解：函數(shù)/（幻=/的反函數(shù)為‘尸］（外，

整理得廣】（幻=正；

所以（27）=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：反函數(shù)的定義和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于

基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)卡片

1.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

所謂復(fù)合函數(shù)就是由兩個或兩個以.上的基本函數(shù)構(gòu)成，這種函數(shù)先要考慮基本函數(shù)的單調(diào)性，然后再考

慮整體的單調(diào)性.平常常見的一般以兩個函數(shù)的為主.

【解題方法點(diǎn)撥】

求復(fù)合函數(shù)（x））的單調(diào)區(qū)間的步驟：

（I）確定定義域；

<2）將復(fù)合函數(shù)分解成兩個基本初等函數(shù)；

（3）分別確定兩基本初等函數(shù)的單調(diào)性；

（4）按“同增異減”的原則，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【命題方向】

理解復(fù)合函數(shù)的概念，會求復(fù)合函數(shù)的區(qū)間并判斷函數(shù)的單調(diào)性.

2.求那函數(shù)的解析式

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

幕函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)叫做基函數(shù)，其中X是自變量，〃是常數(shù).對于幕函數(shù)，我們只研究。

=1,2,3,-1時的圖像與性質(zhì).

【解題方法點(diǎn)撥】

■根據(jù)已知條件設(shè)定凝函數(shù)的形式，代入已知條件，求解指數(shù)〃.

-寫出呆函數(shù)的解析式，驗證解析式的正確性.

【命題方向】

題目包括辨識基函數(shù)的形式，分析基函數(shù)的特征及應(yīng)用題.

若鬲函數(shù)的圖像過點(diǎn)（孝，2）,則函數(shù)y=/（x）的解析式為.

解：基函數(shù)），=/（%）=/的圖像過點(diǎn)（孝，2）,

解得a=-2,

則函數(shù)y=/（x）的解析式為/J）=/2.

故答案為:/（%）=^'2.

3.塞函數(shù)的單調(diào)性與最值

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

一、一函數(shù)定義:

一般地，函數(shù)），=./（怔R）叫做轅函數(shù)，其中x是自變量，。是常數(shù).

（I）指數(shù)是常數(shù)；

（2）底數(shù)是自變量;

（3）函數(shù)式前的系數(shù)都是I；

（4）形式都是），=入〃，其中。是常數(shù).

二、哥函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對比

式子名稱

aXy

指數(shù)函數(shù)：＞'底數(shù)指數(shù)塞值

="

嘉函數(shù)：），=指數(shù)底數(shù)幕值

三、五個常用尋函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1

（1）y=x；（2）y=x1；（3）y=^x(4)y=x2；(5)y=x-1

■1

y=xy=7尸9iy=x

y=x2

定義域RRR[0,+8){x|xW0}

值域R[0,+8)R[0,+8)｛力w（）｝

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

單調(diào)性增xe[o,+°°)時,增增xe(o,+8)

增時，減

xE.1?8,0]xe(?8,o)

時，減時，減

公共點(diǎn)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)

四、幕函數(shù)的性質(zhì)

（I）所有的基函數(shù)在（0,+8）都有定義，并且函數(shù)圖象都通過點(diǎn)（I，I）.

（2）如果〃>0,則幕函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0,0）,（1,I）,并在［0,+8）上為增函數(shù).

（3）如果。<0,則耗函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1,1）,并在（0,+8）上為減函數(shù).

（4）當(dāng)。為奇數(shù)時，嘉函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)。為偶數(shù)時，棄函數(shù)為偶函數(shù).

4.指數(shù)函數(shù)的圖象

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

1、指數(shù)函數(shù)），="（〃>0,且。工1）的圖象和性質(zhì):

定義域R

值域(0,+8)

性質(zhì)過定點(diǎn)（0,1）

當(dāng)x>（）時，y>\；當(dāng)x>0時，OVyVl；

xVO時，0<y<1xVO時，y>\

在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

2、底數(shù)對指數(shù)函數(shù)的影響：

①在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作函數(shù)的圖象，易看出：當(dāng)。>/時，底數(shù)越人，函數(shù)圖象在笫一象限越靠近y軸:

同樣地，當(dāng)0V〃V/時，底數(shù)越小，函數(shù)圖象在第一象限越靠近x軸.

②底數(shù)對函數(shù)值的影響如圖.

③當(dāng)。>0,且“W/時，函數(shù)y=。*與函數(shù)），=4尸的圖象關(guān)于y軸對稱.

【解題方法點(diǎn)撥】

利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大?。?/p>

若底數(shù)相同而指數(shù)不同，用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較：

若底數(shù)不同而指數(shù)相同，用作商法比較；

若底數(shù)、指數(shù)均不同，借助中間量，同時要注意結(jié)合圖象及特殊值.

5.指數(shù)函數(shù)圖象特征與底數(shù)的關(guān)系

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

1、指數(shù)函數(shù)y="（?>0,且aHl）的圖象和性質(zhì)：

)，=/a>1()<a<1

圖象

指數(shù)函數(shù)的圖象特征與其底數(shù)。芍關(guān)，不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖象形態(tài)不同.

【解題方法點(diǎn)撥】

■當(dāng)0V.V1時，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，圖象從左上到右下.

-當(dāng)。>1時，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞彈，圖象從左下到右上.

-分析底數(shù)。的取值，確定圖象特征.

【命題方向】

題目通常涉及指數(shù)函數(shù)圖象特征與底數(shù)的關(guān)系，結(jié)合具體問題分析函數(shù)圖象及其應(yīng)用.

如國是指數(shù)函數(shù)①)，="(〃>0,且〃W1),②,二〃(5>0,且bWl),@y=cx(c>0,且cWl),@y=dx

(J>0,且dWl)的圖像，則mb,c,d與I的大小關(guān)系為()

A.a<b<\<c<d

B.b<a<\<d<c

C.\<a<b<c<d

D.a<b<\<d<c

解：結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，力>0.

故選：B.

6.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

1、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論，一般會以復(fù)合函數(shù)的形式出現(xiàn)，所以要分開討論，首先討論。的取值范圍即。

>LOVaVl的情況.再討論g(x)的增減，然后遵循同增、同減即為增，一減一增即為減的原則進(jìn)行

判斷.

2、同增同減的規(guī)律：

(I)y="如果。>1,則函數(shù)單調(diào)遞增；

(2)如果則函數(shù)單調(diào)遞減.

3、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：

(I)復(fù)合函數(shù)為兩個增函數(shù)復(fù)合：那么隨著自變量X的增大，丫值也在不斷的增大；

(2)復(fù)合函數(shù)為兩個減函數(shù)的復(fù)合：那么隨著內(nèi)層函數(shù)自變量X的增大，內(nèi)層函數(shù)的丫值就在不斷的減

小，而內(nèi)層函數(shù)的y值就是整個復(fù)合函數(shù)的自變量X.因此，即當(dāng)內(nèi)層函數(shù)自變量X的增大時，內(nèi)層函數(shù)

的y值就在不斷的減小，即整個復(fù)合函數(shù)的自變最X不斷減小，又因為外層函數(shù)也為減函數(shù)，所以整個復(fù)

合函數(shù)的y值就在增大.因此可得“同增”若復(fù)合函數(shù)為一增一減兩個函數(shù)復(fù)合：內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，則

若隨著內(nèi)層函數(shù)自變量x的增大，內(nèi)層函數(shù)的y值也在不斷的增大，即整個復(fù)合函數(shù)的自變量x不斷增大，

又因為外層函數(shù)為減函數(shù)，所以整個復(fù)合函數(shù)的y值就在減小.反之亦然，因此可得“異減”.

7.由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

I、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論，一股會以復(fù)合函數(shù)的形式出現(xiàn)，所以要分開討論，首先討論。的取值范圍即〃

>1,0<?<1的情況.再討論g(x)的增減，然后遵循同增、同減即為增，一減一增即為減的原則進(jìn)行

判斷.

2、同增同減的規(guī)律：

(l)y=/如果則函數(shù)單調(diào)遞增；

(2)如果OVaVl,則函數(shù)單調(diào)遞減.

3、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：

(I)復(fù)合函數(shù)為兩個增函數(shù)復(fù)合：那么隨著自變量X的增大，y值也在不斷的增大；

(2)復(fù)合函數(shù)為兩個減函數(shù)的復(fù)合：那么隨著內(nèi)層函數(shù)日變量X的增大，內(nèi)層函數(shù)的丫值就在不斷的減

小，而內(nèi)層函數(shù)的y值就是整個復(fù)合函數(shù)的自變量X.因此，即當(dāng)內(nèi)層函數(shù)自變量X的增大時，內(nèi)層函數(shù)

的y值就在不斷的減小，即整個復(fù)合函數(shù)的自變量x不斷減小，又因為外層函數(shù)也為減函數(shù)，所以整個復(fù)

合函數(shù)的丫值就在增大.因此可得“同增”若復(fù)合函數(shù)為一增一減兩個函數(shù)復(fù)合：內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，則

若隨著內(nèi)層函數(shù)自變量x的增大，內(nèi)層函數(shù)的y值也在不斷的增大，即整個復(fù)合函數(shù)的自變量x