§9.2直線、平面平行的鑒定及性質(zhì)要點梳理1.直線a和平面α的位置關(guān)系有、、,其中與統(tǒng)稱直線在平面外.2.直線和平面平行的鑒定(1)定義：；(2)鑒定定理：aα,bα,且a∥b；(3)其它鑒定辦法：α∥β,aα.平行相交在平面內(nèi)直線和平面沒有公共點，則稱直線平行于平面a∥αa∥β平行相交基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)3.直線和平面平行的性質(zhì)定理：a∥α,aβ,α∩β=l.4.兩個平面的位置關(guān)系有、.5.兩個平面平行的鑒定(1)定義：；(2)鑒定定理：aα,bα,a∩b=M，a∥β,b∥β；(3)推論：a∩b=M,a,bα,a′∩b′=M′,a′,b′β,a∥a′,b∥b′.a∥l平行相交兩個平面沒有公共點，稱這兩個平面平行α∥βα∥β6.兩個平面平行的性質(zhì)定理(1)α∥β,aα;(2)α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b.7.與垂直有關(guān)的平行的鑒定（1）a⊥α，b⊥α；（2）a⊥α，a⊥β.a∥βa∥ba∥bα∥β基礎(chǔ)自測1.若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β,則在平面β內(nèi)且過B點的全部直線中()A.不一定存在與a平行的直線B.只有兩條與a平行的直線C.存在無數(shù)條與a平行的直線D.存在唯一與a平行的直線解析當(dāng)直線a在平面β內(nèi)且通過B點時，可使a∥平面α，但這時在平面β內(nèi)過B點的全部直線中，不存在與a平行的直線，而在其它狀況下，都能夠存在與a平行的直線，故選A.A2.下列條件中，能判斷兩個平面平行的是()A.一種平面內(nèi)的一條直線平行于另一種平面B.一種平面內(nèi)的兩條直線平行于另一種平面C.一種平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一種平面D.一種平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一種平面解析由面面平行的鑒定定理易知選D.A、B、C中的兩個平面可能相交，如圖所示.D3.平面α∥平面β的一種充足條件是()A.存在一條直線a,a∥α,a∥βB.存在一條直線a,aα,a∥βC.存在兩條平行直線a,b,aα,bβ,a∥β,b∥αD.存在兩條異面直線a,b,aα,bβ,a∥β,b∥α解析A、B、C中α與β都有可能相交，故選D.D4.下列命題中對的的個數(shù)是()①若直線a不在α內(nèi)，則a∥α;②若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi),則l∥α；③若直線l與平面α平行，則l與α內(nèi)的任意一條直線都平行；④如果兩條平行線中的一條與一種平面平行，那么另一條也與這個平面平行；⑤若l與平面α平行，則l與α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點；⑥平行于同一平面的兩直線能夠相交.A.1B.2C.3D.4解析a∩α=A時，aα,∴①錯；直線l與α相交時，l上有無數(shù)個點不在α內(nèi)，故②錯；l∥時，α內(nèi)的直線與l平行或異面，故③錯；a∥b,b∥α?xí)r，a∥α或aα，故④錯；l∥α,l與α無公共點，∴l(xiāng)與α內(nèi)任始終線都無公共點，⑤對的；長方體中A1C1與B1D1都與面ABCD平行，∴⑥對的.故選B.答案B5.考察下列三個命題，在“”處都缺少同一種條件，補上這個條件使其構(gòu)成真命題（其中l(wèi)、m為直線，α、β為平面），則此條件為.解析①體現(xiàn)的是線面平行的鑒定定理,缺的條件是“l(fā)為平面α外的直線”即“l(fā)α”，它同樣也適合②③，故填lα.題型一直線與平面平行的鑒定與性質(zhì)如圖所示,正方體ABCD—A1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1，BC1上分別有兩點E，F(xiàn)，且B1E=C1F.求證：EF∥平面ABCD.根據(jù)直線與平面平行的鑒定定理或平面與平面平行的性質(zhì)定理來證明.題型分類深度剖析證明辦法一分別過E，F(xiàn)作EM⊥AB于M，F(xiàn)N⊥BC于N，連接MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，F(xiàn)N∥BB1，∴EM∥FN.又∵B1E=C1F，∴EM=FN，故四邊形MNFE是平行四邊形，∴EF∥MN.又MN平面ABCD，EF平面ABCD，因此EF∥平面ABCD.辦法二過E作EG∥AB交BB1于G，連接GF，則∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴FG∥B1C1∥BC，又EG∩FG=G，AB∩BC=B，∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.判斷或證明線面平行的慣用辦法有：(1)運用線面平行的定義（無公共點）；(2)運用線面平行的鑒定定理(aα,bα,a∥ba∥α)；(3)運用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β,aαa∥β)；(4)運用面面平行的性質(zhì)（α∥β,aα,aβ,a∥αa∥β).知能遷移1如圖所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一點，且SA=SB=SC，SG為△SAB上的高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點，試判斷SG與平面DEF的位置關(guān)系，并予以證明.解SG∥平面DEF，證明以下：辦法一連接CG交DE于點H，連接FH，如圖所示.∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中點，且DH∥AG.∴H為CG的中點.∴FH是△SCG的中位線，∴FH∥SG.又SG平面DEF，F(xiàn)H平面DEF，∴SG∥平面DEF.辦法二∵EF為△SBC的中位線，∴EF∥SB.∵EF平面SAB，SB平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理可證，DF∥平面SAB，EF∩DF=F，∴平面SAB∥平面DEF，又SG平面SAB，∴SG∥平面DEF.題型二平面與平面平行的鑒定與性質(zhì)如圖所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一點，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.由面面平行的鑒定定理知只需證BD1、A1B平行于平面ADC1,已知A1B∥平面AC1D,則只需證BD1∥平面ADC1.【例2】證明連結(jié)A1C交AC1于點E，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴E是A1C的中點，連結(jié)ED，∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D=ED，∴A1B∥ED，∵E是A1C的中點，∴D是BC的中點.又∵D1是B1C1的中點.∴BD1∥C1D，又∵C1D

平面AC1D，∴BD1∥平面AC1D，又A1B∩BD1=B，∴平面A1BD1∥平面AC1D.證明面面平行的辦法有：（1）面面平行的定義；（2）面面平行的鑒定定理：如果一種平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一種平面，那么這兩個平面平行；（3）運用垂直于同一條直線的兩個平面平行；（4）兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；（5）運用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的互相轉(zhuǎn)化.知能遷移2如圖所示，已知ABCD—

A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E

在AA1上，點F在CC1上，G在BB1上，且AE=FC1=B1G=1，H是B1C1的中點.（1）求證：E、B、F、D1四點共面；（2）求證：平面A1GH∥平面BED1F.證明（1）連結(jié)FG.∵AE=B1G=1，∴BG=A1E=2，∴BGA1E，∴A1G∥BE.又∵C1FB1G，∴四邊形C1FGB1是平行四邊形，∴∴FG

C1B1

D1A1，∴四邊形A1GFD1是平行四邊形.∴A1GD1F，∴D1FEB，故E、B、F、D1四點共面.（2）∵H是B1C1的中點，∴B1H=.

且∠FCB=∠GB1H=90°，∴△B1HG∽△CBF，∴∠B1GH=∠CFB=∠FBG，∴HG∥FB.又由（1）知，A1G∥BE，且HG∩A1G=G，F(xiàn)B∩BE=B，∴平面A1GH∥平面BED1F.題型三線面、面面平行的綜合應(yīng)用（12分）如圖所示，平面α∥平面β,點A∈α,C∈α,點B∈β，D∈β,點E,F分別在線段AB,CD上，且AE∶EB=CF∶FD.（1）求證：EF∥β;（2）若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長.將異面問題轉(zhuǎn)化為平面問題，普通是構(gòu)造平行線或構(gòu)造三角形.（1）證明①當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時，由α∥β，平面α∩平面ABDC=AC，平面β∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD，［2分］∵AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD，又EF

β,BD

β,∴EF∥β.［4分］②當(dāng)AB與CD異面時，設(shè)平面ACD∩β=DH，且DH=AC.∵α∥β，α∩平面ACDH=AC，∴AC∥DH，∴四邊形ACDH是平行四邊形，［6分］在AH上取一點G，使AG∶GH=CF∶FD，解題示范又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，又EG∩GF=G，∴平面EFG∥平面β.∵EF平面EFG，∴EF∥β.綜上，EF∥β.［8分］（2）解如圖所示，連接AD，取AD的中點M，連接ME，MF.∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，∴ME∥BD，MF∥AC，∴∠EMF為AC與BD所成的角（或其補角），∴∠EMF=60°或120°，［10分］在△EFM中由余弦定理得，

面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用問題，往往涉及面面平行的鑒定、線面平行的鑒定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用.解題時，要精確地找到解題的切入點，靈活地運用有關(guān)定理來解決問題，注意三種平行關(guān)系之間的互相轉(zhuǎn)化.［12分］知能遷移3如圖所示，直四棱柱ABCD—

A1B1C1D1底面是邊長為α的菱形，且∠ABC=60°，AA1=a，E為CD的中點，

O為AC1的中點.（1）求證：OE∥面B1BCC1；（2）求二面角A—BO—D的大小.（1）證明連結(jié)B1C，BC1交于F，連結(jié)OF，CF

∴OF∥CE且OF=CE,∴OFCE為平行四邊形，∴OE∥CF.∵CF

面B1C1CB,∴OE∥面B1C1CB,（2）解連結(jié)BD，AC交于G，連結(jié)OG，則OG∥C1C，∴OG⊥面ABCD，∴面ODB⊥面DAB.又AG⊥BD，∴AG⊥面BOD，作AK⊥BO，K是垂足，連結(jié)GK，則GK⊥OB（三垂線定理的逆定理）.則∠AKG是所求二面角的平面角，辦法與技巧1.平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系2.直線與平面平行的重要鑒定辦法（1）定義法；（2）鑒定定理；（3）面與面平行的性質(zhì).思想辦法感悟提高3.平面與平面平行的重要鑒定辦法（1）定義；（2）鑒定定理；（3）推論；（4）a⊥α,a⊥βα∥β.失誤與防備1.在推證線面平行時，一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會出現(xiàn)錯誤.2.能夠考慮向量的工具性作用，能用向量解決的盡量應(yīng)用向量解決，可使問題簡化.一、選擇題1.給出下列有關(guān)互不相似的直線l、m、n和平面α、β、γ的三個命題:①若l與m為異面直線，lα,mβ,則α∥β；②若α∥β，lα,mβ,則l∥m;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,則m∥n.其中真命題的個數(shù)為()A.3B.2C.1D.0定時檢測解析①中當(dāng)α與β不平行時，也能存在符合題意的l、m.②中l(wèi)與m也可能異面.同理l∥n,則m∥n,對的.答案C2.一條直線l上有相異三個點A、B、C到平面α的距離相等，那么直線l與平面α的位置關(guān)系是()A.l∥αB.l⊥αC.l與α相交但不垂直D.l∥α或lα解析l∥α?xí)r，直線l上任意點到α的距離都相等，lα?xí)r，直線l上全部的點到α的距離都是0，l⊥α?xí)r，直線l上有兩個點到α距離相等，l與α斜交時，也只能有兩點到α距離相等，故選D.D3.已知直線m,n及平面α，其中m∥n,那么在平面α內(nèi)到兩條直線m,n距離相等的點的集合可能是①一條直線；②一種平面；③一種點；④空集.其中對的的是 ()A.①②③B.①④C.①②④D.②④解析當(dāng)m,n都在α內(nèi)時，是一條直線.當(dāng)m,n分別在α的兩側(cè)都平行于α且到α的距離相等時，是一種平面.當(dāng)m,n都平行于α，但到α的距離不相等時，是空集，任何時候都不可能只有一種點滿足條件.C4.（2009·福建，理7文10）設(shè)m,n是平面α內(nèi)的兩條不同直線,l1,l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α∥β的一種充足而不必要條件是()A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2C.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥l2解析如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AB∥面A1B1CD,CD∥面A1B1BA，但面A1B1CD與面A1B1BA相交，故A不對的；取AD中點為E，BC中點為F，則EF∥面ABB1A1，C1D1∥面ABB1A1，但面ABB1A1與面EFC1D1不平行,故C不對；即使EF∥AB且C1D1∥面A1B1BA,但是面EFC1D1與面A1B1BA不平行，故D不對的.對于選項B，當(dāng)l1∥m,l2∥n且mα,nα?xí)r，有l(wèi)1∥α,l2∥α.又l1與l2相交且都在β內(nèi)，∴α∥β時，無法推出m∥l1且n∥l2.∴l(xiāng)1∥m且l2∥n是α∥β的充足不必要條件.答案B5.已知平面α∥平面β，P是α、β外一點，過點P的直線m與α、β分別交于A、C，過點P的直線n與α、β分別交于B、D且PA=6,AC=9，PD=8，則BD的長為 ()A.16B.C.14D.20解析根據(jù)題意可出現(xiàn)下列如圖兩種狀況：可求出BD的長分別為.B6.（2008·湖南理，5）設(shè)有直線m、n和平面α、β.下列四個命題中，對的的是()A.若m∥α,n∥α,則m∥nB.若mα，nα,m∥β,n∥β,則α∥βC.若α⊥β，mα，則m⊥βD.若α⊥β,m⊥β,mα,則m∥α解析若α∥β，mβ，nβ，可知m∥α,n∥α,但m與n能夠相交，因此A不對；若m∥n,即使有mα,nα,m∥β,n∥β,α與β也可以相交，因此B不對；若α⊥β，α中仍有不與β垂直的直線，例如α與β的交線，故C不對；若α⊥β,則在α中可作與β垂直的直線n,又m⊥β，則m∥n，又mα，因此m∥α，故D對的.D二、填空題7.過長方體ABCD—A1B1C1D1的任意兩條棱的中點作直線，其中能夠與平面ACC1A1平行的直線有條.解析如圖所示，與AC平行的直線有4條，與AA1平行的直線有4條,連接MN，則MN∥面ACC1A1，這樣的直線也有4條（涉及MN），共12條.128.到空間不共面的四點距離相等的平面有個.解析以下圖分類，一類如圖(1)將四點視為三棱錐四個頂點,取棱中點,能夠做如圖(1)平面平行于三棱錐的底面，并到另一頂點距離與底面距離相等，這樣的平面有4個；另一類如圖(2)取各段中點，四個點形成平面平行于三棱錐相對棱，這樣的平面有3個，共7個.（1）（2）79.如圖所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1

中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、

D1D、DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M滿足條件

時，有MN∥平面B1BDD1.解析由題意，HN∥面B1BDD1，

FH∥面B1BDD1.∴面NHF∥面B1BDD1.∴當(dāng)M在線段HF上運動時，有MN∥面B1BDD1.M∈線段HF三、解答題10.如圖所示，已知P、Q是單位正方體ABCD—A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心.證明：PQ∥平面BCC1B1.證明辦法一如圖①取B1B中點E，BC中點F，連結(jié)PE、QF、EF，∵△A1B1B中，P、E分別是A1B、B1B的中點,∴PEA1B1.同理QFAB.∴PQ∥EF.又PQ平面BCC1B1，EF平面BCC1B1，∴PQ∥平面BCC1B1.辦法二如圖②，連結(jié)AB1，B1C