(理解復(fù)數(shù)的基本概念/理解復(fù)數(shù)相等的充要條件/理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表達(dá)法及其幾何意義/掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算/理解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義)第十一單元數(shù)系的擴(kuò)推理與證明11.1復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1．虛數(shù)單位i (1)它的平方等于－1，即i2＝－1； (2)實(shí)數(shù)能夠與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時， 原有加、乘運(yùn)算律仍然成立．2．復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，a叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫復(fù)數(shù)的虛部．全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表達(dá)．3．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：復(fù)數(shù)普通用字母z表達(dá)，即z＝a＋bi(a，b∈R)，把復(fù)數(shù)表達(dá)成a＋bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．4．復(fù)數(shù)的分類：對于復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時，復(fù)數(shù)a＋bi(a、b∈R)是實(shí)數(shù)a；當(dāng)b≠0時，復(fù)數(shù)z＝a＋bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a＝0且b≠0時，z＝bi叫做純虛數(shù)．5．兩個復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等．6．復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：如圖，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)與有序?qū)崝?shù)對(a，b)是一一對應(yīng)關(guān)系．這是由于對于任何一種復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)，由復(fù)數(shù)相等的定義可知，能夠由一種有序?qū)崝?shù)對(a，b)唯一擬定，復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)可用點(diǎn)Z(a，b)表達(dá)，這個建立了直角坐標(biāo)系來表達(dá)復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸．實(shí)軸上的點(diǎn)都表達(dá)實(shí)數(shù)．除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表達(dá)純虛數(shù)．二、復(fù)數(shù)的運(yùn)算1．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，則 (1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. (2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. (3)(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i. (4)(a＋bi)÷(c＋di)＝ .2．復(fù)數(shù)的加法乘法運(yùn)算律 (1)z1＋z2＝z2＋z1. (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． (3)z1z2＝z2z1. (4)z1(z2z3)＝(z1z2)z3. (5)z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.3．虛數(shù)單位i的乘方 i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.(其中n∈Z)1．設(shè)a是實(shí)數(shù)，且是實(shí)數(shù)，則a等于() A. B．1 C. D．2 答案：B2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限 解析：＝1－i，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)(1，－1)在第四象限． 答案：D3．(2010·開封高三月考)復(fù)數(shù)＝() A．－1 B．1 C．－i D．i 解析： ＝－1. 答案：A4．復(fù)數(shù)(1－i)3的虛部為() A．3 B．－3 C．2 D．－2 解析：(1－i)3＝－2i(1－i)＝－2－2i.則復(fù)數(shù)(1－i)3的虛部為－2. 答案：D5．復(fù)數(shù)的值是________． 解析：

答案：

1.根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，通過其實(shí)部和虛部可判斷一種復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，還是虛數(shù)．2．復(fù)數(shù)z＝a＋bi，a∈R，b∈R與復(fù)平面上的點(diǎn)Z(a，b)是一一對應(yīng)的，通過復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部可判斷出其對應(yīng)點(diǎn)在復(fù)平面上的位置．【例1】已知復(fù)數(shù)z與(z＋2)2－8i均是純虛數(shù)，則z＝______. 解析：設(shè)z＝ai，a∈R且a≠0，則(z＋2)2－8i＝4－a2＋(4a－8)i.

∵(z＋2)2－8i是純虛數(shù)，∴4－a2＝0且4a－8≠0.解得a＝－2. 因此z＝－2i.答案：－2i變式1.復(fù)數(shù)z＝(m∈R，i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)

不可能位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限 解析：解法一：z＝

顯然＞0與－＞0不可能同時成立， 則z＝對應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限．解法二：z＝設(shè)x＝，y＝，則2x＋y＋2＝0又直線2x＋y＋2＝0但是第一象限，則z＝對應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限．答案：A復(fù)數(shù)的加減乘法運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的加減乘法運(yùn)算，而復(fù)數(shù)的除法是通過分母的實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算．【例2】已知z＝1＋i，＝1－i，求實(shí)數(shù)a、b的值． 解答：由＝1－i，把z＝1＋i代入得 ＝1－i，

∴＝1－i. ∴(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i， ∴ 得變式2.求值：(1) (2) 解答：(1)原式＝ ＝ (2)設(shè)ω＝－，則ω3＝1，＝ωi. ∴原式＝(ωi＋ω)8＝ω8(1＋i)8＝ω6×ω2(2i)4＝16ω2＝1.運(yùn)用代數(shù)形式進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算普通辦法就是運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開．2．在進(jìn)行復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算時要注意下列特殊結(jié)論的應(yīng)用： (1)虛數(shù)單位i的乘方；(2)(1±i)2＝±2i； (3)1的三次虛根的乘方．【例3】(1)復(fù)數(shù)()10的值是() A．－1 B．1 C．－32 D．32 解析：本小題重要考察復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及虛數(shù)單位的性質(zhì)．

答案：A(2)復(fù)數(shù)的值是()A．－16 B．16 C． D.解析：本小題重要考察復(fù)數(shù)的運(yùn)算. ＝答案：A【辦法規(guī)律】1．復(fù)數(shù)能夠用代數(shù)形式，復(fù)平面中的點(diǎn)表達(dá)，還能夠用三角形式和向量表 示等，要注意數(shù)形結(jié)合思想辦法的運(yùn)用．2．能夠用復(fù)數(shù)相等的定義，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題來解決．3．普通兩個復(fù)數(shù)不存在大小關(guān)系(除非兩個復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù))這也是復(fù)數(shù)與實(shí) 數(shù)的區(qū)別之一．在數(shù)系擴(kuò)充后有關(guān)實(shí)數(shù)的某些結(jié)論在復(fù)數(shù)范疇內(nèi)未必成 立．如實(shí)數(shù)中a2＋b2＝0的充要條件是a＝b＝0，在復(fù)數(shù)集中不一定成立．4．復(fù)數(shù)的加、減、乘法運(yùn)算類似多項(xiàng)式的運(yùn)算，虛數(shù)單位的乘方成果呈周 期性的變化，復(fù)數(shù)的除法通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算．5．對于簡樸的復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算，能夠運(yùn)用二項(xiàng)式定理進(jìn)行運(yùn)算，特殊的可利 用：(1)(1±i)2＝±2i； (2)若ω＝， 則ω3n＝1，ω3n＋1＝ω，ω3n＋2＝，n∈N.6．在復(fù)數(shù)集中分解因式，對于x的多項(xiàng)式，都可分解為x的一次因式，分解 因式與對應(yīng)方程解的關(guān)系與實(shí)數(shù)集中分解因式與對應(yīng)方程解的關(guān)系是同樣的．7．可運(yùn)用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義進(jìn)行復(fù)數(shù)的開平方運(yùn)算.(本題滿分4分)已知＝1－ni，其中m，n是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則m＋ni等于()A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i【答題模板】解析：由＝1－ni，得＝1－