2025年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)4?a3＝a6 B．2a+3b＝6ab C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b22．（3分）我國古代有很多關(guān)于數(shù)學(xué)的偉大發(fā)現(xiàn)，其中包括很多美麗的圖案，下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）2025年2月7日至2月14日第九屆亞冬會(huì)在哈爾濱市舉辦，本屆亞冬會(huì)的吉祥物是一對可愛的東北虎“濱濱”和“妮妮”．某專賣店“濱濱”和“妮妮”套盒紀(jì)念品連續(xù)六天的銷售量（單位：套）分別為：136，140，129，180，136，154，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．136，136 B．138，136 C．136，129 D．136，1384．（3分）一個(gè)由若干個(gè)大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖和俯視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少是（）A．7 B．8 C．6 D．55．（3分）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車已經(jīng)逐漸成為人們喜愛的交通工具．某品牌新能源汽車的月銷售量由一月份的8000輛增加到三月份的12000輛，設(shè)該汽車一月至三月銷售量平均每月增長率為x，則可列方程為（）A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝120006．（3分）已知關(guān)于x的分式方程x+kx-A．k＜﹣4 B．k＞﹣4 C．k＜﹣4且k≠-43 D．k＞﹣4且7．（3分）為促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，某校計(jì)劃用1200元購買足球和籃球用于課外活動(dòng)，其中足球80元/個(gè)，籃球120元/個(gè)，共有多少種購買方案（）A．6 B．7 C．4 D．58．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)B都在雙曲線y=kx（k≠0）上，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣1，∠AOB＝∠ABO＝45°，則A．2 B．-52 C．5-19．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，點(diǎn)D、E分別在邊AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，連接DE，點(diǎn)M、N分別是AC、DE的中點(diǎn)，連接MN，則MN的長度為（）A．52 B．125 C．2 D10．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F在BC邊上（不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)E在CB的延長線上，且BE＝BF，連接AC、AE、AF，過點(diǎn)E作EG⊥AF于點(diǎn)G，分別交AB、AC、DC于點(diǎn)M、H、N．則下列結(jié)論：①M(fèi)N＝AF；②∠EAH＝∠EHA；③EN?BF＝EC?HN；④若BF：FC＝3：4，則tan∠FAC=25；⑤圖中共有A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤二、填空題（每小題3分，共30分）11．（3分）電影《哪吒之魔童鬧海》自上映以來，好評如潮，截至2025年4月22日，總票房已超157億元，再次刷新中國電影票房紀(jì)錄．將數(shù)據(jù)157億用科學(xué)記數(shù)法表示為．12．（3分）在函數(shù)y=1x+3中，自變量x的取值范圍是13．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請?zhí)砑右粋€(gè)條件，使平行四邊形ABCD為菱形．14．（3分）如圖，隨機(jī)閉合開關(guān)K1、K2、K3中的兩個(gè)，能讓兩盞燈泡L1、L2同時(shí)發(fā)光的概率為．15．（3分）關(guān)于x的不等式組2x-3≤0x-a＞016．（3分）如圖，PA、PB是圓O的切線，A、B為切點(diǎn)，AC是直徑，∠BAC＝35°，∠P＝．17．（3分）若圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐側(cè)面展開圖的面積為．18．（3分）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝9，點(diǎn)M是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接AM、BM、CM，若CM＝3，則AM+13BM的最小值為19．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)P，若PE⊥AC，則CF的長為．20．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-12x+3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．四邊形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，A3A4B4C4，?都是正方形，頂點(diǎn)A1，A2，A3，A4，?都在x軸上，頂點(diǎn)B1，B2，B3，B4，?都在直線y=-12x+3上，連接BA1，B1A2，B2A3，B3A4，?分別交C1B1，C2B2，C3B3，C4B4，?于點(diǎn)D1，D2，D3，D4，?．設(shè)△BB1D1，△B1B2D2，△B2B3D3，△B3B4D4，?的面積分別為S1，S2，S3，S4，?，則S2025三、解答題（滿分60分）21．（5分）先化簡，再求值：1a2-1?a2-222．（6分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，﹣1），B（1，﹣3），C（3，﹣4）．（1）將△ABC向上平移5個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，得到△A1B1C1，畫出兩次平移后的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；（2）畫出△A1B1C1繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C2，并寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)C1旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C2的過程中，所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）．23．（6分）如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣4）．（1）求b與c的值．（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PBC的面積與△ABC的面積相等．若存在，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．24．（7分）2025年6月5日是中國的第11個(gè)環(huán)境日，育華中學(xué)八年級(jí)學(xué)生積極參加公益活動(dòng)，為了解活動(dòng)時(shí)間（單位：h），張老師隨機(jī)抽取了該校八年級(jí)m名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，用得到的數(shù)據(jù)繪制出如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：（1）m＝，扇形統(tǒng)計(jì)圖中a＝，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求參加公益活動(dòng)時(shí)間為7h所對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)；（3）若育華中學(xué)八年級(jí)共有學(xué)生1200人，請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)育華中學(xué)八年級(jí)參加公益活動(dòng)的時(shí)間是10h的學(xué)生有多少人？25．（8分）一條公路上依次有A、B、C三地，一輛轎車從A地出發(fā)途經(jīng)B地接人，停留一段時(shí)間后原速駛往C地；一輛貨車從C地出發(fā)，送貨到達(dá)B地后立即原路原速返回C地（卸貨時(shí)間忽略不計(jì)）．兩車同時(shí)出發(fā)，轎車比貨車晚13h到達(dá)終點(diǎn)，兩車均按各自速度勻速行駛．如圖是轎車和貨車距各自出發(fā)地的距離y（單位：km）與轎車的行駛時(shí)間x（單位：h（1）圖中a的值是，b的值是；（2）在貨車從B地返回C地的過程中，求貨車距出發(fā)地的距離y（單位：km）與行駛時(shí)間x（單位：h）之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出轎車出發(fā)多長時(shí)間與貨車相距40km．26．（8分）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，設(shè)∠BAC＝α，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α至AE，連接DE、BE，過點(diǎn)E作EF⊥BC，交直線BC于點(diǎn)F．探究如下：（1）若α＝60°時(shí)，如圖①，點(diǎn)D在CB延長線上時(shí)，易證：BF＝DF+BC；如圖②，點(diǎn)D在BC延長線上時(shí)，試探究線段BF、DF、BC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論，并說明理由．（2）若α＝120°，點(diǎn)D在CB延長線上時(shí)，如圖③，猜想線段BF、DF、BC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論，不需要證明．27．（10分）2024年8月6日，第十二屆世界運(yùn)動(dòng)會(huì)口號(hào)“運(yùn)動(dòng)無限，氣象萬千”在京發(fā)布，吉祥物“蜀寶”和“錦仔”亮相．第一中學(xué)為鼓勵(lì)學(xué)生積極參加體育活動(dòng)，準(zhǔn)備購買“蜀寶”和“錦仔”獎(jiǎng)勵(lì)在活動(dòng)中表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生．已知購買3個(gè)“蜀寶”和1個(gè)“錦仔”共需花費(fèi)332元，購買2個(gè)“蜀寶”和3個(gè)“錦仔”共需380元．（1）購買一個(gè)“蜀寶”和一個(gè)“錦仔”分別需要多少元？（2）若學(xué)校計(jì)劃購買這兩種吉祥物共30個(gè)，投入資金不少于2160元又不多于2200元，有哪幾種購買方案？（3）設(shè)學(xué)校投入資金W元，在（2）的條件下，哪種購買方案需要的資金最少？最少資金是多少元？28．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，tan∠COA=3，OA的長是一元二次方程x2﹣3x﹣18＝0的根，過點(diǎn)C作CQ⊥OA交OA于點(diǎn)Q，交對角線OB于點(diǎn)P．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O以每秒1個(gè)單位長度的速度沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B以每秒3個(gè)單位長度的速度沿BO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（1）求點(diǎn)P坐標(biāo)；（2）連接MN、PM，求△PMN的面積S關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)解析式；（3）當(dāng)t＝3時(shí)，在對角線OB上是否存在一點(diǎn)E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形．若存在，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

2025年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案CBDABACDAC一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)4?a3＝a6 B．2a+3b＝6ab C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b2【分析】利用平方差公式，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪乘法，積的乘方法則逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：a4?a3＝a7，則A不符合題意，2a與3b不是同類項(xiàng)，無法合并，則B不符合題意，（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9，則C符合題意，（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2，則D不符合題意，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查平方差公式，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪乘法，積的乘方，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（3分）我國古代有很多關(guān)于數(shù)學(xué)的偉大發(fā)現(xiàn)，其中包括很多美麗的圖案，下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義解答即可．【解答】解：A．圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；B．圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，符合題意；C．圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；D．圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形，熟知一個(gè)圖形繞著某固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原來的圖形重合，則稱這個(gè)圖形是中心對稱圖形；如果一個(gè)圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠重合，則稱這個(gè)圖形是軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸是解題的關(guān)鍵．3．（3分）2025年2月7日至2月14日第九屆亞冬會(huì)在哈爾濱市舉辦，本屆亞冬會(huì)的吉祥物是一對可愛的東北虎“濱濱”和“妮妮”．某專賣店“濱濱”和“妮妮”套盒紀(jì)念品連續(xù)六天的銷售量（單位：套）分別為：136，140，129，180，136，154，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．136，136 B．138，136 C．136，129 D．136，138【分析】將這組數(shù)據(jù)重新排列，再根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可．【解答】解：將這組數(shù)據(jù)重新排列為129，136，136，140，154，180，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為136，中位數(shù)為136+1402=故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)和中位數(shù)的定義．4．（3分）一個(gè)由若干個(gè)大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖和俯視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少是（）A．7 B．8 C．6 D．5【分析】在俯視圖中標(biāo)出正方體的個(gè)數(shù)即可得出答案．【解答】解：如圖所示：組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少是：1+1+1+2+2＝7．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，同時(shí)也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案．5．（3分）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車已經(jīng)逐漸成為人們喜愛的交通工具．某品牌新能源汽車的月銷售量由一月份的8000輛增加到三月份的12000輛，設(shè)該汽車一月至三月銷售量平均每月增長率為x，則可列方程為（）A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以列出相應(yīng)的方程．【解答】解：由題意可得，8000（1+x）2＝12000，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．6．（3分）已知關(guān)于x的分式方程x+kx-A．k＜﹣4 B．k＞﹣4 C．k＜﹣4且k≠-43 D．k＞﹣4且【分析】首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求出解關(guān)于k的表達(dá)式，再結(jié)合解為負(fù)數(shù)及分母不為零的條件確定k的范圍．【解答】解：x+得x+3得x+3k＝3x﹣12，解得：x=根據(jù)題意，解x=即3k+12＜0，解得：k＜﹣4，∵分母x﹣4≠0，即x≠4，即3k解得：k≠-∴k＜﹣4，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的解，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)算．7．（3分）為促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，某校計(jì)劃用1200元購買足球和籃球用于課外活動(dòng)，其中足球80元/個(gè)，籃球120元/個(gè)，共有多少種購買方案（）A．6 B．7 C．4 D．5【分析】設(shè)購買x個(gè)足球，y個(gè)籃球，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x，y均為正整數(shù)，即可得出共有4種購買方案．【解答】解：設(shè)購買x個(gè)足球，y個(gè)籃球，根據(jù)題意得：80x+120y＝1200，∴y＝10-23又∵x，y均為正整數(shù)，∴x=3y=8或x=6y∴共有4種購買方案．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)B都在雙曲線y=kx（k≠0）上，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣1，∠AOB＝∠ABO＝45°，則A．2 B．-52 C．5-1【分析】過點(diǎn)A作MN∥x軸，交y軸于點(diǎn)N，作BM⊥MN，垂足為M，先證明△BMA≌△ANO（AAS），利用全等三角形性質(zhì)得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作MN∥x軸，交y軸于點(diǎn)N，作BM⊥MN，垂足為M，∵∠AOB＝∠ABO＝45°，∴AB＝AO，∠BAO＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，在△BMA和△ANO中，∠MBA∴△BMA≌△ANO（AAS），∴AN＝BM＝1，ON＝AM，∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣1，∴A（﹣1，﹣k），∴ON＝AM＝﹣k，∴B（﹣1+k，﹣k﹣1），∵點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)圖象上，∴k＝（﹣1+k）（﹣1﹣k）＝1﹣k2，整理得k2+k﹣1＝0，解得k=-1+52故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，點(diǎn)D、E分別在邊AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，連接DE，點(diǎn)M、N分別是AC、DE的中點(diǎn)，連接MN，則MN的長度為（）A．52 B．125 C．2 D【分析】連接CD，取CD的中點(diǎn)M，連接MK，NK，由三角形中位線定理推出MK∥AB，NK∥BC，MK=12AD＝2，NK=12CE【解答】解：連接CD，取CD的中點(diǎn)M，連接MK，NK，∵點(diǎn)M、N分別是AC、DE的中點(diǎn)，∴MK、NK分別是△ACD和△DCE的中位線，∴MK∥AB，NK∥BC，MK=12AD，NK=∵AD＝4，CE＝3，∴MK＝2，NK=3∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∴MK⊥NK，∴∠MKN＝90°，∴MN=M故選：A．【點(diǎn)評】本題考查三角形中位線定理，勾股定理，關(guān)鍵是由三角形中位線定理推出MK∥AB，NK∥BC，MK=12AD，NK=10．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F在BC邊上（不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)E在CB的延長線上，且BE＝BF，連接AC、AE、AF，過點(diǎn)E作EG⊥AF于點(diǎn)G，分別交AB、AC、DC于點(diǎn)M、H、N．則下列結(jié)論：①M(fèi)N＝AF；②∠EAH＝∠EHA；③EN?BF＝EC?HN；④若BF：FC＝3：4，則tan∠FAC=25；⑤圖中共有A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤【分析】根據(jù)題意容易證明△AEB≌△AFB（SAS），從而可得∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE＝α，進(jìn)而可得∠EAH＝∠AHE，從而可得②正確，過點(diǎn)B作BK∥EN，交CD于點(diǎn)K，構(gòu)造△ABF≌∠BCK（AAS），結(jié)合四邊形BMNK是平行四邊形可得MN＝BK＝AF，可得①正確，再利用角關(guān)系證明△NEC﹣△BAF，△AEC﹣△HNC，可得EN?BF＝CN?AF＝CN?AE＝EC?HN，從而得出結(jié)論③正確，過點(diǎn)F作FP⊥AC，設(shè)BF＝3x，由BF：FC＝3：4可得FC＝4x，解三角形求出PF=22x，AP=52x從而求出tan∠FAC=PFAP=25故結(jié)論【解答】解：如圖1，過點(diǎn)B作BK∥EN，交CD于點(diǎn)K，在正方形ABCD中，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°，AB∥CD，∴△ABC、△ADC是等腰三角形，又BE＝BF，AB＝AB，∴△AEB≌△AFB（SAS），∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE，∠BAE＝∠BAF，∴△AEF是等腰三角形，∵EG⊥AF，∴∠NEC+∠AFE＝90°，又∵∠BAF+∠AFE＝90°，∴∠NEC＝∠BAF，∵BK∥EN，∴∠KBC＝∠NEC，∠BKC＝∠ENC，∴∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE，設(shè)∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE＝α，∵∠EAH＝∠BAE+∠BAC＝α+45°，∠AHE＝∠HEC+∠ACB＝α+45°，∴∠EAH＝∠AHE，故結(jié)論②正確；∴EA＝EH，即△AEH是等腰三角形，∵在△ABF和△BCK中，AB=∴△ABF≌∠BCK（AAS），∴BK＝AF，∠CKB＝∠AFE＝∠AEF＝90°﹣α，∵BK∥EN，AB∥CD，∴四邊形BMNK是平行四邊形，∴MN＝BK，∴MN＝AF，故結(jié)論①正確，∵∠NEC＝∠BAF，∠BCD＝∠ABC＝90°，∴△NEC﹣△BAF，∴ENAF∴EN?BF＝CN?AF，∵∠EAH＝∠AHE＝∠CHN＝45°+α，∠ACE＝∠ACN＝45°，∴△AEC∽△HNC，∴AEHN∴CN?AE＝EC?HN，∵AE＝AF，∴CN?AF＝EC?HN，∴EN?BF＝EC?HN，故結(jié)論③正確，過點(diǎn)F作FP⊥AC，如圖2；設(shè)BF＝3x，由BF：FC＝3：4可得FC＝4x，AB＝BC＝7x，∴AF2＝AB2+BF2＝（7x）2+（3x）2＝58x2，∵PF∴AP=AF2-∴tan∠故結(jié)論④正確，∠CNE＝90°﹣α，∠CHN＝∠AHE＝α+45°，α＜45°，∴∠CNE不一定等于∠CHN，α＜45°，∴△CNH不一定是等腰三角形，故等腰三角形有△ABC、△ADC、△AEF、△AEH，共四個(gè)，故結(jié)論⑤錯(cuò)誤，綜上所述：正確結(jié)論有①②③④．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了正方形性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、解三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是利用垂直證明角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似．二、填空題（每小題3分，共30分）11．（3分）電影《哪吒之魔童鬧?！纷陨嫌骋詠恚迷u如潮，截至2025年4月22日，總票房已超157億元，再次刷新中國電影票房紀(jì)錄．將數(shù)據(jù)157億用科學(xué)記數(shù)法表示為1.57×1010．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：157億1.57×1010．故答案為：1.57×1010．【點(diǎn)評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．12．（3分）在函數(shù)y=1x+3中，自變量x的取值范圍是x≠﹣【分析】讓分母不為0列式求值即可．【解答】解：由題意得：x+3≠0，解得：x≠﹣3，故答案為：x≠﹣3．【點(diǎn)評】本題考查求函數(shù)自變量的取值；解題的關(guān)鍵是掌握分式有意義，分母不為0．13．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請?zhí)砑右粋€(gè)條件AC⊥BD（答案不唯一），使平行四邊形ABCD為菱形．【分析】由菱形的判定方法，即可判斷．【解答】解：∵對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，∴添加一個(gè)條件AC⊥BD，使平行四邊形ABCD為菱形．故答案為：AC⊥BD（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，四條邊都相等的四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．14．（3分）如圖，隨機(jī)閉合開關(guān)K1、K2、K3中的兩個(gè)，能讓兩盞燈泡L1、L2同時(shí)發(fā)光的概率為13【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及能讓兩盞燈泡L1、L2同時(shí)發(fā)光的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：K1K2K3K1（K1，K2）（K1，K3）K2（K2，K1）（K2，K3）K3（K3，K1）（K3，K2）共有6種等可能的結(jié)果，其中能讓兩盞燈泡L1、L2同時(shí)發(fā)光的結(jié)果有：（K1，K3），（K3，K1），共2種，∴能讓兩盞燈泡L1、L2同時(shí)發(fā)光的概率為26故答案為：13【點(diǎn)評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．15．（3分）關(guān)于x的不等式組2x-3≤0x-a＞0恰有3個(gè)整數(shù)解，則a【分析】根據(jù)所給不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，得出關(guān)于a的不等式，據(jù)此可解決問題．【解答】解：由2x﹣3≤0得，x≤3由x﹣a＞0得，x＞a．因?yàn)榇瞬坏仁浇M恰有3個(gè)整數(shù)解，則這3個(gè)整數(shù)解為1，0，﹣1，所以﹣2≤a＜﹣1．故答案為：﹣2≤a＜﹣1．【點(diǎn)評】本題主要考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟知解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖，PA、PB是圓O的切線，A、B為切點(diǎn)，AC是直徑，∠BAC＝35°，∠P＝70°．【分析】由PA、PB是圓O的切線，得PA＝PB，PA⊥AC，則∠PAC＝90°，而∠BAC＝35°，則∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠BAC＝55°，所以∠P＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB＝70°，于是得到問題的答案．【解答】解：∵PA、PB是圓O的切線，∴PA＝PB，∵AC是⊙O的直徑，∠BAC＝35°，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°，∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，∴∠P＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB＝180°﹣55°﹣55°＝70°，故答案為：70°．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)、切線長定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，推導(dǎo)出PA＝PB及PA⊥AC是解題的關(guān)鍵．17．（3分）若圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐側(cè)面展開圖的面積為15π．【分析】先利用勾股定理計(jì)算出圓錐的母線長，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式求解．【解答】解：圓錐的母線長=32所以圓錐側(cè)面展開圖的面積=12×2π×3×5＝故答案為：15π．【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．18．（3分）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝9，點(diǎn)M是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接AM、BM、CM，若CM＝3，則AM+13BM的最小值為52【分析】在BC上取點(diǎn)G，使CG＝1，構(gòu)造出△MCG﹣△BCM，得MG=13BM，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出即當(dāng)M在AG【解答】解：在BC上取點(diǎn)G，使CG＝1，又∵BC＝9，CM＝3，CGCM又∵∠MCG＝∠MCB，∴△MCG∽△BCM，∴MGBM∴MG=∴AM+∴AG=∴AM+即當(dāng)M在AG上時(shí)，AM+13故答案為：52【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，勾股定理，解題關(guān)鍵構(gòu)造相似三角形轉(zhuǎn)化線段關(guān)系得出MG=19．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)P，若PE⊥AC，則CF的長為3或9．【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，連接PC，交直線EF于點(diǎn)G，延長PE交AC于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)P在AC上方時(shí)，由勾股定理求出CD=63進(jìn)而得到CE=12CD=33由點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)P，得到PE=CE=33，∠EGC＝∠EGP＝90°，求出∠CEH＝∠CAD＝60°，進(jìn)而得到∠PEC＝120°，再求出∠CPE＝∠PCE=12（180°﹣∠PEC）＝30°，證明△CEF是等腰三角形，在Rt△CEH中，解直角三角形求出CH=92，進(jìn)而求解；當(dāng)點(diǎn)P在AC下方時(shí)，先求出\∠CEP＝60°，CH=92，結(jié)合對稱的性質(zhì)易證△【解答】解：如圖所示，連接PC，交直線EF于點(diǎn)G，延長PE交AC于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)P在AC上方時(shí)，∵在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝12，CD=點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，∴CE=∵點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)P，∴PE=CE=33，∠EGC＝∠∵PH⊥AC，∴∠EHC＝∠EHF＝90°，∠ACD＝30°，∠ACD+∠CEH＝∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CEH＝∠CAD＝60°，∴∠PEC＝120°，∵PE＝CE，∴∠CPE∵∠PEG＝∠FEH，∠EGP＝∠EHF＝90°，∴∠CPE＝∠EFC＝30°，∴△CEF是等腰三角形，CH=在Rt△CEH中，CE=3∠HCE＝30°，CH＝CE?cos∠HCE＝33×∴CF＝2CH＝9；如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AC下方時(shí)，∵PE⊥AC，∴∠CHE＝90°，∵∠ACD＝30°，∴∠CEP＝60°，CH＝CE?cos∠ACD＝33×由對稱的性質(zhì)得PE＝CE，∴△CEP是等邊三角形，∴∠P＝60°，CE＝PC＝PE＝33，∴∠HEF＝30°，EH=PH=∴CF＝CH﹣HF＝3；綜上，CF的長為3或9．故答案為：3或9．【點(diǎn)評】本題考查了對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．20．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-12x+3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．四邊形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，A3A4B4C4，?都是正方形，頂點(diǎn)A1，A2，A3，A4，?都在x軸上，頂點(diǎn)B1，B2，B3，B4，?都在直線y=-12x+3上，連接BA1，B1A2，B2A3，B3A4，?分別交C1B1，C2B2，C3B3，C4B4，?于點(diǎn)D1，D2，D3，D4，?．設(shè)△BB1D1，△B1B2D2，△B2B3D3，△B3B4D4，?的面積分別為S1，S2，S3，S4，?，則S2025【分析】根據(jù)一次函數(shù)的解析式可得點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），設(shè)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是(x1，-12x1+3)，根據(jù)正方形的四條邊都相等可得x1=-12x1+3，從而求出正方形OA1B1C1的邊長為2，根據(jù)正方形的對邊相互平行，可知△BC1D1∽△BOA1，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出C1D1=23，從而可得【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y=∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），∵點(diǎn)B1在直線y=設(shè)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是(x則點(diǎn)A1的坐標(biāo)是（x1，0），點(diǎn)C1的坐標(biāo)是(0，-∵四邊形OA1B1C1是正方形，∴OA1＝A1B1，OA1∥C1B1，∴x1解得：x1＝2，∴B1的坐標(biāo)是（2，2），∴正方形OA1B1C1的邊長為2，∴OC1＝OA1＝A1B1＝B1C1＝2，∴BC1＝BC﹣OC1＝3﹣2＝1，∵OA1∥C1B1，∴△BC1D1∽△BOA1，∴BC∴13解得：C1∴B1∴S△設(shè)點(diǎn)B2的坐標(biāo)為(x則點(diǎn)A2的坐標(biāo)是（x2，0），點(diǎn)C2的坐標(biāo)是(2，-∴A1A2＝x2﹣x1＝x2﹣2，∵四邊形A1A2B2C2是正方形，∴A1A1＝B2A2，A1A2∥C2B2，∴x2解得：x2∴A1∴B2的坐標(biāo)是(10∴A1∴B1∵A1A2∥C2B2，∴△B1C2D2∽△B1A1A2，∴B1∴23解得：C2∴B2∴S△∵B1的坐標(biāo)是（2，2），B2的坐標(biāo)是(10∴B1∵B1的坐標(biāo)是（2，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），∴BB∵B1D1∴B1又∵四邊形OA1B1C1和A1A2B2C2均為正方形，∴B1C1∥x軸，B2C2∥x軸，∴B1C1∥B2C2，∴∠BB1C1＝∠B1B2C2，∴△BB1D1∽△B1B2D2，且相似比為32∴S△∴當(dāng)S△BB同理可證△B1B2D2∽△B2B3D3，且相似比為32則S△…，∴S2025故答案為：(2【點(diǎn)評】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圖形的規(guī)律與探索，解決本題的關(guān)鍵是分別計(jì)算出△BB1D1和△B1B2D2的面積，根據(jù)這兩個(gè)三角形的形狀與面積之間的關(guān)系找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律得出結(jié)果．三、解答題（滿分60分）21．（5分）先化簡，再求值：1a2-1?a2-2【分析】先算乘法，再通分算加法，化簡后見a的值代入計(jì)算即可．【解答】解：1a2=1(a=a=2=2當(dāng)a＝2sin60°﹣1＝2×32-1原式=2【點(diǎn)評】本題考查分式化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)，把所求式子化簡．22．（6分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，﹣1），B（1，﹣3），C（3，﹣4）．（1）將△ABC向上平移5個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，得到△A1B1C1，畫出兩次平移后的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；（2）畫出△A1B1C1繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C2，并寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)C1旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C2的過程中，所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）．【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖，即可得出答案．（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖，即可得出答案．（3）利用勾股定理求出OC1的長，再利用弧長公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．由圖可得，點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（4，1）．（2）如圖，△A2B2C2即為所求．由圖可得，點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（﹣1，4）．（3）由勾股定理得，OC1=4∴點(diǎn)C1旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C2的過程中，所經(jīng)過的路徑長為90π【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣平移變換、作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換、弧長的計(jì)算，熟練掌握平移的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式是解答本題的關(guān)鍵．23．（6分）如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣4）．（1）求b與c的值．（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PBC的面積與△ABC的面積相等．若存在，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將一般式改寫為頂點(diǎn)式，再化為一般式即可求解b，c；（2）先確定△OBC為等腰直角三角形，過點(diǎn)B作x軸的垂線，在x軸上方的垂線上截取BD＝BA＝4，連接AD與BC交于點(diǎn)E，則D（5，4），通過三線合一得到BC⊥AD，ED＝EA，由三角形面積公式可得過點(diǎn)D作BC平行線與拋物線交點(diǎn)即為點(diǎn)P，然后求出直線PD解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣4），∴y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5，∴b＝﹣6，c＝5；（2）存在，理由如下：對于拋物線y＝x2﹣6x+5，當(dāng)y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5，當(dāng)x＝0，y＝5，∴OB＝OC＝5，AB＝5﹣1＝4，∵∠COB＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，過點(diǎn)B作x軸的垂線，在x軸上方的垂線上截取BD＝BA＝4，連接AD與BC交于點(diǎn)E，則D（5，4），∴∠DBC＝90°﹣∠OBC＝45°＝∠OBC，∴BC⊥AD，ED＝EA，過點(diǎn)D作BC平行線與拋物線交點(diǎn)即為點(diǎn)P，S△∴S△BCA＝S△BCP，設(shè)直線BC：y＝mx+n，則5m∴m=∴直線BC：y＝﹣x+5，∵BC∥PD，∴設(shè)直線PD：y＝﹣x+q，代入D（5，4）得：﹣5+q＝4，解得：q＝9，∴直線PD：y＝﹣x+9，與拋物線解析聯(lián)立得：y=整理得：x2﹣5x﹣4＝0，解得：x=5+41∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為5+412或【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，與面積類的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．24．（7分）2025年6月5日是中國的第11個(gè)環(huán)境日，育華中學(xué)八年級(jí)學(xué)生積極參加公益活動(dòng)，為了解活動(dòng)時(shí)間（單位：h），張老師隨機(jī)抽取了該校八年級(jí)m名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，用得到的數(shù)據(jù)繪制出如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：（1）m＝200，扇形統(tǒng)計(jì)圖中a＝30，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求參加公益活動(dòng)時(shí)間為7h所對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)；（3）若育華中學(xué)八年級(jí)共有學(xué)生1200人，請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)育華中學(xué)八年級(jí)參加公益活動(dòng)的時(shí)間是10h的學(xué)生有多少人？【分析】（1）用活動(dòng)6h的人數(shù)除以活動(dòng)6h所占百分比求出m，再用活動(dòng)8h的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可求出a，用總?cè)藬?shù)乘以9h的百分比求出9h的人數(shù)，補(bǔ)全條形圖；（2）360°×活動(dòng)7h所占百分比即可；（3）用總?cè)藬?shù)×活動(dòng)10h所占百分比即可．【解答】解：（1）抽取了該校八年級(jí)學(xué)生有：m＝20÷10%＝200（名），a%=60200×100%∴a＝30；故答案為：200，30；9h的人數(shù)為：200×25%＝50（名），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖：（2）360°×30200答：參加公益活動(dòng)時(shí)間為7h所對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)為54°；（3）1200×40200答：估計(jì)育華中學(xué)八年級(jí)參加公益活動(dòng)的時(shí)間是10h的學(xué)生有240人．【點(diǎn)評】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，用樣本估計(jì)總體，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．25．（8分）一條公路上依次有A、B、C三地，一輛轎車從A地出發(fā)途經(jīng)B地接人，停留一段時(shí)間后原速駛往C地；一輛貨車從C地出發(fā)，送貨到達(dá)B地后立即原路原速返回C地（卸貨時(shí)間忽略不計(jì)）．兩車同時(shí)出發(fā)，轎車比貨車晚13h到達(dá)終點(diǎn)，兩車均按各自速度勻速行駛．如圖是轎車和貨車距各自出發(fā)地的距離y（單位：km）與轎車的行駛時(shí)間x（單位：h（1）圖中a的值是300，b的值是2；（2）在貨車從B地返回C地的過程中，求貨車距出發(fā)地的距離y（單位：km）與行駛時(shí)間x（單位：h）之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出轎車出發(fā)多長時(shí)間與貨車相距40km．【分析】（1）觀察圖象，可知A、B兩地之間的距離，B、C兩地之間的距離，從而求出A、C兩地之間的距離，即a的值；根據(jù)速度＝路程÷時(shí)間求出轎車的速度，由時(shí)間＝路程÷速度求出轎車行駛的時(shí)間，再根據(jù)圖象列關(guān)于b的方程并求解即可；（2）求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)速度＝路程÷時(shí)間求出貨車的速度，進(jìn)而求出在貨車從B地返回C地的過程中y與x之間的函數(shù)解析式即可；（3）分別求出貨車到達(dá)B地之前、轎車到達(dá)B地至接人結(jié)束準(zhǔn)備繼續(xù)駛往C地時(shí)、轎車從B地開始駛往C地至貨車到達(dá)C地三處過程中兩車相距40km時(shí)對應(yīng)x的值即可．【解答】解：（1）由圖象可知，A、B兩地之間的距離為180km，B、C兩地之間的距離為120km，180+120＝300（km），∴a＝300，轎車的速度為180÷1.5＝120（km/h），300÷120＝2.5（h），根據(jù)圖象，得1.5+（3﹣b）＝2.5，解得b＝2．故答案為：300，2．（2）3-13=∴N（83，083÷2=4∴M（43，120貨車的速度為120÷43=90（kmy＝120﹣90（x-43）＝﹣90x∴在貨車從B地返回C地的過程中，求貨車距出發(fā)地的距離y（單位：km）與行駛時(shí)間x（單位：h）之間的函數(shù)解析式為y＝﹣90x+240（43≤x（3）當(dāng)0≤x≤43時(shí)，得（120+90）x+40＝解得x=26當(dāng)1.5≤x≤2時(shí)，得90（x-43）＝解得x=16當(dāng)2＜x≤83時(shí)，得180+120（x﹣2）+40﹣90x+240＝解得x=8∴出轎車出發(fā)2621h或169h或83h與貨車相距【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握時(shí)間、速度和路程之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．26．（8分）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，設(shè)∠BAC＝α，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α至AE，連接DE、BE，過點(diǎn)E作EF⊥BC，交直線BC于點(diǎn)F．探究如下：（1）若α＝60°時(shí)，如圖①，點(diǎn)D在CB延長線上時(shí)，易證：BF＝DF+BC；如圖②，點(diǎn)D在BC延長線上時(shí)，試探究線段BF、DF、BC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論，并說明理由．（2）若α＝120°，點(diǎn)D在CB延長線上時(shí)，如圖③，猜想線段BF、DF、BC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論，不需要證明．【分析】（1）①由AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，得到△ABC是等邊三角形，從而得到∠ABC＝∠BCA＝∠ACB＝60°，進(jìn)而推出∠BAE＝∠CAD，因此可證明△ABE≌△ACD（SAS），得到BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，求得∠EBF＝60°，因此BE＝2BF，由CD＝BD+BC＝BF+DF+BC即可得到結(jié)論BF＝DF+BC；②由AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，得到△ABC是等邊三角形，從而∠ABC＝∠BCA＝60°，進(jìn)而推出∠BAE＝∠CAD，因此可證明△ABE≌△ACD（SAS），得到BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝120°，求得∠BEF＝∠ABE﹣∠ABC＝60°，因此BE＝2BF，由CD＝BD﹣BC＝BF+DF﹣BC，即可得到結(jié)論BF＝DF﹣BC；（2）同（1）思路即可求解．【解答】（1）①證明：∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝∠ACB＝60°，∵∠BAC＝∠EAD＝α＝60°，∴∠BAC+∠BAD＝∠EAD+∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，∴在△ABE和△ACD中，AB=∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，∴∠EBF＝180°﹣∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵EF⊥BC，∴在Rt△BEF中，BE=∵CD＝BD+BC＝BF+DF+BC，CD＝BE＝2BF，∴2BF＝BF+DF+BC，∴BF＝DF+BC；②解：BF＝DF﹣BC，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝60°，∴∠ACD＝180°﹣∠BCA＝120°，∵4∠BAC＝∠EAD＝α＝60°，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAD，∴在△ABE和△ACD中，AB=∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝120°，∴∠EBF＝∠ABE﹣∠ABC＝120°﹣60°＝60°，∵EF⊥BC，∴在Rt△BEF中，BE=∵CD＝BD﹣BC＝BF+DF﹣BC，CD＝BE＝2BF，∴2BF＝BF+DF﹣BC，∴BF＝DF﹣BC；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝α＝120°，∴∠ABC∵∠BAC＝∠EAD＝α＝120°，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，即∠DAC＝∠EAB，∴在△ABE和△ACD中，AB=∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝30°∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝30°+30°＝60°，∵EF⊥BC，∴在Rt△BEF中，BE=∵CD＝BC﹣BD＝DF﹣BF+BC，CD＝BE＝2BF，∴2BF＝DF+BC﹣BF，∴3BF＝DF+BC．【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)