線性代數(shù)（慕課版）第2講齊次線性方程組(2)第4章

線性方程組01引例02齊次線性方程組解的性質03齊次線性方程組的基礎解系(1)04齊次線性方程組的基礎解系(2)本講內容04

齊次線性方程組的基礎解系(2)3若齊次線性方程組AX=0的有限個解??定義4.1滿足(i)線性無關；(ii)方程組的任一解都可由線性表示.則稱是AX=0的一個基礎解系.方程組AX=0的基礎解系存在，且基礎解系所含解向量設A是矩陣，則齊次線性??定理4.1的個數(shù)為n-r.04

齊次線性方程組的基礎解系(2)4(i)當

時，方程組有唯一零解；其中為基礎解系.(ii)當

時，方程組有無窮多解，其通解為??推論1設齊次線性方程組AX=0，其中A是矩陣.

有非零解的充要條件是|A|=0.??推論2n個未知量n個方程的齊次線性方程組AX=004

齊次線性方程組的基礎解系(2)5個解向量，自由未知量個數(shù)為3.解??例1如果五元線性方程組AX=0的同解方程組是則有r(A)=_______.自由未知量的個數(shù)為______個，AX=0的基礎解系有______個解向量.五元線性方程組AX=0的同解方程組是則，未知量個數(shù)是5，基礎解系中應有04

齊次線性方程組的基礎解系(2)6解要使都是線性方程組??例2AX=0的解，只要系數(shù)矩陣A為_______.程組AX=0的基礎解系存在，且基礎解系所含解向量的設A是矩陣，則齊次線性方??定理4.1個數(shù)為n-r.04

齊次線性方程組的基礎解系(2)7??例3已知是齊次線性方程組AX=0的一個(A)一個與等價的向量組(B)一個與等秩的向量組解對于選項(A)，一個與等價的向量組中向量個數(shù)若多于三個，則該向量組線性相關，不符合基礎解系線性無關的要求，(A)不對；基礎解系，則AX=0的基礎解系還可以表示為_______.04

齊次線性方程組的基礎解系(2)8對于選項(B)，一個與等秩的向量組中的向量不一定能保證是AX=0的解向量，故不能構成基礎解系；選項(D)中，由知，三個向量線性相關，不能構成基礎解系；事實上，選項(C)中的向量組構成AX=0的一個基礎解系滿足基礎解系的條件：(1)向量組中有三個向量；(3)每個向量均為解向量.(2)向量組線性無關；04

齊次線性方程組的基礎解系(2)9??定理4.1方程組AX=0的基礎解系存在，且基礎解系所含解向量的個數(shù)為n-r.設A是

矩陣，則齊次線性1.是解向量；??例4設為齊次線性方程組AX=0的一個基礎解系，也是AX=0的基礎解系.其中t1,t2為實常數(shù)，試問t1,t2滿足什么關系時，基礎解系3..2.線性無關；04

齊次線性方程組的基礎解系(2)10則.1.因為為的線性組合，解所以為AX=0的解；2.線性無關，設由線性無關得.04

齊次線性方程組的基礎解系(2)11若s為偶數(shù)，時；或s為奇數(shù)，時，方程組只有零解，故線性無關，從而構成AX=0的基礎解系.04

齊次線性方程組的基礎解系(2)12??例5設，且方程組AX=0的基礎解系中含有2個解向量，求AX=0的通解.解因為，所以.04

齊次線性方程組的基礎解系(2)13基礎解系中含有2個解向量，要使r(A)=2，則必有t=1.此時A04

齊次線性方程組的基礎解系(2)14其中c1,c2為任意常數(shù).同解方程組取得基礎解系方程組的通解為04

齊次線性方程組的基礎解系(2)15由已知，設所求齊次線性方程組為寫出一個x以為通解的齊次線性方程組，其中：??例6解1且A的一個行向量為則有04

齊次線性方程組的基礎解系(2)16即2則得基礎解系為自由未知量取a1,a2，令04

齊次線性方程組的基礎解系(2)173故所求方程組為04

齊次線性方程組的基礎解系(2)18由已知，設所求齊次線性方程組為求一個齊次線性方程組，使它的基礎解系為：??例7解4且所求的A為滿足題設要求的行數(shù)最少的矩陣,記則04

齊次線性方程組的基礎解系(2)195得基礎解系為是Ax=0的基礎解系由04

齊次線性方程組的基礎解系(2)206對應齊次線性方程組為故A可取為04

齊次線性方程組的基礎解系(2)21的系數(shù)行列式設方程組：??例8證7而A中的某元素aij的代數(shù)余子式證明：是該方程組的一個基礎解系.而A中存在一個n-1階子式04

齊次線性方程組的基礎解系(2)22從而原方程組的基礎解系所含向量8又而所以個數(shù)為即是原方程組的一個解.且是原方程組的一個基礎解系.04

齊次線性方程組的基礎解系(2)23設??例9解9而該方程組的系數(shù)矩陣A的秩為2，于是得04

齊次線性方程組的基礎解系(2)2410得則得基礎解系為自由未知量取x1,x4，令04

齊次線性方程組的基礎解系(2)2511于是，令此即為所求.04

齊次線性方程組的基礎解系(2)26??例10設n階矩陣A的各行元素之和均為零，且A的秩為n-1，則線性方程組AX=0的通解為_______.解由于A的秩為n-1，故AX=0的基礎解系中解向量的個數(shù)為1.由的各行元素之和均為零，給出因此為AX=0的解.于是AX=0的通解為，其中c為任意常數(shù).

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齊次線性方程組的基礎解系(2)27(配方問題)在化工、醫(yī)藥等行業(yè)經(jīng)常涉及配方問題，在不考慮各種成分之間可能發(fā)生的某些化學反應的前提下，配方問題可使用線性方程組的理論來求解.??例11設配方由四種原料A,B,C,D混合而成，現(xiàn)有2個配方.在第1個配方中，四種原料按重量的比例為2:3:1:1；在第2個配方中，四種原料按重量的比例為1:2:1:2；現(xiàn)在需要配制四種原料按重量的比例為4:7:3:5的第3配方.試研究第3個配方能否由第1、2配方按一定比例配制而成?04

齊次線性方程組的基礎解系(2)28解將第1、2、3配方的成分比例看作向量，令假設需要第1個配方x1份，第2個配方x2份以便配制成第3個配方x3份，則有線性方程組

，即，也即，04

齊次線性方程組的基礎解系