線性代數(shù)（慕課版）第8講矩陣的秩(1)第2章矩陣01矩陣秩的定義02矩陣秩的性質(zhì)本講內(nèi)容3??定義2.17在Am×n

中任取k行k列，位于這些行、列相交處的k2

個元素，按原次序組成的k階行列式，稱為矩陣A

的k

階子式.二階子式三階子式01

矩陣秩的定義4三階方陣A有

個1階子式，有

個2階子式，有

個3階子式.991??注2.矩陣的子式是行列式，而非矩陣.1.矩陣Am×n

共有

個k

階子式;

二階子式01

矩陣秩的定義5??k階子式在Am×n

中任取k行k

列，位于這些行、列相交處的k2

個元素，按原次序組成的k

階行列式，稱為矩陣A

的k

階子式.二階子式01

矩陣秩的定義6??余子式n

階行列式中,把元素aij

所在的第i行和第j列劃去,留下來的n-1階行列式稱為元素aij的余子式，記作Mij.??定義2.15矩陣A

的所有不等于零的子式的最高階數(shù)稱為矩陣A

的秩，記作r(A).顯然，若A≠O，r(O)=0；則r(A)>0.01

矩陣秩的定義7??例1解在秩是r的矩陣中，有沒有等于0的r-1階子式？01

矩陣秩的定義1有沒有等于0的r階子式？在秩是r的矩陣中等于0的r-1階子式可能有，也可能沒有；等于0的r階子式可能有，也可能沒有.例如的秩為2，有等于0的1階子式，但沒有等于0的2階子式；（1）801

矩陣秩的定義2的秩為2，沒有等于0的1階子式，也沒有等于0的2階子式；（2）的秩為2，有等于0的1階子式，也有等于0的2階子式；（3）的秩為2，沒有等于0的1階子式，但有等于0的2階子式.（4）9??例2解若A是m×n矩陣，則R(A)=r的充分必要條件是（）01

矩陣秩的定義3(A)A中有r階子式不等于零；(B)A中所有r+1階子式全都等于零；(C)A中非零子式的最高階數(shù)小于r+1；(D)A中非零子式的最高階數(shù)等于r.由矩陣秩的定義知，選D.10??例301

矩陣秩的定義4設(shè)階方陣若R(A)=n-1

，求a的值.11解01

矩陣秩的定義5解得由于R(A)=n-1，則01矩陣秩的定義02矩陣秩的性質(zhì)本講內(nèi)容13??性質(zhì)2.11(3)若有一個r階子式不為零，則若所有的r階子式全為零，則(4)n

階方陣A，當(dāng)|A|=n；≠0時，r(A)=n；≠0時，r(A)當(dāng)|A|??定義2.17若方陣A

的秩與其階數(shù)相等，則稱A

為滿秩矩陣，否則，稱矩陣A為降秩陣.02

矩陣秩的性質(zhì)14??性質(zhì)2.12對m×n矩陣A，存在r階子式不為零，而所有的r+1階子式全為零.的充要條件是A

中r(A)=r??例4已知02

矩陣秩的性質(zhì)15??例5解求作一個矩陣是4的方陣，它的兩個行向量是02

矩陣秩的性質(zhì)由于6的秩為2，故滿足要求的，方陣可以是16初等變換不改變矩陣的秩??性質(zhì)2.13若矩陣A與B等價，則r(A)=r(B).??推論設(shè)A是m×n矩陣，則矩陣A

的標(biāo)準(zhǔn)形為r(A)=r，02

矩陣秩的性質(zhì)17??例6解法1求秩：02

矩陣秩的性質(zhì)18不推薦使用解法2矩陣A存在二階子式矩陣A共有四個三階子式,計算得四個三階子式均為零，所以求秩：02

矩陣秩的性質(zhì)19??例7解求秩：02

矩陣秩的性質(zhì)2002

矩陣秩的性質(zhì)21??例8解法1設(shè)三階矩陣試求r(A).當(dāng)=3;x≠1且x≠-2時，r(A)當(dāng)x=1時，當(dāng)x=-2時，02

矩陣秩的性質(zhì)22解法2利用初等變換求秩=3;當(dāng)x≠1且x≠-2時，r(A)當(dāng)x=1時，=1;r(A)當(dāng)x=-2時，=2.r(A)02

矩陣秩的性質(zhì)23??定義若方陣A

的秩與其階數(shù)相等，則稱A

為滿秩矩陣，否則，稱矩陣A

為降秩陣.??定義若方陣A

的行列式值不為零，則稱A

為非奇異矩陣，否則，稱矩陣A為奇異矩陣.??性質(zhì)2.3方陣A可逆的充要條件是|A|≠0，且在A可逆時，有?02

矩陣秩的性質(zhì)24??結(jié)論